Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 15 phút Toán 11 KNTT Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Bắt đầu làm bài Rủ bạn học
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Tính giới hạn

    Tính \lim_{xightarrow 0}\dfrac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) -1}{x}.

    Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, với \forall n \geq 1;n\mathbb{\in N} thì

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + nx) - 1}{x} = \frac{n(n + 1)}{2}(*)

    Với n = 1 thì \left\{ \begin{gathered} VT = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1 = 1 \hfill \\ VP = \dfrac{{1\left( {1 + 1} ight)}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow VT = VP nên (*) đúng với n = 1

    Giả sử (*) đúng với n = k,k \geq 1;k\mathbb{\in N} nghĩa là:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx) - 1}{x} = \frac{k(k + 1)}{2}

    Xét n = k + 1 ta có:

    VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx + x) - 1}{x}

    VT = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + kx)(1 + kx) - 1}{x}

    + \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(x + kx) - 1}{x}

    VT = \frac{k(k + 1)}{2} + \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + k) ightbrack

    VT = \frac{k(k + 1)}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = VP

    Vậy (*) đúng với n = k + 1;k \geq 1;k\mathbb{\in N}

    Bây giờ ta áp dụng với n = 2018 thì

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)...(1 + 2018x) - 1}{x}

    = \frac{2018.(2018 + 1)}{2} = 1009.2019

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính giá trị tham số a

    Tìm giá trị của a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2.

    Ta có:

    f(2) = a + 4

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2 - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = a + 4

    \Leftrightarrow a = - \frac{15}{4}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Tính giới hạn hàm số tại một điểm

    Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \sqrt[3]{{4x - 1}} - 3 \hfill \\ = \dfrac{{4x - 28}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{{4\left( {x - 7} ight)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}}

    g\left( x ight) = \sqrt {x + 2} - 3 = \frac{{x + 2 - 9}}{{\sqrt {x + 2} + 3}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt {x + 2} + 3}}

    \begin{matrix} h\left( x ight) = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2} ight)\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\sqrt {2x + 2} - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{\left( {\sqrt {2x + 2} - 4} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}

    \begin{matrix} = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{2x - 14}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{2\left( {x - 7} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \left\{ {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight].h\left( x ight)} ight\}

    = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \{ \left[ {\frac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} - \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}}} ight]

    .\frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{x}\}

    = \left( {\frac{4}{{27}} - \frac{1}{6}} ight).\frac{{32}}{2} = - \frac{8}{{27}}

    Vậy \mathop {\lim Ư}\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}=\dfrac{-8}{27}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

    Cho {u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}. Biết \lim u_{n} = \frac{a}{b} (với a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b } tối giản). Khi đó:

    a) a + b = 8 Đúng||Sai

    b) a - b = - 7 Sai||Đúng

    c) Bộ ba số a;b;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7 Đúng||Sai

    d) Bộ ba số a;b;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7 Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho {u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}. Biết \lim u_{n} = \frac{a}{b} (với a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b } tối giản). Khi đó:

    a) a + b = 8 Đúng||Sai

    b) a - b = - 7 Sai||Đúng

    c) Bộ ba số a;b;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7 Đúng||Sai

    d) Bộ ba số a;b;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7 Đúng||Sai

    Ta có

    \lim u_{n} = \lim\dfrac{7^{n} + 2^{2n -1} + 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}

    = \lim\dfrac{1 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{7} ight)^{n} + 3\left( \dfrac{3}{7} ight)^{n}}{7 +\dfrac{1}{5}\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n}} = \dfrac{1}{7}.

    Do đó suy ra a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đ

    d) Đúng
  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}\sin \dfrac{1}{x}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 0} \\ m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 0} \end{array}} ight. liên tục tại x = 0

    Với mọi x e 0 ta có:

    0 \leqslant \left| {f(x)} ight| \leqslant \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} ight| \leqslant {x^2} \to 0 khi x \to 0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0

    Theo giả thiết ta phải có: \mathop {m = f\left( 0 ight) = \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0

  • Câu 6: Nhận biết

    Chọn đáp án đúng

    Cho các mệnh đề:

    1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x_{0} \in (a;b) sao cho f\left( x_{0} ight) = 0.

    2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

    3) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a;b).

    Trong các mệnh đề trên:

    Theo tính chất hàm số liên tục thì

    1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x_{0} \in (a;b) sao cho f\left( x_{0} ight) = 0. Mệnh đề sai.

    2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm. Mệnh đề đúng.

    3) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a;b). Mệnh đề đúng.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Xác định mệnh đề đúng

    Cho phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét hàm số f(x) = 2x^{4} - 5x^{2} + x +1 là đa thực có tập xác định \mathbb{R} nên liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f( - 1) = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc ( - 1;1).

    \left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f(1) = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1).

    \left\{ \begin{matrix}f(1) = - 1 \\f(2) = 15 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f(2) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc (1;2).

    Vậy phương trình (*) đã cho có các nghiệm x_{1};x_{2};x_{3} thỏa mãn - 1 < x_{1} < 0 < x_{2} < 1 < x_{3}< 2.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Xác định sự đúng sai của các kết luận

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

    Hàm số y = \sin xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên \mathbb{R}

    Hàm số y = \cos\sqrt{x} xác định trên D = \lbrack 0; + \infty)

    Hàm sốy = \tan x xác định trên D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1

    c) Xét hàm số 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x) liên tục trên \mathbb{R}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.

    Vì \left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).

    d) Ta có: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.. Khi x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính giá trị?

    Giá trị của A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Chọn phương án thích hợp

    Cho c là hằng số, k là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai?

    Ta có \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0 với k là một số nguyên dương.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

    Tìm được các giới hạn một bên sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3} Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty Sai||Đúng

    d) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Tìm được các giới hạn một bên sau:

    a) \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3} Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty Sai||Đúng

    d) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty Sai||Đúng

    a) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}.

    b) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (2x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty (do \lim_{x ightarrow 1^{+}}(2x - 1) = 1 và \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x(x - 3)}{(x -3)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( x\frac{1}{x - 3} ight) = - \infty

    Do \lim_{x ightarrow 3^{-}}x = 3 và \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{1}{x - 3} = - \infty.

    d) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} ightbrack = 3 \cdot \sqrt{\frac{0}{2}} = 0

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tìm giới hạn hàm số

    Xác định \lim_{x ightarrow - 2}\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x + 1} ight) = - 1 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {\left( {x + 2} ight)^2} = 0 \hfill \\ {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} = - \infty

  • Câu 13: Nhận biết

    Hãy chọn kết luận đúng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

  • Câu 14: Vận dụng

    Xét sự liên tục của hàm số

    Hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.

    Ta có: f(x) liên tục tại x e 0; x e 1

    Tại x=0 ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x=0

    Tại x=1 ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số bị gián đoạn tại x=1

    Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm giới hạn hàm lượng giác

    Giá trị của \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} bằng:

    Ta có \frac{|\cos n + \sin n|}{n^{2}} < \frac{2}{n^{2}} mà \lim\frac{1}{n^{2}} = 0

    Suy ra \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} = 0.

  • Câu 16: Vận dụng

    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5. Tính giá trị biểu thức S = a + 2b.

    Đáp án: -4||- 4

    Đáp án là:

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5. Tính giá trị biểu thức S = a + 2b.

    Đáp án: -4||- 4

    Vì \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5 là 1 số hữu hạn và \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 nên \lim_{x ightarrow 2}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0 hay 4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a.

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + (1 - 2a)x - 2}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + x - 2ax - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(ax^{2} - 2ax) + (x - 2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(ax + 1)}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(ax + 1)

    = 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2

    Suy ra b = - 3.

    Vậy S = - 4.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính giá trị giới hạn

    Tính giá trị \lim\frac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}

    Ta có: \lim\dfrac{n^{3} - 7n}{1 - 2n^{2}}= \lim\dfrac{n^{3}\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}} ight)}{n^{2}\left(\dfrac{1}{n} + 2 ight)}

    = \lim\dfrac{n.\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}}ight)}{\dfrac{1}{n} + 2} = + \infty

  • Câu 18: Vận dụng

    Tính giá trị của tham số m

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x};x > 0} \\ {mx + m + \dfrac{1}{4};x \leqslant 0} \end{array}} ight. với m là tham số. Tính giá trị của tham số m để hàm số có giới hạn tại x = 0.

    Hàm số có giới hạn tại x = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( mx + m + \frac{1}{4} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = m + \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính giới hạn hàm số

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} bằng

    Đặt f(x) = x + 1;g(x) = x - 1.

    Ta có \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0 khi x ightarrow 1^{+}

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty.

  • Câu 20: Vận dụng

    Tính tổng dãy số

    Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ... .

    Ta có:

    S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...

    = 9\left( {\underbrace {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{1}{3}}} ight)

    = 9.\left( \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{3}}ight) = \dfrac{27}{2}

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
77 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này