Đạo hàm cấp hai Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Đạo hàm cấp hai bao gồm định nghĩa và cách xác định đạo hàm cấp hai. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Khái niệm đạo hàm cấp hai
Giả sử hàm số 
\(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a,b} \right)\). Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right)\).
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
|
a) |
b) |
|
c) |
d) |
Hướng dẫn giải
a) \(y' = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} + 1 = \frac{{4{x^3}}}{4} - 2.2.x = {x^3} - 4x\)
\(\Rightarrow y'' = 3{x^2} - 4\)
b) \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{2\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(y' = \frac{{2x - 2 - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(\Rightarrow y'' = \frac{{3\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \frac{{3.2.\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\)
\(y'' = \frac{6}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\)
c) \(y' = \frac{2}{{2x - 1}}\)
\(\Rightarrow y'' = \frac{{ - 2.2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
\(\Rightarrow y'' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
d) \(y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}} = 1 + {\tan ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)
\(\Rightarrow y'' = 2\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\left[ {\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]'\)
\(\Rightarrow y'' = \frac{{2\tan \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}\)
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Một chuyển động có phương trình \(s = f\left( t \right)\) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số \(f\left( t \right)\) có gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có:
\(a\left( t \right) = f''\left( t \right)\)
Ví dụ: Phương trình chuyển động của một chất điểm có phương trình \(s\left( t \right) = 15 + \sqrt 2 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\) trong đó s tính bằng mét và t được tính bằng giây. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thức nhất).
Hướng dẫn giải
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t là:
\(a\left( t \right) = s''\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\)
Tại thời điểm t = 3s gia tốc của chất điểm là:
\(a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {4\pi .3 + \frac{\pi }{6}} \right) \approx - 111,7\left( {m/{s^2}} \right)\)
