VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 2: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a \in (0;2025)$ để hàm số gián đoạn tại $x = 1$

Đáp án: 2024

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a \in (0;2025)$ để hàm số gián đoạn tại $x = 1$

Đáp án: 2024

TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có:

$f( - 1) = 2a + 4$

$\lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}(x - 3) = - 4$

Để hàm số gián đoạn tại $x = - 1$ thì $\lim_{x ightarrow - 1}f(x) eq f(1)$

$\Leftrightarrow 2a - 4 eq - 4 \Leftrightarrow a eq - 4$

Vậy có $2024$ giá trị nguyên của $a \in (0;2025)$ để hàm số gián đoạn tại $x = 1$
Câu 3: Vận dụng cao
Tính giá trị số hạng đã cho

Cho dãy số $=\left( x_{n} ight)$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} = 1$ ; $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)}$ với $n = 1;2;3;...$ số hạng $x_{2018}$ bằng:
- A.
  $x_{2018} =\frac{4036}{2018}$
- B.
  $x_{2018} =\frac{4035}{2018}$
- C.
  $x_{2018} =\frac{4037}{2018}$
- D.
  $x_{2018} =\frac{4034}{2018}$
Ta có:
$x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{n(n + 1)} =\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
$\Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{n -1}\left( x_{k + 1} - x_{k} ight) = \sum_{k = 1}^{n - 1}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} ight)$
$\Leftrightarrow x_{n} - x_{1} = 1 -\frac{1}{n}$
$\Leftrightarrow x_{n} = \frac{2n -1}{n}$
Vậy $x_{2018} =\frac{4035}{2018}$
Câu 4: Vận dụng
Tính số nghiệm phương trình

Phương trình $\sin2x + 3\cos x = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0;2018)$ ?
- A.
  $642$
- B.
  $643$
- C.
  $641$
- D.
  $1$
Ta có:

$\sin2x + 3\cos x = 0$

$\Rightarrow 2\sin x\cos x + 3\cos x =0$

$\Rightarrow \cos x(2\sin x + 3) =0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\cos x = 0 \\2\cos x + 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight) \\\sin x = - \dfrac{3}{2}(L) \\\end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có: $x \in (0;2018)$

$\Rightarrow 0 < \frac{\pi}{2} + k\pi < 2018$

$\Rightarrow - \frac{1}{2} < k < 641,849...$

$\Rightarrow k \in \lbrack 0;641brack$

Vậy phương trình có 642 nghiệm.
Câu 5: Vận dụng
Tìm hình chiếu của tam giác C'MN

Cho hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $O,O'$ lần lượt là tâm của $ABCD,A'B'C'D'$ . Trung điểm của $AB,CD$ lần lượt là $M,N$ . Xác định hình chiếu của tam giác $C'MN$ qua phép chiếu song song phương $AO'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ .
- A.
  Đoạn thẳng $MN$
- B.
  Điểm $O$
- C.
  Tam giác $CMN$
- D.
  Đoạn thẳng $DB$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO = C'O' \\ C'O'//AO \\ \end{matrix} ight.$ nên tứ giác $O'C'OA$ là hình bình hành.

$\Rightarrow C'O//AO'$

Do đó hình chiếu của điểm $O'$ qua phép chiếu song song theo phương $O'A$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $O$ .

Mặt khác $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABCD)$ nên hình chiếu của $M,N$ qua phép chiếu song song $O'A$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ lần lượt là điểm $M$ và $N$ .

Vậy qua phép chiếu song song theo phương $AO'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ thì hình chiếu của tam giác $C'MN$ là đoạn thẳng $MN$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Hàm số liên tục trên $( - \infty;4)$
- B.
  Hàm số liên tục trên $(1;4)$
- C.
  Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  Hàm số liên tục trên $(1; + \infty)$
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên $(1;4)$
Câu 7: Nhận biết
Xác định giao tuyến

Cho hình chóp S.MNP Q có đáy MNP Q là hình chữ nhật. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SMN) và (SPQ) song song với đường thẳng nào sau đây?
- A. MN
- B. NQ
- C. MP
- D. SP
Hình vẽ minh họa
Xét (SMN) và (SPQ) có:
S là điểm chung
$MN // P Q$
Mà $MN ⊂ (SMN), PQ ⊂ (SPQ)$
=> $(SMN) ∩ (SPQ) = d$ với d là đường thẳng đi qua S và song song với $MN, PQ$
Câu 8: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)$

Trong $(ABCD)$ có $I = EF \cap CD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SI = (SEF) \cap (SCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)$

$EF//AC$ do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

$\left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC$

c) Chọn $(SBC)$ chứa $FK$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$

$(SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC$

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Câu 9: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.

a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai

b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai

c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $S \in (SEF) \cap (SCD)\ \ (1)$

Trong $(ABCD)$ có $I = EF \cap CD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in EF \subset (EFS) \\ I \in CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I \in (EFS) \cap (SCD)\ \ \ (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SI = (SEF) \cap (SCD)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} K \in (EFK) \\ K \in SC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow K \in (EFK) \cap (SAC)$

$EF//AC$ do EF là đường trung bình trong tam giác ABC

$\left\{ \begin{matrix} EF \subset (EFK) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (EFK)\bigcap(SAC) = Kx//EF//AC$

c) Chọn $(SBC)$ chứa $FK$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SBC) \cap (SAD) \\ BC//AD \\ BC \subset (SBC);AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$

$(SBC) \cap (SAD) = Sy//AD//BC$

d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Câu 10: Nhận biết
Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\cos x -1}{{\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} ight)}}$
- A. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- B. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- C. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( {1 + 2k} ight)\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
- D. ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( {1 + 2k} ight)\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Hàm số xác định $\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) e 0$
$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{2} e k\pi \Leftrightarrow x e \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}.$
Vậy tập xác định ${\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}$
Câu 11: Vận dụng cao
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos x (như hình vẽ). Biết rằng $AB = \frac{2\pi}{3}$ . Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\pi^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2\pi}{3}$
- C.
  $\frac{\pi}{3}$
- D.
  $\frac{2\pi^{2}}{3}$
Gọi $C(a;cosa) \Rightarrow D\left( a +\frac{2\pi}{3};cos\left( a + \frac{2\pi}{3} ight) ight)$
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD
=> $y_{C} = y_{D} \Rightarrow \cos a =\cos\left( a + \frac{2\pi}{3} ight)$
=> $a = - a - \frac{2\pi}{3}\Rightarrow a = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow AD = \left| \cos\left( -\frac{\pi}{3} ight) ight| = \frac{1}{2}$
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng $AB.BC =\frac{\pi}{3}$
Câu 12: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a;b > 0)$ . Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a;b > 0)$ . Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Ta có

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}x\left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} + 2x} - x - 1 ight) + \left( x + 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + (x + 1)}$ $+ \frac{3x^{2} + x}{(x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{x^{3} + 3x} + \sqrt[3]{\left( x^{3} + 3x ight)^{2}}}brack$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)}$ $+ \frac{3 + \frac{1}{x}}{\left( 1 + \frac{1}{x} ight)^{2} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt[3]{\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight)^{2}}}brack$

$= - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ .

Suy ra $a + b = 3$ .
Câu 13: Thông hiểu
Số nguyên dương nhỏ nhất?

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $\sqrt{u_{n} - 1} \geq 2039190$ là?
- A.
  n = 2017
- B.
  n = 2019
- C.
  n = 2020
- D.
  n = 2018
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{3} \\ \end{matrix} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{3} \\ \end{matrix} \\ \ldots \\ \end{matrix} \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3} \\ \end{matrix} ight.$

= > u_n = 1 + 1³ + 2³ + … + (n−1)³

Ta lại có 1³ + 2³ + … + (n−1)³

$= (1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1)^{2} = \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}$

Suy ra $u_{n} = 1 + \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}$

Theo giả thiết ta có $\sqrt{u_{n} - 1} \geq2039190 \Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{2} \geq 2039190$

$\Leftrightarrow n(n - 1) \geq 4078380 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}n \geq 2020 \ \leq - 2019 \\\end{matrix} ight.$

Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.
Câu 14: Thông hiểu
Xác định số kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB;SCD$ . Cho các khẳng định sau:

i) $GG'//(SBC)$

ii) $GG'//(SAD)$

iii) $GG'//(SAC)$

iv) $GG'//(ABD)$

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Hình vẽ minh họa

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên $\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{2}{3} \Rightarrow GG'//MN$

Mà $MN \subset (ABCD) \Rightarrow GG'//(ABCD)$

Ta có: $MN//AD//BC \Rightarrow GG'//AD//BC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} BC \subset (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} GG'//(SBC) \\ GG'//(SAD) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 3 khẳng định đúng.
Câu 15: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Cho ${u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}$ . Biết $\lim u_{n} = \frac{a}{b}$ (với $a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b }$ tối giản). Khi đó:

a) $a + b = 8$ Đúng||Sai

b) $a - b = - 7$ Sai||Đúng

c) Bộ ba số $a;b;13$ tạo thành một cấp số cộng có công sai $d = 7$ Đúng||Sai

d) Bộ ba số $a;b;49$ tạo thành một cấp số nhân có công bội $q = 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho ${u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}$ . Biết $\lim u_{n} = \frac{a}{b}$ (với $a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b }$ tối giản). Khi đó:

a) $a + b = 8$ Đúng||Sai

b) $a - b = - 7$ Sai||Đúng

c) Bộ ba số $a;b;13$ tạo thành một cấp số cộng có công sai $d = 7$ Đúng||Sai

d) Bộ ba số $a;b;49$ tạo thành một cấp số nhân có công bội $q = 7$ Đúng||Sai

Ta có

$\lim u_{n} = \lim\dfrac{7^{n} + 2^{2n -1} + 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}$

$= \lim\dfrac{1 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{7} ight)^{n} + 3\left( \dfrac{3}{7} ight)^{n}}{7 +\dfrac{1}{5}\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n}} = \dfrac{1}{7}$ .

Do đó suy ra $a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đ

d) Đúng
Câu 16: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1}=-3$ và $d=\frac{1}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}(n+1)$
- B.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}n-1$
- C.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}(n-1)$
- D.
  $u_n=-3+\frac{1}{4}(n-1)$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 3 + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Thông hiểu
Giải phương trình lượng giác

Phương trình $\sin x = \sin \frac{\pi }{3}$ có nghiệm là:
- A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight.$
- B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight.$
- C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = -\dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight.$
- D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x =- \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x =- \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight.$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} \sin x = \sin \dfrac{\pi }{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Vận dụng
Xác định hàm số lẻ

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
- A.
  $y = 1 - sin^{2}x$
- B.
  $y = \left| \cot x ight|.sin^{2}x$
- C.
  $y = x^{2}tan2x - \cot x$
- D.
  $y = 1 + \left| \cot x + \tan x ight|$
Kiểm tra được $y = 1 - sin^{2}x$ ; $y = \left| \cot x ight|.sin^{2}x$ ; $y = 1 + \left| \cot x + \tan x ight|$ là các hàm số chẵn.

$y = x^{2}tan2x - \cot x$ là hàm số lẻ.
Câu 19: Nhận biết
Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu

Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu dưới đây:
Nhóm dữ liệu
Tần số
(0; 15]
4
(15; 30]
12
(30; 45]
17
(45; 60]
7
- A.
  (15; 30]
- B.
  (0; 15]
- C.
  (45; 60]
- D.
  (30; 45]
Nhóm chứa mốt là: (30; 45] vì có tần số cao nhất.
Câu 20: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  $AB$ và $CD$ là hai đường thẳng chéo nhau.
- B.
  $AC$ và $BD$ là hai đường thẳng chéo nhau.
- C.
  $SA$ và $CD$ là hai đường thẳng chéo nhau.
- D.
  $SA$ và $AB$ là hai đường thẳng chéo nhau.
Hình vẽ minh họa

Khẳng định đúng là “ $SA$ và $CD$ là hai đường thẳng chéo nhau.”
Câu 21: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\left( u_{n} ight)$ không phải là cấp số nhân.
- B.
  $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân có $u_{1} = \frac{15}{2};q =5$
- C.
  $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân có $u_{1} = \frac{3}{2};q =5$
- D.
  $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân có $u_{1} = 3;q =\frac{5}{2}$
Ta có: $u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}$ là cấp số nhân có $u_{1} = \frac{15}{2};q =5$ .
Câu 22: Thông hiểu
Tính chiều cao trung bình

Bảng dữ liệu dưới đây ghi lại chiều cao (h) của 40 học sinh.
Chiều cao (h)
Số học sinh
130 < h ≤ 140
2
140 < h ≤ 150
4
150 < h ≤ 160
9
160 < h ≤ 170
13
170 < h ≤ 180
8
180 < h ≤ 190
3
190 < h ≤ 200
1
Chiều cao trung bình của học sinh trong bảng trên:
- A.
  $\overline{x} =161,8$
- B.
  $\overline{x} = 160$
- C.
  $\overline{x} =163,5$
- D.
  $\overline{x} =166,2$
Ta có:
Chiều cao đại diện (h)
Số học sinh
Tích các giá trị
135
2
270
145
4
580
155
9
1395
165
13
2145
175
8
1400
185
3
555
195
1
195
Tổng
N = 40
6540
Chiều cao trung bình là:
$\overline{x} = \frac{6540}{40} =163,5$
Câu 23: Vận dụng
Tính độ dài đoạn thẳng G1G2

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $G_{1};G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $G_{1}G_{2}$ bằng:
- A.
  $\frac{2a}{3}$
- B.
  $\frac{a}{3}$
- C.
  $\frac{a}{4}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ .

Trong tam giác $IAB$ ta có:

$\frac{IG_{1}}{IB} = \frac{IG_{2}}{IA} = \frac{1}{3}$ (theo tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{G_{1}G_{2}}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1}G_{2} = \frac{a}{3}$
Câu 24: Nhận biết
Tính chu kì hàm số

Chu kì của hàm số $y = 3\sin2x$ là số nào sau đây?
- A.
  $0$
- B.
  $2\pi$
- C.
  $4\pi$
- D.
  $\pi$
Chu kì của hàm số là $T = \frac{2\pi}{2} =\pi$
Câu 25: Nhận biết
Có phải là 1 nghiệm

Hỏi $x = \frac{{7\pi }}{3}$ là một nghiệm của phương trình nào sau đây?
- A. $2\sin x - \sqrt 3 = 0$
- B. $2\sin x + \sqrt 3 = 0$
- C. $2\cos x - \sqrt 3 = 0$
- D. $2\cos x + \sqrt 3 = 0$
Với $x = \frac{{7\pi }}{3}$ , suy ra $\left\{ \begin{gathered} \sin x = \sin \frac{{7\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \cos x = \cos \frac{{7\pi }}{3} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\sin x - \sqrt 3 = 0 \hfill \\ 2\cos x - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 26: Vận dụng
Chọn kết quả đúng

Tính tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {1111...11}_n$ ?
- A.
  $S = n + \frac{10}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)$
- B.
  $S = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} - n ight)$
- C.
  $S = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} + n ight)$
- D.
  $S = \frac{10}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} + n ight)$
Xét dãy số $\left( U_{n} ight)$ là cấp số nhân với $u_{1} = 1;q = 10$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{1}{9}.\left( 10^{n} - 1 ight)$

$\Rightarrow S = S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}$

$= \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)} = \frac{1}{9}\left( \sum_{k = 1}^{n}{10^{n} - n} ight)$

$= \frac{1}{9}\left( 10.\frac{10^{n} - 1}{9} - n ight) = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 1}{9} - n ight)$
Câu 27: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức H

Tính $H = \lim_{xightarrow 2}\frac{2 - x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
- A.
  $H = 6$
- B.
  $H = - 4$
- C.
  $H = 4$
- D.
  $H = - 6$
Ta có:
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2 -x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x + 7} - 3 ight)\left(\sqrt{x + 7} + 3 ight)}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{x + 7 - 9}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{- (2 - x)} = - 6$
Câu 28: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Nhóm số liệu ghép nhóm có dạng $\lbrack m;n)$ . Khi đó giá trị đại diện của nhóm tính bằng công thức nào sau đây?
- A.
  $\frac{m +n}{2}$
- B.
  $\frac{n - m}{2}$
- C.
  $\frac{m.n}{2}$
- D.
  $m - n$
Giá trị đại diện của một nhóm số liệu là trung bình cộng giá trị hai đầu mút của nhóm số liệu.
Công thức tính giá trị đại diện của nhóm $\lbrack m;n)$ là $\frac{m + n}{2}$
Câu 29: Thông hiểu
Tính giá trị?

Giá trị của $A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  1
Ta có:

$A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}$
Câu 30: Thông hiểu
Giải phương trình

Xác định nghiệm của phương trình $- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:

$- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$

$\Leftrightarrow \cos\left( 180^{0} - 2x ight) = \cos\left( x - 30^{0} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 30^{0} = 180^{0} - 2x + k360^{0} \\ x - 30^{0} = - 180^{0} + 2x + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} - k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 31: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Góc $\frac{2\pi}{5}$ đổi sang độ bằng bao nhiêu?
- A.
  $72^{0}$ .
- B.
  $72$ .
- C.
  $144^{0}$ .
- D.
  $144$ .
Ta có: $\frac{2\pi}{5} = \frac{2\pi}{5}\left( \frac{180}{\pi} ight)^{0} = 72^{0}$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tìm vị trí số hạng đã cho

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 2;d = 9$ . Khi đó số $2018$ là số hạng thứ mấy trong dãy?
- A.
  $223$
- B.
  $225$
- C.
  $224$
- D.
  $226$
Theo bài ra ta có:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow 2018 = 2 + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow n = 225$
Câu 33: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {m{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ chứa $x = 2$

Theo giả thiết ta có:

$m = f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x)$

$\Rightarrow m = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3$
Câu 34: Nhận biết
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}}$ bằng
- A.
  -4
- B.
  -1
- C.
  4
- D.
  $+\infty$
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\left( {x - 5} ight)\left( {x + 3} ight)}}{{2\left( {x - 5} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{x + 3}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 35: Vận dụng

Tìm trung vị của mẫu số liệu

Chiều cao của 50 học sinh (chính xác đến cm) và nhóm được các kết quả như sau:

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[150; 154]	5
[155; 159]	2
[160; 164]	6
[165; 169]	8
[170; 174]	9
[175; 179]	11
[180; 184]	6
[185; 189]	3

Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A.
$177,5$
B.
$169,5$
C.
$171,7$
D.
$170,6$

Ta có:

Chiều cao (cm)	Số học sinh	Tần số tích lũy
(149,5; 154,5]	5	5
(154,5; 159,5]	2	7
(159,5; 164,5]	6	13
(164,5; 169,5]	8	21
(169,5; 174,5]	9	30
(174,5; 179,5]	11	41
(179,5; 184,5]	6	47
(184,5; 189,5]	3	50
Tổng	N = 50

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} =25$

=> Nhóm chứa trung vị là $(169,5; 174,5]$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 169,5,\dfrac{N}{2} = 25 \\m = 21,f = 9,d = 174,5 - 169,5 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Trung vị của mẫu số liệu là:

$M_{e} = L + \dfrac{\dfrac{N}{2} -m}{f}.d$

$\Rightarrow M_{e} = 169,5 + \frac{25 -21}{9}.5 \approx 171,7$

Câu 36: Nhận biết
Tìm đáp án đúng

Tính $\cos\alpha$ biết $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ và $\sin\alpha = \frac{1}{4}$ .
- A.
  $\cos\alpha = \frac{15}{16}$ .
- B.
  $\cos\alpha = - \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- D.
  $\cos\alpha = \frac{3}{4}$ .
Ta có $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$

$\Rightarrow cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha = 1 - \left( \frac{1}{4} ight)^{2} = \frac{15}{16}$ .

Mà $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ nên $\cos\alpha > 0$ .

Vậy $\cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
Câu 37: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tìm hiểu thời gian tập thể dục mỗi ngày của học sinh (đơn vị: phút) ta thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Thời gian (phút)
[0; 5)
[5; 10)
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
Số học sinh
8
16
4
7
12
Hỏi số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày chiếm bao nhiêu phần trăm?
- A.
  $45\%$
- B.
  $49\%$
- C.
  $51\%$
- D.
  $53\%$
Số học sinh tập thể dục ít nhất 10 phút mỗi ngày là:
$4 + 7 + 12 = 23$ (học sinh) chiếm $\frac{23.100\%}{47} \approx49\%$
Câu 38: Thông hiểu
Tính giá trị?

Giá trị của $C =\lim\frac{\sqrt[4]{3n^{3} + 1} - n}{\sqrt{2n^{4} + 3n + 1} + n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Chia cả tử và mẫu cho $n^{2}$ ta có được.

$C = \lim\frac{\sqrt[4]{\dfrac{3}{n^{5}} +\dfrac{1}{n^{8}}} - \dfrac{1}{n}}{\sqrt{2 + \dfrac{3}{n^{3}} +\dfrac{1}{n^{4}}} + \dfrac{1}{n}} = 0$
Câu 39: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
- B.
  Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Câu 40: Nhận biết
Tìm công sai của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ biết $u_{n} = 3 - 5n$ . Tìm công sai của cấp số cộng?
- A.
  $d = 3$
- B.
  $d = - 5$
- C.
  $d = - 3$
- D.
  $d = 5$
Theo giả thiết ta có:

$u_{n + 1} = - 2 - 5n$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1$

Vậy $d = - 5$
Câu 41: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị của x

Tìm tất cả các giá trị của x để ba số $2x - 1;x;2x + 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
- A.
  $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
- B.
  $x = \frac{1}{3}$
- C.
  $x = \pm \sqrt{3}$
- D.
  $x = \pm 3$
Ta có:

Ba số $2x - 1;x;2x + 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

$\Rightarrow x^{2} = (2x - 1).(2x + 1)$

$\Rightarrow x^{2} = 4x^{2} - 1$

$\Rightarrow 3x^{2} = 1$

$\Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
Câu 42: Nhận biết
Tính số đường thẳng qua một điểm song song với mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P)$ và điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ . Số đường thẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$ là:
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  Vô số
Có vô số đường thẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$ với điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .
Câu 43: Thông hiểu
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 44: Vận dụng cao
Tính giới hạn

Tính $\lim_{xightarrow 0}\dfrac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) -1}{x}$ .
- A.
  $2018.2019$
- B.
  $2019$
- C.
  $2018$
- D.
  $1009.2019$
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với $\forall n \geq 1;n\mathbb{\in N}$ thì

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + nx) - 1}{x} = \frac{n(n + 1)}{2}(*)$

Với $n = 1$ thì $\left\{ \begin{gathered} VT = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1 = 1 \hfill \\ VP = \dfrac{{1\left( {1 + 1} ight)}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow VT = VP$ nên (*) đúng với $n = 1$

Giả sử (*) đúng với $n = k,k \geq 1;k\mathbb{\in N}$ nghĩa là:

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx) - 1}{x} = \frac{k(k + 1)}{2}$

Xét $n = k + 1$ ta có:

$VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx + x) - 1}{x}$

$VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx) - 1}{x}$

$+ \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(x + kx) - 1}{x}$

$VT = \frac{k(k + 1)}{2} + \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + k) ightbrack$

$VT = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = VP$

Vậy (*) đúng với $n = k + 1;k \geq 1;k\mathbb{\in N}$

Bây giờ ta áp dụng với $n = 2018$ thì

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) - 1}{x}$

$= \frac{2018.(2018 + 1)}{2} = 1009.2019$
Câu 45: Nhận biết
Tìm lim?

Giá trị của $\lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn $n_{M} > \left( \frac{1}{a} + 3 ight)^{2} - 1$

Ta có:

$\frac{n - 2}{\sqrt{1 + n}} = \sqrt{n + 1} - \frac{3}{\sqrt{n + 1}} > \sqrt{1 + n} - 3 > M$ với mọi $n > n_{M}$

Suy ra $\lim\frac{2 - n}{\sqrt{n + 1}} = - \infty$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

50 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm

Nhóm dữ liệu	Tần số
(0; 15]	4
(15; 30]	12
(30; 45]	17
(45; 60]	7

Chiều cao (h)	Số học sinh
130 < h ≤ 140	2
140 < h ≤ 150	4
150 < h ≤ 160	9
160 < h ≤ 170	13
170 < h ≤ 180	8
180 < h ≤ 190	3
190 < h ≤ 200	1

Chiều cao đại diện (h)	Số học sinh	Tích các giá trị
135	2	270
145	4	580
155	9	1395
165	13	2145
175	8	1400
185	3	555
195	1	195
Tổng	N = 40	6540

Thời gian (phút)	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)
Số học sinh	8	16	4	7	12