VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho các mệnh đề:

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ .

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ .

Trong các mệnh đề trên:
- A.
  Có đúng hai mệnh đề sai
- B.
  Cả ba mệnh đề đúng
- C.
  Cả ba mệnh đề đều sai
- D.
  Có đúng một mệnh đề sai
Theo tính chất hàm số liên tục thì

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ . Mệnh đề sai.

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. Mệnh đề đúng.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ . Mệnh đề đúng.
Câu 2: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1}=-3$ và $d=\frac{1}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}(n+1)$
- B.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}n-1$
- C.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}(n-1)$
- D.
  $u_n=-3+\frac{1}{4}(n-1)$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 3 + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm khoảng chứa tứ phân vị

Một cuộc khảo sát chiều cao của 30 học sinh cùng đợt được thực hiện tại một trường học. Hoàn thành bảng dữ diệu dưới đây:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
(120; 125]
3
(125; 130]
5
(130; 135]
11
(135; 140]
6
(140; 145]
5
Nhóm nào dưới đây chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu ghép nhóm?
- A.
  (125; 130]
- B.
  (130; 135]
- C.
  (135; 140]
- D.
  (140; 145]
Ta có:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
Tần số tích lũy
(120; 125]
3
3
(125; 130]
5
8
(130; 135]
11
19
(135; 140]
6
25
(140; 145]
5
30
Tổng
N = 30

Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.30}{4} =22,5$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (135; 140]
Câu 4: Thông hiểu
Tính giới hạn của dãy số

Giới hạn $\lim_{}\frac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1}$ bằng
- A.
  $- \infty$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $+ \infty$ .
- D.
  $\frac{3}{2}$ .
Ta có:

$\lim\dfrac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1} =\lim\dfrac{1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}}{1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}$

$= \dfrac{\lim\left( 1 - \left(\dfrac{3}{2} ight)^{n} ight)}{\lim\left( 1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n} ight)} = \lim\left( 1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}ight) = - \infty$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm số hạng cuối của cấp số nhân

Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối $u_{6}$ của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $u_{6} = 32$
- B.
  $u_{6} = 104$
- C.
  $u_{6} = 48$
- D.
  $u_{6} = 96$
Theo giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix}q = 2 \\S_{6} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - q^{6}}{1 - q} = 189 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1}.\dfrac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = 189 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}q = 2 \\u_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} = 3.2^{6} = 96$
Câu 6: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Câu 7: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức $h(t)= 29 + 3.\sin\frac{\pi}{12}(t - 9)$ với $h$ tính bằng $\ ^{0}C$ và $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày là:
- A.
  13 giờ.
- B.
  15 giờ.
- C.
  12 giờ.
- D.
  14 giờ.
Do $- 1 \leq \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) \leq 1,\forall t$ nên

$\begin{matrix}- 3 \leq 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t - 9) \leq 3 \\\Leftrightarrow 26 \leq 29 + 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t - 9) \leq 32 \\\Leftrightarrow 26 \leq h(t) \leq 32 \\\end{matrix}$

Do đó nhiệt độ cao nhất trong ngày là $32^{0}C$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t - 9) = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow t = 15 + 24k(k\mathbb{\in Z})$

Do $0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 15 + 24k \leq 24 \Leftrightarrow - \frac{15}{24} \leq k \leq \frac{9}{24}$ .

Mà $k\mathbb{\in Z}$ nên $k = 0$ .

Khi đó $t = 15$ .

Vậy lúc 15h là thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày.
Câu 8: Thông hiểu
Tính tổng 4 số của cấp số cộng

Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.
- A.
  88
- B.
  92
- C.
  128
- D.
  132
Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng
Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6
Theo bài ra ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.$
${u_1} + 5.d = 40$
$\begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy công sai của cấp số cộng là $d = \frac{{36}}{5}$
Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: $\frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}$
Tổng bốn số hạng ở trên là: $\frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88$
Câu 9: Thông hiểu

Điền chữ thích hợp vào ô trống

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.
(I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ
(II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ
(III) HF và GK chéo nhau. S
(IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.
(I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ
(II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ
(III) HF và GK chéo nhau. S
(IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ

Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có SM ⊥ BC và AM ⊥ BC.
AH, SK và BC đồng qui tại M. Do đó (I) đúng.
AG, SF cắt nhau tại M trên BC. Do đó (II) đúng.
HF và GK cùng nằm trong mặt phẳng (SAM) nên có thể song song hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau. Do đó (III) sai.
SH và AK cắt nhau. Do đó (IV) đúng.
Câu 10: Vận dụng
Tìm chu kì T của hàm số?

Xác định chu kì T của hàm số $y = \tan3x +\cot x$
- A.
  $T = 4\pi$
- B.
  $T = \pi$
- C.
  $T = 3\pi$
- D.
  $T = 6\pi$
Hàm số $y = \tan3x$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{\pi}{3}$

Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \pi$

T là chu kì của hàm số $y = \tan3x + \cot{x}$ là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂

Suy ra hàm số $y = \tan3x + \cot x$ tuần hoàn với chu kì $T = \pi$
Câu 11: Thông hiểu

Xác định kết luận đúng, kết luận sai

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}$

Ta có: Khi $a = - 2$ thì $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ liên túc tại $x = \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0$
Câu 12: Nhận biết
Tìm giới hạn hàm số

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . Tính $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x)$ .
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $0$
- D.
  $- 3$
Hàm số đã cho xác định trên $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$

Giả sử $\left( x_{n} ight)$ là một dãy số bất kì, thỏa mãn $x_{n} < 1;x_{n} ightarrow - \infty$

Ta có: $\lim f\left( x_{n} ight) =\lim\dfrac{2x_{n} + 3}{x_{n} - 1} = \lim\dfrac{2 + \dfrac{3}{x_{n}}}{1 -\dfrac{1}{x_{n}}} = 2$

Vậy $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 3}{x - 1} = 2$
Câu 13: Vận dụng
Tìm giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}$
- A.
  $- \infty$
- B.
  $0$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left( 6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} + 2x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x - 1)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}$

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8} + x + 17} ight) = - 36 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\ - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

=> $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = + \infty$
Câu 14: Thông hiểu
Xác định nghiệm của phương trình

Nghiệm của phương trình là:
- A. $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$
- B. $x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi$
- C. $x = - \frac{{\pi }}{3} + k2\pi$
- D. $x = - \frac{{\pi }}{3} + k\pi$
Giải phương trình ta có:
$\begin{matrix} \sqrt 3 \tan x = - 3 \Rightarrow \tan x = - \sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy phương trình có nghiệm $x = - \frac{{\pi }}{3} + k\pi$
Câu 15: Thông hiểu
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}}$ .
- A.
  $2$
- B.
  $7$
- C.
  $0$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{7^{n}}}{\dfrac{2.5^{n} +7^{n}}{7^{n}}}$

$= \lim\dfrac{4.\left( \dfrac{3}{7}ight)^{n} + 7}{2.\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n} + 1} = 7$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Phép chiếu song song biến đường trung bình tam giác thành đường trung bình tam giác ảnh.
- B.
  Phép chiếu song song biến đường trung bình hình thang thành đường trung bình hình thang ảnh.
- C.
  Phép chiếu song song biến đường trung tuyến tam giác thành đường trung tuyến tam giác ảnh.
- D.
  Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh.
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến đường trung tuyến tam giác thành đường thẳng không phải là trung tuyến tam giác ảnh."
Câu 17: Nhận biết
Tìm điều kiện xác định của hàm số

Điều kiện xác định của hàm số $y = \cot \left( {x - \frac{{2\pi }}{5}} ight)$ là:
- A. $x e \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi$
- B. $x e - \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi$
- C. $x e \frac{{2\pi }}{5} + k\pi$
- D. $x e -\frac{{2\pi }}{5} + k\pi$
Ta có: $y = \cot \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight) = \dfrac{{\cos \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight)}}{{\sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight)}}$
Điều kiện xác định của hàm số
$\begin{matrix} \sin \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{5}} ight) e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \dfrac{{2\pi }}{5} e k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x e \dfrac{{2\pi }}{5} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án chưa thích hợp

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $1; 2;3;4;5$ .
- B.
  $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ .
- C.
  $1; - 1; 1;- 1;1$ .
- D.
  $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ .
Dãy $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$ .

Dãy $1; - 1; 1; - 1;1$ là cấp số nhân với công bội $q = - 1$ .

Dãy $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = - 2$ .

Dãy $1;2;3; 4;5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}$
- A.
  $2$
- B.
  $- 1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $0$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x} ight)\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x}} = \frac{0}{1 + 1} = 0$

Câu 20: Nhận biết

Hoàn thành bảng số liệu

Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:

Tuổi	Số học sinh
[0; 9]	20
[10; 19]	21
[20; 29]	23
[30; 39]	16
[40; 49]	11
[50; 59]	10
[60; 69]	7
[70; 79]	3
[80; 89]	1

Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?

Tuổi	Số đại diện tuổi	Số học sinh
[0; 10)	5	20
[10; 20)\|\|[10;20)\|\|[10,20)\|\|[10, 20)	15	21
[20; 30)	25	23
[30; 40)\|\|[30;40)\|\|[30,40)\|\|[30, 40)	35	16
[40; 50)	45	11
[50; 60)\|\|[50;60)\|\|[50,60)\|\|[50, 60)	55	10
[60; 70)\|\|[60;70)\|\|[60, 70)\|\|[60,70)	65	7
[70; 80)	75	3
[80; 90)\|\|[80;90)\|\|[80,90)\|\|[80, 90)	85	1

Đáp án là:

Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:

Tuổi	Số học sinh
[0; 9]	20
[10; 19]	21
[20; 29]	23
[30; 39]	16
[40; 49]	11
[50; 59]	10
[60; 69]	7
[70; 79]	3
[80; 89]	1

Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?

Tuổi	Số đại diện tuổi	Số học sinh
[0; 10)	5	20
[10; 20)\|\|[10;20)\|\|[10,20)\|\|[10, 20)	15	21
[20; 30)	25	23
[30; 40)\|\|[30;40)\|\|[30,40)\|\|[30, 40)	35	16
[40; 50)	45	11
[50; 60)\|\|[50;60)\|\|[50,60)\|\|[50, 60)	55	10
[60; 70)\|\|[60;70)\|\|[60, 70)\|\|[60,70)	65	7
[70; 80)	75	3
[80; 90)\|\|[80;90)\|\|[80,90)\|\|[80, 90)	85	1

Ta có:

Tuổi	Đại diện tuổi	Số học sinh
[0; 10)	5	20
[10; 20)	15	21
[20; 30)	25	23
[30; 40)	35	16
[40; 50)	45	11
[50; 60)	55	10
[60; 70)	65	7
[70; 80)	75	3
[80; 90)	85	1

Câu 21: Thông hiểu

Xác định bảng dữ liệu ghép nhóm đúng

Cho bảng số liệu thống kê sau:

Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần

69	37	39	65	31	33	63
51	44	62	33	47	55	42

Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?

Bảng M	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng M	Số ngày	5	3	2	4
Bảng N	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng N	Số ngày	5	3	4	2
Bảng P	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng P	Số ngày	5	2	3	4
Bảng Q	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng Q	Số ngày	3	5	2	4

A.
Bảng M
B.
Bảng N
C.
Bảng P
D.
Bảng Q

Khoảng biến thiên là 69 – 31 = 38

Ta chia thành các nhóm sau: [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70)

Đếm số giá trị mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm

Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Số ngày	5	3	2	4

Câu 22: Nhận biết
Điều kiện xác định của hàm số lượng giác

Điều kiện xác định của hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{2\cos x - 1}}{{\sin x}}$
- A. $x e k\pi$
- B. $x e \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x e - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x e k2\pi$
Điều kiện xác định của hàm số:
$\begin{matrix} \sin x e 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x e k\pi ,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Vận dụng
Hàm số liên tục

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}}&{{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \\ {\sqrt x }&{{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ hàm số f(x) liên tục tại:
- A. $\forall x \in \mathbb{R}$
- B. $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$
- C.
  $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$
- D.
  $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0;1} ight\}$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 ight)$
Vậy hàm số liên tục tại $x = 0$
Hàm số liên tục khi $x<1$
hàm số liên tục khi $x>1$
Tại x = 1 ta có: $f(1)=1$
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hàm số liên tục tại $x=1$
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Câu 24: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Hãy nêu tất cả các hàm số trong các hàm số $y = sin;y = \cos x;y = \tan x;y = \cot x$ thỏa mãn điều kiện đồng biến và nhận giá trị âm trong khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0 ight)$ ?
- A.
  $y = \tan x$
- B.
  $y = \cos x;y = \cotx$
- C.
  $y = sin;y = \tan x$
- D.
  $y = \cos x;y = \tanx$
Ta có:
Hàm số y = tan x đồng biến và nhận giá trị âm trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0 ight)$
=> $y = \cos x;y = \cot x$ sai
Trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0ight)$ hàm số y = sin x đồng biến và nhận giá trị âm.
Câu 25: Vận dụng
Tìm hình chiếu của điểm P qua phép chiếu song song

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ , tâm của các mặt bên $(ABB'A');(BCC'B');(ACC'A')$ lần lượt là $M,N,P$ . Hình chiếu của điểm $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ , mặt phẳng chiếu $(AB'C)$ là:
- A.
  trung điểm của $AN$
- B.
  trung điểm của $AM$
- C.
  trung điểm của $B'N$
- D.
  trung điểm của $B'M$
Hình vẽ minh họa

Gọi $Q$ là ảnh của $P$ qua phép chiếu song song phương $BC'$ lên mặt phẳng $(AB'C)$ .

Ta có $PQ//BC'$ và $PQ \subset (ABC')$ .

Mà $AN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC')$ và $(AB'C)$ nên $Q \in AN$ .

Lại có $P$ là trung điểm của $AC'$ nên $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ANC'$

=> $P$ là trung điểm của $AN$ .
Câu 26: Nhận biết
Tìm nghiệm của phương trình

Nghiệm của phương trình $\cos x = \cos 3x$ là
- A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = \dfrac{{k\pi }}{2}} \end{array}} ight.$
- B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = \dfrac{{k\pi }}{3}} \end{array}} ight.$
- C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \dfrac{{k\pi }}{4}} \end{array}} ight.$
- D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = \dfrac{{k\pi }}{4}} \end{array}} ight.$
$\begin{matrix} \cos x = \cos 3x \hfill \\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x = x + k2\pi } \\ {3x = - x + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = \dfrac{{k\pi }}{2}} \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình vẽ:

Trên đường tròn lượng giác, số đo của góc lượng giác $(OA;OB')$ là:
- A.
  $- \frac{\pi}{4}$
- B.
  $- \frac{\pi}{2}$
- C.
  $\frac{\pi}{4}$
- D.
  $\frac{\pi}{2}$
Từ hình vẽ ta có: $(OA;OB') = - \frac{\pi}{2}$
Câu 28: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Đáp án là:

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Phần giải chi tiết

Tập xác định $\mathcal{D} = \mathbb{R}$ .

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;2),(2; + \infty)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(2) = m \\ \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3. \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x) \Leftrightarrow m = 3$ .
Câu 29: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Nhóm số liệu ghép nhóm có dạng $\lbrack m;n)$ . Khi đó giá trị đại diện của nhóm tính bằng công thức nào sau đây?
- A.
  $\frac{m +n}{2}$
- B.
  $\frac{n - m}{2}$
- C.
  $\frac{m.n}{2}$
- D.
  $m - n$
Giá trị đại diện của một nhóm số liệu là trung bình cộng giá trị hai đầu mút của nhóm số liệu.
Công thức tính giá trị đại diện của nhóm $\lbrack m;n)$ là $\frac{m + n}{2}$
Câu 30: Nhận biết
Tính giá trị?

Giá trị của $\lim\frac{1}{n^{k}}$ với $k \in \mathbb{N^*}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  5
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \sqrt[k]{\frac{1}{a}}$

Suy ra:

$\frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\ \forall n > n_{a}$

Vậy $\lim\frac{1}{n^{k}} = 0$ .
Câu 31: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chúng chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì chúng không chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” sai vì chúng có thể cắt nhau.

Mệnh đề “Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chúng chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.

Mệnh đề “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” sai vì chúng có thể song song nhau.

Vậy mệnh đề đúng: “Hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì chúng không chéo nhau.”
Câu 32: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác'' ?
- A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
- B. Mỗi đường tròn có bán kính là một đường tròn lượng giác.
- C. Mỗi đường tròn có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
- D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Mỗi đường tròn định hướng có bán kính $R =1$ , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

Câu 33: Vận dụng

Tìm trung vị của mẫu số liệu

Chiều cao của 50 học sinh (chính xác đến cm) và nhóm được các kết quả như sau:

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[150; 154]	5
[155; 159]	2
[160; 164]	6
[165; 169]	8
[170; 174]	9
[175; 179]	11
[180; 184]	6
[185; 189]	3

Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A.
$177,5$
B.
$169,5$
C.
$171,7$
D.
$170,6$

Ta có:

Chiều cao (cm)	Số học sinh	Tần số tích lũy
(149,5; 154,5]	5	5
(154,5; 159,5]	2	7
(159,5; 164,5]	6	13
(164,5; 169,5]	8	21
(169,5; 174,5]	9	30
(174,5; 179,5]	11	41
(179,5; 184,5]	6	47
(184,5; 189,5]	3	50
Tổng	N = 50

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} =25$

=> Nhóm chứa trung vị là $(169,5; 174,5]$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 169,5,\dfrac{N}{2} = 25 \\m = 21,f = 9,d = 174,5 - 169,5 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Trung vị của mẫu số liệu là:

$M_{e} = L + \dfrac{\dfrac{N}{2} -m}{f}.d$

$\Rightarrow M_{e} = 169,5 + \frac{25 -21}{9}.5 \approx 171,7$

Câu 34: Thông hiểu
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $y = \sin 2x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
- A. $\left( {0;\frac{\pi }{2}} ight)$
- B. $\left( {0;\pi } ight)$
- C. $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } ight)$
- D. $\left( {\frac{{7\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{2}} ight)$
Hàm số $y = \sin 2x$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi$
Do hàm số $y=\sin x$ nghịch biến trên $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } ight)$
=> Hàm số $y = \sin{2x}$ nghịch biến khi
$\begin{matrix} \dfrac{\pi }{2} + k2\pi < 2x < \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{\pi }{4} + k\pi < x < \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đáp án đúng là $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } ight)$
Câu 35: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 36: Nhận biết
Tìm câu sai

Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.

Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.
Câu 37: Vận dụng cao
Tính lim

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2;u_{2} = 4 \\ u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_{n} + 5;(n \geq 1) \\ \end{matrix} ight.$ . Tính $\lim_{n ightarrow\infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}}$ .
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ \end{matrix}$

Đặt $\Rightarrow v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} \Rightarrow v_{n + 1} = v_{n} + 5;(n \geq 1)$

Từ đó:

$\begin{matrix} {u_2} - {u_1} = 2 \hfill \\ {u_3} - {u_2} = 7 \hfill \\ {u_4} - {u_3} = 12 \hfill \\ ... \hfill \\ {u_{n + 1}} - {u_n} = 5n - 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Khi đó:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 + 7 + 12 + ... + \left( {5n - 3} ight) \hfill \\ = \dfrac{{n\left[ {2 + \left( {5n - 3} ight)} ight]}}{2} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Từ đó ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + {u_1} \hfill \\ = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + 2 = \dfrac{{5{n^2} - n + 4}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy $u_{n} = \frac{5n^{2} - 11n + 10}{2}$

=> $\lim_{n ightarrow \infty}\frac{u_{n}}{n^{2}} = \lim_{n ightarrow \infty}\left( \frac{5n^{2} - 11n + 10}{2} ight) = \frac{5}{2}$
Câu 38: Thông hiểu
Tìm công thức của số hạng?

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{n} = - 2 \\ u_{n + 1} = - 2 - \frac{1}{u_{n}} \\ \end{matrix} ight.$ . Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?
- A.
  $u_{n} = - \frac{n - 1}{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$
- C.
  $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$
- D.
  $u_{n} = - \frac{n}{n + 1}$
Ta có $u_{1} = - \frac{3}{2};u_{2} = - \frac{4}{3};u_{3} = - \frac{5}{4};\ldots$ suy ra được $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$ .
Câu 39: Thông hiểu
Xác định các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng cho trước

Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I\in AD,J \in BC$ sao cho $AI = 2DI;BJ= 2CJ$ . Giả sử $(\beta)$ là mặt phẳng qua $IJ$ song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình tam giác
- D.
  Hình chữ nhật
Giả sử $(\beta)$ cắt các mặt của tứ diện $(ABC)$ và $(ABD)$ theo hai giao tuyến $JH$ và $IK$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}(\beta) \cap (ABC) = JH \\(\beta) \cap (ABD) = IK \\(ABC) \cap (ABD) = AB \\(\beta)//AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow JH//IK//AB$
Theo định lí Ta – lét ta có:
$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{HJ}{AB} = \dfrac{CJ}{CB} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow HJ =\dfrac{1}{3}AB \\\dfrac{IK}{AB} = \dfrac{DJ}{DA} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow KI =\dfrac{1}{3}AB \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow HJ = KI$
=> $HIKJ$ là hình bình hành
Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng $(\beta)$ là hình bình hành $HIKJ$ .
Câu 40: Nhận biết
Điều kiện để dãy số lập thành CSC

Cho dãy số -7; h; 11; k. Với giá trị nào của h, k thì dãy số đã cho lập thành một cấp số cộng?
- A. h = 1; k = 21
- B. h = 2; k = 20
- C. h = 3; k = -19
- D. h = 4; k = 18
Bốn số hạng 7; h; 11; k theo thứ tự là u₁; u₂; u₃; u₄ lập thành một cấp số cộng nên
$\begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_3} = {u_3} - {u_2}} \\ {{u_4} - {u_3} = {u_2} - {u_1}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 11 = 11 - h} \\ {k - 11 = h + 7} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h + k = 22} \\ {h - k = - 18} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h = 2} \\ {k = 20} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 41: Vận dụng
Tìm hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ . Gọi $A_{1}$ là trung điểm của $SA$ , $B_{1} \in SB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
- A.
  Tam giác
- B.
  Tứ giác
- C.
  Tam giác hoặc tứ giác
- D.
  Tứ giác hoặc ngũ giác
Trường hợp 1:

Hình vẽ minh hoạ

Nếu $B_{1} eq S$ . Gọi $O = AC \cap BD,\ I = SO \cap A_{1}C$

Nếu $P = IB_{1} \cap SD$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tứ giác $A_{1}B_{1}CP$

Nếu $P = IB \cap BD$ . Gọi $Q = CP \cap AD$

Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tứ giác $A_{1}B_{1}CQ$

Trường hợp 2:

Hình vẽ minh hoạ

Nếu $B_{1} \equiv S$ . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $\left( A_{1}B_{1}C ight)$ với hình chóp là tam giác $SAC$ .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.
Câu 42: Thông hiểu
Chọn cách xác định điểm E

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N,K$ lần lượt là trung điểm của $CD,CB,SA$ . Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $MN$ . Giao điểm của $SO$ với $(MNK)$ là điểm $E$ . Hãy chọn cách xác định điểm $E$ đúng nhất trong bốn phương án sau.
- A.
  $E$ là giao điểm của $KN$ và $SO$
- B.
  $E$ là giao điểm của $KH$ và $SO$
- C.
  $E$ là giao điểm của $MN$ và $SO$
- D.
  $E$ là giao điểm của $KM$ và $SO$
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $E = KH \cap SO$ .

Mà $HK \subset (MNK)$ nên $E = SO \cap (MNK)$
Câu 43: Vận dụng
Tính số tế bào được tạo thành

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có $10^{22}$ tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
- A.
  $64.10^{22}$
- B.
  $32.10^{22}$
- C.
  $128.10^{22}$
- D.
  $16.10^{22}$
Ban đầu có $10^{22}$ tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với $u_{1} = 10^{22}$ và công bội $q = 2$ .

Theo bài ra ta có:

Cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 2 giờ có 6 lần phân chia tế bào.

Ta có: $u_{7}$ là số tế bào nhận được sau 2 giờ.

Vậy số tế bào nhận được sau 2 giờ là $u_{7} = u_{1}.q^{6} = 10^{22}.2^{6} = 64.10^{22}$
Câu 44: Vận dụng cao
Chọn câu đúng về dãy số?

Cho dãy số (u_n), biết $\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{2} \\ u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}},n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (u_n) ?
- A.
  Dãy số (u_n) giảm và bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) giảm và không bị chặn
- C.
  Dãy số (u_n) tăng và bị chặn
- D.
  Dãy số (u_n) tăng và không bị chặn
Ta có $u_{1} = \sqrt{2};u_{2} = \sqrt{2 +\sqrt{2}};u_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}};$

$\ldots;u_{n} = \sqrt{2+ \sqrt{2} + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}$

Do u_n + 1 − u_n > 0 nên (u_n) là dãy số tăng.

Lại có $\sqrt{2} < u_{n} \leq 2$ suy ra dãy số bị chặn.
Câu 45: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Trung điểm các cạnh $AB,AC$ lần lượt là các điểm $M,N$ . Giả sử $(MND) \cap (BCD) = d$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $d//(ADC)$
- B.
  $d//(ABD)$
- C.
  $d//(ABC)$
- D.
  $d//AD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (DMN) \supset MN \\ (DBC) \supset BC \\ MN//BC \\ \end{matrix} ight.$

=> $d$ là đường thẳng song song với $MN$ và $BC$ .

=> $d$ song song với $(ABC)$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

35 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Xem thêm

Chiều cao (cm)	Số học sinh
(120; 125]	3
(125; 130]	5
(130; 135]	11
(135; 140]	6
(140; 145]	5

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4