VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Tính giới hạn

Kết quả của giới hạn $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n}$ bằng
- A.
  $0$ .
- B.
  $+ \infty$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  $- \infty$ .
Có $\lim q^{n} = 0$ nếu $|q| < 1$ .

Vì $\left| \frac{1}{2} ight| < 1$ nên $\lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0$ .
Câu 2: Thông hiểu
Giá trị của m để hàm số đã cho liên tục

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x - 5}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x \leqslant - 2} \\ {mx + 3}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x > - 2} \end{array}} ight.$ . Giá trị của m để hàm số đã cho liên tục tại $x = -2$ là:
- A.
  7
- B.
  -7
- C.
  5
- D.
  1
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3x - 5} ight) = -11 \hfill \\ f\left( { - 2} ight) = -11 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} \left( {mx + 3} ight) = - 2m + 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại $x=-2$ thì
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} f\left( x ight) = f\left( { - 2} ight)$
$\Leftrightarrow - 2m + 3 = -11 \Rightarrow m = 7$
Câu 3: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Với $k$ là số nguyên dương, $c$ là hằng số, giới hạn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}}$ bằng
- A.
  $\mathbf{c}$ .
- B.
  $\mathbf{0}$ .
- C.
  $\mathbf{- \infty}$ .
- D.
  $\mathbf{+ \infty}$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{k} = + \infty$ nên $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}} = 0$
Câu 4: Nhận biết
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}}$ bằng
- A.
  -4
- B.
  -1
- C.
  4
- D.
  $+\infty$
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\left( {x - 5} ight)\left( {x + 3} ight)}}{{2\left( {x - 5} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{x + 3}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Vận dụng cao
Tìm số tự nhiên n

Cho hàm số $f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục tại $x_{0} = 1$ .
- A.
  $n = 5$
- B.
  $n = 4$
- C.
  $n = 0$
- D.
  $n = 1$
Ta có: $f(1) = 15$

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x - 1 + x^{2} - 1 + ... + x^{n} - 1}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack 1 + (x + 1) + \left( x^{2} + x + 1 ight) + ... + \left( x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + 1 ight) ightbrack}{x - 1}$

$= 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

Hàm số f(x) liên tục tại $x_{0} = 1$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow \frac{n(n + 1)}{2} = 15$

$\Leftrightarrow n = 5$
Câu 6: Nhận biết
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ với $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2}$ với $x eq 0$ . Tính $f(0)$ .
- A.
  $f(0) = 0$
- B.
  $f(0) = 2$
- C.
  $f(0) = 4$
- D.
  $f(0) = 1$
Ta có hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $( - 4; + \infty)$ nên suy ra

$f(0) = \lim_{x ightarrow 0}f(x)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x}{\sqrt{x + 4} - 2} ight)$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left( \sqrt{x + 4} + 2 ight) = 4$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm giá trị của giới hạn?

Giá trị của $B = \frac{\sqrt{n^{2} + 2n}}{n - \sqrt{3n^{2} + 1}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$
Ta có:

$B = \lim\dfrac{\dfrac{\sqrt{n^{2} +n}}{n}}{\dfrac{n - \sqrt{3n^{2} + 1}}{n}}$

$= \lim\frac{\sqrt{1 +\frac{1}{n}}}{1 - \sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}}} = \frac{1}{1 -\sqrt{3}}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của a

Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}\ \ \ khi\ x > 3 \\1 - a^{2}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 3 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 3$ .
- A.
  $a = - \frac{2}{\sqrt{3}}$
- B.
  $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$
- C.
  $a = - \frac{4}{3}$
- D.
  $a = \frac{4}{3}$
Điều kiện bài toán trở thành $\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = f(3)\ \ (*)$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{(x - 2)\left( \sqrt{4x - 3} + x ight)}{1 - x} = - 3$

$\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( 1 - a^{2}x ight) = 1 - 3a^{3}$

$f(3) = 1 - 3a^{2}$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_{\min} = - \frac{2}{\sqrt{3}}$
Câu 9: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.$ . Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

a) $\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2$ . Sai||Đúng

b) $\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty$ . Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ . Đúng||Sai

a) Sai

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0$ .

b) Sai

$\lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}$ .

c) Đúng

$\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)$

$= \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1$ .

d) Đúng

Ta có:

$f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}$ .

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Giá trị của $\lim_{x ightarrow 1}\left( 2x^{2} - 3x + 1ight)$ bằng:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $0$
Ta có: $\lim_{x ightarrow 1}\left( 2x^{2} - 3x+ 1 ight) = 0$
Câu 11: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{2 - 3n} = a$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị $a$ lớn hơn $0$ . Sai||Đúng

b) $x = a$ là trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ .Đúng||Sai

c) Bộ ba số $- \frac{5}{3};\ a;\ \frac{1}{3}$ lập thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ thì $u_{3} = 6$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{2n + 1}{2 - 3n} = a$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Giá trị $a$ lớn hơn $0$ . Sai||Đúng

b) $x = a$ là trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ .Đúng||Sai

c) Bộ ba số $- \frac{5}{3};\ a;\ \frac{1}{3}$ lập thành một cấp số cộng với công sai bằng $2$ . Sai||Đúng

d) Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a$ thì $u_{3} = 6$ . Sai||Đúng

a) Sai: Ta có: $\lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} \right)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} \right)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}$ suy ra: $a = - \frac{2}{3}$

b) Đúng: Trục đối xứng của parabol $(P):\ y = 3x^{2} + 4x - 7$ là $x = - \frac{4}{2.3} = - \frac{2}{3}$

c) Sai: Ba số $- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng $1$

d) Sai: Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với công bội $q = 3$ và $u_{1} = a = - \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = u_{1}.q^{2}$ $= - \frac{2}{3}.3^{2}$ $= - 6$
Câu 12: Thông hiểu
Kết quả của giới hạn

Kết quả của giới hạn $\lim \left( {\frac{{\sin 5n}}{{3n}} - 2} ight)$ bằng:
- A.
  -2
- B.
  3
- C.
  0
- D.
  $\frac{5}{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant \left| {\dfrac{{\sin 5n}}{{3n}}} ight| \leqslant \dfrac{1}{{3n}} \to 0 \hfill \\ \lim \left( { - 2} ight) = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim \left( {\dfrac{{\sin 5n}}{{3n}} - 2} ight) = - 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Vận dụng
Tìm giới hạn

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}$
- A.
  $- \infty$
- B.
  $0$
- C.
  $+ \infty$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left( 6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} + 2x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x - 1)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}$

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8} + x + 17} ight) = - 36 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\ - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

=> $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = + \infty$
Câu 14: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Cho ${u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}$ . Biết $\lim u_{n} = \frac{a}{b}$ (với $a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b }$ tối giản). Khi đó:

a) $a + b = 8$ Đúng||Sai

b) $a - b = - 7$ Sai||Đúng

c) Bộ ba số $a;b;13$ tạo thành một cấp số cộng có công sai $d = 7$ Đúng||Sai

d) Bộ ba số $a;b;49$ tạo thành một cấp số nhân có công bội $q = 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho ${u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}$ . Biết $\lim u_{n} = \frac{a}{b}$ (với $a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b }$ tối giản). Khi đó:

a) $a + b = 8$ Đúng||Sai

b) $a - b = - 7$ Sai||Đúng

c) Bộ ba số $a;b;13$ tạo thành một cấp số cộng có công sai $d = 7$ Đúng||Sai

d) Bộ ba số $a;b;49$ tạo thành một cấp số nhân có công bội $q = 7$ Đúng||Sai

Ta có

$\lim u_{n} = \lim\dfrac{7^{n} + 2^{2n -1} + 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}$

$= \lim\dfrac{1 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{7} ight)^{n} + 3\left( \dfrac{3}{7} ight)^{n}}{7 +\dfrac{1}{5}\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n}} = \dfrac{1}{7}$ .

Do đó suy ra $a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Đ

d) Đúng
Câu 15: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $a$ nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: -14||- 14

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $a$ nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: -14||- 14

Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $\mathbb{R}$ .

Ta có $f(1) = \frac{a + 15}{4}$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}$

$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}$

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 1$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tính giới hạn hàm số

Tính giới hạn $F =\lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x -\dfrac{\pi}{2}}$
- A.
  $F = - 1$
- B.
  $F = 1$
- C.
  $F = 0$
- D.
  $F = \frac{\pi}{2}$
Ta có:

$F = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x - \dfrac{\pi}{2}} = \lim_{x ightarrow\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x ight)}{x -\dfrac{\pi}{2}}$

$= \lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}}\dfrac{- \sin\left( x- \dfrac{\pi}{2} ight)}{x - \dfrac{\pi}{2}} = - 1$
Câu 17: Nhận biết
Xác định câu sai

Cho $c$ là hằng số, $k$ là số nguyên dương khác không. Tìm khẳng định sai.
- A.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{k} = + \infty$ .
- B.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{k} = - \infty$ .
- C.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}$ .
- D.
  $\lim_{x ightarrow x_{0}}c = c$ .
Mệnh đề $\lim_{x ightarrow - \infty}x^{k} = - \infty$ sai khi $k$ là số chẵn.
Câu 18: Thông hiểu
Tìm a để hàm số liên tục tại x = 3

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}\sqrt{6-2x}+1 & \text{ với } x\leq 3 \\ ax & \text{ với } x> 3 \end{cases}$ . Với giá trị nào của a thì hàm số f(x) liên tục tại $x = 3$ ?
- A.
  a = 3
- B.
  $a=\frac{1}{3}$
- C.
  $a=\frac{-1}{3}$
- D.
  $a=-2$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = 3a} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ f\left( 3 ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.$
Hàm số liên tục tại $x=3$ khi và chỉ khi
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 1$
$\Leftrightarrow 3a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính giá trị tham số a

Tìm giá trị của a để hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.$ liên tục tại $x = 2$ .
- A.
  $a = \frac{5}{4}$
- B.
  $a = - \frac{15}{4}$
- C.
  $a = \frac{1}{4}$
- D.
  $a = 1$
Ta có:

$f(2) = a + 4$

$\lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2 - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi

$\lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} = a + 4$

$\Leftrightarrow a = - \frac{15}{4}$
Câu 20: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Tính giới hạn sau: $\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Tính giới hạn sau: $\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$ .

Đáp án: 1

Ta có:

$\lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}$

$= \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack$

$= \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}$

$= \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}$

Khi $n ightarrow \infty$ thì $\ lim\frac{1}{n} = 0$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1$

$\Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1$
Câu 21: Vận dụng cao
Tìm số giao điểm của hàm số với trục hoành

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó số giao điểm của hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ với trục $Ox$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ bậc ba nên đồ thị hàm số cắt Ox tối đa tại 3 điểm (1)

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty$ suy ra $\exists\alpha < - 2$ sao cho $f(\alpha) < 0$

Lại có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty$ suy ra $\exists\beta > 2$ sao cho $f(\beta) > 0$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} y( - 2) = - 8 + 4a - 2b + c > 0 \\ y(2) = 8 + 4a + 2b + c < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix} y(\alpha).y( - 2) < 0 \\ y( - 2).y(2) < 0 \\ y(2).y(\beta) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó đồ thị hàm số cắt Ox tại ít nhất ba điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại đúng ba điểm.
Câu 22: Nhận biết
Tính giá trị?

Giá trị của $C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

$lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0$
Câu 23: Nhận biết
Tính giá trị của lim?

Giá trị của $\lim(2n + 1)$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn $n_{M} > \frac{M - 1}{2}$

Ta có:

$2n + 1 > 2n_{M} + 1 > M\ ,\ \ \ \forall n > n_{M}$ .

$= > \lim(2n + 1) = + \infty$
Câu 24: Thông hiểu
Giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 25: Nhận biết
Bổ sung thêm giá trị của f(0)

Cho $f(x)=\frac{x^{2}+5x}{7x}$ với $xeq 0$ . Phải bổ sung thêm giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu thì hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $\frac{5}{7}$
- B.
  $\frac{1}{7}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{-5}{7}$
Ta có:
Với $xeq 0$ hàm số xác định => Hàm số liên tục khi x > 0 và x < 0
Với x = 0 ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{7x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 5}}{7} = \dfrac{5}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \Rightarrow f\left( 0 ight) = \frac{5}{7}$
Câu 26: Thông hiểu
Tính giới hạn?

Giá trị của $C =\lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n + 1)^{2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 4$
- D.
  1
$C = \lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n +1)^{2}}$

$= \lim\frac{n^{3} + 1}{n(4n^{2} + 4n +1)} = \lim\frac{n^{3} + 1}{4n^{3} + 4n^{2} + n}$

$= \lim\frac{1 + \dfrac{1}{n^{3}}}{4 +\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{4}$
Câu 27: Thông hiểu
Tính giới hạn của hàm số

Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}$ ?
- A.
  $\frac{5}{4}$ .
- B.
  $- \frac{5}{4}$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $2$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{2} + 3x - 2}{x^{2} - 4}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(2x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x - 1}{x- 2} = \frac{5}{4}$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tính giới hạn B

Tính giới hạn $B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight)$ .
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $2$
- C.
  $- \infty$
- D.
  $- 3$
Ta có:

$B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight)$

$B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left\lbrack x^{3}\left( 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} ight) ightbrack$

Ta lại có:

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{3}{{{x^3}}}} ight) = 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Rightarrow B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight) = - \infty$
Câu 29: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Cho $L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight)$ . Khi đó:

a) Khi $L = 3$ thì $a = - 6$ . Đúng||Sai

b) Khi $L > 0$ thì $a > 0$ . Sai||Đúng

c) Khi $L = 2$ thì $a = 4$ . Sai||Đúng

d) $L = - 6$ thì giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho $L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight)$ . Khi đó:

a) Khi $L = 3$ thì $a = - 6$ . Đúng||Sai

b) Khi $L > 0$ thì $a > 0$ . Sai||Đúng

c) Khi $L = 2$ thì $a = 4$ . Sai||Đúng

d) $L = - 6$ thì giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ . Đúng||Sai

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} + ax + 5 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{ax + 5}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\left( \dfrac{a + \dfrac{5}{x}}{- \sqrt{1 + \dfrac{a}{x} +\dfrac{5}{x^{2}}} - 1} ight) = - 6$

$\Leftrightarrow \frac{a}{- 2} = - 6 \Leftrightarrow a = 12$ .

Vì vậy giá trị của $a$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 11x - 12 = 0$ .

Kết luận:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng
Câu 30: Thông hiểu
Tính giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$ bằng
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $-\frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}$
Câu 31: Vận dụng cao
Tính tổng P

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản $\frac{m}{n}$ . Tính $P = mn$
- A.
  $P = 3456$
- B.
  $P = 3465$
- C.
  $P = 3645$
- D.
  $P = 3546$
Ta có:

$\begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}$

Dãy số $\frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_{1} = \frac{35}{10^{2}}$ , công sai là $q = 10^{- 2}$

=> $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}$

Vậy $0,353535 = \frac{35}{99}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465$
Câu 32: Nhận biết
Xác định hàm số không liên tục

Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = |x|$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x}{|x| + 1}$
- D.
  $y = \frac{x}{x + 1}$
Hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 33: Vận dụng
Nhận xét về số nghiệm của phương trình trên đoạn

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ sao cho $f(-1) = 2, f(4) = 7$ . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f(x) = 5$ trên đoạn $[-1;4]$ :
- A.
  Vô nghiệm
- B.
  Có ít nhất một nghiệm
- C.
  Có đúng một nghiệm
- D.
  Có đúng hai nghiệm
Ta có: $f(x)=5 =>f(x)−5=0$
Đặt $g(x)=f(x)−5$
Khi đó:
$\begin{matrix}\left\{ \begin{gathered}g( - 1) = f( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \hfill \\g(4) = f(4) - 5 = 7 - 5 = 2 \hfill \\\end{gathered} ight. \hfill \\\Rightarrow g( - 1).g(4) < 0 \hfill \\\end{matrix}$
Vậy phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ hay phương trình $f(x)=5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ .
Câu 34: Nhận biết
Hàm số không liên tục

Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$ ?
- A.
  $y = \sqrt{x + 2}$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$
- D.
  $y = x^{2} - 3x + 2$
Hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$ nên không liên tục tại $x = 2$ .
Câu 35: Nhận biết
Tìm giới hạn?

Giá trị của $\lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  1
Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn $n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1 ightbrack + 1$

Ta có:

$\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} < \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a$ với mọi $n > n_{a}$

Suy ra $\lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} = 0$
Câu 36: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5$ . Tính giá trị biểu thức $S = a + 2b$ .

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5$ . Tính giá trị biểu thức $S = a + 2b$ .

Đáp án: -4||- 4

Vì $\lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5$ là 1 số hữu hạn và $\lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0$ nên $\lim_{x ightarrow 2}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0$ hay $4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a$ .

Khi đó:

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + (1 - 2a)x - 2}{x - 2}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + x - 2ax - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(ax^{2} - 2ax) + (x - 2)}{x - 2}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(ax + 1)}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(ax + 1)$

$= 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2$

Suy ra $b = - 3$ .

Vậy $S = - 4$ .
Câu 37: Vận dụng
Chọn kết quả đúng?

Chọn kết quả đúng của giới hạn $\lim\sqrt{3 + \frac{n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ ?
- A.
  4
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  $\frac{1}{2}$
$\lim\sqrt{3 + \frac{n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$

$= \lim\sqrt{3 + \frac{1 - \frac{1}{n^{2}}}{\frac{3}{n^{2}} + 1} - \frac{1}{2^{n}}}$

$= \sqrt{3 + \frac{1}{1} - 0} = 2$
Câu 38: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho các mệnh đề:

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ .

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ .

Trong các mệnh đề trên:
- A.
  Có đúng hai mệnh đề sai
- B.
  Cả ba mệnh đề đúng
- C.
  Cả ba mệnh đề đều sai
- D.
  Có đúng một mệnh đề sai
Theo tính chất hàm số liên tục thì

1) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại $x_{0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( x_{0} ight) = 0$ . Mệnh đề sai.

2) Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. Mệnh đề đúng.

3) Nếu hàm số $y = f(x)$ đơn điệu trên $\lbrack a;bbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $(a;b)$ . Mệnh đề đúng.
Câu 39: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1}$ bằng
- A.
  $+ \infty$ .
- B.
  $- \infty$ .
- C.
  1.
- D.
  0.
Đặt $f(x) = x + 1;g(x) = x - 1$ .

Ta có $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0$ khi $x ightarrow 1^{+}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty$ .
Câu 40: Thông hiểu
Tìm giới hạn của dãy?

Giới hạn dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{\left( 3n - n^{4} ight)}{4n - 5}$ là?
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  0
Ta có:

$\lim u_{n} = \lim\frac{\left( 3n - n^{4} ight)}{4n - 5} = \lim{n^{3}\frac{\frac{3}{n^{3}} - 1}{4 - \frac{5}{n}}} = - \infty$

Vì $\lim n^{3} = + \infty$ nên suy ra:

$\lim\frac{\frac{3}{n^{3}} - 1}{4 - \frac{5}{n}} = - \frac{1}{4}.$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

102 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm