Lũy thừa với số mũ thực Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Lũy thừa với số mũ thực bao gồm định nghĩa, tính chất của lũy thừa. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là số nguyên dương.
- Với
\(a \in \mathbb{R}\) ta có: \({a^n} = \underbrace {a.a.a....a}_n\) (n thừa số) - Với \(a \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có: \({a^0} = 1,{a^1} = a,{a^{ - n}} = \frac{1}{a},{a^{ - 1}} = \frac{1}{a}\)
Trong đó: a là cơ số, n là số mũ
Chú ý: \({0^0},{0^{ - n}}\) không có nghĩa.
Tính chất: Với \(a \ne 0;b \ne 0\) ta có:
| \({a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\) |
\({\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\) |
| \(\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\) |
\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\) |
| \({\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\) |
|
Chú ý:
- \(a > 1,{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta\)
- \(0 < a < 1,{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta\)
- Với \(0 < a < b\) ta có:
| \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\) |
\({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\) |
Ví dụ: Thực hiện phép tính: \(M = {27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {36^{0,5}} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^0}\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
{27^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{3^3}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {3^2} = 9 \hfill \\
{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} = {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{ - 0,75}} = {2^3} = 8 \hfill \\
{36^{0,5}} = {\left( {{6^2}} \right)^{0,5}} = 6 \hfill \\
{\left( {\sqrt 2 } \right)^0} = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow M = 9 + 8 - 6 + 1 = 12\)
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b^n} = a\).
Nhận xét:
- \(\sqrt[n]{0} = 0;\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
- Khi n là số chẵn, mỗi số thực a chỉ có 1 căn bậc n, kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\).
- Khi n là số lẻ, mỗi số thực có đúng hai cặn bậc n là \(\sqrt[n]{a}; - \sqrt[n]{a}\).
Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó m là số nguyên bất kì và n là số nguyên dương. Lũy thừa của a với số mũ r, kí hiệu là \({a^r}\), xác định bởi \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
Tính chất
Với \(a,b > 0;m,n \in {\mathbb{N}^*};p,q \in \mathbb{Z}\) ta có:
| \(\sqrt[n]{{a.b}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\) |
\(\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\) |
| \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}\) |
\(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a};\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}\) |
|
|
|
Ví dụ: Cho \(a,b > 0\). Rút gọn các biểu thức sau:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(A = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{\sqrt[6]{{{a^{12}}{b^6}}}}}\)\(= \frac{{{a^3}{b^2}}}{{\sqrt[6]{{{{\left( {{a^2}b} \right)}^6}}}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab\)
b) \(B = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\)\(= \frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{6}}}} \right)}^2}\sqrt b + {{\left( {{b^{\frac{1}{6}}}} \right)}^2}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\)
\(= \frac{{{{\left( {\sqrt[6]{a}} \right)}^2}{{\left( {\sqrt[6]{b}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[6]{b}} \right)}^2}{{\left( {\sqrt[6]{a}} \right)}^3}}}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\)\(= \frac{{{{\left( {\sqrt[6]{a}.\sqrt[6]{b}} \right)}^2}.\left( {\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \right)}}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} = \sqrt[3]{{ab}}\)
Chú ý:
- Nếu \(\frac{p}{n} = \frac{q}{m} \Rightarrow \sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}};\left( {a > 0} \right)\)
- Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\)
- Nếu n là số nguyên dương chẵn và thì \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\)
3. Lũy thừa với số mũ thực
Khái niệm: Cho a là số thực dương và \(\alpha\) là một số vô tỉ.
Xét dãy số \(\left( {{r_n}} \right)\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r_n} = \alpha\). Khi đó dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ \(\left( {{r_n}} \right)\) đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với số mũ \(\left( {{r_n}} \right)\), kí hiệu là \({a^\alpha }\).
\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\)
Ví dụ: Cho \(a,b > 0\). Thu gọn biểu thức sau: \(T = {\left( {\frac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{b^{\sqrt 2 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 2 }}}}{{{b^{ - 1}}}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(T = {\left( {\frac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{b^{\sqrt 2 - 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 2 }}}}{{{b^{ - 1}}}}\)\(= \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }}} \right)}^{\sqrt 2 + 1}}}}{{{{\left( {{b^{\sqrt 2 - 1}}} \right)}^{\sqrt 2 + 1}}}}.\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 2 }}}}{{{b^{ - 1}}}}\)
\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}}}{{{b^{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}}}.\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 2 }}}}{{{b^{ - 1}}}}\)\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 .\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}}}{b}.\frac{{{a^{ - 1 - \sqrt 2 }}}}{{{b^{ - 1}}}}\)
\(= {a^{2 + \sqrt 2 }}.{a^{ - 1 - \sqrt 2 }} = {a^{2 + \sqrt 2 - 1 - \sqrt 2 }} = a\)
