VnDoc.com

Hàm số liên tục Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Hàm số liên tục bao gồm định nghĩa, tính chất của hàm số liên tục tại một điểm, một khoảng, một đoạn hoặc nửa đoạn. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ $\left( {a;b} \right)$ chứa điểm $x_0$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ được gọi là hàm số liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Chú ý: Hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số

a) $\begin{gathered} f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}{\text{ khi }}x \ne 5 \hfill \\ {\text{9 khi }}x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered}$ $\begin{gathered} f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}{\text{ khi }}x \ne 5 \hfill \\ {\text{9 khi }}x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered}$ tại ${x_0} = 5$ ${x_0} = 5$

b) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}{\text{ khi }}x \ne 2 \hfill \\ {\text{1 khi }}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}{\text{ khi }}x \ne 2 \hfill \\ {\text{1 khi }}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ tại ${x_0} = 2$ ${x_0} = 2$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 5}}$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 5}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {x + 5} \right) = 10 \ne 9 = f\left( 5 \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {x + 5} \right) = 10 \ne 9 = f\left( 5 \right)$

Vậy hàm số không liên tục tại ${x_0} = 5$ ${x_0} = 5$

b) Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {1 - \sqrt {2x - 3} } \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {1 - \sqrt {2x - 3} } \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4 - 2x}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4 - 2x}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{1 + \sqrt {2x - 3} }} = 1 = f\left( 2 \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{1 + \sqrt {2x - 3} }} = 1 = f\left( 2 \right)$

Vậy hàm số liên tục tại ${x_0} = 2$ ${x_0} = 2$

Câu trắc nghiệm mã số: 393568,393569

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ $\left( {a;b} \right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
Hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} {x^3} + x + 1{\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ 2x + 4{\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} {x^3} + x + 1{\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ 2x + 4{\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = \mathbb{R}$ $D = \mathbb{R}$

Ta có:

+ Trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ $\left( { - \infty ;1} \right)$ ta có: $f\left( x \right) = 2x + 4$ $f\left( x \right) = 2x + 4$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên $\left( { - \infty ;1} \right)$ $\left( { - \infty ;1} \right)$.

+ Trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ $\left( {1; + \infty } \right)$ ta có: $f\left( x \right) = {x^3} + x + 1$ $f\left( x \right) = {x^3} + x + 1$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên $\left( {1; + \infty } \right)$ $\left( {1; + \infty } \right)$.

+ Tại $x_0 = 1$ ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( 1 \right) = {1^3} + 1 + 1 = 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 4} \right) = 6 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} + x + 1} \right) = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} f\left( 1 \right) = {1^3} + 1 + 1 = 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 4} \right) = 6 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} + x + 1} \right) = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x_0 = 1$.

Tóm lại hàm số đã cho liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ $\left( { - \infty ;1} \right)$; $\left( {1; + \infty } \right)$ $\left( {1; + \infty } \right)$ và gián đoạn tại điểm $x_0 = 1$.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}}$ $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ $\left[ { - 1;1} \right]$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = \left[ { - 1;1} \right]$ $D = \left[ { - 1;1} \right]$

Với $\forall x \in \left( { - 1;1} \right)$ $\forall x \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt {1 - {x_0}^2} = f\left( {{x_0}} \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt {1 - {x_0}^2} = f\left( {{x_0}} \right)$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ $\left( { - 1;1} \right)$

Mặt khác $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0 = f\left( 1 \right) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0 = f\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0 = f\left( 1 \right) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0 = f\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy hàm số liên tục trên $\left[ { - 1;1} \right]$ $\left[ { - 1;1} \right]$.

Chú ý:

Hàm số đa thức và các hàm số $y = \sin x;y = \cos x$ $y = \sin x;y = \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.
Các hàm số $y = \tan x;y = \cot x;y = \sqrt x$ $y = \tan x;y = \cot x;y = \sqrt x$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của nó.

Câu trắc nghiệm mã số: 34087,34072,34069

3. Một số tính chất cơ bản

Giả sử $y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)$ $y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0}$ ${x_0}$. Khi đó:

a) Các hàm số $\left\{ \begin{gathered} y = f\left( x \right) + g\left( x \right) \hfill \\ y = f\left( x \right) - g\left( x \right) \hfill \\ y = f\left( x \right).g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} y = f\left( x \right) + g\left( x \right) \hfill \\ y = f\left( x \right) - g\left( x \right) \hfill \\ y = f\left( x \right).g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ liên tục tại ${x_0}$ ${x_0}$.

b) Hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục tại ${x_0}$ ${x_0}$ nếu $g\left( x \right) \ne 0$ $g\left( x \right) \ne 0$

Chú ý: Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$ $f\left( c \right) = 0$.

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình $\left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1 = 0$ $\left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1 = 0$ luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đặt $\left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1 = f\left( x \right)$ $\left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1 = f\left( x \right)$

Hàm số $f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1$ $f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\left[ { - 1;0} \right]$ $\left[ { - 1;0} \right]$

Ta có: $f\left( 0 \right) = - 1$ $f\left( 0 \right) = - 1$

$f\left( { - 1} \right) = {m^2} + 1 > 0;\forall m$ $f\left( { - 1} \right) = {m^2} + 1 > 0;\forall m$ nên $f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) < 0$ $f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) < 0$

Vậy phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ $\left( { - 1;0} \right)$ nên phương trình luôn có nghiệm.

Câu trắc nghiệm mã số: 34091

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

1

26

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!