Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Công thức nhân cho hai biến cố độc lập bao gồm định nghĩa và quy tắc nhân xác suất cho các biến cố độc lập. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Nếu hai biến cố 
\(A\) và \(B\) độc lập với nhau thì:
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\)
Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.
Chú ý: Với hai biến cố \(A\) và \(B\), nếu \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\) thì \(A\) và \(B\) không độc lập.
Ví dụ: Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
a) Biết \(P(A) = 0,8\) và \(P (AB) = 0,2\). Tính xác suất của biến cố \(A \cup B\).
b) Biết \(P(B) = 0,3\) và \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,6\). Tính xác suất của biến cố \(A\).
Hướng dẫn giải
a) Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\)
\(\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,8}} = \frac{1}{4}\)
Xác suất của biến cố \(A \cup B\) là:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,85\)
b) Ta có:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\)
Mà \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,6\)
\(\Rightarrow P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,6\)
Theo giả thiết ta có:
\(P\left( B \right) = 0,3 \Rightarrow P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,3\left( * \right)\)
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\)
Hay \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).0,3\left( {**} \right)\)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{gathered}
P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,3 \hfill \\
P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).0,3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
P\left( A \right) = \frac{3}{7} \hfill \\
P\left( {AB} \right) = \frac{9}{{70}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
2. Vận dụng
Ví dụ: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét các biến cố
\(A\): "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm"
\(B\): "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 "
Chứng tỏ rằng \(A\) và \(B\) không độc lập.
Hướng dẫn giải
Tính \(P(A)\)
Xét biến cố đối \(\overline A\): “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.
\(\overline A = \left\{ {\left( {a,b} \right):a,b \in \left\{ {1;2;3;4;6} \right\}} \right\}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
n\left( \Omega \right) = 25 \hfill \\
n\left( {\overline A } \right) = 25 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{25}}{{36}}\)
\(\Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}\)
Tính \(P(B)\)
Ta có: \(B = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)} \right\}\)
\(\Rightarrow n\left( B \right) = 6\)\(\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\)
Tính \(P(AB)\)
Ta có: \(AB = A \cap B = \left\{ {\left( {2,5} \right);\left( {5,2} \right)} \right\}\)
\(\Rightarrow n\left( {AB} \right) = 2\)\(\Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}\) (*)
Mặt khác \(P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}.\frac{1}{6} = \frac{{11}}{{216}}\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(P\left( A \right).P\left( B \right) \ne P\left( {AB} \right)\)
Vậy hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
