Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bao gồm các định nghĩa, tính chất, định lí và cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Phép chiếu vuông góc
Minh họa thực tế
Định nghĩa: Cho đường thẳng 
\(∆\) vuông góc với mặt phẳng \((α)\). Phép chiếu song song theo phương của \(∆\) lên mặt phẳng \((α)\) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((α)\).
Hình vẽ minh họa
Chú ý:
- Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
- Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((α)\) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng \((α)\). Hình chiếu vuông góc \(H’\) của hình \(H\) trên mặt phẳng \((α)\) còn được gọi là hình chiếu của \(H\) trên mặt phẳng \((α)\).
Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a và mặt phẳng \((α)\) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng \((α)\) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a’ của a trên \((α)\).
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB, BC, BD\) đôi một vuông góc. Tìm
a) Hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng \((BCD)\).
b) Hình chiếu của điểm C trên mặt phẳng \((ABD)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
\(AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)\)
=> B là hình chiếu của A trên mặt phẳng \((BCD)\)
\(CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)\)
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng \((ABD)\)
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA ⊥ (ABCD)\). Chứng minh mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có: \(SA ⊥ (ABCD)\) nên tam giác SAB và tam giác SAD là tam giác vuông.
Ta có: \(CD ⊥ DA\) mà DA là hình chiếu của DA trên \((ABCD)\) nên CD vuông góc với DS
=> Mặt bên SDC là tam giác vuông tại D
Tương tự ta có: mặt bên SBC là tam giác vuông tại B. Như vậy chỉ có khẳng định ”Mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hình vẽ minh họa
- Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng \((\alpha)\) bằng 900.
- Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên \((\alpha)\) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng \((\alpha)\).
Minh họa trực quan
Chú ý: Nếu \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((α)\) thì ta luôn có \({0^0} \leqslant \varphi \leqslant {90^0}\)
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 6\) và \(SA\) vuông góc \((ABCD)\). Hãy xác định các góc giữa:
a) \(SC\) và \((ABCD)\)
b) \(SC\) và \((SAB)\)
Hướng dẫn giải
a) Vì AC là hình chiếu vuông góc của SC lên \((ABCD)\)
=> Góc giữa SC và \((ABCD)\) là \(\widehat {SCA}\)
Trong tam giác SCA, ta có:
\(\begin{matrix}
\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{SC}} = \sqrt 3 \hfill \\
\Rightarrow \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA} = {60^0} \hfill \\
\end{matrix}\)
b) Vì \(BC ⊥ (SAB)\) tại B nên SB là hình chiếu vuông góc của SC lên \((SAB)\)
=> \(\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,SB} \right) = \widehat {CSB}\)
Trong tam giác SCB, ta có:
\(\begin{matrix}
\tan \widehat {SCB} = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 7 }} \hfill \\
\Rightarrow \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \arctan \dfrac{1}{{\sqrt 7 }} \hfill \\
\end{matrix}\)
