Công thức cộng xác suất Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Công thức cộng xác suất bao gồm định nghĩa biến cố xung khắc và công thức cộng xác suất áp dụng các bài toán thực tế. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc
a) Biến cố xung khắc
Biến cố 
\(A\) và \(B\) được gọi là xung khắc nếu \(A\) và \(B\) không đồng thời xảy ra.
Hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc khi và chỉ khi \(A \cap B = \emptyset\).
Hình ảnh minh họa
Ví dụ: Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:
A: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 3";
B: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 3";
C: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba lớn hơn 3";
D: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 3".
Trong các biến cố trên, tìm:
a) Một cặp biến cố xung khắc.
b) Ba cặp biến cố độc lập.
Hướng dẫn giải
a) Một cặp biến cố xung khắc là A và D.
b) Ba cặp biến cố độc lập là: A và B, A và C, B và C.
b) Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc
Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc thì:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
Ví dụ: Trong một tiểu khu có 25 người họ Nguyễn và 11 người họ Phạm. Chọn ngẫu nhiên hai người trong phòng đó. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng họ.
Hướng dẫn giải
Số người trong tiểu khu được xét là \(25 + 11 = 36\) (người)
Xét các biến cố sau:
A: "Cả hai người được chọn đều họ Nguyễn"
B: "Cả hai người được chọn đều họ Phạm".
C: "Cả hai người được chọn có cùng họ".
C là biến cố hợp của A và B.
Do A và B xung khắc nên \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
Ta có:
\(n\left( \Omega \right) = C_{36}^2 = 630\)
\(n\left( A \right) = C_{25}^2 = 300\) \(\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{300}}{{630}}\)
\(n\left( B \right) = C_{11}^2 = 55\)\(\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{55}}{{630}}\)
\(\Rightarrow P\left( C \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
\(=\frac{{300}}{{630}} + \frac{{55}}{{630}} = \frac{{355}}{{630}} = \frac{{71}}{{126}}\)
2. Công thức cộng xác suất
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó ta có:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\)
Ví dụ: Hai bạn Tùng và Chi và 5 bạn cùng lớp xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Tùng và Chi đứng ở đầu hàng".
Hướng dẫn giải
Số cách xếp 7 người thành một hàng ngang là 7!
Gọi A là biến cố "Tùng đứng ở đầu hàng"; B là biến cố "Chi đứng ở đầu hàng".
Xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \frac{{2.6!}}{{7!}} = \frac{2}{7}\)
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{2.6!}}{{7!}} = \frac{2}{7}\)
Xác suất của biến cố "Hai bạn Tùng và Chi đứng ở hai đầu hàng" là: \(P\left( {AB} \right) = \frac{{2.5!}}{{7!}} = \frac{1}{{21}}\)
Xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Tùng và Chi đứng ở hai đầu hàng" là:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\)
\(= \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{{21}} = \frac{{11}}{{21}}\)
