VnDoc.com

Đề thi giữa HK2 Toán 11 Kết nối tri thức năm học 2023 – 2024 (Đề 5)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi giữa học kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - có đáp án nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $1$
Hình vẽ minh họa

Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC

Mặt khác ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN//AB \\ MQ//SC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (AB;SC) = (MN;MQ)$

Ta có: $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$NC = \sqrt{\frac{SC^{2} + BC^{2}}{2} -\frac{SB^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{a^{2} + 2a^{2}}{2} - \dfrac{a^{2}}{4}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Xét tam giác NAC có:

$NQ = \sqrt{\frac{NA^{2} + CN^{2}}{2} -\frac{AC^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{5a^{2}}{4}}{2}- \dfrac{a^{2}}{4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác MNQ ta có:

$\cos\widehat{NMQ} = \frac{MN^{2} +MQ^{2} - NQ^{2}}{2MN.MQ}$ $= \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4} + \dfrac{a^{2}}{4} -\dfrac{3a^{2}}{4}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}} = -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{NMQ} = 120^{0} \Rightarrow (MN,MQ) = 180^{0} - 120^{0} = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos(AB,SC) = \frac{1}{2}$
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh?
- A. 1050
- B. 1260
- C. 105
- D. 1200
Hộp chứa 10 + 5 = 15 viên bi
Số cách lấy 4 viên bi trong hộp là: $C_{15}^4 = 1365$ cách
Số cách lấy 4 viên bi không có viên bi xanh là: $C_5^4 = 5$ cách
Số cách lấy 4 viên bi có 1 viên bi xanh là: $C_{10}^1.C_5^3 = 100$ cách
=> Số lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh là: $1365 - 5 - 100 = 1260$ cách
Câu 3: Nhận biết
Biến đổi tương đương

Biết $a \in \mathbb{R}^{+}$ , $\sqrt{a^{3}}$ bằng:
- A.
  $a^{\frac{1}{6}}$
- B.
  $a^{\frac{2}{3}}$
- C.
  $a^{6}$
- D.
  $a^{\frac{3}{2}}$
Ta có: $\sqrt{a^{3}} = a^{\frac{3}{2}}$
Câu 4: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Ta có: $4^{x} +4^{- x} = 14$ . Biểu thức $2^{x} +2^{- x}$ có giá trị là:
- A.
  $4$
- B.
  $16$
- C.
  $\sqrt{14}$
- D.
  $\pm 4$
Ta có:
$4^{x} + 4^{- x} = 14 \Leftrightarrow\left( 2^{x} + 2^{- x} ight)^{2} = 16$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2^{x} + 2^{- x} = 4(tm) \\2^{x} + 2^{- x} = - 4(ktm) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow 2^{x} + 2^{- x} =4$
Câu 5: Nhận biết
Giải bất phương trình

Xác định nghiệm của bất phương trình $5^{x - 2} \leq \frac{1}{5}$ ?
- A.
  $\lbrack 1; + \infty)$
- B.
  $( - \infty;0)$
- C.
  $\lbrack 2; + \infty)$
- D.
  $( - \infty;1brack$
Ta có:

$5^{x - 2} \leq \frac{1}{5} \Leftrightarrow 5^{x - 2} \leq 5^{- 1}$

$\Leftrightarrow x - 2 \leq - 1 \Leftrightarrow x \leq 1$ hay $x \in ( - \infty;1brack$
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$ .

Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $IJ\bot AB$
- B.
  $IJ\bot AD$
- C.
  $IJ\bot BD$
- D.
  $IJ\bot SD$
Vì IJ là đường trung bình của tam giác SAC nên $IJ//AC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ//AC \\ BD\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot IJ$
Câu 7: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Tìm hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ trong các hàm số dưới đây?
- A.
  $y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$
- B.
  $y = \left( 3 - \sqrt{5} ight)^{x}$
- C.
  $y = \left( \sqrt{3} - 1 ight)^{x}$
- D.
  $y = \left( \frac{e}{5} ight)^{x}$
Xét hàm số $y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$ có $\frac{\pi}{2} > 1$ nên hàm số $y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
Câu 8: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Biết $m,n$ là hai số dương tùy ý thì $\log\left( m^{3}n^{2} ight)$ có giá trị tương ứng với biểu thức nào sau đây?
- A.
  $3\log m + 2\log n$
- B.
  $3\log m + \frac{1}{2}\log n$
- C.
  $2\log m + 3\log n$
- D.
  $3\left( \log m + \frac{1}{2}\log n ight)$
Ta có: $m,n > 0$

$\log\left( m^{3}n^{2} ight) = \log m^{3} + \log n^{2} = 3\log m + 2\log n$
Câu 9: Nhận biết
Tính số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ

Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?
- A. 104
- B. 450
- C. 1326
- D. 2652
Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.
Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là $C_{52}^2 = 1326$ cách.
Câu 10: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho $a > 0,n;m\mathbb{\in R}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $a^{m} + a^{n} = a^{m + n}$
- B.
  $a^{m}.a^{n} = a^{m - n}$
- C.
  $\left( a^{m} ight)^{n} = \left( a^{n} ight)^{m}$
- D.
  $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{n - m}$
Theo tính chất lũy thừa ta có:

$\left( a^{m} ight)^{n} = \left( a^{n} ight)^{m}$
Câu 11: Vận dụng
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA = a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SD$ và $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BM$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6}$
- D.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của SO và BM.

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ NK // AC, $NK \cap SA = N;NK \cap SC = K$

Ta có: I là trọng tâm tam giác SBD.

Ta có: $SO = \sqrt{SA^{2} + AO^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác SBD đều cạnh bằng $a\sqrt{2} \Rightarrow BM = \frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \Rightarrow BI = \frac{2}{3}MB = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \frac{IK}{OC} = \frac{2}{3} \Rightarrow IK = \frac{2}{3}OC = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$

$\frac{SK}{SC} = \frac{2}{3} \Rightarrow SK = \frac{2}{3}SC = \frac{2}{3}.a\sqrt{3}$

Tam giác SBC vuông tại B $\Rightarrow \cos\widehat{SBC} = \frac{SB}{SC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Lại có:

$KB^{2} = SK^{2} + SB^{2} - 2SK.SB.cos\widehat{BSK}$

$= \left( \frac{2a\sqrt{3}}{3} ight)^{2} + 2a^{2} - 2.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2}{3}a^{2}$

$\Rightarrow \cos\widehat{KIB} = \frac{IK^{2} + IB^{2} - KB^{2}}{2.IK.IB}$

$= \frac{\left( \frac{a\sqrt{2}}{3} ight)^{2} + \left( \frac{a\sqrt{6}}{3} ight)^{2} - \frac{2a^{2}}{3}}{2.\frac{a\sqrt{2}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BM$ là $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

VD

1
Câu 12: Nhận biết
Tìm x để hàm số có nghĩa

Tìm điều kiện xác định của hàm số $y =\log_{2}(x - 1)^{2}$ ?
- A.
  $x > 0$
- B.
  $x eq 1$
- C.
  $x\mathbb{\in R}$
- D.
  $x > 1$
Điều kiện xác định của hàm số $y =\log_{2}(x - 1)^{2}$ là:

$(x - 1)^{2} > 0 \Leftrightarrow x eq 1$
Câu 13: Nhận biết
Biến đổi biểu thức

Tính giá trị biểu thức $M = 2^{\log_{2}a} + \log_{a}\left( a^{b}ight)$ với điều kiện $a > 0;a eq 1$ ?
- A.
  $M = 2^{a} + b$
- B.
  $M = a + b$
- C.
  $M = 2a + b$
- D.
  $M = a - 2b$
Ta có:

$M = 2^{\log_{2}a} + \log_{a}\left( a^{b}ight) = a + b$
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ và đáy là hình vuông. Chọn kết luận đúng?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $AC\bot(SAD)$
- C.
  $AC\bot(SBD)$
- D.
  $AC\bot(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$
Câu 15: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a;AD = 2a;AA' = a\sqrt{2}$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc với $A'B$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình hộp chữ nhật đã cho?
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $2a^{2}$
- C.
  $a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $a^{2}\sqrt{6}$
Hình vẽ minh họa

Hình chữ nhật $ABB'A'$ có $AB = a;AA' = a\sqrt{2}$ . Lấy $M$ là trung điểm của $BB'$ . Ta dễ dàng chứng minh $AM\bot A'B$

Ta lại có $AD\bot A'B$ suy ra mặt phẳng $(\alpha)$ chính là mặt phẳng $(ADM)$ .

Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.

Ta tính được $AM = \frac{a\sqrt{6}}{2};AD = 2a$

Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: $a^{2}\sqrt{6}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Hãy xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0};\widehat {CAD} = {90^0}$ . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {IJ}$ ?
- A. 120⁰
- B. 90⁰
- C. 60⁰
- D. 45⁰
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ICD có J là trung điểm của CD => $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {ID} } ight)$
Tam giác ABC có AB = AC và $\widehat {BAC} = {60^0}$ => Tam giác ABC đều => CI ⊥ AB
Tương tự ta chứng minh được tam giác aBD đều => DI ⊥ AB
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} ) \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {ID} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {IJ} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {IJ} } ight) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm hàm số tương ứng đồ thị

Cho đồ thị hàm số:
Xác định hàm số tương ứng?
- A.
  $y = 3^{x}$
- B.
  $y = \left( \frac{1}{3}ight)^{x}$
- C.
  $y = \left( \frac{1}{2}ight)^{x}$
- D.
  $y = 2^{x}$
Đồ thị hàm số đi lên và qua điểm có tọa độ $(1;3)$ nên hàm số thỏa mãn là $y = 3^{x}$
Câu 18: Nhận biết
Chọn kết quả chính xác

Trong các kết quả dưới đây, kết quả nào là tập nghiệm của bất phương trình $\left( \frac{1}{3} ight)^{x} < 2$ ?
- A.
  $\left( \log_{2}\frac{1}{3}; + \inftyight)$
- B.
  $\left( \log_{\frac{1}{3}}2; + \inftyight)$
- C.
  $\left( - \infty;\log_{2}\frac{1}{3}ight)$
- D.
  $\left( - \infty;\log_{\frac{1}{3}}2ight)$
Ta có:

$\left( \frac{1}{3} ight)^{x} < 2 \Leftrightarrow x > log_{\frac{1}{3}}2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \left(\log_{\frac{1}{3}}2; + \inftyight)$
Câu 19: Vận dụng

Chọn đáp án đúng

Bà A gửi ngân hàng 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 10%/ 1 năm theo hình thức lại kép một thời gian dài (nghĩa là nếu bà không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo). Năm nay gia đình có việc cần nên bà rút hết tiền trong ngân hàng để xử lí công việc. Sau khi rút cả vốn và lãi, bà trích ra 10 triệu để mua đồ tân gia cho con trai thì bà còn 240 triệu. Hỏi bà A đã gửi tiết kiệm được bao nhiêu năm? 10 năm||12 năm||20 năm||15 năm

Đáp án là:

Bà A gửi ngân hàng 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 10%/ 1 năm theo hình thức lại kép một thời gian dài (nghĩa là nếu bà không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo). Năm nay gia đình có việc cần nên bà rút hết tiền trong ngân hàng để xử lí công việc. Sau khi rút cả vốn và lãi, bà trích ra 10 triệu để mua đồ tân gia cho con trai thì bà còn 240 triệu. Hỏi bà A đã gửi tiết kiệm được bao nhiêu năm? 10 năm||12 năm||20 năm||15 năm

Giả sử bà A đã gửi ngân hàng trong x năm

Số tiền bà nhận được là 250 triệu đồng

Áp dụng công thức lại kép thì sau n năm số tiền bà A nhận được là $T = 100.10^{6}.(1 + 0,1)^{n}$

$\Leftrightarrow 250.10^{6} = 100.10^{6}.(1 + 0,1)^{n}$

$\Leftrightarrow n = \log_{1,1}2,5\Leftrightarrow n \approx 9,61$

Vậy bà A đã gửi tiết kiệm trong 10 năm.
Câu 20: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AC = a\sqrt{3}$ và $AA' = 3a$ . Chọn kết luận đúng về số đo góc giữa $A'C$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có hình chiếu của A”C lên mặt phẳng (ABC) là AC

Suy ra $\left( A'C;(ABC) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA}$

Ta có: $\tan\widehat{A'CA} = \frac{AA'}{AC} = \frac{3a}{a\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{A'CA} = 60^{0} \Rightarrow \left( A'C;(ABC) ight) = 60^{0}$
Câu 21: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $(B'C';AM) = 60^{0}$
- B.
  $(B'C';AM) = 30^{0}$
- C.
  $(B'C';AM) = 45^{0}$
- D.
  $(B'C';AM) = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC

=> $AM\bot BC$

Ta có: $BC//B'C'$

$\Rightarrow (B'C';AM) = (BC;AM) = 90^{0}$
Câu 22: Vận dụng cao
Chọn mệnh đề đúng

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB = a, AD = BC = b, AB là đoạn vuông góc chung của BC và AD và (AB, CD) = α, 0⁰ < α < 90⁰, tan α < $\frac{2b}{a}$ . Gọi I là trung điểm AB, điểm M thuộc đoạn AB sao cho IM = x và (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với AB đồng thời cắt CD tại N. Diện tích hình tròn tâm M bán kính MN bằng
- A.
  $\frac{\pi}{4}\left\lbrack 4b^{2} +\left( 4x^{2} - a^{2} ight)tan^{2}\alphaightbrack$
- B.
  $\pi\left\lbrack 4b^{2} + \left(4x^{2} - a^{2} ight)tan^{2}\alpha ightbrack$
- C.
  $\frac{\pi}{4}\left\lbrack 2b^{2} +\left( 4x^{2} + a^{2} ight)tan^{2}\alphaightbrack$
- D.
  $\frac{\pi}{4}\left\lbrack 4b^{2} +\left( 4x^{2} - a^{2} ight)sin^{2}\alphaightbrack$
Hình vẽ minh họa:
Dựng hình lăng trụ đứng tam giác ADE.BFC như hình vẽ, trong đó AB là cạnh bên.
Khi đó mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đáy của hình lăng trụ nói trên.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của (P) với CE và DF.
Không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc đoạn AI.
Ta có $\widehat{CDF}$ = (CD, DF) = (CD, AB) = α, suy ra PQ = CF = a tan α.
Do đó:
$\begin{matrix}\dfrac{NQ}{CF} = \dfrac{DQ}{DF} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{a - 2x}{2a} \hfill\\\Rightarrow NQ = \dfrac{(a - 2x)\tan\alpha}{2} \hfill \\\Rightarrow \cos\widehat{MQP} = \dfrac{MQ^{2} + PQ^{2} - MP^{2}}{2MQ.PQ} \hfill\\= \dfrac{PQ}{2MQ} = \dfrac{a\tan\alpha}{2b} \hfill\\MN^{2} = MQ^{2} + NQ^{2} - 2MQ.NQ \hfill\\\Rightarrow \cos\widehat{MQN} = \dfrac{4b^{2} + \tan^{2}\alpha\left(4x^{2} - a^{2} ight)}{4} \hfill\\\end{matrix}$
Vậy $\frac{\pi}{4}\left\lbrack 4b^{2} +\left( 4x^{2} - a^{2} ight)tan^{2}\alphaightbrack$
Câu 23: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng

Cho biểu thức $D =\left\lbrack \dfrac{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} -a^{\frac{1}{2}}} + (ax)^{\frac{1}{2}} ightbrack.\left(\dfrac{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{x - a} ight)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $D = - 1$
- B.
  $D = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}$
- C.
  $D = \sqrt{x - a}$
- D.
  $D = 1$
Ta có:

$D = \left\lbrack \frac{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}} + (ax)^{\frac{1}{2}} ightbrack.\left( \frac{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{x - a} ight)$

$= \left\lbrack \frac{\left( x^{\frac{1}{2}} ight)^{3} - \left( a^{\frac{1}{2}} ight)^{3}}{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}} + (ax)^{\frac{1}{2}} ightbrack^{2}.\left\lbrack \frac{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{\left( x^{\frac{1}{2}} ight)^{2} - \left( a^{\frac{1}{2}} ight)^{2}} ightbrack$

$= \left\lbrack \frac{\left( x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} ight)\left( \left( x^{\frac{1}{2}} ight)^{2} + x^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}} + \left( a^{\frac{1}{2}} ight)^{2} ight)}{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}} + (ax)^{\frac{1}{2}} ightbrack\left\lbrack \frac{x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{\left( x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} ight)\left( x^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} ight)} ightbrack$

$= \left\lbrack \left( x^{\frac{1}{2}} ight)^{2} + 2x^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}} + \left( a^{\frac{1}{2}} ight)^{2} ightbrack\left( \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}} ight)^{2}$

$= \left( x^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} ight)^{2}\left( \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}} ight)^{2} = 1$
Câu 24: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = a;AA' = a\sqrt{6}$ (như hình vẽ)

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Khi đó:
- A.
  $\cos\alpha = \frac{1}{2}$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left( A'C;(ABCD) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA} = \alpha$

Lại có: $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{2}$

Xét tam giác $A'CA$ ta có:

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{AA}{AC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2}$
Câu 25: Vận dụng
Số kế hoạch có thể tạo thành

Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình thăm một bạn không quá một lần
- A. 3991680
- B. 12!
- C. 35831808
- D. 7!
Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn.
Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất.
Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai.
Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba.
Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.
Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.
Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.
Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách.
Câu 26: Vận dụng
Tìm số các chữ số của một số tự nhiên

Số $20172018^{20162017}$ có bao nhiêu chữ số?
- A.
  $147278481$
- B.
  $147278480$
- C.
  $147347190$
- D.
  $147347191$
Số tự nhiên $M$ có $k$ chữ số khi

$10^{k - 1} \leq M \leq 10^{k}$

Đặt $M = 20172018^{20162017}$ suy ra

$\log M = \log\left( 20172018^{20162017} ight)$

$\Leftrightarrow M = 10^{\log\left( 20172018^{20162017} ight)}$

$\Leftrightarrow M = 10^{20162017.log(20172018)}$

$\Leftrightarrow M \approx 10^{1147278480,5} < 10^{147278481}$

Vậy số các chữ số của $20172018^{20162017}$ là 147278481.
Câu 27: Nhận biết
Mô tả không gian mẫu của phép thử

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Chọn mô tả đúng dưới đây?
- A.
  $\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5 ight\} ight\}$
- B.
  $\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\} ight\}$
- C.
  $\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5 ight\};a eq b ight\}$
- D.
  $\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\};a eq b ight\}$
Mô tả không gian mẫu đúng là: $\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\} ight\}$
Câu 28: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Biết phương trình $8lo{g_{2}}^{2}\sqrt[3]{x} + 2(m - 1)log_{\frac{1}{4}}x - 2019 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_{1}x_{2} = 4$ . Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  $m \in (1;2)$
- B.
  $m \in (2;5)$
- C.
  $m \in (0;1)$
- D.
  $m \in (4;7)$
Ta có:

$8\log{_{2}}^{2}\sqrt[3]{x} + 2(m -1)\log_{\frac{1}{4}}x - 2019 = 0$

$\Leftrightarrow\frac{8}{9}\log{_{2}}^{2}x - (m - 1)\log_{2}x - 2019 = 0$

Đặt $t = \log_{2}x \Leftrightarrow x =2^{t}$ ta được:

$\Leftrightarrow \frac{8}{9}t^{2} - (m - 1)t - 2019 = 0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_{1}x_{2} = 4$ khi và chỉ khi

$\frac{8}{9}t^{2} - (m - 1)t - 2019 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn.

$2^{t_{1} + t_{2}} = 4 \Leftrightarrow t_{1} + t_{2} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{9(m - 1)}{8} = 2 \Rightarrow m = \frac{25}{9} \in (2;5)$ .
Câu 29: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $AD'$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $A'B//D'C$ nên góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $AD'$ bằng góc giữa hai đường thẳng $D'C$ và $AD'$ và bằng góc $\widehat{AD'C}$

Mà tam giác ACD’ là tam giác đều nên $\widehat{AD'C} = 60^{0}$

$\Rightarrow (A'B;AD') = 60^{0}$
Câu 30: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $SA\bot(ABC)$
- B.
  $SG\bot(ABC)$
- C.
  $AB\bot(ASC)$
- D.
  $SG\bot(ABS)$
Ta có khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, trọng tâm G cũng là tâm của đáy nên $SG\bot(ABC)$ .
Câu 31: Nhận biết
Đơn giản biểu thức W

Rút gọn biểu thức $W = b^{\frac{5}{3}}:\sqrt[3]{b}$ với $b > 0$ ta được:
- A.
  $W = b^{\frac{- 4}{3}}$
- B.
  $W = b^{\frac{4}{3}}$
- C.
  $W = b^{\frac{5}{9}}$
- D.
  $W = b^{2}$
Ta có:

$W = b^{\frac{5}{3}}:\sqrt[3]{b} = b^{\frac{5}{3}}:b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}} = b^{\frac{4}{3}}$
Câu 32: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Giả sử phương trình $\log_{\sqrt{3}}(x - 2) + \log_{3}(x - 4)^{2} =0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ với $x_{1} > x_{2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2}=$ 2||9||-1||-7

Đáp án là:

Giả sử phương trình $\log_{\sqrt{3}}(x - 2) + \log_{3}(x - 4)^{2} =0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ với $x_{1} > x_{2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2}=$ 2||9||-1||-7

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} > 0 \\x - 2 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq 4 \\x > 2 \\\end{matrix} ight.$
Phương trình đã cho tương đương:
$\Leftrightarrow \log_{3^{\frac{1}{2}}}(x- 2) + 2\log_{3}|x - 4| = 0$
$\Leftrightarrow 2\log_{3}(x - 2) +2\log_{3}|x - 4| = 0$
$\Leftrightarrow \log_{3}\left\lbrack (x -2).|x - 4| ightbrack = \log_{3}1$
$\Leftrightarrow (x - 2).|x - 4| =1$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x \geq 4 \\(x - 2)(x - 4) = 1 \\\end{matrix} ight.\ \\\left\{ \begin{matrix}x < 4 \\(x - 2)(x - 4) = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x \geq 4 \\x^{2} - 6x + 7 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \\\left\{ \begin{matrix}x < 4 \\x^{2} - 6x + 9 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = 3 + \sqrt{2} \\x_{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = 2$
Câu 33: Thông hiểu
Tính tích của x và y

Cho hai số thực dương a và b. Đơn giản biểu thức $E = \frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}$ ta được $E = a^{x}.b^{y}$ . Tích $x.y$ là:
- A.
  $x.y = \frac{1}{8}$
- B.
  $x.y = \frac{1}{21}$
- C.
  $x.y = \frac{1}{9}$
- D.
  $x.y = \frac{1}{18}$
Ta có:

$K = E = \frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}$

$= \frac{a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{3}}\left( a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}} ight)}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{3}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow xy = \frac{1}{9}$
Câu 34: Thông hiểu
Kết luận nào sau đây đúng?

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, M là điểm không nằm trên (P) sao cho MA = MB = MC, d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P). Khi đó đường thẳng d đi qua:
- A.
  Trực tâm của tam giác ABC.
- B.
  Trọng tâm của tam giác ABC.
- C.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D.
  Tâm đường đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
=> H là hình chiếu của M trên (P) nên từ MA = MB = MC
=> HA = HB = HC
=> Khi đó đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 35: Thông hiểu
Tìm các giá trị thực của m

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left( 1 + \ln might)^{x}$ đồng biến trên tập số thực.
- A.
  $\frac{1}{e} < m < 1$
- B.
  $m> 1$
- C.
  $m > 0$
- D.
  $m > e$
Ta có hàm số $f(x) = \left( 1 + \ln m ight)^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Khi và chỉ khi $1 + \ln m > 1\Leftrightarrow m > 1$
Câu 36: Thông hiểu
Biểu diễn biến cố theo yêu cầu bài toán

Giáo viên trong lớp chuẩn bị 3 chiếc hộp:

Hộp 1 chứa 3 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng.

Hộp 2 chứa 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng.

Hộp 3 chứa 2 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh.

Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một quả cầu trong hộp đó. Gọi $X_{1}$ là biến cố lấy được hộp 1, $X_{2}$ là biến cố lấy được hộp 2, $X_{3}$ là biến cố lấy được hộp 3. Khi đó biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy được một quả màu đỏ trong hộp đó biểu diễn như thế nào?
- A.
  $\left( X \cap X_{1} ight) \cap \left( X \cap X_{2} ight) \cap \left( X \cap X_{3} ight)$
- B.
  $X \cap X_{2} \cap X_{3}$
- C.
  $\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$
- D.
  $X \cup X_{2} \cup X_{3}$
Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu được quả màu đỏ thì hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 1 hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 2 hoặc lấy được quả đỏ từ hộp 3. Do đó ta biểu diễn biến cố cần tìm như sau:

$\left( X \cap X_{1} ight) \cup \left( X \cap X_{2} ight) \cup \left( X \cap X_{3} ight)$
Câu 37: Thông hiểu
Xác định giá trị biểu thức M

Giả sử $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x + 8} - 4^{1 - 3x} = 0$ . Xác định giá trị biểu thức $M = 4{x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2}$ biết $x_{1} > x_{2}$ ?
- A.
  $M = 7$
- B.
  $M = 32$
- C.
  $M = 40$
- D.
  $M = 11$
Ta có:

$2^{x^{2} - x + 8} - 4^{1 - 3x} = 0 \Leftrightarrow 2^{x^{2} - x + 8} = \left( 2^{2} ight)^{1 - 3x}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{2} - x + 8} = 2^{2.(1 - 3x)}$

$\Leftrightarrow x^{2} - x + 8 = 2.(1 - 3x)$

$\Leftrightarrow x^{2} + 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 2 \\ x_{2} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)$

$\Rightarrow M = 4{x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2} = 7$
Câu 38: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Biết rằng $m,n$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{\log_{3}m.\log_{2}3}{1 + \log_{2}5} + \log n =1$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  $m + n = 1$
- B.
  $m = 1 - n\log_{2}5$
- C.
  $mn = 10$
- D.
  $m\log_{2}5 + n = 1$
Ta có:

$\dfrac{\log_{3}m.\log_{2}3}{1 + \log_{2}5} + \log n =1$

$\Leftrightarrow\frac{\log_{2}m}{\log_{2}10} + \log n = 1$

$\Leftrightarrow \log m + \log n = 1 \Leftrightarrow \log(mn) = 1$

$\Leftrightarrow mn = 10$
Câu 39: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho hai số thực dương $a,b$ . Tính giá trị biểu thức: $M = \log_{\sqrt{2}}a - \log_{2}b$ biết $a^{2} - 16b = 0$ ?
- A.
  $M = 2$
- B.
  $M = 4$
- C.
  $M = 16$
- D.
  $M = 8$
Ta có: $a^{2} - 16b = 0 \Rightarrow b = \frac{a^{2}}{16}$

$M = \log_{\sqrt{2}}a - \log_{2}b =\log_{\sqrt{2}}a - \log_{2}\frac{a^{2}}{16}$

$= 2\log_{a}a - 2\log_{2}a + \log_{2}16 =\log_{2}16 = 4$
Câu 40: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Biết $\forall n \in \mathbb{R}^{+}$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $\log_{4}n^{4} = 4$
- B.
  $\log_{4}n^{4} =\frac{1}{4}\log_{4}n$
- C.
  $\log_{4}n^{4} = 4\log_{4}n$
- D.
  $\log_{4}n^{4} =\frac{1}{4}$
Ta có: $\log_{4}n^{4} = 4\log_{4}|n| =4\log_{4}n$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40

Chưa làm Đã làm

Tìm bài trong mục này

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi giữa HK2 Toán 11 Kết nối tri thức năm học 2023 – 2024 (Đề 5)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi giữa HK2 Toán 11 Kết nối tri thức năm học 2023 – 2024 (Đề 5)

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!