VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Giá trị của giới hạn

Giá trị của giới hạn $\lim \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight)$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  3
- D.
  5
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } ight)\left( {\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} } ight)}}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n + 5 - n - 1}}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} \hfill \\ = \lim \dfrac{4}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a;b > 0)$ . Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a;b > 0)$ . Tổng $a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 3

Ta có

$K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}x\left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} + 2x} - x - 1 ight) + \left( x + 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + (x + 1)}$ $+ \frac{3x^{2} + x}{(x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{x^{3} + 3x} + \sqrt[3]{\left( x^{3} + 3x ight)^{2}}}brack$

$= \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)}$ $+ \frac{3 + \frac{1}{x}}{\left( 1 + \frac{1}{x} ight)^{2} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt[3]{\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight)^{2}}}brack$

$= - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ .

Suy ra $a + b = 3$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tính giới hạn dãy số

Giới hạn $\lim_{}\frac{5n^{2} + 6n - 2025}{n^{2}}$ bằng
- A.
  $5$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $- 2025$ .
- D.
  $6$ .
Ta có:

$\lim\frac{5n^{2} + 6n - 2025}{n^{2}}$

$= \lim\dfrac{n^{2}\left( 5 + \dfrac{6}{n}- \dfrac{2025}{n^{2}} ight)}{n^{2}}$

$= \lim\left( 5 + \frac{6}{n} - \frac{2025}{n^{2}} ight) = 5$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm hàm số liên tục tại x = 1

Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại $x = 1$ ?
- A.
  $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 3x - 1\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $f(x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 1}$
- C.
  $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 2x - 3\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $f(x) = \sqrt{1 - 2x}$
Xét hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 3x - 1\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ có:

$\left\{ \begin{matrix} f(1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x + 1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(3x - 1) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số liên tục tại $x = 1$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Tìm số giao điểm của hàm số với trục hoành

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó số giao điểm của hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ với trục $Ox$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ bậc ba nên đồ thị hàm số cắt Ox tối đa tại 3 điểm (1)

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty$ suy ra $\exists\alpha < - 2$ sao cho $f(\alpha) < 0$

Lại có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty$ suy ra $\exists\beta > 2$ sao cho $f(\beta) > 0$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix} y(\alpha).y( - 2) < 0 \\ y( - 2).y(2) < 0 \\ y(2).y(\beta) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất ba điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại đúng ba điểm.
Câu 6: Nhận biết
Tính giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}}$ bằng:
- A.
  $-\infty$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{-2}{5}$
- D.
  0
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}{{\dfrac{5}{{{x^2}}} + 3 + \dfrac{1}{{{x^6}}}}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Nhận biết
Bổ sung thêm giá trị của f(0)

Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $\frac{5}{7}$
- B.
  $\frac{1}{7}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{-5}{7}$
Ta có:
Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính tổng T

Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
- A.
  $(67m;69m)$
- B.
  $(60m;63m)$
- C.
  $(64m;66m)$
- D.
  $(69m;72m)$
Ta có:

Độ cao của quả bóng sau mỗi lần nảy lên là một cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với u₁ = 55,8m, $q = \frac{1}{10}$

Sau khi nảy lên, qua bóng rơi xuống một quãng đường đúng bằng chiều cao.

Từ đó tổng quãng đường mà quả bóng đã di chuyển là

$\begin{matrix} {u_1} + 2{u_2} + 2{u_3} + .... \hfill \\ = {u_1} + 2{u_1}q + 2{u_1}{q^2} + ... \hfill \\ = {u_1} + \dfrac{{2{u_1}q}}{{1 - q}} = \dfrac{{11}}{9}{u_1} = 68,2m \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển nằm trong khoảng $(67m;69m)$ .
Câu 9: Nhận biết
Tìm giới hạn của C

Giá trị của $C = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} > \frac{1}{a} - 1$

Ta có:

$\left| \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} - 1 ight| < \left| \frac{n + 2}{n - 1} - 1 ight| < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}$

Vậy C=1.
Câu 10: Nhận biết
Tính giới hạn

$\lim(5n-4n^{3})$ bằng
- A.
  $-\infty$
- B.
  -4
- C.
  5
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \lim \left( {5n - 4{n^3}} ight) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^3}\left( {\dfrac{5}{{{n^2}}} - 4} ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Nhận biết
Giới hạn hàm số

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 1} \\ {{x^3} - 2x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 1} \end{array}} ight.$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight)$ bằng:
- A.
  -4
- B.
  -2
- C.
  -1
- D.
  2
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} - 2x} ight) = - 1$
Câu 12: Thông hiểu
Tính tổng S

Tính tổng S gồm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + x\ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\ m^{2}x + 1\ \ \ khi\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 1$ .
- A.
  $S = - 1$
- B.
  $S = 0$
- C.
  $S = 1$
- D.
  $S = 2$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Điều kiện để bài toán trở thành

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ (*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( m^{2}x + 1 ight) = m^{2} + 1 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + x ight) = 2 \\ f(1) = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$(*) \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1$

$S = - 1 + 1 = 0$
Câu 13: Nhận biết
Tính giới hạn dãy số

Giới hạn $L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  3
Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

$L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} = 3$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn phương trình thỏa mãn điều kiện

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0; 1)?
- A.
  $2x^{2} - 3x + 4 = 0$
- B.
  $(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$
- C.
  $3x^{4} - 4x^{2} + 5 = 0$
- D.
  $3x^{2017} - 8x + 4 = 0$
Xét hàm số $f(x) = 3x^{2017} - 8x + 4$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) = - 4 < 0$

=> Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$ .
Câu 15: Vận dụng
Xác định giới hạn hàm số

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}$ bằng:
- A.
  $- \frac{24}{49}$
- B.
  $- \frac{49}{24}$
- C.
  $\frac{24}{49}$
- D.
  $\frac{49}{24}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{100} - 1 ight) - 2(x - 1)}{\left( x^{50} - 1 ight) - 2(x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2 ight)}{(x - 1)\left( x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2}{x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2} = \frac{98}{48} = \frac{49}{24}$
Câu 16: Vận dụng
Tìm tham số m

Tìm giá trị thực của m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {{\text{m khi }}x = 2} \end{array}} ight.$ liên tục tại $x=2$ .
- A. $m=0$
- B. $m=1$
- C. $m=2$
- D. $m=3$
Tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}$ chứa $x=2$
Theo giả thiết thì ta phải có:
$\begin{matrix} f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $m=3$
Câu 17: Vận dụng cao
Hàm số nào không liên tục

Hàm số nào sau đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
- B.
  $y = \frac{3x}{x + 2}$
- C.
  $y = \cos x$
- D.
  $y = \frac{2x}{x^{2} + 1}$
Hàm số $y = \frac{3x}{x + 2}$ không xác định tại $x = - 2$ nên không liên tục tại $x = - 2$ .

Do đó không liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 18: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Có hai trong ba hàm số $y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x$ liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

b) $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1$ Đúng||Sai

c) Phương trình $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .Đúng||Sai

d) Biết hàm số $f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Khi đó $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty$ . Sai||Đúng

a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin$ xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hàm số $y = \cos\sqrt{x}$ xác định trên $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số $y = \tan x$ xác định trên $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

b) Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1$

c) Xét hàm số $2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi $x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$ .
Câu 19: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên khoảng $( - 2; + \infty)$ . Đúng||Sai

b) Biết rằng $\lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2$ khi đó $2a + 1 = - 15$ Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = - 1$ Sai||Đúng

d) Phương trình $x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 1;0)$ và $(0;1)$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên khoảng $( - 2; + \infty)$ . Đúng||Sai

b) Biết rằng $\lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2$ khi đó $2a + 1 = - 15$ Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = - 1$ Sai||Đúng

d) Phương trình $x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $( - 1;0)$ và $(0;1)$ Sai||Đúng

a) Hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ có nghĩa khi $x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq - 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy theo định lí ta có hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}$ liên tục trên khoảng $( - \infty; - 3),( - 3; - 2),( - 2; + \infty)$ .

b) Ta có: $\lim\frac{an + 4}{4n + 3} = \lim\frac{a + \frac{4}{n}}{4 + \frac{3}{n}} = \frac{a}{4}$

Khi đó: $2a + 1 = - 15$ .

Theo bài ra ta có:

$\lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2 \Leftrightarrow \frac{a}{4} = - 2 \Leftrightarrow a = - 8$

c) Ta có: $x ightarrow 1^{+} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}(x - 1)}}{\sqrt{x - 1} - (x - 1)}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}\left( 1 - \sqrt{x - 1} ight)} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x}{1 - \sqrt{x - 1}} = 1$ s

d) Xét hàm số $x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = f(x)$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$

Suy ra hàm số $f(x)$ cũng liên tục trên các khoảng $( - 1;0)$ và $(0;1)$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1000,99 \\ f(0) = 0,01 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0$

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $( - 1;0)$ .

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} f(1) = - 999,99 \\ f(0) = 0,01 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f(0) < 0$

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tính kết quả giới hạn

Tìm giới hạn $H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)$
- A.
  $H = \frac{5}{2}$
- B.
  $H = 0$
- C.
  $H = 2$
- D.
  $H = 3$
Ta có:

$H = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)$

$H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}$

$H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{5}{2}$
Câu 21: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn của hàm số $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}$ .
- A.
  $- 4$
- B.
  $5$
- C.
  $- \frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{- 2}{3}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(x + 2)^{2}\left( 2x^{2} + x - 1 ight)}{(x + 2)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\left\lbrack 2x^{2} + x - 1 ightbrack = 5$
Câu 22: Thông hiểu
Tính giá trị?

Giá trị của $A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  1
Ta có:

$A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}$
Câu 23: Vận dụng cao
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2018} + x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$
- A.
  $2018$
- B.
  $\frac{2019}{2018}$
- C.
  $\frac{2019}{2}$
- D.
  $\frac{2018}{2019}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018} +x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{(x -1)\left( x^{2017} + 2x^{2016} + 3.x^{2015} + .... + 2017x + 2018ight)}{(x - 1)\left( x^{2017} + x^{2016} + x^{2015} + .... + x + 1ight)}$

$= \dfrac{\dfrac{2018.2019}{2}}{2018} =\dfrac{2019}{2}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018}+ x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1} =\frac{2019}{2}$
Câu 24: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
$(I)$ $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a). f(b) > 0$ thì tồn tại ít nhất một số $c ∈ (a;b)$ sao cho $f(c) = 0$ .
$(II)$ $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và trên $[b;c]$ nhưng không liên tục trên $(a;c)$ .
- A. Chỉ $(I)$
- B. Chỉ $(II)$
- C. Chỉ $(I); (II)$ đúng
- D. Cả $(I); (II)$ sai
Khẳng định $(I)$ sai vì $f(a).f(b) >0$ vẫn có thể xảy ra trường hợp $f(x) = 0$ vô nghiệm trên khoảng $(a; b)$ .
Khẳng định $(II)$ sai vì nếu $f(x)$ liên tục trên đoạn $(a; b]$ và trên $[b; c)$ thì liên tục $(a; c)$ .
Vậy cả hai khẳng định đều sai.
Câu 25: Thông hiểu
Mệnh đề nào dưới đây sai

Cho hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số $y = f(x) + g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
- B.
  Hàm số $y = f(x).g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
- C.
  Hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_{0}$
- D.
  Hàm số $y = f(x) - g(x)$ liên tục tại $x_{0}$
Xét trường hợp $y = g(x)$ liên tục tại $x_{0}$ và $g\left( x_{0} ight) = 0$ thì hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ không xác định tại $x_{0}$ .
Câu 26: Nhận biết
Tính giá trị của lim?

Giá trị của $\lim(2n + 1)$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn $n_{M} > \frac{M - 1}{2}$

Ta có:

$2n + 1 > 2n_{M} + 1 > M\ ,\ \ \ \forall n > n_{M}$ .

$= > \lim(2n + 1) = + \infty$
Câu 27: Nhận biết
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ với $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2}$ với $x eq 0$ . Tính $f(0)$ .
- A.
  $f(0) = 0$
- B.
  $f(0) = 2$
- C.
  $f(0) = 4$
- D.
  $f(0) = 1$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4$
Câu 28: Thông hiểu

Xác định sự đúng sai của các kết luận

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

a) Phương trình $\cos^{2}x - \sqrt{x} =0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2}$ có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

c) $\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0$ Đúng||Sai

d) Để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

a) Xét hàm số $\cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x)$ có tập xác định $D = \lbrack 0; + \infty)$

Hàm số liên tục trên $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ ta có: $f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

Vì $f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0$ nên phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$ .

b) Ta có:

$x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0$

d) Ta có: $D = \mathbb{R}$

với $x eq 0$ thì $f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi $x eq 0$ . Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0; + \infty)$

Tại $x = 0$ ta có: $\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2$

Để hàm số liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2$ .

Vậy để hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ thì $f(0)$ nhận giá trị là $2$ .
Câu 29: Thông hiểu
Xác định giới hạn hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{5} + 1}{x^{3} + 1}$ .
- A.
  $- \frac{3}{5}$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $- \frac{5}{3}$
- D.
  $\frac{5}{3}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{5} + 1}{x^{3} + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)\left( x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 ight)}{(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{2} - x + 1} = \frac{5}{3}$
Câu 30: Thông hiểu
Tính giới hạn?

Giá trị của $C =\lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n + 1)^{2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 4$
- D.
  1
$C = \lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n +1)^{2}}$

$= \lim\frac{n^{3} + 1}{n(4n^{2} + 4n +1)} = \lim\frac{n^{3} + 1}{4n^{3} + 4n^{2} + n}$

$= \lim\frac{1 + \dfrac{1}{n^{3}}}{4 +\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{4}$
Câu 31: Nhận biết
Tính?

Giá trị của $A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 2$
- D.
  1
Ta có:

$A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}$
Câu 32: Nhận biết
Xác định hàm số không liên tục

Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = |x|$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x}{|x| + 1}$
- D.
  $y = \frac{x}{x + 1}$
Hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 33: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1}$ bằng
- A.
  $+ \infty$ .
- B.
  $- \infty$ .
- C.
  1.
- D.
  0.
Đặt $f(x) = x + 1;g(x) = x - 1$ .

Ta có $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0$ khi $x ightarrow 1^{+}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) =6$
- B.
  $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) =6$
- C.
  Không tồn tại $\lim_{x ightarrow3}f(x)$
- D.
  $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = -15$
Ta có:
$\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6$
$\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15$
$\Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)$
=> Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.
Vậy chỉ có khẳng định $\lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6$ sai.
Câu 35: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng

Biết $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \in \lbrack 0;4brack \\ 1 + m\ \ \ khi\ x \in (4;6brack \\ \end{matrix} ight.$ liên tục trên $\lbrack 0;6brack$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $m \in ( - \infty;2)$
- B.
  $m \in \lbrack 2;3)$
- C.
  $m \in (3;5)$
- D.
  $m \in \lbrack 5; + \infty)$
Dễ thấy $f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $(0;4)$ và $(4;6)$ . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn $\lbrack 0;6brack$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x = 4;x = 0;x = 6$

Tức là ta cần có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = f\left( 6 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( * ight)$

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = \sqrt 0 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 6 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt x = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 4 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó (*) trở thành $1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1 < 2$
Câu 36: Nhận biết
Xác định giới hạn D

Xác định giới hạn $D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}$
- A.
  $4$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có:

$D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2} + 4x}{x} = \lim_{x ightarrow 0}(4 + 4x) = 4$
Câu 37: Vận dụng
Tính lim

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_{n} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = \dfrac{1}{2 - u_{n}},n \geq 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tính $\lim u_{n}$ .
- A.
  $- 1$
- B.
  $0$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $1$
Giả sử $\lim u_{n} = a$ khi đó ta có:

$\begin{matrix} a = \lim {u_{n + 1}} = \lim \left( {\dfrac{1}{{2 - {u_n}}}} ight) = \dfrac{1}{{2 - a}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a e 2} \\ {a\left( {2 - a} ight) = 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a e 2} \\ {{a^2} - 2a + 1 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow a = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 38: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Hàm số liên tục trên $( - \infty;4)$
- B.
  Hàm số liên tục trên $(1;4)$
- C.
  Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  Hàm số liên tục trên $(1; + \infty)$
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên $(1;4)$
Câu 39: Nhận biết
Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số $y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)}$ liên tục tại điểm nào dưới đây?
- A.
  $x = 0$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $x = - 2$
Hàm số $y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}$

Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định $D$ .

Khi đó $x = 1 \in D$ suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 1$ .
Câu 40: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị biểu thức $B = \lim\left\lbrack \sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight) ightbrack$
- A.
  $- 1$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $0$
- D.
  $1$
$B = \lim\left\lbrack \sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight) ightbrack$

$B = \lim\frac{\sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight)\left( \sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1} ight)}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}$

$B = \lim\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}$

$B =\lim\dfrac{\dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}{\dfrac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n -1}}{\sqrt{n}}}$

$B = \lim\dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}}+ \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}}$

$B = \frac{2}{1 + 1} = 1$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

68 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm