Công thức lượng giác Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Công thức lượng giác bao gồm định nghĩa, tính chất và các công thức lượng giác và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Công thức cộng
|
· |
|
|
|
|
|
|
Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác sau:
a) 
\(\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\) biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)
b) Biết \(\sin a = \frac{8}{{17}};\tan b = \frac{5}{{12}}\) với \(a;b\) là các góc nhọn. Tính \(\sin \left( {a - b} \right);\cos \left( {a + b} \right);\tan \left( {a + b} \right)\)
Hướng dẫn giải
a) Vì \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\cos \alpha < 0\)
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
\(\Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \tan \alpha = - \frac{3}{4}\)
Vậy \(\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{3} + \tan \alpha }}{{1 - \tan \frac{\pi }{3}.\tan \alpha }} = \frac{{48 - 25\sqrt 3 }}{{11}}\)
b) Vì a và b là các góc nhọn nên \(\cos a > 0;\cos b > 0;\sin b > 0\)
Khi đó: \(\cos b = \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2}b + 1}}} = \frac{{12}}{{13}}\)
\(\Rightarrow \sin b = \frac{5}{{13}}\)
\(\cos a = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \frac{{15}}{{17}}\)
Vậy
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b = \frac{{21}}{{221}}\)
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{{140}}{{221}}\)
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = \frac{{171}}{{140}}\)
Ví dụ: Chứng minh công thức:
\(\sin \left( {x + y} \right).\sin \left( {x - y} \right) = {\sin ^2}x - {\sin ^2}y\)
Hướng dẫn giải
Biến đổi vế trái ta được:
\(VT= \sin \left( {x + y} \right).\sin \left( {x - y} \right)\)
\(= \left( {\sin x\cos y + \sin y\cos x} \right).\left( {\sin x\cos y - \sin y\cos x} \right)\)
\(= {\sin ^2}x{\cos ^2}y - {\sin ^2}y{\cos ^2}x\)
\(= {\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}y} \right) - {\sin ^2}y\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\)
\(= {\sin ^2}x - {\sin ^2}x.{\sin ^2}y - {\sin ^2}y + {\sin ^2}y.{\sin ^2}x\)
\(= {\sin ^2}x - {\sin ^2}y = VP\)
2. Công thức nhân đôi
- \(\sin 2a = 2\sin a.\cos b\)
- \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\)
- \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)
Mở rộng:
- \(\sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a\)
- \(\cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a\)
Từ đó ta có công thức hạ bậc như sau:
| \(\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}}\) |
\(\sin a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{2}}\) |
Đặt \(t = \tan \frac{a}{2}\) ta có công thức sau:
| \(\sin a = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) |
\(\cos a = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) |
\(\tan a = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\) |
Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(D = \sin \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{8}\)
b) \(E = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\pi }{8}}}{{\tan \dfrac{\pi }{8}}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(D = \sin \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{8}\)
\(D = \sin \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{4}\)
\(D = \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{4}\)
\(D = \frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{2} = \frac{1}{4}\)
b) \(E = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\pi }{8}}}{{\tan \dfrac{\pi }{8}}}\)
\(E = 2.\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\pi }{8}}}{{2.\tan \frac{\pi }{8}}}\)
\(E = 2.\cot \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) = 2\)
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
- \(\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\)
- \(\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)
- \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\)
Ví dụ: Biến đổi tích thành tổng:
a) \(2\sin \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right)\)
b) \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\cos 2x\)
Hướng dẫn giải
a) \(2\sin \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right)\)
\(= \cos \left( {2a} \right) + \cos \left( {2b} \right)\)
b) \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\cos 2x\)
\(= \left( {\cos \frac{\pi }{3} - \cos 2x} \right).\cos 2x = \frac{1}{2}\cos 2x - {\cos ^2}2x\)
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
|
· |
|
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức sau:
\(F = \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7}\)
Hướng dẫn giải
\(F = \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7}\)
\(\Leftrightarrow 2F.\sin \frac{{2\pi }}{7} = 2\cos \frac{{2\pi }}{7}.\sin \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7}.\sin \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7}.\sin \frac{{2\pi }}{7}\)
\(\Leftrightarrow 2F.\sin \frac{{2\pi }}{7} = \sin \frac{{4\pi }}{7} + \sin \frac{{6\pi }}{7} - \sin \frac{{2\pi }}{7} + \sin \frac{{8\pi }}{7} - \sin \frac{{4\pi }}{7}\)
\(\Leftrightarrow 2F.\sin \frac{{2\pi }}{7} = \sin \frac{{6\pi }}{7} - \sin \frac{{2\pi }}{7} + \sin \frac{{8\pi }}{7}\)
\(\Leftrightarrow 2F.\sin \frac{{2\pi }}{7} = \sin \frac{{6\pi }}{7} - \sin \frac{{2\pi }}{7} + \sin \left( {2\pi - \frac{{6\pi }}{7}} \right)\)
\(\Leftrightarrow 2F.\sin \frac{{2\pi }}{7} = \sin \frac{{6\pi }}{7} - \sin \frac{{2\pi }}{7} - \sin \left( {\frac{{6\pi }}{7}} \right)\)
\(\Leftrightarrow 2F.\sin \frac{{2\pi }}{7} = - \sin \frac{{2\pi }}{7} \Leftrightarrow F = - \frac{1}{2}\)
