Phương trình lượng giác Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Phương trình lượng giác bao gồm định nghĩa và cách giải phương trình lượng giác cơ bản và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Khái niệm phương trình tương đương
- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu phương trình f(x) = 0 tương đương với phương trình g(x) = 0 thì ta viết 
\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0\).
Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.
Có các phép biến đổi tương đương như sau:
a) Cộng hoặc trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)\)
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).h\left( x \right) = g\left( x \right).h\left( x \right)\) với \(h\left( x \right) \ne 0\)
2. Phương trình sin x = a (1)
+ Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu \(\left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a\)
\((1) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \beta + k2\pi } \\
{x = \pi - \beta + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \(\beta = \arcsin a\)
|
Một số phương trình đặc biệt
|
Mở rộng phương trình
|
|
|
\(\begin{matrix}
\sin f(x) = \sin g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi } \\
{f(x) = \pi - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình \({\text{sinx}} = \sin \frac{\pi }{3}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\operatorname{s} {\text{inx}} = \sin \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)
3. Phương trình cos x = a (2)
+ Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu \(\left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {0,\pi } \right],\cos \beta = a\)
\((2) \Rightarrow \cos x = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \beta + k2\pi } \\
{x = - \beta + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \(\beta = \arccos a\)
|
Một số phương trình đặc biệt
|
Mở rộng phương trình ta có |
|
|
\(\begin{matrix}
\cos f(x) = \cos g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi } \\
{f(x) = - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình: \(3\operatorname{cosx} + \sqrt 3 \operatorname{s} {\text{inx}} = 1\)
Hướng dẫn giải
\(3\operatorname{cosx} + \sqrt 3 \operatorname{s} {\text{inx}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 \cos x + \sin {\text{x = }}\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{\pi }{6} + {\text{arccos}}\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} + k2\pi } \\
{x = \dfrac{\pi }{6} - {\text{arccos}}\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }} + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.\)
4. Phương trình tan x = a (3)
+ Với \(\forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\tan \beta = a\)
\(\begin{matrix}
(3) \Leftrightarrow \tan x = \tan \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\beta = \arctan a \hfill \\
\end{matrix}\)
|
Một số phương trình đặc biệt |
Mở rộng phương trình
|
|
|
\(\begin{matrix}
\tan f(x) = \tan g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình: \(\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)
Ta có:
\(\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3\)
\(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
5. Phương trình cot x = a (4)
+ Với \(\forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {0;\pi } \right),\cot \beta = a\)
\(\begin{matrix}
(4) \Leftrightarrow \cot x = \cot \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\beta = \operatorname{arccot} a \hfill \\
\end{matrix}\)
|
Một số phương trình đặc biệt |
Mở rộng phương trình |
|
|
\(\begin{matrix}
\cot f(x) = \cot g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \left( { - 2x + \frac{\pi }{6}} \right)\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \left( { - 2x + \frac{\pi }{6}} \right)\)
\(\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = - 2x + \frac{\pi }{6} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
