Khoảng cách Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Khoảng cách bao gồm định nghĩa, tính chất và cách tính khoảng cách trong không gian. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng
- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a, kí hiệu là
\(d(M, a)\) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a. - Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) kí hiệu là \(d(M, (P))\) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).
Hình vẽ minh họa
Chú ý: \(\left\{ \begin{gathered}
d\left( {M,a} \right) = 0 \Leftrightarrow M \in a \hfill \\
d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow M \in \left( P \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Nhận xét: Khoảng cách từ M đến đường thẳng a (mặt phẳng (P)) là khoảng cách nhỏ nhất giữa M và một điểm thuộc a (hoặc thuộc (P)).
Chú ý: Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó.
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại B, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Biết rằng \(SA = AB = BC = a\). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm B đến đường thẳng BC.
b) Từ điểm A đến mặt phẳng \((SBC)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
BC \bot AB \hfill \\
BC \bot SA \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)
\(\Rightarrow BC \bot SB\)
Kẻ \(BH \bot SC\) tại H thì \(d\left( {B,SC} \right) = BH\)
Theo định lí Pythagore ta tính được: \(\left\{ \begin{gathered}
SB = AC = a\sqrt 2 \hfill \\
SC = a\sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Xét tam giác SBC vuông tại B có đường cao BH
Khi đó \(BH = \frac{{SB.BC}}{{SC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
\(\Rightarrow d\left( {B,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
b) Kẻ \(AK \bot SB\) tại K ta có: \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AK\)
\(\Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\)\(\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK\)
Xét tam giác SAB vuông tại A có đường cao AK
Khi đó \(AK = \frac{{SA.AB}}{{SB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a, kí hiệu là \(d(a, (P))\) là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
Hình vẽ minh họa
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) kí hiệu là \(d((P), (Q))\) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(ABCD\) là hình thoi cạnh a, \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\); \(AA' = 2a;AC = a\). Tính:
a) \(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\)
b) \(d\left( {\left( {ABB'A'} \right),\left( {CDD'C'} \right)} \right)\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Gọi H là hình chiếu của A trên BC
Khi đó \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Vì tam giác ABC đều cạnh bằng a nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
b) Vì \(ABCD.A’B’C’D’\) là hình hộp nên \((ABCD)//(CDD’C’)\)
Gọi I là hình chiếu của A trên CD
Vì tam giác ACD đều cạnh bằng a nên \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\Rightarrow d\left( {\left( {ABB'A'} \right),\left( {CDD'C'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song m và n kí hiệu là \(d(m, n)\) là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Ví dụ: Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm A đến mặt phẳng \((BDA’)\).
b) Giữa hai đường thẳng song song BC và A’D’.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ AH vuông góc với A’O tại H
Ta có: \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, tâm O nên \(AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác AOA’ vuông tại A, đường cao AH nên ta tính được \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Do đó \(d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
b) Ta có \(\left\{ \begin{gathered}
A'D'//BC \hfill \\
BC \bot \left( {ABB'A'} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow BC \bot A'B\)
Do đó \(A'B = d\left( {A',BC} \right) = d\left( {A'D',BC} \right) = a\sqrt 2\)
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
- Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
- Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại B, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Biết rằng \(SA = AB = BC = a\).. Tính khoảng cách giữ hai đường thẳng AB và SC?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Dựng hình bình hành \(ABCD\) vì tam giác ABC vuông cân tại B nên \(ABCD\) là hình vuông.
Vì \(\left\{ \begin{gathered}
CD \bot AD \hfill \\
CD \bot SA \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\)
Kẻ \(AE \bot SD\) tại E mà \(AE \bot CD\) nên \(AE \bot \left( {SCD} \right)\left( * \right)\)
Vì mặt phẳng \((SCD)\) chứa SC và song song với AB
Suy ra \(d\left( {AB;SC} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\left( {**} \right)\)
Từ (*) và (**) suy ra \(d\left( {AB;SC} \right) = AE\)
Vì tam giác SAD vuông cân tại A, đường cao AE nên \(AE = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow d\left( {AB;SC} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song tương ứng chứa hai đường thẳng đó.
