VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính số đo góc lượng giác

Biết $\sin\alpha = - \frac{4}{5};\left( 3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} ight)$ . Tính $\tan\alpha$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $\frac{3}{4}$
- C.
  $- \frac{3}{5}$
- D.
  $- \frac{5}{3}$
Ta có: $3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1$

$\Rightarrow \cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha = \frac{9}{25}$

$\Rightarrow \cos\alpha = \pm \frac{3}{5}$

Vì $\cos\alpha < 0 \Rightarrow \cos\alpha = - \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{3}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức A

Thu gọn biểu thức $A = \sin(\pi + x) + \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) + \sin(\pi - x) + \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight)$ thu được kết quả là:
- A.
  $A = 0$
- B.
  $A = - 2\sin x$
- C.
  $A = 2 \sin x$
- D.
  $A = - 2\cos x$
Áp dụng công thức về cung liên kết ta có:

$\cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight) = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - ( - x) ightbrack = \sin( - x) = - \sin x$

$\sin(\pi - x) = \sin x$

$\cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) = \cos\left( x + \pi + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + \frac{\pi}{2} ight)$

$= - \cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - ( - x) ightbrack = - \sin( - x) = \sin x$

$\sin(\pi + x) = - \sin x$

Suy ra:

$A = \sin(\pi + x) + \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) + \sin(\pi - x) + \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight)$

$A = - \sin x + \sin x + \sin x - \sin x = 0$
Câu 3: Nhận biết
Tập các định D của hàm số

Tìm tập các định D của hàm số $y =\frac{1}{\sin\left( x - \dfrac{\pi}{2} ight)}$
- A.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{k\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{ (1 +2k)\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{ (1 +2k)\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi
$\begin{matrix}\sin\left( x - \dfrac{\pi}{2} ight) eq 0 \hfill \\\Rightarrow x - \dfrac{\pi}{2} eq k\pi \hfill \\\Rightarrow x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} \hfill \\\end{matrix}$
Vậy tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash\left\{ (1 + 2k)\frac{\pi}{2},k\mathbb{\in Z}ight\}$
Câu 4: Nhận biết
Xác định hàm số chẵn

Trong các hàm sau hàm nào là hàm số chẵn?
- A. $y=\sin x$
- B. $y = -\cos x$
- C. $y=-\sin x$
- D. $y = 2\sin x$
Xét hàm số y = -cosx
Lấy $x \in D \Rightarrow - x \in D$ ta có:
$- \cos \left( { - x} ight) = - \cos x \Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)$
=> Hàm số y = -cosx là hàm số chẵn.
Câu 5: Nhận biết
Khẳng định đúng?

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2\cos x - \sqrt 3 = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. $\frac{{5\pi }}{6} \in S$
- B. $\frac{{11\pi }}{6} \in S$
- C. $\frac{{13\pi }}{6} \in S$
- D. $-\frac{{13\pi }}{6} \in S$
Ta có $2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Nhận thấy với nghiệm $x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \xrightarrow{{k = 1}}x = \frac{{11\pi }}{6} \in S$ .
Câu 6: Thông hiểu
Chu kì của hàm số lượng giác

Tìm chu kì T của hàm số lượng giác $y =cos3x + cos5x$
- A.
  $T = 2\pi$
- B.
  $T = 4\pi$
- C.
  $T = 6\pi$
- D.
  $T = 5\pi$
Hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì $T =\frac{2\pi}{3}$
Hàm số y = cos5x tuần hoàn với chu kì $T =\frac{2\pi}{5}$
=> Hàm số $y = cos3x + cos5x$ tuần hoàn với chu kì là $T =2\pi$
Câu 7: Nhận biết
Tìm tập nghiệm của phương trình

Tập nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là:
- A. $x = k2\pi$
- B. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- C. $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$
- D. $x = k\pi$
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \pi + k2\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Nhận biết
Tìm đẳng thức đúng

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $sin(\pi - \alpha) = - sin\alpha$ .
- B.
  $tan( - \alpha) = tan\alpha$ .
- C.
  $cos(\pi - \alpha) = cos\alpha$ .
- D.
  $sin(\alpha + \pi) = - sin\alpha$ .
Công thức đúng là: $sin(\alpha + \pi) = - sin\alpha$
Câu 9: Nhận biết
Tìm tập xác định hàm số

Tập xác định của hàm số $f(x) = \tan x$ là:
- A.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1)\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Ta có: $f(x) = \tan x$ xác định khi và chỉ khi
$\cos x eq 0$
$\Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Vậy tập xác định của hàm số là: $\mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 10: Thông hiểu
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $2\sin \left( {4x - \frac{\pi }{3}} ight) - 1 = 0.$
- A. $x = \frac{\pi }{4}$
- B. $x = \frac{7\pi }{4}$
- C. $x = \frac{\pi }{8}$
- D. $x = \frac{\pi }{12}$
Ta có $2\sin \left( {4x - \frac{\pi }{3}} ight) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {4x - \frac{\pi }{3}} ight) = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sin \left( {4x - \frac{\pi }{3}} ight) = \sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 4x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ 4x - \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \hfill \\ 4x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} \hfill \\ x = \frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).$
TH1. Với $x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\xrightarrow{{{\text{Cho}} > 0}}\frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} > 0$
$\Leftrightarrow k > - \frac{1}{4} \to {k_{\min }} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{8}$
TH2. Với $x = \frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\xrightarrow{{{\text{Cho}} > 0}}\frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2} > 0$
$\Leftrightarrow k > - \frac{7}{{12}} \to {k_{\min }} = 0 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{{24}}$
So sánh hai nghiệm ta được $x = \frac{\pi }{8}$ là nghiệm dương nhỏ nhất.
Câu 11: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Biết rằng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$
- B.
  $\cos\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) > 0$
- C.
  $\tan\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$
- D.
  $\cot\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) > 0$
Ta có:

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

$\Rightarrow \frac{9\pi}{2} < 2\alpha + \frac{7\pi}{2} < 5\pi$

Xét trên đường tròn lượng giác ta thấy $2\alpha + \frac{7\pi}{2}$ thuộc góc phần tư thứ II nên ta có:

$\sin\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) > 0$

$\cos\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$

$\tan\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$

$\cot\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $y = -2\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) + 2$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $y \geq - 4;\forall x\mathbb{\inR}$
- B.
  $y \geq 4;\forall x\mathbb{\inR}$
- C.
  $y \geq 0;\forall x\mathbb{\inR}$
- D.
  $y \geq 2;\forall x\mathbb{\inR}$
Ta có:
$- 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) \leq 1$
$\Rightarrow 2 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) \geq - 2$
$\Rightarrow 4 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) + 2 \geq 0$
$\Rightarrow 4 \geq y \geq 0$
Vậy $y \geq 0;\forall x\mathbb{\inR}$ là mệnh đề đúng.
Câu 13: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức P

Nếu $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(p.q eq 0)$ và $\cot\alpha$ và $\cot\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - rx + s = 0$ thì tích $P = r.s$ bằng:
- A.
  $pq$
- B.
  $\frac{p}{q^{2}}$
- C.
  $\frac{1}{pq}$
- D.
  $\frac{q}{p^{2}}$
Ta có: $\tan\alpha$ và $\tan\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - px + q = 0;(p.q eq 0)$ nên theo định lí Vi – ét ta có: $\left\{\begin{matrix}\tan\alpha + \tan\beta = p \\\tan\alpha.\tan\beta = q \\\end{matrix} ight.$

$\cot\alpha$ và $\cot\beta$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - rx + s = 0$ nên theo định lí Vi – ét ta có: $\left\{ \begin{matrix}\cot\alpha + \cot\beta = r \\\cot\alpha\cot\beta = s \\\end{matrix} ight.$

Khi đó:

$P = r.s$

$P = \left( \cot\alpha + \cot\betaight).\cot\alpha.\cot\beta$

$P = \left( \frac{1}{\tan\alpha} + \frac{1}{\tan\beta} ight).\frac{1}{\tan\alpha}.\frac{1}{\tan\beta}$

$P = \frac{\tan\alpha +\tan\beta}{\tan\alpha.\tan\beta} = \frac{p}{q^{2}}$
Câu 14: Thông hiểu
Giải phương trình

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin(\cos x) = 0$ trên đoạn $x \in \lbrack 0;2\pibrack$ .
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  Vô số
Ta có: $sin(cosx) = 0 \Leftrightarrow cosx = k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$

Vì $|cosx| \leq 1$ nên $k = 0$ . Do đó phương trình $\Leftrightarrow cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + m\pi(m \in \mathbb{Z})$

Vì $x \in \lbrack 0;2\pibrack$ nên $x = \frac{\pi}{2},x = \frac{3\pi}{2}$ .
Câu 15: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Giá trị của $\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight)$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $- \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có:

$\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} - 6\pi ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 16: Thông hiểu
Giải phương trình lượng giác

Tìm tập nghiệm của phương trình $\left( \sin x + 1 ight).\left( \sin x - \sqrt{2} ight) = 0$ ?
- A.
  $S = \left\{ - \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $S = \left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Ta có:

$\left( \sin x + 1 ight).\left( \sin x - \sqrt{2} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x + 1 = 0 \\ \sin x - \sqrt{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = \sqrt{2}(L) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 17: Vận dụng
Chu kì của hàm số lượng giác

Tìm chu kì T của hàm số $y = 2\sin^{2}x +3\cos^{2}3x$
- A.
  $T = \pi$
- B.
  $T = 2\pi$
- C.
  $T = 3\pi$
- D.
  $T = 6\pi$
Ta có:

$\begin{matrix}y = 2\sin^{2}x + 3\cos^{2}3x \hfill \\= 2.\dfrac{1 - \cos2x}{2} + 3.\dfrac{1 + \cos6x}{2} \hfill\\= \dfrac{1}{2}(3.\cos6x - 2\cos2x + 5)\hfill \\\end{matrix}$

Hàm số $y = 3.\cos6x$ tuần hoàn với chu kì $T_{1} = \frac{\pi}{3}$

Hàm số $y = - 2\cos2x$ tuần hoàn với chu kì $T_{2} = \pi$

T là chu kì của hàm số $y = \tan3x + \cot{x}$ là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂

Suy ra hàm số $y = \dfrac{1}{2}(3.\cos6x -2\cos2x + 5)$ tuần hoàn với chu kì $T = \pi$
Câu 18: Nhận biết
Xác định hàm số lẻ

Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số lẻ?
- A. $A. y=-\cos x$
- B. $B. y=\cos 2x$
- C. $C. y=\sin x$
- D. $D. y=\cos x$
Xét hàm số y = sinx:
Lấy $x \in D \Rightarrow - x \in D$ ta có:
$\sin \left( { - x} ight) = - \sin x \Rightarrow f\left( { - x} ight) = - x$
Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
Câu 19: Nhận biết
Tìm sự khác nhau

Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix}y = \cos x \\y = \cot\dfrac{x}{2} \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix}y = \sin x \\y = \tan x \\\end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix}y = \sin\dfrac{x}{2} \\y = \cos\dfrac{x}{2} \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix}y = tan2x \\y = cot2x \\\end{matrix} ight.$
Hai hàm số $\left\{ \begin{matrix}y = \cos x \\y = \cot\dfrac{x}{2} \\\end{matrix} ight.$ có cùng chu kì 2π
Hai hàm số $\left\{ \begin{matrix}y = \sin\dfrac{x}{2} \\y = \cos\dfrac{x}{2} \\\end{matrix} ight.$ có cùng chu kì 4π
Hai hàm số $\left\{ \begin{matrix}y = tan2x \\y = cot2x \\\end{matrix} ight.$ có cùng chu kì $\frac{\pi}{2}$
Hàm số y = sinx có chu kì 2π, hàm số y = tanx có chu kì $\frac{\pi}{2}$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm điều kiện xác định của hàm số

Điều kiện xác định của hàm số: $y=\frac{{{\sin}^{2}}x+3\cos x+1}{\sin\frac{x}{2}}$
- A. $xe\frac{k\pi}{4}$
- B. $xe k\pi$
- C. $xe\frac{k\pi}{2}$
- D. $xe k2\pi$
Điều kiện xác định của hàm số:
$\sin \frac{x}{2} e 0$
$\Rightarrow \frac{x}{2} e k\pi$
$\Rightarrow x e k2\pi$
Câu 21: Nhận biết
Giải phương trình

Nghiệm của phương trình $\sin x. \cos x = \frac{1}{2}$ là?
- A. $x = k2\pi ; k \in \mathbb{Z}$
- B. $x = \frac{{k\pi }}{4} , \, k \in \mathbb{Z}$
- C. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
- D. $x=k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
Ta có: $\sin x.cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = 1$
$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ .
Câu 22: Vận dụng
Giải phương trình lượng giác

Phương trình $\frac{{\sin x - \cos x}}{{1 + \sin x.\cos x}} = 0$ có nghiệm là:
- A. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$
- B. $x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi$
- C. $x = \frac{3\pi }{4} + k\pi$
- D. $x =\frac{-3\pi }{4} + k\pi$
Điều kiện xác định: $1 + \sin x.\cos x e 0$
$\begin{matrix} \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{1 + \sin x.\cos x}} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Kiểm tra điều kiện ta thấy $x = \frac{3\pi }{4} + k\pi$ thỏa mãn
Vậy nghiệm của phương trình là: $x = \frac{3\pi }{4} + k\pi$
Câu 23: Vận dụng
Tính giá trị của M

Cho $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Xác định dấu của biểu thức $M = \cos\left( - \frac{\pi}{2} + \alpha ight).tan(\pi - \alpha)$
- A.
  $M \geq 0$
- B.
  $M > 0$
- C.
  $M \leq 0$
- D.
  $M < 0$
Ta có:

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ightarrow 0 < - \frac{\pi}{2} + \alpha < \frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \cos\left( - \frac{\pi}{2} + \alpha ight) > 0$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ightarrow 0 < \pi - \alpha < \frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \tan(\pi - \alpha) > 0$

=> $M = \cos\left( - \frac{\pi}{2} + \alpha ight).tan(\pi - \alpha) > 0$
Câu 24: Nhận biết
Giải phương trình lượng giác

Nghiệm của phương trình $\sin x = - 1$ là
- A.
  $x = - \frac{\pi}{2} + k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- B.
  $x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- C.
  $x = - \frac{\pi}{2} +\frac{k\pi}{2}\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
- D.
  $x = - \pi + k\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Ta có: $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 25: Thông hiểu
Tìm các điểm biểu diễn nghiệm phương trình

Trên đường tròn lượng giác có bao nhiêu vị trí biểu diện nghiệm của phương trình $\tan3x= \tan x$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $1$
Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix}\cos3x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} \\x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Ta có:

$\tan3x = \tan x$

$\Leftrightarrow 3x = x + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra phương trình có nghiệm $x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Câu 26: Nhận biết
Tìm công thức đúng

Công thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos3a = 3\cos a -4\cos^{3}a$
- B.
  $\cos3a = 4\cos^{3}a - 3\cos a$
- C.
  $\cos3a = 3\cos^{3}a -4\cos a$
- D.
  $\cos3a = 4\cos a -3\cos^{3}a$
Ta có:

$\cos3a = 4\cos^{3}a - 3\cos a$
Câu 27: Thông hiểu
Tìm hàm số chẵn

Xác định hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây?
- A.
  $y = \sin x.\cos3x$
- B.
  $y = \cos2x$
- C.
  $y = \sin x$
- D.
  $y = \sin x + \cos x$
Ta có:

Hàm số $y = \sin x.cos3x$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ nên $\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R}$ và

$y( - x) = \sin( - x).\cos( -3x) = - \sin x.\cos3x = - y(x)$

Suy ra hàm số $y = \sin x.\cos3x$ là hàm số lẻ.

Hàm số $y = \cos2x$ là hàm số chẵn vì tập xác định $D\mathbb{= R}$ nên $\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R}$ và

$y( - x) = \cos( - 2x) = cos2x = y(x)$

Tương tự ta có hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ, hàm số $y = \sin x + \cos x$ không chẵn cũng không lẻ.
Câu 28: Vận dụng
Giải PT

Giải phương trình $\sqrt 3 \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} ight) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) = 2\sin 2x$ ?
- A. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- B. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- C. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
- D. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$
Ta có $\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} ight) = - \sin x$ và . $\sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) = - \cos x$
Do đó phương trình $\Leftrightarrow - \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\sin 2x$
$\Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x + \cos x = - 2\sin 2x$
$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = - \sin 2x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) = - \sin 2x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} ight) = \sin \left( { - 2x} ight)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{\pi }{6} = - 2x + k2\pi \hfill \\ x + \frac{\pi }{6} = \pi + 2x + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ x = - \frac{{5\pi }}{6} - k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Xét nghiệm $x = - \frac{{5\pi }}{6} - k2\pi \xrightarrow[{k \in \mathbb{Z},{\text{ }}k' \in \mathbb{Z}}]{{k = - 1 - k'}}x = \frac{{7\pi }}{6} + k'2\pi$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3},{\text{ }}x = \frac{{7\pi }}{6} + k'2\pi {\text{ }}\left( {k,k' \in \mathbb{Z}} ight)$ .
Câu 29: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính giá trị biểu thức $B = \cos2\alpha.\sin\alpha$ . Biết $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ?.
- A.
  $B = \frac{17\sqrt{5}}{27}$
- B.
  $B = - \frac{17\sqrt{5}}{27}$
- C.
  $B = \frac{\sqrt{5}}{27}$
- D.
  $B = - \frac{\sqrt{5}}{27}$
Ta có:

$B = \cos2\alpha.\sin\alpha$

$= \left( 1 - 2\sin^{2}\alphaight).\sin\alpha$

$= \sin\alpha -2\sin^{3}\alpha$

$\Rightarrow B = \frac{\sqrt{5}}{3} - 2.\left( \frac{\sqrt{5}}{3} ight)^{3} = - \frac{\sqrt{5}}{27}$
Câu 30: Vận dụng
Tìm tập xác định D của hàm số

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{1- sin2x} - \sqrt{1 + sin2x}$
- A.
  $D = \varnothing$
- B.
  $D=\mathbb{ R}$
- C.
  $D = \left\lbrack \frac{\pi}{6} +k2\pi;\frac{5\pi}{6} + k2\pi ightbrack,k\in\mathbb{Z}$
- D.
  $D = \left\lbrack \frac{5\pi}{6} +k2\pi;\frac{13\pi}{6} + k2\pi ightbrack,k\in\mathbb{Z}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $-1\leq \sin2x \leq 1$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$
Câu 31: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị biểu thức $T = \sin^{2}10^{0} + \sin^{2}20^{0} + ... +\sin^{2}80^{0}$
- A.
  $T = 0$
- B.
  $T = 2$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 8$
Ta có: $10^{0} + 80^{0} = 20^{0} + 70^{0} = ... = 90^{0}$

Nên các cung lượng giác tương ứng đôi một phụ nhau ta có công thức $\sin\left( 90^{0} - x ight) = \cos x$

Khi đó ta có:

$T = \sin^{2}10^{0} + \sin^{2}20^{0} + ...+ \sin^{2}80^{0}$

$T = \left( \sin^{2}10^{0} + \cos^{2}10^{0}ight) + \left( \sin^{2}20^{0} + \cos^{2}20^{0} ight)$

$+ \left(\sin^{2}30^{0} + \cos^{2}0^{0} ight) + \left( \sin^{2}40^{0} +\cos^{2}40^{0} ight)$

$T = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$
Câu 32: Thông hiểu
Xác định số nguyên k

Cho $\alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ . Xác định k để $10\pi < \alpha < 11\pi$ .
- A.
  $k = 7$
- B.
  $k = 5$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = 6$
Ta có:

$10\pi < \alpha < 11\pi$

$\Rightarrow 10\pi < \frac{\pi}{2} + k2\pi < 11\pi$

$\Rightarrow \frac{19\pi}{2} < k2\pi < \frac{21\pi}{2}$

$\Rightarrow k = 5$
Câu 33: Nhận biết
Điều kiện PT có nghiệm

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ { - 2023;\,\,\,2023} ight]$ để phương trình $m\cos x + 1 = 0$ có nghiệm?
- A. 2023
- B. 2022
- C. 4046
- D. 4044
Ta có $m\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{m}$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leqslant - \frac{1}{m} \leqslant 1$
$\Leftrightarrow m \geqslant 1\xrightarrow[{m \in \left[ { - 2023;\,2023} ight]}]{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ {1;2;3;...;2023} ight\}$ .
Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của tham số m.
Câu 34: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan\alpha = 2$ . Tính giá trị biểu thức $P = \frac{sin2\alpha}{cos4\alpha +1}$ .
- A.
  $P = \frac{10}{9}$
- B.
  $P = \frac{9}{10}$
- C.
  $P = -\frac{10}{9}$
- D.
  $P = - \frac{9}{10}$
Ta có:
$P = \dfrac{\sin2\alpha}{\cos4\alpha +1}$
$P =\dfrac{\sin2\alpha}{2\cos^{2}2\alpha}$
$P =\tan2\alpha.\dfrac{1}{\cos2\alpha}$
$P = \dfrac{2\tan\alpha}{1 -\tan^{2}\alpha}.\dfrac{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha}{2\left(\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha ight)}$
$P = \dfrac{2}{1 -4}.\dfrac{\tan^{2}\alpha + 1}{1 - \tan^{2}\alpha} = \dfrac{10}{9}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình: $\sqrt {1 - {x^2}} \sin x = 0$
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Điều kiện xác định: $x \in \left[ { - 1;1} ight]$
$\begin{matrix} \sqrt {1 - {x^2}} \sin x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {1 - {x^2}} = 0} \\ {\sin x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - {x^2} = 0} \\ {x = k\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 1} \\ {x = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Với k = 0 => x = 0 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm.
Câu 36: Thông hiểu
Giải phương trình

Xác định nghiệm của phương trình $- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:

$- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$

$\Leftrightarrow \cos\left( 180^{0} - 2x ight) = \cos\left( x - 30^{0} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 30^{0} = 180^{0} - 2x + k360^{0} \\ x - 30^{0} = - 180^{0} + 2x + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} - k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .
Câu 37: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 2sin^{2}x +\sqrt{3}sin2x$ .
- A.
  $m = 2 - \sqrt{3}.$
- B.
  $m = -1.$
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m = - \sqrt{3}.$
Ta có $y = 2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 1 -cos2x + \sqrt{3}sin2x$
$\begin{matrix}= \sqrt{3}sin2x - cos2x + 1 = 2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x -\dfrac{1}{2}cos2x ight) + 1 \\= 2\left( sin2x\cos\dfrac{\pi}{6} - \sin\dfrac{\pi}{6}cos2x ight) + 1 =2sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} ight) + 1. \\\end{matrix}$
Mà $- 1 \leq \sin\left( 2x - \frac{\pi}{6}ight) \leq 1$
$\begin{matrix}\Leftrightarrow - 1 \leq 1 + 2sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{6} ight) \leq3 \hfill\\\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3 \hfill\\\end{matrix}$
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1.$
Câu 38: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sin x. \cos x - \sin x - \cos x + m = 0$ có nghiệm:
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Đặt $t = \sin x + \cos x;\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]} ight)$
=> $\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$
Phương trình trở thành:
$\begin{matrix} \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - t + m = 0 \hfill \\ \Rightarrow - 2m = {t^2} - 2t - 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {t - 1} ight)^2} = - 2m + 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Do ${t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } ight]}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow - \sqrt 2 - 1 \leqslant t - 1 \leqslant \sqrt 2 - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {t - 1} ight)^2} \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy để phương trình có nghiệm
$\begin{matrix} \Leftrightarrow 0 \leqslant - 2m + 2 \leqslant 3 + 2\sqrt 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2} \leqslant m \leqslant 1 \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} ight\} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Thông hiểu
Xác định khoảng đồng biến của hàm số

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight)$ là:
- A. $y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
- B. $y = \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
- C. $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
- D. $y = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$
Với $x \in \left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight) \to 2x \in \left( { - \frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} ight) \to 2x + \frac{\pi }{6} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight)$ thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} ight)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} ight)$
Câu 40: Vận dụng
Tính tổng các nghiệm phương trình

Phương trình $\left( \sqrt{3}\tan x - 1 ight)\left( sin^{2}x + 1 ight) = 0$ có tổng các nghiệm trên $(0;\pi)$ bằng:
- A.
  $- \frac{2\pi}{3}$
- B.
  $- \frac{\pi}{6}$
- C.
  $\frac{\pi}{6}$
- D.
  $\frac{5\pi}{6}$
Điều kiện xác định: $\cos x eq 0 \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Do $sin^{2}x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho tương đương với

$\sqrt{3}\tan x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $(0;\pi) \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

46 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm