VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức F

Cho $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24$ . Tính giá trị

$F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left( \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ight)}$
- A.
  $24$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 16$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = \frac{1}{12}$

Khi đó

$F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left\lbrack \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ightbrack}$

$F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1}.\lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = 24.\frac{1}{12} = 2$
Câu 2: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Giá trị của $\lim_{x ightarrow 1}\left( 2x^{2} - 3x + 1ight)$ bằng:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $0$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 1}\left( 2x^{2} - 3x+ 1 ight) = 0$
Câu 3: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}$ ta được kết quả bằng
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$
- C.
  $3$ .
- D.
  $4$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}$

$= \frac{2.1^{3} + 3.1 - 1}{1^{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2$ .
Câu 4: Nhận biết
Tính?

Giá trị của $A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 2$
- D.
  1
Ta có:

$A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính giới hạn dãy số

Cho hai dãy số $\left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 1$ và $v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó $\lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}$

$\Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2}\sin \dfrac{1}{x}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 0} \\ m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 0} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 0$
- A. $m\in (-2;-1)$
- B.
  $m\leq -2$
- C.
  $m\in [-1;7)$
- D.
  $m\in [7;+\infty ]$
Với mọi $x e 0$ ta có:
$0 \leqslant \left| {f(x)} ight| \leqslant \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} ight| \leqslant {x^2} \to 0$ khi $x \to 0$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Theo giả thiết ta phải có: $\mathop {m = f\left( 0 ight) = \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0$
Câu 7: Nhận biết
Tính f(1)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ với $f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1}$ với mọi $x eq 1$ . Tính $f(1)$ .
- A.
  $f(1) = 2$
- B.
  $f(1) = 1$
- C.
  $f(1) = 0$
- D.
  $f(1) = - 1$
Ta có: $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ nên suy ra

$f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x - 2) = 1$

Vậy $f(1) = 1$
Câu 8: Nhận biết
Xác định sự gián đoạn của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm nào sau đây?
- A.
  $x_{0} = 0$
- B.
  $x_{0} = 2$
- C.
  $x_{0} = 3$
- D.
  $x_{0} = 1$
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow 1}f(x)$ . Do đó hàm số gián đoạn tại $x_{0} = 1$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tính giới hạn?

Tính giới hạn: $\lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1} +n}$
- A.
  1
- B.
  0
- C.
  -1
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:
$\lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1}+ n}$
$= \lim\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^{2}}} - \dfrac{4}{n}}{\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} +1} = \dfrac{0}{1} = 0$
Câu 10: Thông hiểu
Xác định giới hạn hàm số f(x)

Tính giới hạn của hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}}$ khi $x \mapsto - \infty$ .
- A.
  $- \frac{1}{\sqrt{2}}$
- B.
  $\sqrt{2}$
- C.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
- D.
  $- \sqrt{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{3}{x}}{- \sqrt{2 - \dfrac{3}{x^{3}}}} = - \sqrt{2}$
Câu 11: Nhận biết
Xác định giới hạn D

Xác định giới hạn $D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}$
- A.
  $4$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có:

$D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2} + 4x}{x} = \lim_{x ightarrow 0}(4 + 4x) = 4$
Câu 12: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a;b > 0)$ . Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a;b > 0)$ . Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Ta có

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}x\left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} + 2x} - x - 1 ight) + \left( x + 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + (x + 1)}$ $+ \frac{3x^{2} + x}{(x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{x^{3} + 3x} + \sqrt[3]{\left( x^{3} + 3x ight)^{2}}}brack$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)}$ $+ \frac{3 + \frac{1}{x}}{\left( 1 + \frac{1}{x} ight)^{2} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt[3]{\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight)^{2}}}brack$

$= - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ .

Suy ra $a + b = 3$ .
Câu 13: Thông hiểu

Xét sự đúng sai của các phát biểu

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ liên tục tại $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ và $f(1) = 2;f(5) = 10$ . Khi đó phương trình $f(x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1;5)$ . Đúng||Sai

c) Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1$ khi đó $I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0$ Sai||Đúng

d) Trong các hàm số $y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ liên tục tại $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ và $f(1) = 2;f(5) = 10$ . Khi đó phương trình $f(x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1;5)$ . Đúng||Sai

c) Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1$ khi đó $I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0$ Sai||Đúng

d) Trong các hàm số $y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

a) Vì không tồn tại f(2) nên hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2.

b) Xét phương trình $f(x) = 7 \Rightarrow f(x) - 7 = 0$

Đặt $g(x) = f(x) - 7$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} g(1) = f(1) - 7 = - 5 \\ g(5) = f(5) - 7 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow g(1).g(5) < 0$

Vậy phương trình đã cho cót ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;5)$ .

c) Ta có:

$I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + x - x + 1}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack - (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\left\{ \frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack}{x - 1} ight\} - 1$

$= 1.( - 1) - 1 = - 2$

d) Các hàm số liên tục trên tập số thực là $y = x^{2};y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tìm giới hạn

Tính giới hạn $N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$ .
- A.
  $N = - \frac{2}{3}$
- B.
  $N = \frac{2}{3}$
- C.
  $N = \frac{4}{3}$
- D.
  $N = 0$
Ta có:

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}{\left( x^{2} - 3x ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{x(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = - \frac{2}{3}$
Câu 15: Vận dụng cao

Giải toán và ghi lời giải vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 2020$ . Với $a eq 0,a,b,c\mathbb{\in R}$ và $a + 2b + 4c - 8 > 0$ . Biết $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ . Hỏi đồ thị hàm số $y = g(x) = a(x - 2021)^{3} + b(x - 2021)^{2} + c(x - 2021) - 1$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 2020$ . Với $a eq 0,a,b,c\mathbb{\in R}$ và $a + 2b + 4c - 8 > 0$ . Biết $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ . Hỏi đồ thị hàm số $y = g(x) = a(x - 2021)^{3} + b(x - 2021)^{2} + c(x - 2021) - 1$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 16: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng

Cho a, b là các số thực thuộc (-1; 1) và các biểu thức:

$\begin{matrix} P = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... \hfill \\ Q = 1 + b + {b^2} + {b^3} + ... \hfill \\ H = 1 + ab + {a^2}{b^2} + {a^3}{b^3} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $H = \frac{PQ}{P + Q - 1}$
- B.
  $H = \frac{PQ}{P + Q + 1}$
- C.
  $H = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} - \frac{1}{PQ}$
- D.
  $H = \frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{PQ}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P = \dfrac{1}{1 - a} \\Q = \dfrac{1}{1 - b} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 - \dfrac{1}{P} \\b = 1 - \dfrac{1}{Q} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$\begin{matrix} H = \dfrac{1}{{1 - ab}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 - \left( {1 - \dfrac{1}{P}} ight).\left( {1 - \dfrac{1}{Q}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{PQ}}{{P + Q - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$

và $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{2}.$ Đúng||Sai

b) $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{3}.$ Sai||Đúng

c) $S > T$ Đúng||Sai

d) $S = \frac{1}{T}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$

và $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{2}.$ Đúng||Sai

b) $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{3}.$ Sai||Đúng

c) $S > T$ Đúng||Sai

d) $S = \frac{1}{T}$ Sai||Đúng

a) Đúng: Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = \frac{1}{2}.$

$\ \Rightarrow S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2.$

b) Sai: Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = - \frac{1}{3}.$

Vì vậy $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + \left( - \frac{1}{3} \right)^{n} + \ldots = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}.$

c) Đúng: $S = 2$ , $T = \frac{3}{4} \Rightarrow S > T$ .

d) Sai: $\Rightarrow S > T$
Câu 18: Nhận biết
Hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào

Cho hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?
- A.
  $( - 3;2)$
- B.
  $( - 2; + \infty)$
- C.
  $( - \infty;3)$
- D.
  $(2;3)$
Hàm số có nghĩa khi $x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Rightarrow x eq - 3;x eq - 2$

Vậy hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; + \infty)$
Câu 19: Nhận biết
Tìm lim?

Giá trị của $\lim\frac{{(\sin n)}^{2}}{n + 2}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  3
- C.
  5
- D.
  8
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{1}{a} - 2$

Suy ra

$\frac{\left( \sin n ight)^{2}}{n + 2} < \frac{1}{n + 2} < \frac{1}{n_{a} + 2} < a\ \forall n > n_{a}$

Vậy: $\lim\frac{{{(sin}n)}^{2}}{n + 2} = 0$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tính giới hạn của dãy số

Giới hạn $\lim_{}\frac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1}$ bằng
- A.
  $- \infty$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $+ \infty$ .
- D.
  $\frac{3}{2}$ .
Ta có:

$\lim\dfrac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1} =\lim\dfrac{1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}}{1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}$

$= \dfrac{\lim\left( 1 - \left(\dfrac{3}{2} ight)^{n} ight)}{\lim\left( 1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n} ight)} = \lim\left( 1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}ight) = - \infty$
Câu 21: Thông hiểu
Tính giới hạn hàm số đã cho

Tính giới hạn của hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1}$ khi $x \mapsto - \infty$ .
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $4$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{|x|\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1} = \lim_{x ightarrow- \infty}\dfrac{- x\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{- \sqrt{4}}{1} = -2$
Câu 22: Nhận biết
Tìm khoảng liên tục

Hàm số $f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3}$ liên tục trên:
- A.
  $\lbrack - 1;1brack$
- B.
  $\lbrack 1;5brack$
- C.
  $\left( - \frac{3}{2}; + \infty ight)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có: $2sinx + 3 eq 0,\forall x\mathbb{\in R}$

=> Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Câu 23: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = \sqrt{5}$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = - 3$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x ightarrow - 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

a) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = \sqrt{5}$ . Sai||Đúng

b) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = - 3$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \sqrt{2}$ . Đúng||Sai

d) Hàm số tồn tại giới hạn khi $x ightarrow - 1$ . Sai||Đúng

a) Ta có: Giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}f(x) = - 4$

b) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} < - 1$ và $x_{n} ightarrow - 1$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = x_{n} - 2$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = - 1 - 2 = - 3$ .

c) Xét dãy số $\left( x_{n} ight)$ bất kì sao cho $x_{n} > - 1$ và $x_{n} ightarrow - 1$ , ta có: $f\left( x_{n} ight) = \sqrt{x_{n}^{2} + 1}$ .

Khi đó: $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{( - 1)^{2} + 1} = \sqrt{2}$ .

d) Vì $\lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x)$ (hay $- 3 eq \sqrt{2}$ ) nên không tồn tại $\lim_{x ightarrow - 1}f(x)$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 24: Vận dụng
Tính giá trị của a

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} - \sqrt{n^{2} + 1}$ trong đó a là tham số thực. tìm a để $\lim u_{n} = - 1$
- A.
  $a = 3$
- B.
  $a = 2$
- C.
  $a = - 2$
- D.
  $a = - 3$
Ta có:

$\lim u_{n} = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a.n + 5} - \sqrt{n^{2} + 1} ight)$

$= \lim\left( \frac{a.n + 4}{\sqrt{n^{2} + a.n + 5} + \sqrt{n^{2} + 1}} ight)$

$= \lim\left( \dfrac{a +\dfrac{4}{n}}{\sqrt{1 + \dfrac{a}{n} + \dfrac{5}{n^{2}}} + \sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}} ight) = \dfrac{a}{2}$

Ta có: $\lim u_{n} = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{a}{2} = - 1 \Rightarrow a = - 2$
Câu 25: Thông hiểu
Tính giới hạn E

Tính giới hạn $E = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$
- A.
  $E = - \infty$
- B.
  $E = 0$
- C.
  $E = \sqrt{6}$
- D.
  $E = + \infty$
Ta có:

$E = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{\sqrt{(x - 3)^{2}}}{\sqrt{(x - 3)(x + 3)}} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3}} = 0$
Câu 26: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1}$ bằng
- A.
  $+ \infty$ .
- B.
  $- \infty$ .
- C.
  1.
- D.
  0.
Đặt $f(x) = x + 1;g(x) = x - 1$ .

Ta có $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0$ khi $x ightarrow 1^{+}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty$ .
Câu 27: Vận dụng
Xét sự liên tục của hàm số

Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.$
- A. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
- B. Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
- C. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
- D. Liên tục tại mọi điểm
Ta có: $f(x)$ liên tục tại $x e 0; x e 1$
Tại $x=0$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$
Vậy hàm số liên tục tại $x=0$
Tại $x=1$ ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hàm số bị gián đoạn tại $x=1$
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
Câu 28: Thông hiểu
Tìm điều kiện của a và b thỏa mãn điều kiện

Cho $a,b$ là các số thực khác $0$ . Tìm điều kiện của $a,b$ để giới hạn $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$
- A.
  $\frac{a - 1}{b} = 3$
- B.
  $\frac{a + 1}{b} = 3$
- C.
  $\frac{- a - 1}{b} = 3$
- D.
  $\frac{a - 1}{- b} = 3$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3$

$\Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} = 3$

$\Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} = 3$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm giá trị của m

Tìm m để hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2\sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\mx + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .
- A.
  $- \frac{4}{3}$
- B.
  $- \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{4}{3}$
- D.
  $\frac{2}{3}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2\sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{2\left( \sqrt[3]{x} - 1 ight) - (x - 1)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1} - 1 ight) = - \frac{1}{3}$

Dễ thấy hàm số liên tục khi $x eq 1$ . Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} = m + 1$

$\Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}$
Câu 30: Nhận biết
Tính giá trị?

Giá trị của $\lim\frac{1}{n^{k}}$ với $k \in \mathbb{N^*}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  5
Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \sqrt[k]{\frac{1}{a}}$

Suy ra:

$\frac{1}{n^{k}} < \frac{1}{n_{a}^{k}} < a\ \forall n > n_{a}$

Vậy $\lim\frac{1}{n^{k}} = 0$ .
Câu 31: Nhận biết
Tính giới hạn?

Giá trị của ${D = \lim}\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  4
Ta có:

$\lim\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}= \lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}}=4$
Câu 32: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b\in\mathbb{ Z}$ . Tính $- 106a + b$ .

Đáp án: -100||- 100

Đáp án là:

Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}$ , trong đó $a, b\in\mathbb{ Z}$ . Tính $- 106a + b$ .

Đáp án: -100||- 100

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)} + \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)}$ .

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 7 - 2^{3}}{(x - 1)(x - 2)\left\lbrack \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ightbrack}$ .

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ight)} = - \frac{1}{12}$ .

Đồng thời:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2^{2} - (x + 3)}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 1}{(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = - \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 6 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $- 106a + b = - 106 + 6 = - 100$ .
Câu 33: Nhận biết
Tìm khoảng liên tục của hàm số

Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4}$ liên tục trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $( - \infty;4)$
- B.
  $( - 1;2)$
- C.
  $\lbrack 1; + \infty)$
- D.
  $(2;3)$
Ta có:

Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4}$ là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4 ight\}$ nên hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1;4),(4; + \infty)$ .

Do đó $f(x)$ liên tục trên $(2;3)$ .
Câu 34: Nhận biết

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Giả sử ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = a$ và $\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = b$ . Với $\left( a;b\mathbb{\in R} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = a.\ b$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$ . Sai||Đúng

d) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = a + \frac{2b}{a}\ \$ với $(a \neq 0).$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Giả sử ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = a$ và $\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = b$ . Với $\left( a;b\mathbb{\in R} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = a.\ b$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$ . Sai||Đúng

d) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = a + \frac{2b}{a}\ \$ với $(a \neq 0).$ Sai||Đúng

a) Đúng: Vì theo định lí về giới hạn hữu hạn.

b) Đúng: Vì $\lim_{x \rightarrow x_{\ _{0}}}\ \left\lbrack cf(x) \right\rbrack = c\lim_{x \rightarrow x_{\ _{0}}}f(x)(c\mathbb{\in R})$ nên $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b.$

c) Sai: Vì b có thể bằng 0.

d) Sai: Vì $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 1 + \frac{2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = 1 + \frac{2b}{a}\ \ \ ;(a \neq 0).$
Câu 35: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Biết giới hạn $\lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = a$ và $\lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = b$ . Khi đó:

a) Tích $a.b = 3$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \sqrt{1 - x}$ có tập xác định là $D(a;1brack$ . Đúng||Sai

c) Giá trị $b$ là số lớn hơn $0$ . Đúng||Sai

d) Phương trình lượng giác $\cos x = b$ vô nghiệm. Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = a$ và $\lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = b$ . Khi đó:

a) Tích $a.b = 3$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \sqrt{1 - x}$ có tập xác định là $D(a;1brack$ . Đúng||Sai

c) Giá trị $b$ là số lớn hơn $0$ . Đúng||Sai

d) Phương trình lượng giác $\cos x = b$ vô nghiệm. Sai||Đúng

Ta có: $\lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = \lim n^{3}\left( - 2 - \frac{5}{n^{2}} + \frac{9}{n^{3}} ight) = - \infty$ ,

Do $\left\{ \begin{matrix} \lim n^{3} = + \infty \\ \lim\left( - 2 - \frac{5}{n^{2}} + \frac{9}{n^{3}} ight) = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 12 \cdot 4^{n}}$

$= \lim\frac{4^{n}\left( 1 + \frac{3}{4^{n}} ight)}{4^{n}\left( \frac{1}{4^{n}} + 12 ight)} = \lim\frac{1 + \frac{3}{4^{n}}}{\frac{1}{4^{n}} + 12} = \frac{1}{12}$

a) Tích $a.b = - \infty$

b) Hàm số $y = \sqrt{1 - x}$ có tập xác định là $D( - \infty;1brack$

c) Giá trị $\frac{1}{12}$ là số lớn hơn $0$

d) Phương trình lượng giác $\cos x = \frac{1}{12}$ có nghiệm

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 36: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Đáp án: -3||- 3

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$

Đáp án: -3||- 3

Xét $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}$

$= \lim_{x ightarrow1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left(\frac{\sqrt{5x - 1} - 2}{1 - x} + \frac{2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{5x - 5}{(1 -x)\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} + \frac{8 - \left( x^{2} + x + 6ight)}{(1 - x)\left( 4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left(\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} ight)^{2} ight)} ight)$

$= \lim_{xightarrow 1^{+}}\left( \frac{- 5}{\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} +\frac{x + 2}{4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left( \sqrt[3]{x^{2} + x +6} ight)^{2}} ight)$

$= - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = - 1$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(ax + 2) = a + 2$

$f(1) = a + 2$

Hàm số liên tục tại $x = 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow a + 2 = - 1 \Leftrightarrow a = - 3$ .
Câu 37: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ . Mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$
- C.
  Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - 2;0)$
- D.
  Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( - 3;\frac{1}{2} ight)$
Ta có:

$f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1 < 0 \\ f( - 2) = 23 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm trên $( - 2; - 1)$

Mà $( - 2; - 1) \subset ( - \infty;1)$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = - 1 < 0 \hfill \\ f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có nghiệm trên $\left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left( - 3;\frac{1}{2} ight)$

Vậy mệnh đề sai là “Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$ ”
Câu 38: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng?

Kết quả đúng của $\lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight)$ là:
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  –4
- D.
  $\frac{1}{4}$
Xét: $\frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}$

Ta có: $\lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1}ight) = \lim( - \frac{1}{n}.\frac{1}{1 + 1:n^{2}}) = 0$

Suy ra $\lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1} ight) = 0$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 0\ \Rightarrow \lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 5$ .
Câu 39: Vận dụng cao
Tìm số nguyên dương n bé nhất

Cho phương trình $x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{n} + 1}$ . Tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình có nghiệm.
- A.
  $n = 1$
- B.
  $n = 3$
- C.
  $n = 5$
- D.
  $n = 6$
Điều kiện xác định $x^{n} \geq1$
Nếu n là số lẻ thì $x^{n} \geq 1\Rightarrow x \geq 1$
Nếu n là số chẵn và x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm của phương trình
Vì $x = 1$ không là nghiệm nên ta xét phương trình với $x > 1$
$\left\{ \begin{matrix}x^{12} + 1 \geq 2x^{2} \\x^{4}\left( x^{4} - 1 ight) + 1 \geq 2\sqrt{x^{4}\left( x^{4} - 1ight)} = 2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow x^{12} + 1 \geq2x^{2}.2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} = 4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1}$ (do $x^{12} + 1 \geq 2x^{2}$ nên dấu bằng không xảy ra)
Hơn nữa $4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1} >4x^{4}\sqrt{x^{3} - 1} > 4x^{4}\sqrt{x^{2} - 1};(\forall x >1)$
Do đó phương trình không có nghiệm $x >1$ với $n = 1,2,3,4$
Khi $n = 5$ ta có phương trình $x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{5} +1}$
Giả sử $f(x) = x^{12} + 1 -4x^{4}.\sqrt{x^{5} + 1}$ khi đó $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}f(1) = 2 \\f\left( \frac{6}{5} ight) < 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f\left( \frac{6}{5} ight) <0$
=> $f(x) = 0$ có nghiệm
Vậy $n = 5$ .
Câu 40: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

a) Sai

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0$ .

b) Sai

$\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}$ .

c) Đúng

$\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1$ .

d) Đúng

Ta có:

$f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

71 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Đang tìm đối thủ...