VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Xác định kết quả giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1}$
- A.
  $- 5$
- B.
  $5$
- C.
  $0$
- D.
  $- 3$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 4) = 5$
Câu 2: Nhận biết
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim\frac{n + 2}{n^{2} + n + 1}$
- A.
  $0$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $1$
Ta có:

$\lim \frac{{n + 2}}{{{n^2} + n + 1}}$ $= \lim \dfrac{{n\left( {1 + \dfrac{2}{n}} ight)}}{{{n^2}\left( {1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}} ight)}}$

$= \lim\left( \dfrac{1}{n}.\dfrac{1 +\dfrac{2}{n}}{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} ight) = 0$
Câu 3: Nhận biết
Tính giới hạn của dãy số

$\lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  $+\infty$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{4}{7}$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Thông hiểu
Xác định mệnh đề đúng

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = 0$
- B.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - 2x ight) = + \infty$
- C.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \frac{1}{2}$
- D.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - 2x ight) = - \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = + \infty$

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - 2x ight) = - \infty$

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - 2x ight) = + \infty$
Câu 5: Thông hiểu
Tính giới hạn?

Tính giới hạn của $\lim\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n + 1)}{3n^{2} + 4}$
- A.
  0
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  1
Ta có:

$\lim\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n +1)}{3n^{2} + 4}$

$= \lim\dfrac{n^{2}}{3n^{2} + 4}$

$= \lim\dfrac{1}{3 +\dfrac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{3}$
Câu 6: Vận dụng
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}$
- A.
  $1$
- B.
  $- \frac{1}{4}$
- C.
  $0$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}$

$= \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{\sqrt{2x} - 2} + \frac{x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 4}{\sqrt{2x} - 2}$

$= \frac{(x - 2)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{(2x - 4)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} + \frac{(x - 2)\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2x - 4}$

$= \frac{\sqrt{2x} + 2}{2\left( \sqrt{x - 1} + 2 ight)} + \frac{\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2}$

Do đó $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2} = 1$
Câu 7: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{2 - 3n} = a$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị $a$ lớn hơn $0$ . Sai||Đúng

b) $x = a$ là trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ .Đúng||Sai

c) Bộ ba số $- \frac{5}{3};\ a;\ \frac{1}{3}$ lập thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ thì $u_{3} = 6$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{2 - 3n} = a$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị $a$ lớn hơn $0$ . Sai||Đúng

b) $x = a$ là trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ .Đúng||Sai

c) Bộ ba số $- \frac{5}{3};\ a;\ \frac{1}{3}$ lập thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ thì $u_{3} = 6$ . Sai||Đúng

a) Sai: Ta có: $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} \right)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} \right)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}$ suy ra: $a = - \frac{2}{3}$

b) Đúng: Trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ là $x = - \frac{4}{2.3} = - \frac{2}{3}$

c) Sai: Ba số $- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $1$

d) Sai: Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a = - \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = u_{1}.q^{2}$ $= - \frac{2}{3}.3^{2}$ $= - 6$
Câu 8: Nhận biết
Hãy chọn kết luận đúng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ . Hãy chọn kết luận đúng.
- A.
  Hàm số liên tục phải tại x = 1
- B.
  Hàm số liên tục tại x = 1
- C.
  Hàm số liên tục trái tại x = 1
- D.
  Hàm số liên tục tại $\mathbb{R}$
Ta có: $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3$

=> Hàm số liên tục phải tại x = 1
Câu 9: Thông hiểu
Tìm giá trị của giới hạn?

Giá trị của $B = \frac{\sqrt{n^{2} + 2n}}{n - \sqrt{3n^{2} + 1}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$
Ta có:

$B = \lim\dfrac{\dfrac{\sqrt{n^{2} +n}}{n}}{\dfrac{n - \sqrt{3n^{2} + 1}}{n}}$

$= \lim\frac{\sqrt{1 +\frac{1}{n}}}{1 - \sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{1}{1 -\sqrt{3}}$
Câu 10: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\ \sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x)$ liên tục tại $x = 0$
- B.
  $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;1)$
- C.
  $f(x)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  $f(x)$ gián đoạn tại $x = 1$
Hàm số xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$

Ta có: $f(x)$ liên tục trên $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$

Mặt khác

$f(0) = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\sqrt{x + 1} = 1$

$\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( 1 - \cos x ight) = 0$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Câu 11: Thông hiểu
Xác định giá trị thực của tham số k

Cho hàm số $y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\k + 1\ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ . Xác định giá trị thực của tham số k.
- A.
  $k = \frac{3}{2}$
- B.
  $k = 1$
- C.
  $k = - \frac{1}{2}$
- D.
  $k = 0$
Tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Theo giả thiết ta có:

$k + 1 = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$\Rightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} ight)$

$\Leftrightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} ight)$

$\Leftrightarrow k + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2}$
Câu 12: Vận dụng
Tính tổng dãy số

Tính tổng $S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...$ .
- A.
  $S = \frac{27}{2}$
- B.
  $S = 14$
- C.
  $S = 16$
- D.
  $S = 15$
Ta có:

$S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n - 3}} + ...$

$= 9\left( {\underbrace {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{1}{3}}} ight)$

$= 9.\left( \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{3}}ight) = \dfrac{27}{2}$
Câu 13: Nhận biết
Tìm khoảng liên tục

Hàm số $f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3}$ liên tục trên:
- A.
  $\lbrack - 1;1brack$
- B.
  $\lbrack 1;5brack$
- C.
  $\left( - \frac{3}{2}; + \infty ight)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có: $2sinx + 3 eq 0,\forall x\mathbb{\in R}$

=> Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Câu 14: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Ta có:

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 15: Nhận biết
Tìm câu sai

Cho $\lim_{x ightarrow x_{0}} = L$ và $\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = M$ . Công thức nào sau đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack = L + M$ .
- B.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ .
- C.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack = L - M$ .
- D.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) ightbrack = L.M$
Ta có: $\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ chỉ đúng nếu $M eq 0$ .
Câu 16: Nhận biết
Tính giới hạn

$\lim(5n-4n^{3})$ bằng
- A.
  $-\infty$
- B.
  -4
- C.
  5
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {5n - 4{n^3}} ight) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^3}\left( {\dfrac{5}{{{n^2}}} - 4} ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Thông hiểu

Xét sự đúng sai của các phát biểu

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ liên tục tại $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ và $f(1) = 2;f(5) = 10$ . Khi đó phương trình $f(x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1;5)$ . Đúng||Sai

c) Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1$ khi đó $I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0$ Sai||Đúng

d) Trong các hàm số $y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2}$ liên tục tại $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ và $f(1) = 2;f(5) = 10$ . Khi đó phương trình $f(x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1;5)$ . Đúng||Sai

c) Biết $\lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1$ khi đó $I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0$ Sai||Đúng

d) Trong các hàm số $y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

a) Vì không tồn tại f(2) nên hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2.

b) Xét phương trình $f(x) = 7 \Rightarrow f(x) - 7 = 0$

Đặt $g(x) = f(x) - 7$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} g(1) = f(1) - 7 = - 5 \\ g(5) = f(5) - 7 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow g(1).g(5) < 0$

Vậy phương trình đã cho cót ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;5)$ .

c) Ta có:

$I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + x - x + 1}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack - (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\left\{ \frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack}{x - 1} ight\} - 1$

$= 1.( - 1) - 1 = - 2$

d) Các hàm số liên tục trên tập số thực là $y = x^{2};y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ .
Câu 18: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2$ . Sai||Đúng

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = + \infty$ , do $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{2} = + \infty$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = 1$ .

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x ight)$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}x\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = + \infty$

Do $\lim_{x ightarrow - \infty}x = - \infty$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = - 2$ .

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x\left( 1 + \frac{2}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 0$ .

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x\left( 1 + \frac{3}{x} ight)}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{2}$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 19: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}$ ?
- A.
  $\frac{5}{4}$ .
- B.
  $- \frac{5}{4}$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $2$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(2x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x - 1}{x- 2} = \frac{5}{4}$ .
Câu 20: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ .
- A.
  $3$
- B.
  $- 3$
- C.
  $1$
- D.
  $- 2$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) = 3$
Câu 21: Nhận biết
Tính giới hạn M

Tính giới hạn $M = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .
- A.
  $M = 0$
- B.
  $M = 4$
- C.
  $M = - 4$
- D.
  $M = 2$
Ta có:

$M = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 2) = 4$
Câu 22: Vận dụng cao
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2018} + x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$
- A.
  $2018$
- B.
  $\frac{2019}{2018}$
- C.
  $\frac{2019}{2}$
- D.
  $\frac{2018}{2019}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018} +x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{(x -1)\left( x^{2017} + 2x^{2016} + 3.x^{2015} + .... + 2017x + 2018ight)}{(x - 1)\left( x^{2017} + x^{2016} + x^{2015} + .... + x + 1ight)}$

$= \dfrac{\dfrac{2018.2019}{2}}{2018} =\dfrac{2019}{2}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018}+ x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1} =\frac{2019}{2}$
Câu 23: Vận dụng cao

Giải toán và ghi lời giải vào ô trống

Cho hàm số $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 2020$ . Với $a eq 0,a,b,c\mathbb{\in R}$ và $a + 2b + 4c - 8 > 0$ . Biết $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ . Hỏi đồ thị hàm số $y = g(x) = a(x - 2021)^{3} + b(x - 2021)^{2} + c(x - 2021) - 1$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 2020$ . Với $a eq 0,a,b,c\mathbb{\in R}$ và $a + 2b + 4c - 8 > 0$ . Biết $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ . Hỏi đồ thị hàm số $y = g(x) = a(x - 2021)^{3} + b(x - 2021)^{2} + c(x - 2021) - 1$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 24: Nhận biết
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ với $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2}$ với $x eq 0$ . Tính $f(0)$ .
- A.
  $f(0) = 0$
- B.
  $f(0) = 2$
- C.
  $f(0) = 4$
- D.
  $f(0) = 1$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4$
Câu 25: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .
Câu 26: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{ khi }}x e 1} \\ {{\text{m khi }}x = 1} \end{array}} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có:
Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x = 1$ , tức là ta cần có:
$\lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)$
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)$
Ta lại có:
$f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1$
$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1$
Khi đó $(*)$ không thỏa mãn với mọi $m\mathbb{\in R}$
Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 27: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Đặt $I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$ . Sai||Đúng

b) Nếu $I = 0$ thì có 3 giá trị $a$ thỏa mãn. Sai||Đúng

c) Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Sai||Đúng

d) Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Đặt $I = \lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$ . Sai||Đúng

b) Nếu $I = 0$ thì có 3 giá trị $a$ thỏa mãn. Sai||Đúng

c) Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Sai||Đúng

d) Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$ . Sai||Đúng

a) Sai: Ta biến đổi được $I = \lim\frac{n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$

$\sqrt{n^{2} + a^{2}n} - \sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \rightarrow = 0\overset{\rightarrow}{}$ nhân lượng liên hợp.

Ta có $\lim\left( \sqrt{n^{2} + a^{2}n} -\sqrt{n^{2} + (a + 2)n + 1} \right)$ $= \lim\frac{\left( a^{2} - a - 2\right)n - 1}{\sqrt{n^{2} + n} + \sqrt{n^{2} + 1}}$

b) Sai: $I = \lim\frac{a^{2} - a - 2 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{a^{2} - a - 2}{2}$

Khi $I = 0 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 0 \Leftrightarrow a^{2} - a - 2 = 0$ $\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \\a = 2\end{matrix} \right.$

c) Sai: Nếu $I = 0$ thì tổng các giá trị $a$ tìm được bằng $1$ . Khi đó $- 1 + 2 = 1 \neq 0$

d) Sai: Có 2 giá trị $a$ nguyên để $I = 1$

Khi $I = 1 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - a- 2}{2} = 1$ $\Leftrightarrow a^{2} - a - 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}a = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \\a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\end{matrix} \right.$
Câu 28: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức H

Tính $H = \lim_{xightarrow 2}\frac{2 - x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
- A.
  $H = 6$
- B.
  $H = - 4$
- C.
  $H = 4$
- D.
  $H = - 6$
Ta có:
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2 -x}{\sqrt{x + 7} - 3}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x + 7} - 3 ight)\left(\sqrt{x + 7} + 3 ight)}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{x + 7 - 9}$
$H = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(2 -x)\left( \sqrt{x + 7} + 3 ight)}{- (2 - x)} = - 6$
Câu 29: Vận dụng
Xác định phương trình thỏa mãn yêu cầu

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng $(0;1)$ ?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ .
- B.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ .
- C.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ .
- D.
  $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ .
Xét phương án $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ : $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ có $\Delta = 9 - 32 = - 23$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ : $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$

Đặt $t = x^{2}(t \geq 0)$ , phương trình trở thành: $3t^{2} - 4t + 5 = 0$ .

$\Delta' = 4 - 15 = - 11$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ : $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{5} = x^{7} + 2$

$\forall x \in (0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 < 0 \Rightarrow (x - 1)^{5} < 0 \\ x^{7} + 2 > 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ : $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ , xét $f(x) = 3x^{2024} - 8x + 4$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 3.0 - 8.0 + 4 = 4 \\ f(1) = 3.1 - 8.1 + 4 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0$

Mặc khác hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ do đó liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ .

Vậy phương trình $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0;1)$ .
Câu 30: Thông hiểu

Xác định kết luận đúng, kết luận sai

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}$

Ta có: Khi $a = - 2$ thì $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ liên túc tại $x = \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0$
Câu 31: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị của tham số m

Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}\ khi\ x eq 0 \\m^{2} - 2m + 2\ khi\ x eq 0 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại $x = 0$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = 3$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = 1$
Ta có: $f(0) = m^{2} - 2m + 2$

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{x\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 1$

Hàm số liên tục tại $x = 0$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0)$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 = 0 \Rightarrow m = 1$
Câu 32: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + b > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + b > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Xét hàm số $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$

Theo giả thiết $4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0$ ;

$a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0$

Ta có $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$

$\left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(x^{3} + ax^{2} + bx + c ight) = - \infty \\f( - 2) > 0 \\\end{matrix} ight.$

Suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $( - \infty; - 2)$ $(1)$

$f( - 2)f(1) < 0$ nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $( - 2;1)$ $(2)$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} ight) = + \infty \hfill \\ f\left( 1 ight) < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; + \infty)$ $(3)$

Từ $(1)$ ; $(2)$ và $(3)$ ta có phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm.

Mặt khác $f(x) = 0$ là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm.
Câu 33: Nhận biết
Tìm giá trị của lim?

Giá trị của $\lim\sqrt[n]{a}$ với a> 0 bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.
Với a > 1 thì khi đó: $a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)$
Suy ra: $0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0$ nên $\lim\sqrt[n]{a} = 1$
Với 0 < a < 1 thì khi đó: $\frac{1}{a} >1$ .
Suy ra: $\lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1$
Tóm lại ta luôn có: $\lim\sqrt[n]{a} =1$ với a > 0 .
Câu 34: Thông hiểu
Giới hạn nào bằng -1

Trong giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?
- A.
  $\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}}$
- B.
  $\lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{2}-1}$
- C.
  $\lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}+2n^{2}}$
- D.
  $\lim\frac{2n^{3}-3}{-2n^{2}-1}$
Ta có:
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{4}{{{n^3}}}}} = 0$
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{ - 2 - \frac{1}{{{n^2}}}}} = - 1$
$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} + 2{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{2}{n}}} = 0$
$\lim \frac{{2{n^3} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 - \frac{3}{{{n^3}}}} ight)}}{{ - {n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} ight)}} = - \infty$
Câu 35: Vận dụng cao
Rút gọn biểu thức B

Rút gọn biểu thức $B = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {\left( { - 1} ight)^n}.{\sin ^{2n}}x + ...$ với $\sin x eq \pm 1$ ?
- A.
  $B = \sin^{2}x$
- B.
  $B = \cos^{2}x$
- C.
  $B = \frac{1}{1 +\sin^{2}x}$
- D.
  $B = \tan^{2}x$
Ta có:

$\begin{matrix} B = \underbrace {1 - {{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x - {{\sin }^6}x + ... + {{\left( { - 1} ight)}^n}.{{\sin }^{2n}}x + ...}_{CSN:{u_1};q = - {{\sin }^2}x} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 36: Thông hiểu
Xác định mệnh đề đúng

Cho phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Phương trình không có nghiệm trong khoảng $( - 1;1)$
- B.
  Phương trình không có nghiệm trong khoảng $( - 2;0)$
- C.
  Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng $( - 2;1)$
- D.
  Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $(0;2)$
Xét hàm số $f(x) = 2x^{4} - 5x^{2} + x +1$ là đa thực có tập xác định $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f( - 1) = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0$ => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc $( - 1;1)$ .
$\left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f(1) = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0$ => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc $(0;1)$ .
$\left\{ \begin{matrix}f(1) = - 1 \\f(2) = 15 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f(2) < 0$ => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc $(1;2)$ .
Vậy phương trình (*) đã cho có các nghiệm $x_{1};x_{2};x_{3}$ thỏa mãn $- 1 < x_{1} < 0 < x_{2} < 1 < x_{3}< 2$ .
Câu 37: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng?

Kết quả đúng của $\lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight)$ là:
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  –4
- D.
  $\frac{1}{4}$
Xét: $\frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}$

Ta có: $\lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1}ight) = \lim( - \frac{1}{n}.\frac{1}{1 + 1:n^{2}}) = 0$

Suy ra $\lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1} ight) = 0$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 0\ \Rightarrow \lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 5$ .
Câu 38: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $c^{2} + a = 18$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{ax^{2} + bx} - cx ight) = - 2$ . Tính giá trị biểu thức $P = a + b + 5c$ .
- A.
  $P = 18$
- B.
  $P = 12$
- C.
  $P = 9$
- D.
  $P = 5$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left(\sqrt{ax^{2} + bx} - cx ight)$ $= \lim_{x ightarrow +\infty}\frac{\left( a - c^{2} ight).x^{2} + bx}{\sqrt{ax^{2} + bx} +cx}$ $= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( a - c^{2} ight).x +b}{\sqrt{a + \frac{b}{x}} + c} = - 2$

Khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{matrix}a - c^{2} = 0 \\\dfrac{b}{\sqrt{a} + c} = - 2 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = c^{2} \\b = - 2\sqrt{a} - 2c \\\end{matrix} ight.\ ight.$ .

Kết hợp với $c^{2} + a = 18$

Khi đó $2c^{2} = 18 \Leftrightarrow c^{2} = 9 ightarrow a = 9$ và $c= 3$ (vì $c eq - \sqrt{a})$

Vậy $b = - 2\sqrt{a} - 2c = - 2\sqrt{9} - 2.3 = - 12$ nên $a + b + 5c = 9 - 12 + 5.3 = 12$ .
Câu 39: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ liên tục trên khoảng $( - 4; + \infty)$ Sai||Đúng

b) Phương trình $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 2; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ khi $x ightarrow 2$ bằng -1. Sai||Đúng

d) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

Đáp án là:

Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ liên tục trên khoảng $( - 4; + \infty)$ Sai||Đúng

b) Phương trình $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 2; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Giới hạn của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ khi $x ightarrow 2$ bằng -1. Sai||Đúng

d) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}$ là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

a) Ta có:

$f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12}$ có điều kiện xác định

$( - \infty; - 4) \cup ( - 4; - 3) \cup ( - 3; + \infty)$

Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.

b) Đặt $3x^{4} + 5x^{3} + 10 = f(x)$

f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên $\lbrack - 2; - 1brack\ \ (*)$

Ta có: $f( - 2) = - 126;f( - 1) = 2$

$\Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0(**)$

Từ (*) và (**) suy ra phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm thuộc $( - 2; - 1)$ .

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( x^{2} - 3x ight) = - 2$

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x - 1) = 1$

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi $x ightarrow 2$

d) Ta có: với n chẵn

$\lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = + \infty$

Với n lẻ $\lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = - \infty$

Suy ra dãy số không bị chặn.
Câu 40: Nhận biết
Tính giới hạn?

Giá trị của ${D = \lim}\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  4
Ta có:

$\lim\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}= \lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}}=4$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

81 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm