VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng cao
Tính S?

Tổng $S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1$ có kết quả bằng?
- A.
  5¹⁰⁰ − 1
- B.
  5¹⁰⁰
- C.
  5¹⁰¹ − 1
- D.
  5¹⁰¹
Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)$
$= 1 - \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}$
$\Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm số hạng tổng quát?

Cho dãy số (u_n) được xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} - u_{n} = 2n - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Số hạng tổng quát u_n của dãy số là?
- A.
  u_n = n² + 1
- B.
  u_n = 2 + n²
- C.
  u_n = 2 + (n+1)²
- D.
  u_n = 2 − (n−1)²
Ta có $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = u_{1} + 2.2 - 1 \\ u_{3} = u_{2} + 2.3 - 1 \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + 2.n - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:

u_n = 2 + 2 ⋅ (2+3+…+n) − (n − 1)

= 2 + (n−1)(n+2) − n + 1

= n² + 1
Câu 3: Nhận biết
Tìm đáp án chưa thích hợp

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
- A.
  $2;5;8;11;14...$
- B.
  $2;4;8;10;14...$
- C.
  $1;2;3;4;5;6...$
- D.
  $15;10;5;0; - 5;...$
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: $u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k}$ thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án: $2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại

Xét đáp án: $2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{}$ Chọn

Xét đáp án: $1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ Loại

Xét đáp án: $15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại
Câu 4: Vận dụng cao
Tính quãng đường quả bóng di chuyển

Một quả bóng rơi từ độ cao 6m với phương vuông góc với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên với độ cao bằng $\dfrac{3}{4}$ độ cao của lần rơi trước. Tính quãng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.
- A. 39(m)
- B. 40(m)
- C. 41(m)
- D. 42(m)
Ta có: Quãng đường bóng bay bằng tổng quãng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống
Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng $\dfrac{3}{4}$ lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là:
${S_1} = 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^n} + ...$
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có ${u_1} = 6.\frac{3}{4} = \frac{9}{1},q = \frac{3}{4}$
=> ${S_1} = \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 18$
Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên là:
${S_2} = 6 + 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^n} + ...$
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = 6;q = \frac{3}{4}$
=> ${S_2} = \dfrac{6}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 24$
Vậy tổng quãng đường bóng bay là 42m
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án chưa thích hợp

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $1; 2;3;4;5$ .
- B.
  $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ .
- C.
  $1; - 1; 1;- 1;1$ .
- D.
  $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ .
Dãy $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$ .

Dãy $1; - 1; 1; - 1;1$ là cấp số nhân với công bội $q = - 1$ .

Dãy $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = - 2$ .

Dãy $1;2;3; 4;5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$ .
Câu 6: Vận dụng
Tính tổng m số hạng đầu tiên của CSC

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và công sai d = 2. Tổng ${S_{10}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}}$ bằng:
- A. S₁₀ = 110
- B. S₁₀ = 100
- C. S₁₀ = 21
- D. S₁₀ = 19
Ta có:
$\begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{n\left( {{u_n} + {u_1}} ight)}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} ight)d} ight]}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{10\left[ {2 + \left( {10 - 1} ight).2} ight]}}{2} = 100 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Dãy số nào là dãy số tăng?
- A.
  $u_{n} = n^{2}$
- B.
  $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{u_{n}}}$
- C.
  $u_{n} = 3 - 2n$
- D.
  $u_{n} = - 2n^{2} + 3n + 1$
Xét $u_{n} = n^{2}$ ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy $u_{n} = n^{2}$ là dãy số tăng.
Câu 8: Vận dụng
Tính công sai d

Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17. Tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư là 14. Tính công sai d của cấp số cộng đã cho.
- A. d = 2
- B. d = -3
- C. d = 4
- D. d = 5
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_6} = 17} \\ {{u_2} + {u_4} = 14} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{u_1} + 5d = 17} \\ {2{u_1} + 6d = 14} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 16} \\ {d = - 3} \end{array}} ight.$
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}$ . Giá trị $u_{21}$ là
- A.
  $\frac{11}{243}$ .
- B.
  $\frac{10}{243}$ .
- C.
  $\frac{21}{443}$ .
- D.
  $\frac{19}{443}$ .
Ta có: $u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}$ .
Câu 10: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}$ ?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}$ ?

Đáp án: 4

Giả sử cấp số nhân có công bội là $q$ , khi đó theo bài ra ta có:

$2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) =u_{6} + u_{7} + u_{8}$

$\Leftrightarrow 2\left( u_{3} + u_{3}q +u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}$

$\Leftrightarrow 2u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)$

$\Leftrightarrow 2u_{3} = u_{6}$ do $\ 1 + q + q^{2} > 0$

$\Leftrightarrow 2u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 2 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = \sqrt[3]{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q + u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}$ $= \frac{u_{8}\left( 1 + q + q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} = \frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 4$
Câu 11: Vận dụng
Phát biểu đúng về dãy?

Phát biểu nào dưới đây về dãy số (a_n) được cho bởi a_n = 2ⁿ + n là đúng?
- A.
  Dãy số (a_n) là dãy số giảm.
- B.
  Dãy số (a_n) là dãy số tăng.
- C.
  Dãy số (a_n) là dãy không tăng.
- D.
  Dãy số (a_n) là dãy không tăng và không giảm.
Ta có a_n + 1 − a_n = 2^n + 1 + n + 1 − 2ⁿ − n

= 2.2ⁿ − 2ⁿ + 1 = 2ⁿ + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy (a_n) là dãy số tăng.
Câu 12: Nhận biết
Dãy số nào là cấp số nhân

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_n=\frac{n+1}{n-1}$
- B.
  $u_n=2n$
- C.
  $u_n=2^n$
- D.
  $u_n=n^3+3n$
Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2$
=> $u_n=2^n$ là cấp số nhân
Câu 13: Nhận biết
Khẳng định đúng?

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  k > p
- B.
  k ≥ p
- C.
  k = p
- D.
  k < p
Mệnh đề A(n) đúng với n = k với k ≥ p.
Câu 14: Nhận biết
Dãy số nào không phải cấp số cộng

Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
- A.
  $u_{n} = - 4n + 9$
- B.
  $u_{n} = - 2n + 19$
- C.
  $u_{n} = - 2n - 21$
- D.
  $u_{n} = - 2^{n} + 15$
Ta có: $u_{n} = - 2^{n} + 15$ không có dạng $an + b$ nên không phải là cấp số cộng.
Câu 15: Thông hiểu
Tìm kết luận đúng

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn trên?
- A.
  $\left( u_{n} ight):u_{n} = n^{3}$ .
- B.
  $\left( v_{n} ight):v_{n} = - n^{2} + 2$ .
- C.
  $\left( k_{n} ight):k_{n} = n^{2} -6n$ .
- D.
  $\left( a_{n} ight):a_{n} = ( - 4)^{n}$ .
Ta có:

$\left( v_{n} ight):v_{n} = - n^{2} + 2 \leq 2$ .

Vậy đây là dãy số bị chặn trên.
Câu 16: Thông hiểu
Tìm số hạng của CSN

Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
- A. 160
- B. 81
- C. 64
- D. 56
Ta có cấp số nhân (u_n) nên khi đó:
$\begin{matrix}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_m} = 16} \\ {{u_{m + 1}} = 36} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{m + 1}}}}{{{u_m}}} = \dfrac{{36}}{{16}} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow q = \dfrac{9}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_{m + 2}} = {u_{m + 1}}.q = 36.\dfrac{9}{4} = 81 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Nhận biết
Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân

Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 2^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = 2^{n}$
- C.
  $u_{n} = 2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 2n$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{2} = 4 \\ u_{6} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q = 4 \\ u_{1}q^{5} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 2.2^{n - 1} = 2^{n}$
Câu 18: Thông hiểu
Tổng n số hạng đầu tiên của CSN

Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn ${u_2} = 6;{u_4} = 24$ . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
- A. ${3.2^{12}} - 3$
- B. ${2^{12}} - 1$
- C. ${3.2^{12}} - 1$
- D. ${3.2^{12}}$
Giả sử công bội của cấp số nhân là q
Ta có:
=> ${u_4} = {u_2}.{q^2} \Rightarrow q = \pm 2$
Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2
Ta có: ${S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{12}} - 1} ight)$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{2} = - 6,u_{5} = 48$ . Tính $S_{5}$ .
- A.
  33.
- B.
  -31.
- C.
  93.
- D.
  11.
Ta có $\left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ u_{1}.q^{4} = 48 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ q^{3} = - 8 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $S_{5} = \frac{3\left( 1 - ( - 2)^{5} ight)}{1 - ( - 2)} = 33$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ 2018?

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $u_{1} = \sqrt{2}$ và $u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}}$ với mọi n ≥ 1. Số hạng u₂₀₁₈ là
- A.
  $u_{2018} = \sqrt{2}cos\frac{\pi}{2^{2017}}$
- B.
  $u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}$
- C.
  $u_{2018} = \sqrt{2}cos\frac{\pi}{2^{2018}}$
- D.
  u₂₀₁₈ = 2.
Ta có $u_{1} = \sqrt{2} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{2^{2}};$

$u_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2cos\frac{\pi}{8} = 2cos\frac{\pi}{2^{3}}$

Dự đoán $u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}}$

Áp dụng theo quy nạp ta có: $u_{1} = 2cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$ , công thức (1) đúng với n = 1.

Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có $u_{k} = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}$

Ta có $u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}}$

$= \sqrt{2\left( 1 + \cos\frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}$

$= \sqrt{4\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}$

$= 2cos\frac{\pi}{2^{k + 2}}$

(vì $0 < \frac{\pi}{2^{k + 2}} < \frac{\pi}{2}$ với mọi k ≥ 1 ).

Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy $u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ . Suy ra $u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}$
Câu 21: Vận dụng
Tính số tiền cả vốn và lãi của khách hàng

Khách hàng A gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 1 tháng với lãi suất của loại kì hạn này là $0,5\%$ . Ngân hàng đó quy định: “Khi kết thúc kỳ hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền thì toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kỳ hạn như kỳ hạn mà người gửi đã gửi”. Hỏi nếu sau hai năm, kể từ ngày gửi người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
- A.
  $67874500$ đồng
- B.
  $67745123$ đồng
- C.
  $67542015$ đồng
- D.
  $67629587$ đồng
Với số nguyên dương $n$ , kí hiệu $u_{n}$ là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau $n$ tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

$u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 1}.0,005 = u_{n - 1}.1,005;(\forall n \geq 2)$

Ta có: $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 6.10^{7} + 6.10^{7}.0,005 = 6.10^{7}.1,005$ với công bội $q = 1,005$ nên $u_{n} = 6.10^{7}.1,005.(1,005)^{n - 1} = 6.10^{7}.(1,005)^{n};(n \geq 1)$

Số tiền rút được sau 2 năm là:

$u_{24} = 6.10^{7}.1,005^{24} \approx 67629587$ (đồng)
Câu 22: Nhận biết
Xác định cấp số cộng

Cho dãy số $\frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};...$ là cấp số cộng với:
- A. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $\frac{1}{2}$
- B. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $- \frac{1}{2}$
- C. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là $\frac{1}{2}$
- D. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $-\frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};...$ là một cấp số cộng
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_2} - {u_1} = - \dfrac{1}{2} = d} \end{array}} ight.$
Câu 23: Thông hiểu
Dãy số bị chặn?

Trong các dãy (u_n) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?
- A.
  $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2}$
- B.
  $u_{n} = \frac{3n^{2} - 1}{n - 5}$
- C.
  u_n = − n² − n + 1
- D.
  u_n = n³
Ta có:

n² − n + 1 < n² + 2n + 2 (do n > 0)

Suy ra $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2} < 1$ , với mọi n.
Câu 24: Thông hiểu
Tìm số số hạng của dãy số

Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$ , công bội q = 2. Biết ${S_n} = 765$ . Tìm n?
- A. n = 7
- B. n = 6
- C. n = 8
- D. n = 9
Ta có:
$\begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{3\left( {1 - {2^n}} ight)}}{{1 - 2}} = 765 \hfill \\ \Rightarrow n = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 25: Nhận biết
Tìm x

Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.
- A.
  x = 7
- B.
  x = 10
- C.
  x = 11
- D.
  x = 12
Ta có: d = 6 - 1 = 5
Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> x = 6 + 5 = 11
Vậy x = 11
Câu 26: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1}=-3$ và $d=\frac{1}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}(n+1)$
- B.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}n-1$
- C.
  $u_n=-3+\frac{1}{2}(n-1)$
- D.
  $u_n=-3+\frac{1}{4}(n-1)$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 3 + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Thông hiểu
Tính số hạng thứ n

Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 12; $\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243$ . Tính ${u_9}$
- A. ${u_9} = \frac{2}{{2187}}$
- B. ${u_9} = \frac{4}{{6563}}$
- C. ${u_9} = \frac{3}{{3210}}$
- D. ${u_9} = \frac{4}{{2187}}$
Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n)
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_3} = {u_1}.{q^2}} \\ {{u_8} = {u_1}.{q^7}} \end{array}} ight. \Rightarrow \dfrac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^2}}}{{{u_1}.{q^7}}} = \dfrac{1}{{{q^5}}} \hfill \\ \Rightarrow q = d\frac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow {u_9} = {u_1}.{q^8} = 12.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^8} = \dfrac{4}{{2187}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}}$ . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $u_{5} = \frac{2}{3^{4}}$
- B.
  $u_{5} = \frac{2}{3^{5}}$
- C.
  $u_{5} = 3^{5}$
- D.
  $u_{5} = \frac{5}{3^{5}}$
$S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}} = 3.\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack$

Mặt khác

$\Rightarrow S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 -q^{n}}{1 - q} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3(1 - q) \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{5} = u_{1}.q^{4} = \frac{2}{3^{4}}$
Câu 29: Thông hiểu
Tính tổng 4 số của cấp số cộng

Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3. Tìm tổng 4 số đó.
- A.
  88
- B.
  92
- C.
  128
- D.
  132
Sau khi chèn 4 số vào giữa hai số 4 và 40 thì cấp số cộng đó có 6 số hạng
Nghĩa là coi 4 là số hạng đầu tiên thì 40 là số hạng thứ 6
Theo bài ra ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 4} \\ {{u_6} = 40} \end{array}} ight.$
${u_1} + 5.d = 40$
$\begin{matrix} \Rightarrow 4 + 5.d = 40 \hfill \\ \Rightarrow 5.d = 36 \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{36}}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy công sai của cấp số cộng là $d = \frac{{36}}{5}$
Khi đó 4 số hạng được thêm lần lượt là: $\frac{{56}}{5};\frac{{92}}{5};\frac{{128}}{5};\frac{{164}}{5}$
Tổng bốn số hạng ở trên là: $\frac{{56}}{5} + \frac{{92}}{5} + \frac{{128}}{5} + \frac{{164}}{5} = 88$
Câu 30: Thông hiểu
Xác định dãy số tổng quát

Cho cấp số cộng $u_{3} = 15;d = - 2$ . Tính $u_{n}$
- A.
  $u_{n} = - 2n + 21$
- B.
  $u_{n} = - \frac{3}{2}n +12$
- C.
  $u_{n} = - 3n - 17$
- D.
  $u_{n} = \frac{3}{2}n^{2} -4$
Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}u_{3} = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 2d = 15 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 19 \\d = - 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = -2n + 21$
Câu 31: Thông hiểu
Dãy số tăng?

Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào tăng?
- A.
  $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$
- B.
  $u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1}$
- C.
  $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2}$
- D.
  $u_{n} = ( - \sqrt{2})^{n}\sqrt{n^{2} - 1}$
Ta xét đáp án $:u_{n} = \frac{n}{2^{n}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = \frac{2}{4} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow ight.$ Loại

Ta xét đáp án $:u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{3} \\ u_{2} = \frac{2}{9} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow ight.$ Loại

Ta xét đáp án $:u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\ u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow ight.$ Thỏa mãn!

Ta xét đáp án : $u_{n} = ( - 2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 0 \\ u_{2} = 4\sqrt{3} \\ u_{3} = - 8\sqrt{8} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow ight.$ Loại
Câu 32: Nhận biết
Viết 5 số hạng đầu của dãy số

Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = 3^{n} + n - 2;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ ?
- A.
  $2;6;10;14;18$
- B.
  $2;9;28;83;264$
- C.
  $2;6;28;82;246$
- D.
  $2;9;28;83;246$
Ta có:

$u_{1} = 3^{1} + 1 - 2 = 2$

$u_{2} = 3^{2} + 2 - 2 = 9$

$u_{3} = 3^{3} + 3 - 2 = 28$

$u_{4} = 3^{4} + 4 - 2 = 83$

$u_{5} = 3^{5} + 5 - 2 = 246$

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là $2;9;28;83;246$
Câu 33: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) $k ∈ \mathbb{ Q}$
(b) $n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.$
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$
- B.
  Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- C.
  Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- D.
  Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì $\mathbb{Q}$ là tập con thực sự của $\mathbb{N^*}$ nên tồn tại số nguyên dương không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn $k \in \mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì số nguyên âm không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Câu 34: Vận dụng
Tìm dãy số tăng?

Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số tăng?
- A.
  u_n = sin (n)
- B.
  $v_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$
- C.
  I_n = (−1)ⁿ ⋅ n
- D.
  $h_{n} = \sqrt{n} - \sqrt{n - 1}$
Đáp án $u_n = \sin (n)$ và I_n = (−1)ⁿ ⋅ n là các dãy không tăng, không giảm.

Xét đáp án $v_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$ , ta có:

$v_{n} = 1 - \frac{2}{n + 1} \Rightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n + 2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Suy ra (v_n) là dãy số tăng.
Câu 35: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

Đáp án: 20

Đáp án là:

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

Đáp án: 20

Số ghế ở các hàng tạo thành một cấp số cộng có $u_{1} = 15$ và công sai $d = 3$ .

Giả sử hội trường có $n$ hàng ghế $n\mathbb{\in N}*$ .

Tổng số ghế có trong hội trường là:

$S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2} = \frac{\lbrack 2.15 + (n - 1).3brack n}{2} = \frac{3n^{2} + 27n}{2}.$

Để hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì $S_{n} \geq 870$

$\Leftrightarrow \frac{3n^{2} + 27n}{2} \geq 870 \Leftrightarrow n^{2} + 9n - 580 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n \geq 20 \\ n \leq - 29 \\ \end{matrix}. ight.$

Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.
Câu 36: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Một cấp số nhân có ba số hạng là a, b, c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội $q eq 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $\frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{bc}$
- B.
  $\frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{ac}$
- C.
  $\frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{ab}$
- D.
  $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$
Ta có: $ac = b^{2} \Rightarrow \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{ac}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính tổng 10 số hạng đầu của dãy

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 1$ và công sai $d = 2$ . Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng:
- A.
  $S_{10} = 110$ .
- B.
  $S_{10} = 100$ .
- C.
  $S_{10} = 21$ .
- D.
  $S_{10} = 19$ .
Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng là

$S_{n} = \frac{n}{2}\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack$

$\Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}\left\lbrack 2.1 + (10 - 1)2 ightbrack = 100$
Câu 38: Thông hiểu
Xác định cấp số cộng

Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
- A. $\left( {{U_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \geqslant 1} \end{array}} ight.$
- B. $\left( {{U_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \geqslant 1} \end{array}} ight.$
- C. $\left( {{U_n}} ight):1;3;6;10;15;...$
- D. $\left( {{U_n}} ight): - 1;1; - 1;1; - 1;....$
Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện ${u_{n + 1}} - {u_1} = 2$ với $n \geqslant 1$ là cấp số cộng.
Câu 39: Nhận biết
Tìm cấp số nhân

Dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = 7 - 3^{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{7}{3n}$
- C.
  $u_{n} = 7.2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 7 - 3n$
Theo bài ra ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}}$ (loại)

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}$ (loại)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2$ (thỏa mãn)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n}$ (loại)
Câu 40: Vận dụng cao
Tim m để nghiệm phương trình lập thành CSC

Tìm m để phương trình: ${x^4} - \left( {3m + 5} ight){x^2} + {\left( {m + 1} ight)^2} = 0$ có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng?
- A. m = 5
- B. m = 4
- C. m = -2
- D. m = 0
Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình ${x_1};{x_2};{x_3};{x_4}$
Đặt ${x^2} = y \geqslant 0$ , ta được phương trình:
${y^2} - \left( {3m + 5} ight)y + {\left( {m + 1} ight)^2} = 0\left( * ight)$
Ta phải tìm m sao cho (*) có hai nghiệm dương phân biệt $0 < {y_1} < {y_2}$
Khi đó (*) có 4 nghiệm là ${x_1} = - \sqrt {{y_2}} ,{x_2} = - \sqrt {{y_1}} ;{x_3} = \sqrt {{y_1}} ;{x_4} = \sqrt {{y_2}}$
Theo đề bài thì bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng nên
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_3} + {x_1} = 2{x_2}} \\ {{x_4} + {x_3} = 2{x_3}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \sqrt {{y_1}} - \sqrt {{y_2}} = 2\sqrt {{y_1}} \hfill \\ \Rightarrow 3\sqrt {{y_1}} = \sqrt {{y_2}} \Rightarrow 9{y_1} = {y_2}\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Áp dụng hệ thức Vi – et cho phương trình (*) ta có hệ:
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = {{\left( {3m + 5} ight)}^2} - 4{{\left( {m + 1} ight)}^2} > 0} \\ {S = {y_1} + {y_2} = 10{y_1} = 3m + 5} \\ {P = {y_1}{y_2} = 9{y_1}^2 = {{\left( {m + 1} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m = 5$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

66 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm