VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số a

Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .
- A.
  $a = 0$
- B.
  $a = - 1$
- C.
  $a = 2$
- D.
  $a = 1$
Ta có:

$f(1) = a$

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ $= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x -1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x + 1) = 1$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$

$= > a = 2$
Câu 2: Thông hiểu
Xác định giới hạn

Xác định $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)$
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)\left( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3} ight)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x + 1 - (x - 3)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{4}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}$

$= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 -\dfrac{3}{x}} ight)} = 0$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm giá trị của m

Tìm m để hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2\sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\mx + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .
- A.
  $- \frac{4}{3}$
- B.
  $- \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{4}{3}$
- D.
  $\frac{2}{3}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{2\sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{2\left( \sqrt[3]{x} - 1 ight) - (x - 1)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1} - 1 ight) = - \frac{1}{3}$

Dễ thấy hàm số liên tục khi $x eq 1$ . Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} = m + 1$

$\Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}$
Câu 4: Thông hiểu
Kết quả của giới hạn bằng bao nhiêu

Kết quả của giới hạn $\lim \frac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}}$ bằng:
- A.
  1
- B.
  0
- C.
  2
- D.
  3
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}} \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}} + \dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}}} ight) + \lim \left( {\dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant \left| {\dfrac{{3\sin n}}{{n + 1}}} ight| \leqslant \dfrac{3}{{n + 1}} \to 0} \\ {0 \leqslant \left| {\dfrac{{4\cos n}}{{n + 1}}} ight| \leqslant \dfrac{3}{{n + 1}} \to 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim f\left( x ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Vận dụng
Tính giá trị m

Cho số thực m thỏa mãn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}$ . Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?
- A.
  $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $m = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $m = \frac{1}{2}$
- D.
  $m = - \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính giới hạn?

Tính giá trị của giới hạn sau $\lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}}$ là?
- A.
  $+ \infty$
- B.
  10
- C.
  0
- D.
  $- \infty$
Ta có:

$\lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} = \lim\frac{10}{n^{2}\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}}$

Nhưng ${\ \lim}\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}} = 1$ và $\lim\frac{10}{n^{2}\ } = 0$

Nên $\lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} = 0$
Câu 7: Thông hiểu
Xác định giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\frac{x}{{{x^3} - 6}}}$ bằng:
- A.
  $+\infty$
- B.
  1
- C.
  0
- D.
  $-\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x + 50)\sqrt {\dfrac{x}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{x{{\left( {x + 50} ight)}^2}}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 100{x^2} + 50x}}{{{x^3} - 6}}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{1 + \dfrac{{100}}{{{x^2}}} + \dfrac{{50}}{{{x^3}}}}}{{1 - \dfrac{6}{{{x^3}}}}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

a) Đúng.

Ta có : $f( - 5) = - 5 + 17 = 12$ , $f(10) = 10 + 17 = 27$ (mệnh đề a) đúng)

b) Sai.

Với $x < - 5$ ta có $f(x) = x^{2} + mx + n$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $( - \infty; - 5)$ .

Với $- 5 < x < 10$ ta có $f(x) = x + 17$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(-5; 10)$ .

Với $x > 10$ ta có $f(x) = mx + n + 10$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(10 ;+\infty)$ .

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ .

Ta có:

$f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight)$ $= - 5m + n + 25$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10$ .

Hàm số liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ khi

$\left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight.$ (mệnh đề b) sai).

c) Sai.

Ta có $2m + n = 1$ không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

d) Sai.

Ta có: $y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx$

Xét phương trình ẩn $x$ :

$2\sin x - 3\cos x = y$

$\Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$ .

$\Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}$

Ta có

$\left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}$

Suy ra GTLN của $y$ bằng $\sqrt{13}$ khi $\sin(x - \alpha) = 1$ hay $x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Vậy khẳng định d) sai.
Câu 9: Thông hiểu
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\lbrack - 3;3brack$ với $f(x) = \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 - x}}{x}$ với $x eq 0$ . Tính giá trị $f(0)$
- A.
  $f(0) = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $f(0) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $f(0) = 1$
- D.
  $f(0) = 0$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\lbrack - 3;3brack$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3 - x}}{x} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{3 - x}} ight) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Câu 10: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

a) Xét hàm số $\cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ ta có: $f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

Vì $f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ .

b) Ta có:

$x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0$

d) Ta có: $D = \mathbb{R}$

với $x eq 0$ thì $f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi $x eq 0$ . Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0; + \infty)$

Tại $x = 0$ ta có: $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2$

Để hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2$ .

Vậy để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị là $2$ .
Câu 11: Nhận biết
Tìm giới hạn của B

Giá trị của $B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  -3
- D.
  1
Ta có:

$B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} = \lim\frac{\frac{\sin n}{n} - 3}{1} = - 3$
Câu 12: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn sau:

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = + \infty$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = - \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = 0$ . Đúng||Sai

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = 2$ . Sai||Đúng

a) $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x^{2} + 3 ight) = \lim_{x ightarrow + \infty}x^{2}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = + \infty$ , do $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{2} = + \infty$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight) = 1$ .

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + x} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( - x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x ight)$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}x\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = + \infty$

Do $\lim_{x ightarrow - \infty}x = - \infty$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1 ight) = - 2$ .

c) $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{x + 2} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x\left( 1 + \frac{2}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = 0$ .

d) $\lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x + 3}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2x}{x\left( 1 + \frac{3}{x} ight)}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{3}{x}}} = \sqrt{2}$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm số giao điểm của hàm số với trục hoành

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó số giao điểm của hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ với trục $Ox$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ bậc ba nên đồ thị hàm số cắt Ox tối đa tại 3 điểm (1)

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty$ suy ra $\exists\alpha < - 2$ sao cho $f(\alpha) < 0$

Lại có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty$ suy ra $\exists\beta > 2$ sao cho $f(\beta) > 0$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix} y(\alpha).y( - 2) < 0 \\ y( - 2).y(2) < 0 \\ y(2).y(\beta) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất ba điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại đúng ba điểm.
Câu 14: Nhận biết
Xác định kết quả giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1}$
- A.
  $- 5$
- B.
  $5$
- C.
  $0$
- D.
  $- 3$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}(x + 4) = 5$
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Nếu hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3$ thì $\lim_{x ightarrow 1}3f(x)$ bằng
- A.
  $3$ .
- B.
  $- 3$
- C.
  $9$ .
- D.
  $6$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}3f(x) = 3\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 9$ .
Câu 16: Nhận biết
Bổ sung thêm giá trị của f(0)

Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $\frac{5}{7}$
- B.
  $\frac{1}{7}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{-5}{7}$
Ta có:
Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$
Câu 17: Vận dụng cao
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số a

Tìm tất cả các giá trị nguyên của a thuộc (0; 2018) để $\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n + 1}}{3^{n} + 4^{n+ a}}} \leq \dfrac{1}{1024}$
- A.
  $2007$
- B.
  $2008$
- C.
  $2017$
- D.
  $2016$
Ta có:

$\lim\sqrt[4]{\dfrac{4^{n} + 2^{n +1}}{3^{n} + 4^{n + a}}} = \lim\sqrt[4]{\dfrac{1 + 2\left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}{\left( \dfrac{3}{4} ight)^{n} + 4^{n}}}$

$\begin{matrix} = \sqrt {\dfrac{1}{{{4^a}}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{{\left( {{2^a}} ight)}^2}}}} = \dfrac{1}{{{2^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{1024}} \hfill \\ \Leftrightarrow {2^a} \geqslant 1024 = {2^{10}} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 10 \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $\left\{ \begin{matrix} a \in (0;2018) \\ a\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 10;11;...;2017 ight\}$

Vậy có tất cả 2008 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 18: Nhận biết
Tính giới hạn

Giá trị của $A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  2
- D.
  1
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2$

Ta có:

$\left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}$

Vậy A=2.
Câu 19: Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây không liên tục

Hàm số nào dưới đây không liên tục trên khoảng $( - 1;1)$ ?
- A.
  $y = \cos x$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \tan x$
- D.
  $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Xét hàm số $y = \left\{ \begin{matrix} \sin x\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ \cos x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ với $x \in ( - 1;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sin x = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \cos x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x ightarrow 0}f(x)$ nên hàm số không liên tục tại x = 0

Vậy hàm số không liên tục trên $( - 1;1)$ .
Câu 20: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Ta có:

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 21: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}$ . Tính $\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}$ .
- A.
  $0$ .
- B.
  $\frac{4}{5}$ .
- C.
  $\frac{4}{25}$ .
- D.
  $\frac{25}{4}$ .
Ta có:

$\lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0$
Câu 22: Nhận biết
Hàm số không liên tục

Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$ nên không liên tục tại $x = 2$ .
Câu 23: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

$\lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{6}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $\frac{\sqrt[3]{2}}{6}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}} = \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} ight)}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} = \dfrac{1}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}$ , trong đó $a$ là tham số thực.
a) Khi $a = 2$ thì $\lim u_{n} = 1.$ Đúng||Sai
b) Khi $a = 3$ thì $\lim u_{n} = \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng
c) Khi $a = - 3$ thì $\lim u_{n} = - \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai
d) Khi $a = - 2$ thì $\lim u_{n} = - 1.$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}$ , trong đó $a$ là tham số thực.
a) Khi $a = 2$ thì $\lim u_{n} = 1.$ Đúng||Sai
b) Khi $a = 3$ thì $\lim u_{n} = \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng
c) Khi $a = - 3$ thì $\lim u_{n} = - \frac{3}{2}$ . Đúng||Sai
d) Khi $a = - 2$ thì $\lim u_{n} = - 1.$ Đúng||Sai

Ta có
$\sqrt{n^{2} + an + 5} - \sqrt{n^{2} + 1}ightarrow 0\overset{ightarrow}{}$ Nhận lượng liên hợp :
$\lim u_{n} = \lim\left( \sqrt{n^{2} + an+ 5} - \sqrt{n^{2} + 1} ight)$
$= \lim\frac{an + 4}{\sqrt{n^{2} + an +5} + \sqrt{n^{2} + 1}}$
$= \lim\frac{a + \dfrac{4}{n}}{\sqrt{1 +\dfrac{a}{n} + \dfrac{5}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}}}} =\dfrac{a}{2}$
Câu 25: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Biết giới hạn $\lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a$ và $\lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0. Đúng||Sai

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$ . Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = b$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = \frac{3}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} = a$ và $\lim\frac{n\sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = b$ . Khi đó:

a) Giá trị $a$ nhỏ hơn 0. Sai||Đúng

b) Giá trị $b$ lớn hơn 0. Đúng||Sai

c) Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$ . Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = b$ và $u_{1} = a$ , thì $u_{3} = \frac{3}{2}$ . Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim\dfrac{2n^{2} + 1}{3n^{3} - 3n + 3} =\lim\dfrac{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^{3}} ight)}{n^{3}\left(3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}} ight)}$

$= \lim\dfrac{\dfrac{2}{n} +\dfrac{1}{n^{3}}}{3 - \dfrac{3}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}}} = \dfrac{0}{3} =0$

b) Ta có:

$\lim\dfrac{n\sqrt{n^{2} +1}}{\sqrt{4n^{4} - n^{2} + 3}} = \lim\dfrac{n^{2}\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{n^{2}\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} +\dfrac{3}{n^{4}}}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{4 - \dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{4}}}} =\dfrac{1}{2}$ .

c) Phương trình lượng giác $\cos x = 0$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi}{2}$

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = 0$ , thì $u_{3} = 0 + 2.\frac{1}{2} = 1$

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 26: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$ bằng:
- A.
  $-\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $-\infty$
- D.
  $+\infty$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 1}} = - \infty$
Do $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} ight) = 3 \hfill \\ x \to {1^ - } \Rightarrow x - 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 27: Thông hiểu
Tính giới hạn E

Tính giới hạn $E = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$
- A.
  $E = - \infty$
- B.
  $E = 0$
- C.
  $E = \sqrt{6}$
- D.
  $E = + \infty$
Ta có:

$E = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{\sqrt{(x - 3)^{2}}}{\sqrt{(x - 3)(x + 3)}} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3}} = 0$
Câu 28: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Biết rằng hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2}\ khi\ x eq 3 \\a\ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 3$ (a là tham số. Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $a \in ( - 3;0)$
- B.
  $a \leq - 3$
- C.
  $a \in \lbrack 0;5)$
- D.
  $a \in \lbrack 5; + \infty)$
Tập xác định $D = ( - 1; + \infty)$

Theo giả thiết ta có:

$a = f(3) = \lim_{x ightarrow 3}f(x)$

$\Rightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\left( \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} ight)$

$\Leftrightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(3 - x)\left( \sqrt{x + 1} + 2 ight)}{x - 3}$

$\Leftrightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\left( \sqrt{x + 1} + 2 ight)$

$\Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow a \leq - 3$
Câu 29: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1}$ bằng
- A.
  $+ \infty$ .
- B.
  $- \infty$ .
- C.
  1.
- D.
  0.
Đặt $f(x) = x + 1;g(x) = x - 1$ .

Ta có $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0$ khi $x ightarrow 1^{+}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty$ .
Câu 30: Vận dụng
Xác định phương trình thỏa mãn yêu cầu

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng $(0;1)$ ?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ .
- B.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ .
- C.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ .
- D.
  $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ .
Xét phương án $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ : $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ có $\Delta = 9 - 32 = - 23$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ : $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$

Đặt $t = x^{2}(t \geq 0)$ , phương trình trở thành: $3t^{2} - 4t + 5 = 0$ .

$\Delta' = 4 - 15 = - 11$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ : $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{5} = x^{7} + 2$

$\forall x \in (0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 < 0 \Rightarrow (x - 1)^{5} < 0 \\ x^{7} + 2 > 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ : $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ , xét $f(x) = 3x^{2024} - 8x + 4$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 3.0 - 8.0 + 4 = 4 \\ f(1) = 3.1 - 8.1 + 4 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0$

Mặc khác hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ do đó liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ .

Vậy phương trình $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0;1)$ .
Câu 31: Nhận biết
Hãy chọn kết luận đúng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.$ . Hãy chọn kết luận đúng.
- A.
  Hàm số liên tục phải tại x = 1
- B.
  Hàm số liên tục tại x = 1
- C.
  Hàm số liên tục trái tại x = 1
- D.
  Hàm số liên tục tại $\mathbb{R}$
Ta có: $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3$

=> Hàm số liên tục phải tại x = 1
Câu 32: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$

và $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{2}.$ Đúng||Sai

b) $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{3}.$ Sai||Đúng

c) $S > T$ Đúng||Sai

d) $S = \frac{1}{T}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$

và $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{2}.$ Đúng||Sai

b) $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + ( - 1)^{n}\frac{1}{3^{n}} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q = \frac{1}{3}.$ Sai||Đúng

c) $S > T$ Đúng||Sai

d) $S = \frac{1}{T}$ Sai||Đúng

a) Đúng: Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = \frac{1}{2}.$

$\ \Rightarrow S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2.$

b) Sai: Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = - \frac{1}{3}.$

Vì vậy $T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} - \ldots + \left( - \frac{1}{3} \right)^{n} + \ldots = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}.$

c) Đúng: $S = 2$ , $T = \frac{3}{4} \Rightarrow S > T$ .

d) Sai: $\Rightarrow S > T$
Câu 33: Vận dụng
Tính giới hạn của dãy số

Tính giới hạn của hàm số $\lim\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}} ight)$ .
- A.
  $0$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $1$
Ta có:

$\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}}$

$= \frac{1}{n^{2}}(1 + 2 + .. + n - 1)$

$= \frac{1}{n^{2}}.\frac{(n - 1)(1 + n - 1)}{2}$

$= \frac{n^{2} - n}{2n^{2}}$

$\Rightarrow \lim\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n - 1}{n^{2}} ight) = \lim\frac{n^{2} - n}{2n} = \frac{1}{2}$
Câu 34: Nhận biết

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Giả sử ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = a$ và $\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = b$ . Với $\left( a;b\mathbb{\in R} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = a.\ b$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$ . Sai||Đúng

d) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = a + \frac{2b}{a}\ \$ với $(a \neq 0).$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Giả sử ta có $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = a$ và $\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = b$ . Với $\left( a;b\mathbb{\in R} \right)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = a.\ b$ . Đúng||Sai

b) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b$ . Đúng||Sai

c) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$ . Sai||Đúng

d) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = a + \frac{2b}{a}\ \$ với $(a \neq 0).$ Sai||Đúng

a) Đúng: Vì theo định lí về giới hạn hữu hạn.

b) Đúng: Vì $\lim_{x \rightarrow x_{\ _{0}}}\ \left\lbrack cf(x) \right\rbrack = c\lim_{x \rightarrow x_{\ _{0}}}f(x)(c\mathbb{\in R})$ nên $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 2f(x) - g(x) \right\rbrack = 2a - b.$

c) Sai: Vì b có thể bằng 0.

d) Sai: Vì $\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack \frac{f(x) + 2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack 1 + \frac{2g(x)}{f(x)} \right\rbrack = 1 + \frac{2b}{a}\ \ \ ;(a \neq 0).$
Câu 35: Thông hiểu
Tính giới hạn?

Giá trị của $C =\lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n + 1)^{2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 4$
- D.
  1
$C = \lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n +1)^{2}}$

$= \lim\frac{n^{3} + 1}{n(4n^{2} + 4n +1)} = \lim\frac{n^{3} + 1}{4n^{3} + 4n^{2} + n}$

$= \lim\frac{1 + \dfrac{1}{n^{3}}}{4 +\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{4}$
Câu 36: Vận dụng
Nhận xét về số nghiệm của phương trình trên đoạn

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ sao cho $f(-1) = 2, f(4) = 7$ . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f(x) = 5$ trên đoạn $[-1;4]$ :
- A.
  Vô nghiệm
- B.
  Có ít nhất một nghiệm
- C.
  Có đúng một nghiệm
- D.
  Có đúng hai nghiệm
Ta có: $f(x)=5 =>f(x)−5=0$
Đặt $g(x)=f(x)−5$
Khi đó:
$\begin{matrix}\left\{ \begin{gathered}g( - 1) = f( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \hfill \\g(4) = f(4) - 5 = 7 - 5 = 2 \hfill \\\end{gathered} ight. \hfill \\\Rightarrow g( - 1).g(4) < 0 \hfill \\\end{matrix}$
Vậy phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ hay phương trình $f(x)=5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ .
Câu 37: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Ta có hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ không xác định tại $x = 2$ nên hàm số không liên tục tại $x = 2$

NB
Câu 38: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: $C(x) = 50000 + 105x$ . Tính $\lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Đáp án: 105

Đáp án là:

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: $C(x) = 50000 + 105x$ . Tính $\lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Đáp án: 105

Ta có:

${\lim}_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\bar{C}(x) = \lim_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\frac{50000 + 105x}{x}$

$= \lim_{x ightarrow +\infty}\mspace{2mu}\dfrac{x\left( \dfrac{50000}{x} + 105ight)}{x}$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\mspace{2mu}\left( \frac{50000}{x} + 105 ight) = 105$
Câu 39: Thông hiểu
Tính giới hạn E

Tính giới hạn $E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)$
- A.
  $E = \frac{3}{2}$
- B.
  $E = \frac{1}{2}$
- C.
  $E = \frac{17}{11}$
- D.
  $E = \frac{46}{31}$
Ta có:

$E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)$

$E = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)\left( x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)}{x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2}}$

$E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{(x + 1)^{2} - \left( x^{2} - x - 2 ight)^{2}}{x + 1 +\sqrt{x^{2} - x - 2}}$

$E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x\left( 3 + \dfrac{3}{x} ight)}{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} +\sqrt{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^{2}}} ight)}$

$E = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} -\dfrac{2}{x^{2}}}} = \dfrac{3}{2}$
Câu 40: Vận dụng cao
Tìm giá trị k để hàm số liên tục tại điểm

Cho hàm số $y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}\ \ khi\ xeq 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm giá trị k để hàm số $y = f(x)$ liên tục tại $x = 1$
- A.
  $m = 2\sqrt{2019}$
- B.
  $m = \frac{2017\sqrt{2018}}{2}$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = \frac{2018\sqrt{2019}}{2017}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2016} + x - 2}{\sqrt{2018x + 1} - \sqrt{x + 2018}}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{2016} - 1 + x - 1 ight)\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018x + 1 - (x + 2018)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2018(x - 1) - (x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack \left( x^{2015} + x^{2014} + ... + 1 ight) + 1 ightbrack\left( \sqrt{2018x + 1} + \sqrt{x + 2018} ight)}{2017}$

$= \frac{2017.2\sqrt{2019}}{2017} = 2\sqrt{2019}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

98 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm