VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu

Xác định kết luận đúng, kết luận sai

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3}$ Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3$ khi $a = - 2$ Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = \sqrt{3}$ Đúng||Sai

c) $\lim\frac{\cos n}{n} = + \infty$ Sai||Đúng

Ta có: $\lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}$

Ta có: Khi $a = - 2$ thì $\lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ liên túc tại $x = \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0$
Câu 2: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

Giới hạn $L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  3
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

$L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} = 3$
Câu 3: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Biết giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}$ , $a$ là số thực, $b, c$ là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ tối giản.

Tính tổng: $a + b + c$ .

Đáp án: 0

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}$ , $a$ là số thực, $b, c$ là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ tối giản.

Tính tổng: $a + b + c$ .

Đáp án: 0

Vì $\lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0$ nên $\lim_{x ightarrow 2}\left( \sqrt{3x + 3} + a ight) = 0$ .

Suy ra $a = - 3$ .

Với $a = - 3$ ta được

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( \sqrt{3x + 3} - 3 ight)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{3x - 6}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3}{\sqrt{3x + 3} + 3} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $b = 1;c = 2$ .

Suy ra $a + b + c = 0$ .
Câu 4: Thông hiểu
Giới hạn nào không tồn tại

Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?
- A.
  $\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x + 1)^{2}}$
- B.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 1}{x^{2} + 1}$
- C.
  $\lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x + 1}}$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos x ight)$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x + 1)^{2}} = - \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +1}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = 0$

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x + 1}} = 0$

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos x ight)$ không xác định.
Câu 5: Nhận biết
Tính giới hạn

Giá trị của $A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  2
- D.
  1
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2$

Ta có:

$\left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}$

Vậy A=2.
Câu 6: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Biết $\lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n} = \frac{a - \sqrt{b}}{c}$ (biết $a,b,c$ là các số nguyên dương). Tính $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ?

Đáp án: 14

Đáp án là:

Biết $\lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n} = \frac{a - \sqrt{b}}{c}$ (biết $a,b,c$ là các số nguyên dương). Tính $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ?

Đáp án: 14

Ta có:

$\lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n}= \lim\frac{n.\left( 1 - \sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}} ight)}{n\left( 3 +\frac{4}{n} ight)}$

$= \lim\frac{1 - \sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}}}{3 + \frac{4}{n}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{3}$

Do đó $a = 1,b = 2,c = 3 \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 14.$
Câu 7: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Đáp án là:

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đáp án: 3

Phần giải chi tiết

Tập xác định $\mathcal{D} = \mathbb{R}$ .

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;2),(2; + \infty)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(2) = m \\ \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3. \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x) \Leftrightarrow m = 3$ .
Câu 8: Nhận biết
Tìm hàm số không liên tục

Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại $x = 1$ ?
- A.
  $y = \frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$
- B.
  $y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1}$
- C.
  $y = (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)$
- D.
  $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x + 1}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên hàm số $y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1}$ gián đoạn tại điểm $x = 1$
Câu 9: Nhận biết
Hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào

Cho hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?
- A.
  $( - 3;2)$
- B.
  $( - 2; + \infty)$
- C.
  $( - \infty;3)$
- D.
  $(2;3)$
Hàm số có nghĩa khi $x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Rightarrow x eq - 3;x eq - 2$

Vậy hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; + \infty)$
Câu 10: Nhận biết
Tính giá trị?

Giá trị của $C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

$lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0$
Câu 11: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)} ight]$ bằng:
- A.
  $\sqrt{5}$
- B.
  $\frac{5}{\sqrt{2}}$
- C.
  $\frac{5}{2}$
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) $\lim(\sqrt{3})^{n} = - \infty$ Sai||Đúng

b) $\lim\pi^{n} = 0$ Sai||Đúng

c) $\lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = + \infty$ Đúng||Sai

d) $\lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = - \infty$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) $\lim(\sqrt{3})^{n} = - \infty$ Sai||Đúng

b) $\lim\pi^{n} = 0$ Sai||Đúng

c) $\lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = + \infty$ Đúng||Sai

d) $\lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = - \infty$ Đúng||Sai

a) $\lim(\sqrt{3})^{n} = +\infty$ (do $\sqrt{3} > 1)$

b) $\lim\pi^{n} = + \infty($ do $\pi > 1)$

c) $\lim\left( n^{3} + 2n^{2} - 4 ight) = \lim n^{3}.\left( 1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = + \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \lim n^{3} = + \infty \\ \lim\left( 1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$

d) $\lim\left( - n^{4} + 5n^{3} - 4n ight) = \lim n^{4}.\left( - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = - \infty$ .

Vì $\left\{ \begin{matrix} \lim n^{4} = + \infty \\ \lim\left( - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{n^{3}} ight) = - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng
Câu 13: Nhận biết
Tính giới hạn của dãy số

$\lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  $+\infty$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{4}{7}$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {m{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x = 2$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$ chứa $x = 2$

Theo giả thiết ta có:

$m = f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x)$

$\Rightarrow m = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3$
Câu 15: Thông hiểu
Tính giá trị?

Giá trị của $B = \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{(3n - 1)^{2}\ }$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $- \frac{4}{9}$
- D.
  1
$B = \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{(3n - 1)^{2}\ }$

$= \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{{9n}^{2} -6n + 1 }$

$= \lim\frac{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{9 -\frac{6}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = - \frac{4}{9}$
Câu 16: Vận dụng
Xác định phương trình thỏa mãn yêu cầu

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng $(0;1)$ ?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ .
- B.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ .
- C.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ .
- D.
  $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ .
Xét phương án $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ : $2x^{2} - 3x + 4 = 0$ có $\Delta = 9 - 32 = - 23$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$ : $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$

Đặt $t = x^{2}(t \geq 0)$ , phương trình trở thành: $3t^{2} - 4t + 5 = 0$ .

$\Delta' = 4 - 15 = - 11$

=> Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$ : $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{5} = x^{7} + 2$

$\forall x \in (0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 < 0 \Rightarrow (x - 1)^{5} < 0 \\ x^{7} + 2 > 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Xét phương án $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ : $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ , xét $f(x) = 3x^{2024} - 8x + 4$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 3.0 - 8.0 + 4 = 4 \\ f(1) = 3.1 - 8.1 + 4 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0$

Mặc khác hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ do đó liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ .

Vậy phương trình $3x^{2024} - 8x + 4 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0;1)$ .
Câu 17: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Khi đó

a) $f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ . Đúng||Sai

b) $m > 0,\ \ n > 0$ . Sai||Đúng

c) $2m + n$ là số nguyên tố. Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m.\sin x+ n.\cos x$ là $\sqrt{12}$ . Sai||Đúng

a) Đúng.

Ta có : $f( - 5) = - 5 + 17 = 12$ , $f(10) = 10 + 17 = 27$ (mệnh đề a) đúng)

b) Sai.

Với $x < - 5$ ta có $f(x) = x^{2} + mx + n$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $( - \infty; - 5)$ .

Với $- 5 < x < 10$ ta có $f(x) = x + 17$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(-5; 10)$ .

Với $x > 10$ ta có $f(x) = mx + n + 10$ , là hàm đa thức nên liên tục trên $(10 ;+\infty)$ .

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ .

Ta có:

$f( - 5) = 12$ ; $f(10) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight)$ $= - 5m + n + 25$ .

$\lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27$ .

$\lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10$ .

Hàm số liên tục tại $x = - 5$ và $x = 10$ khi

$\left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight.$ (mệnh đề b) sai).

c) Sai.

Ta có $2m + n = 1$ không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

d) Sai.

Ta có: $y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx$

Xét phương trình ẩn $x$ :

$2\sin x - 3\cos x = y$

$\Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$ .

$\Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}$

Ta có

$\left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1$

$\begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}$

Suy ra GTLN của $y$ bằng $\sqrt{13}$ khi $\sin(x - \alpha) = 1$ hay $x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi$ , với $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Vậy khẳng định d) sai.
Câu 18: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức P

Biết rằng $\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}} = b\sqrt{3} + c$ với $a,b,c$ là các tham số. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{a + c}{b^{3}}$ .
- A.
  $P = 3$
- B.
  $P = \frac{1}{3}$
- C.
  $P = 2$
- D.
  $P = \frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{an^{3} + 5n^{2} - 7}}{\sqrt{3n^{2} - n + 2}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt[3]{a + \dfrac{5}{n} -\dfrac{7}{n^{3}}}}{\sqrt{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}}} =\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{3}} =\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt[3]{a}}{3}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt[3]{a}}}{3} = b\sqrt 3 + c \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt[3]{a} = \dfrac{b}{3}} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow P = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Tìm được các giới hạn một bên sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$ Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty$ Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty$ Sai||Đúng

d) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn một bên sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$ Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty$ Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty$ Sai||Đúng

d) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ .

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (2x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty$ (do $\lim_{x ightarrow 1^{+}}(2x - 1) = 1$ và $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty$ ).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x(x - 3)}{(x -3)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( x\frac{1}{x - 3} ight) = - \infty$

Do $\lim_{x ightarrow 3^{-}}x = 3$ và $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{1}{x - 3} = - \infty$ .

d) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} ightbrack = 3 \cdot \sqrt{\frac{0}{2}} = 0$
Câu 20: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3}$ .
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $0$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( { - {x^2} + 5} ight) = - 4 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} ight) = 0 \hfill \\ x - 3 > 0,\forall x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do đó $\lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3} = - \infty$
Câu 21: Nhận biết
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 1} - x)$ bằng
- A.
  $+\infty$
- B.
  $0$
- C.
  $\sqrt{\frac{1}{2}}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}}$ .
- A.
  $2$
- B.
  $7$
- C.
  $0$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{7^{n}}}{\dfrac{2.5^{n} +7^{n}}{7^{n}}}$

$= \lim\dfrac{4.\left( \dfrac{3}{7}ight)^{n} + 7}{2.\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n} + 1} = 7$
Câu 23: Vận dụng cao
Tính lim

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2;u_{2} = 4 \\ u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_{n} + 5;(n \geq 1) \\ \end{matrix} ight.$ . Tính $\lim_{n ightarrow\infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}}$ .
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ \end{matrix}$

Đặt $\Rightarrow v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} \Rightarrow v_{n + 1} = v_{n} + 5;(n \geq 1)$

Từ đó:

$\begin{matrix} {u_2} - {u_1} = 2 \hfill \\ {u_3} - {u_2} = 7 \hfill \\ {u_4} - {u_3} = 12 \hfill \\ ... \hfill \\ {u_{n + 1}} - {u_n} = 5n - 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Khi đó:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 + 7 + 12 + ... + \left( {5n - 3} ight) \hfill \\ = \dfrac{{n\left[ {2 + \left( {5n - 3} ight)} ight]}}{2} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Từ đó ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + {u_1} \hfill \\ = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + 2 = \dfrac{{5{n^2} - n + 4}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy $u_{n} = \frac{5n^{2} - 11n + 10}{2}$

=> $\lim_{n ightarrow \infty}\frac{u_{n}}{n^{2}} = \lim_{n ightarrow \infty}\left( \frac{5n^{2} - 11n + 10}{2} ight) = \frac{5}{2}$
Câu 24: Nhận biết
Tìm khoảng liên tục

Hàm số $f(x) =\dfrac{x^{2} + x\cos x + \sin x}{2sinx + 3}$ liên tục trên:
- A.
  $\lbrack - 1;1brack$
- B.
  $\lbrack 1;5brack$
- C.
  $\left( - \frac{3}{2}; + \infty ight)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có: $2sinx + 3 eq 0,\forall x\mathbb{\in R}$

=> Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Câu 25: Thông hiểu
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$ bằng
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $-\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}$
Câu 26: Thông hiểu
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0

Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?
- A.
  $(0,999)^{n}$
- B.
  $(-1,01)^{n}$
- C.
  $(1,01)^{n}$
- D.
  $(-2,001)^{n}$
Ta có: $\lim {(0,999)^n} = 0$
Do $(0,999)^{n}$ là dãy cấp số nhân có $\left| q ight| < 1$
Câu 27: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + c > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Đáp án là:

Cho các số thực $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $4a + c > 8 + 2b$ và $a + b + c < - 1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ bằng

Đáp án: 3

Xét hàm số $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$

Theo giả thiết $4a + c > 2b + 8 \Leftrightarrow - 8 + 4a - 2b + c > 0 \Rightarrow f( - 2) > 0$

$a + b + c < - 1 \Leftrightarrow 1 + a + b + c < 0 \Rightarrow f(1) < 0$

Ta có $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ f( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $( - \infty; - 2)(1)$

$f( - 2)f(1) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $( - 2;1)(2)$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ f(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; + \infty)(3)$

Từ $(1)$ ; $(2)$ và $(3)$ ta có phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm.

Mặt khác $f(x) = 0$ là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm.
Câu 28: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 6$
- C.
  $m = 4$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$f(1) = m + 3$

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow1}\left( x^{2} + 2 ight) = 3$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$

$= > m + 3 = 3 = > m = 0$
Câu 29: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1}$ bằng
- A.
  $+ \infty$ .
- B.
  $- \infty$ .
- C.
  1.
- D.
  0.
Đặt $f(x) = x + 1;g(x) = x - 1$ .

Ta có $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0$ khi $x ightarrow 1^{+}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty$ .
Câu 30: Thông hiểu
Xác định giới hạn hàm số

Xác định $\lim_{x ightarrow 0}\frac{|x|}{x^{2}}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $1$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 0}\frac{|x|}{x^{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{|x|} = + \infty$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tính giới hạn?

Tính giới hạn: $\lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1} +n}$
- A.
  1
- B.
  0
- C.
  -1
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:
$\lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1}+ n}$
$= \lim\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^{2}}} - \dfrac{4}{n}}{\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} +1} = \dfrac{0}{1} = 0$
Câu 32: Thông hiểu
Giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{ khi }}x e 1} \\ {{\text{m khi }}x = 1} \end{array}} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có:
Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x = 1$ , tức là ta cần có:
$\lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)$
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)$
Ta lại có:
$f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1$
$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1$
Khi đó $(*)$ không thỏa mãn với mọi $m\mathbb{\in R}$
Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 34: Vận dụng cao
Tìm số nguyên dương n bé nhất

Cho phương trình $x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{n} + 1}$ . Tìm số nguyên dương n bé nhất để phương trình có nghiệm.
- A.
  $n = 1$
- B.
  $n = 3$
- C.
  $n = 5$
- D.
  $n = 6$
Điều kiện xác định $x^{n} \geq1$
Nếu n là số lẻ thì $x^{n} \geq 1\Rightarrow x \geq 1$
Nếu n là số chẵn và x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm của phương trình
Vì $x = 1$ không là nghiệm nên ta xét phương trình với $x > 1$
$\left\{ \begin{matrix}x^{12} + 1 \geq 2x^{2} \\x^{4}\left( x^{4} - 1 ight) + 1 \geq 2\sqrt{x^{4}\left( x^{4} - 1ight)} = 2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow x^{12} + 1 \geq2x^{2}.2x^{2}\sqrt{x^{4} - 1} = 4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1}$ (do $x^{12} + 1 \geq 2x^{2}$ nên dấu bằng không xảy ra)
Hơn nữa $4x^{4}\sqrt{x^{4} - 1} >4x^{4}\sqrt{x^{3} - 1} > 4x^{4}\sqrt{x^{2} - 1};(\forall x >1)$
Do đó phương trình không có nghiệm $x >1$ với $n = 1,2,3,4$
Khi $n = 5$ ta có phương trình $x^{12} + 1 = 4x^{4}.\sqrt{x^{5} +1}$
Giả sử $f(x) = x^{12} + 1 -4x^{4}.\sqrt{x^{5} + 1}$ khi đó $f(x)$ liên tục trên $\lbrack 1; + \infty)$ .
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}f(1) = 2 \\f\left( \frac{6}{5} ight) < 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f\left( \frac{6}{5} ight) <0$
=> $f(x) = 0$ có nghiệm
Vậy $n = 5$ .
Câu 35: Nhận biết
Bổ sung thêm giá trị của f(0)

Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $\frac{5}{7}$
- B.
  $\frac{1}{7}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{-5}{7}$
Ta có:
Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$
Câu 36: Nhận biết
Tính f(1)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ với $f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1}$ với mọi $x eq 1$ . Tính $f(1)$ .
- A.
  $f(1) = 2$
- B.
  $f(1) = 1$
- C.
  $f(1) = 0$
- D.
  $f(1) = - 1$
Ta có: $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ nên suy ra

$f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x - 2) = 1$

Vậy $f(1) = 1$
Câu 37: Thông hiểu
Kết quả của giới hạn

Kết quả của giới hạn $\lim \left( {\frac{{\sin 5n}}{{3n}} - 2} ight)$ bằng:
- A.
  -2
- B.
  3
- C.
  0
- D.
  $\frac{5}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant \left| {\dfrac{{\sin 5n}}{{3n}}} ight| \leqslant \dfrac{1}{{3n}} \to 0 \hfill \\ \lim \left( { - 2} ight) = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim \left( {\dfrac{{\sin 5n}}{{3n}} - 2} ight) = - 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 38: Nhận biết
Giới hạn hàm số

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\ {{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight)$ bằng:
- A.
  -4
- B.
  -2
- C.
  -1
- D.
  2
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) = - 1$
Câu 39: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hàm số $f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ . Mệnh đề nào sai?
- A.
  Hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$
- B.
  Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$
- C.
  Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - 2;0)$
- D.
  Phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $\left( - 3;\frac{1}{2} ight)$
Ta có:

$f(x) = - 4x^{3} + 4x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1 < 0 \\ f( - 2) = 23 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm trên $( - 2; - 1)$

Mà $( - 2; - 1) \subset ( - \infty;1)$

Vậy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = - 1 < 0 \hfill \\ f\left( {\dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{1}{2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ có nghiệm trên $\left( 0;\frac{1}{2} ight) \subset \left( - 3;\frac{1}{2} ight)$

Vậy mệnh đề sai là “Phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trên khoảng $( - \infty;1)$ ”
Câu 40: Nhận biết
Tìm giới hạn hàm lượng giác

Giá trị của $\lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Ta có $\frac{|\cos n + \sin n|}{n^{2}} < \frac{2}{n^{2}}$ mà $\lim\frac{1}{n^{2}} = 0$

Suy ra $\lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} = 0.$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

48 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4