VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Cấp số nhân có bao nhiêu số hạng

Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
- A.
  $18$
- B.
  $17$
- C.
  $16$
- D.
  $9$
Ta có:

$u_{n} = 32805$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 32805$

$\Rightarrow 3^{n - 1} = 6561$

$\Rightarrow n = 9$

Vậy $u_{9}$ là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Câu 2: Nhận biết
Số hạng thứ?

Cho dãy số (u_n) có u_n = − n² + n + 1. Số − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?
- A.
  5
- B.
  7
- C.
  6
- D.
  4
Giả sử u_n = − 19(n∈ℕ^*) Suy ra $- n^{2} + n + 1 = - 19 \Leftrightarrow - n^{2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow n = 5 ight.$ (do n∈ℕ^*).

Vậy số − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Câu 3: Nhận biết
Tìm cấp số nhân

Dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = 7 - 3^{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{7}{3n}$
- C.
  $u_{n} = 7.2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 7 - 3n$
Theo bài ra ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}}$ (loại)

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}$ (loại)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2$ (thỏa mãn)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n}$ (loại)
Câu 4: Vận dụng cao
Tính S?

Tổng $S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1$ có kết quả bằng?
- A.
  5¹⁰⁰ − 1
- B.
  5¹⁰⁰
- C.
  5¹⁰¹ − 1
- D.
  5¹⁰¹
Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)$
$= 1 - \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}$
$\Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$
Câu 5: Nhận biết
Tìm đáp án chưa thích hợp

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?
- A.
  $2;5;8;11;14...$
- B.
  $2;4;8;10;14...$
- C.
  $1;2;3;4;5;6...$
- D.
  $15;10;5;0; - 5;...$
Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: $u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k}$ thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án: $2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại

Xét đáp án: $2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{}$ Chọn

Xét đáp án: $1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ Loại

Xét đáp án: $15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}$ loại
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án chưa thích hợp

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $1; 2;3;4;5$ .
- B.
  $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ .
- C.
  $1; - 1; 1;- 1;1$ .
- D.
  $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ .
Dãy $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$ .

Dãy $1; - 1; 1; - 1;1$ là cấp số nhân với công bội $q = - 1$ .

Dãy $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = - 2$ .

Dãy $1;2;3; 4;5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$ .
Câu 7: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các phát biểu

Cho dãy số vô hạn $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ , công sai $d$ . Gọi $S_{n}$ là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

a) $u_{5} = \frac{u_{1} + u_{9}}{2}$ Đúng||Sai

b) $u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)$ Đúng||Sai

c) $S_{12} = \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)$ Sai||Đúng

d) $u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n\mathbb{\in N} ight)$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho dãy số vô hạn $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ , công sai $d$ . Gọi $S_{n}$ là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

a) $u_{5} = \frac{u_{1} + u_{9}}{2}$ Đúng||Sai

b) $u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)$ Đúng||Sai

c) $S_{12} = \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)$ Sai||Đúng

d) $u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n\mathbb{\in N} ight)$ Sai||Đúng

Ta có: $u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)$ đúng

$\frac{u_{1} + u_{9}}{2} = \frac{u_{1} + u_{1} + 8d}{2} = u_{1} + 4d = u_{5}$

Ta có:

$S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}$

$\Rightarrow S_{12} = 6\left( 2u_{1} + 11d ight) eq \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)$

Lại có: $u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$
Câu 8: Thông hiểu
Công thức số hạng tổng quát?

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = 2u_{n} \\ \end{matrix} ight.$ . Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?
- A.
  u_n = − 2^n − 1
- B.
  $u_{n} = \frac{- 1}{2^{n - 1}}$
- C.
  $u_{n} = \frac{- 1}{2^{n}}$
- D.
  u_n = 2^n − 2
Ta có

$\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \frac{1}{2} \\u_{2} = 2u_{1} \\u_{3} = 2u_{2} \\\cdots \\u_{n} = 2u_{n - 1} \\\end{matrix} ight.$

Nhân vế với vế của các đẳng thức trên, ta được: $u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots u_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n - 1} \cdot u_{1} \cdot u_{2}\ldots u_{n - 1} \Leftrightarrow u_{n} = 2^{n - 2}$ .
Câu 9: Vận dụng
Xét tính tăng, giảm và bị chặn

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n +n^{2}}}$ , ta thu được kết quả?
- A.
  Dãy số tăng, bị chặn trên.
- B.
  Dãy số tăng, bị chặn dưới.
- C.
  Dãy số giảm, bị chặn.
Ta có u_n > 0, ∀n ≥ 1
$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\frac{\sqrt{n^{2} + n + 1}}{\sqrt{(n + 1)^{2} + (n + 1) +1}}$
$= \sqrt{\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3n+ 3}} < 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} <u_{n},\forall n \geq 1$
⇒ dãy (u_n) là dãy số giảm.
Mặt khác 0 < u_n < 1⇒ dãy (u_n) là dãy bị chặn.
Câu 10: Thông hiểu
Tìm công bội và số hạng đầu tiên của CSN

Cho cấp số nhân (u_n) có ${u_2} = \frac{1}{4};{u_5} = 16$ . Tìm công bội q và số hạng đầu u₁.
- A. $q = \frac{1}{2};{u_1} = \frac{1}{2}$
- B. $q = - \frac{1}{2};{u_1} = 2$
- C. $q = 4;{u_1} = - \frac{1}{2}$
- D. $q = 4;{u_1} = \frac{1}{{16}}$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = \dfrac{1}{4}} \\ {{u_5} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}.q = \dfrac{1}{4}} \\ {{u_1}.{q^4} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q^3} = 64} \\ {{u_1}.{q^4} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 4} \\ {{u_1} = \dfrac{1}{{16}}} \end{array}} ight.$
Câu 11: Vận dụng cao
Tính tổng của một cấp số nhân

Tính tổng $3 + 33 + 333 + ... + 33...33 + ....$
- A. $S = \frac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 9 - 10n} ight)$
- B. $S = \frac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n} ight)$
- C. $S = \frac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} + 10 - 9n} ight)$
- D. $S = \frac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 + 9n} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} S = 3\left( {1 + 11 + 111 + ... + 11...1} ight) \hfill \\ S = 3.\left( {\dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^n} - 1}}{9}} ight) \hfill \\ S = \dfrac{3}{9}.\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^n} - n} ight) \hfill \\ S = \dfrac{1}{3}.\left( {10.\dfrac{{{{10}^n} - 1}}{{10 - 1}} - n} ight) = \dfrac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm dãy số tăng

Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
- A.
  $1;1;1;1;1;1...$
- B.
  $1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};...$
- C.
  $1;3;5;7;9;....$
- D.
  $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$
Xét đáp án $1;1;1;1;1;1...$ dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Xét đáp án $1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};...$ $\Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3}$ (Loại)
Xét đáp án $1;3;5;7;9;....$ $\Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*}$ (Chọn)
Xét đáp án $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$ $Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ...$ (Loại)
Câu 13: Nhận biết
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 2;d = - 3$ . Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:
- A.
  $S_{10} = 115$
- B.
  $S_{10} = - 155$
- C.
  $S_{10} = - 115$
- D.
  $S_{10} = 155$
Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

$S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115$
Câu 14: Vận dụng
Tính tổng biểu thức A

Tính tổng $A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}$
- A.
  $A = 500500$
- B.
  $A = 500005$
- C.
  $A = 505000$
- D.
  $A = 500050$
Ta có:

$A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}$

$A = 1.(1000 + 999) + 1.(998 + 997) + ... + 1.(2 + 1)$

$A = 1999 + 1995 + ... + 3$

Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 1999$ và công sai d = −4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì

$u_{n} = 3$

$\Leftrightarrow u_{1} + (n - 1) = 3$

$\Leftrightarrow 1999 + (n - 1)( - 4) = 3$

$\Leftrightarrow n = 500$

$\Rightarrow T = S_{500} = \frac{\left( u_{1} + u_{500} ight).500}{2} = \frac{(1999 + 3).500}{2} = 500500$
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Dãy số nào là dãy số tăng?
- A.
  $u_{n} = n^{2}$
- B.
  $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{u_{n}}}$
- C.
  $u_{n} = 3 - 2n$
- D.
  $u_{n} = - 2n^{2} + 3n + 1$
Xét $u_{n} = n^{2}$ ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy $u_{n} = n^{2}$ là dãy số tăng.
Câu 16: Vận dụng
Dãy tăng hay giảm?

Xét tính tăng giảm của dãy số $u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1}$ , ta thu được kết quả
- A.
  Dãy số (u_n) tăng
- B.
  Dãy số (u_n) giảm
- C.
  Dãy số (u_n) không tăng, không giảm
- D.
  Dãy số (u_n) khi tăng, khi giảm
Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(n + 1) + \sqrt{(n + 1)^{2} - 1}} - \frac{1}{n + \sqrt{n^{2} - 1}} < 0$

Vậy dãy (u_n) là dãy số giảm.
Câu 17: Thông hiểu
Xác định vị trí của số đã cho trong dãy số

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_n=\frac{2n+5}{5n-4}$ . Số $\frac{7}{12}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
- A.
  8
- B.
  6
- C.
  9
- D.
  10
Ta có:
$\begin{matrix} {u_k} = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2k + 5}}{{5k - 4}} = \dfrac{7}{{12}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 12\left( {2k + 5} ight) = 7\left( {5k - 4} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 24k + 60 = 35k - 28 \hfill \\ \Leftrightarrow 11k = 88 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy số $\frac{7}{12}$ là số hạng thứ 8 của dãy số.
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Với $n \in \mathbb{N}^{*}$ , cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi hệ thức truy hồi $u_{1} = 2$ , $u_{n + 1} = 2u_{n} + 3$ . Giá trị của số hạng thứ $4$ bằng
- A.
  $37$ .
- B.
  $17$ .
- C.
  $7$ .
- D.
  $77$ .
Ta có:

$u_{2} = 2u_{1} + 3 = 2.2 + 3 = 7$ ,

$u_{3} = 2u_{2} + 3 = 2.7 + 3 = 17$ ,

$u_{4} = 2u_{3} + 3 = 2.17 + 3 = 37$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Tính giá trị x + y

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2} = \frac{x}{y};\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight)$ . Tính giá trị x + y.
- A. 4
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Ta có:
$\begin{matrix} a + c = 2b \hfill \\ \Rightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{{A + C}}{2}.\cos \dfrac{{A - C}}{2} = 4\sin \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2} = 4\sin \dfrac{{A + C}}{2}.\cos \dfrac{{A + C}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{{A - C}}{2} = 2\cos \dfrac{{A + C}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} + \sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} = 2\cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} - 2\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} = 3\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \hfill \\ \Rightarrow 3\tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1 \hfill \\ \Rightarrow \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
=> x + y = 4
Câu 20: Nhận biết
Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;q = - 5$ . Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- A.
  $- 2;10;50; - 250$
- B.
  $- 2;10; - 50;250$
- C.
  $- 2; - 10; - 50; - 250$
- D.
  $- 2;10;50;250$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 21: Thông hiểu
Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;d = 3$ . Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
- A.
  $S_{100} = 24350$
- B.
  $S_{100} = - 24350$
- C.
  $S_{100} = 24600$
- D.
  $S_{100} = - 24600$
Ta có:

$S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}$

$\Leftrightarrow S_{100} = 100.u_{1} + \frac{100.99d}{2} = - 24350$
Câu 22: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng $75\%$ so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

Đáp án: 666

Đáp án là:

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng $75\%$ so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

Đáp án: 666

Gọi $u_{n}$ là quãng dường người đó dược kéo lên ở lần thứ $n$ (đơn vị tính: mét).

Ta có $u_{1} = 0,75 \cdot 100 = 100 \cdot 1,5 = 75\ m$ và $u_{n} = 0,75 \cdot u_{n - 1}$ .

Vậy $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 75$ và công bội $q = 0,75$ .

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là

$S = 100 + 2u_{1} + 2u_{2} + \cdots + 2u_{10}$

$= 100 + 2S_{10} = 100 + 2 \cdot \frac{75\left( 1 - 0,75^{10} ight)}{1 - 0,75} \approx 666\ \ (m)$
Câu 23: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{7} = 26 \\ {u_{2}}^{2} + {u_{6}}^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 13 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 10 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ d = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 13 \\ d = - 4 \\ \end{matrix} ight.$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{7} = 26 \\ {u_{2}}^{2} + {u_{6}}^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 6d = 26 \\ \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 5d ight)^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 13 - 3d \\ \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 5d ight)^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó:

$\Rightarrow (13 - 2d)^{2} + (13 + 2d)^{2} = 466$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 4 \Rightarrow u_{1} = 1 \\ d = - 4 \Rightarrow u_{1} = 25 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 24: Thông hiểu
Xác định cấp số nhân

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=2u_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
- B.
  $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=u_n+u_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
- C.
  $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=u^3_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
- D.
  $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=u_{n-1}+1\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
Xét dãy số $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=2u_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
Ta có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 2$ => Dãy số là cấp số nhân
Câu 25: Thông hiểu
Tìm công sai d của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;S_{23} = 483$ . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng?
- A.
  $d = 2$
- B.
  $d = 5$
- C.
  $d = 4$
- D.
  $d = - 5$
Gọi d là công sai của cấp số cộng khi đó ta có:

$S_{23} = 483 \Leftrightarrow \frac{23\left( 2u_{1} + 22d ight)}{2} = 483$

$\Leftrightarrow \frac{23.( - 2 + 22d)}{2} = 483$

$\Leftrightarrow d = 2$
Câu 26: Vận dụng
Tìm số hạng thứ n của CSN

Cho dãy số (u_n) xác định bởi ${u_1} = \frac{{ - 41}}{{20}};{u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1;\left( {n \geqslant 1} ight)$ . Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho.
- A. ${u_{2018}} = {2.21^{2018}} - \frac{1}{{20}}$
- B. ${u_{2018}} = {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
- C. ${u_{2018}} = - {2.21^{2018}} - \frac{1}{{20}}$
- D. ${u_{2018}} = - {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
Ta có: ${u_{n + 1}} = 21{u_n} + 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} + \frac{1}{{20}} = 21\left( {{u_n} + \frac{1}{{20}}} ight)$
Đặt ${v_n} = {u_n} + \frac{1}{{20}} \Rightarrow {v_{n + 1}} = 21{v_n}$
Khi đó (v_n) là một cấp số nhân với và công bội q = 21
Do đó số hạng tổng quát của dãy (v_n) là ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = - {2.21^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = - {2.21^{n - 1}} - \frac{1}{{20}}$
=> ${u_{2018}} = - {2.21^{2017}} - \frac{1}{{20}}$
Câu 27: Thông hiểu
Tìm giá trị của m

Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?
- A.
  m = 2
- B.
  m = 3
- C.
  m = 4
- D.
  m = 5
Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:
$\begin{matrix} 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4
Câu 28: Thông hiểu
Tìm công sai d

Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.
- A.
  $d = 2$
- B.
  $d = - 3$
- C.
  $d = 4$
- D.
  $d = 5$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{6} = 17 \\ u_{2} + u_{4} = 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 5d = 17 \\ 2u_{1} + 6d = 14 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 16 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 29: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = \frac{3}{5}.2^{n - 1},n \in \mathbb{N}^{*}$ . Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
- A.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = 2$ .
- B.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = - 2$ .
- C.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = - 2$
- D.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = 2$ .
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra $u_{1} = \frac{3}{5}$ và $q = 2$ .
Câu 30: Thông hiểu
Xác định vị trí số hạng

Cho cấp số nhân $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}$ . Hỏi số $\frac{1}{4096}$ là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?
- A.
  $11$
- B.
  $12$
- C.
  $10$
- D.
  $13$
Ta có: $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}$ là cấp số nhân với $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{n - 1} = \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{4096}$

$\Rightarrow \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{12}} \Rightarrow n = 12$
Câu 31: Thông hiểu
Số hạng thứ mấy?

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 1}$ , biết $u_{k} = \frac{2}{13}$ . Hỏi u_k là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
- A.
  Thứ năm
- B.
  Thứ sáu
- C.
  Thứ ba
- D.
  Thứ tư
Ta có:

$u_{k} = \frac{k - 1}{k^{2} + 1} \Rightarrow \frac{k - 1}{k^{2} + 1} = \frac{2}{13} \Rightarrow k = 5$ (do k∈ℕ^*)
Câu 32: Nhận biết
Tìm công sai của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ biết $u_{n} = 3 - 5n$ . Tìm công sai của cấp số cộng?
- A.
  $d = 3$
- B.
  $d = - 5$
- C.
  $d = - 3$
- D.
  $d = 5$
Theo giả thiết ta có:

$u_{n + 1} = - 2 - 5n$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1$

Vậy $d = - 5$
Câu 33: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Biết bốn số $5;x;15;y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3x + 2y$ bằng
- A.
  $50$
- B.
  $70$
- C.
  $30$
- D.
  $62$
Ta có:
$x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20$
$\Rightarrow 3x + 2y = 70$
Câu 34: Nhận biết
Tính số hạng của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu là $u_{1} = 1$ , công bội là $q = 2019$ . Tính $u_{2019}$ ?
- A.
  $u_{2019} = 2018^{2019}$
- B.
  $u_{2019} = 2019^{2018}$
- C.
  $u_{2019} = \frac{1}{2019^{2018}}$
- D.
  $u_{2019} = 2019^{2019}$
Theo công thức cấp số nhân ta có: $u_{2019} = u_{1}.q^{n - 1} = 1.2019^{2019 - 1} = 2019^{2018}$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm vị trí của số hạng đã cho

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;q = - \frac{1}{10}$ . Số $\frac{1}{10^{103}}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
- A.
  Số hạng thứ 103
- B.
  Số hạng thứ 104
- C.
  Số hạng thứ 105
- D.
  Số hạng thứ 102
Ta có:

$u_{n} = \frac{1}{10^{103}}$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = \frac{1}{10^{103}}$

$\Rightarrow ( - 1)\left( - \frac{1}{10} ight)^{n - 1} = 6561$

Mà n là số chẵn và $n - 1 = 103$

$\Rightarrow n = 104$
Câu 36: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu $u_{1} = - \frac{1}{2},$ công sai $d = \frac{1}{2}.$ Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:
- A.
  $- \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1.$
- B.
  $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}.$
- C.
  $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}.$
- D.
  $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}.$
Ta dùng công thức tổng quát $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}$ , hoặc $u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2}$ để tính các số hạng của một cấp số cộng.

Ta có $u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Câu 37: Thông hiểu
Tính tổng dãy số

Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4+ ...- 2n + (2n+1)$
- A.
  1
- B.
  0
- C.
  n
- D.
  n + 1
Ta có:
Với $n=0=>S=1$
Với $n = 1 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 = 2$
Với $n = 2$ $\Rightarrow S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3$
Dự đoán $S = n + 1\left( * ight)$ ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.
Với $n = 0$ đương nhiên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với $n=k$ tức là:
$\begin{matrix} {S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} ight) \hfill \\ = k + 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$
Ta có:
$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} ight) + \left[ {2\left( {k + 1} ight) + 1} ight] \hfill \\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4... - 2k + 2k + 1} ight) - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = {S_k} + - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = k + 1 + 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là $S=n+1$
Câu 38: Nhận biết
Tìm u3?

Cho dãy số (u_n) có u₁ = 7; u_n + 1 = 2u_n + 3. Khi đó u₃ bằng?
- A.
  17
- B.
  77
- C.
  37
- D.
  9
Ta có u₃ = 2u₂ + 3 = 2 ⋅ (2u₁+3) + 3 = 4u₁ + 9 − 4 ⋅ 7 + 9 = 37.
Câu 39: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là $12288 m^{ 2 }$ . Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

Đáp án: 6 m²

Đáp án là:

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là $12288 m^{ 2 }$ . Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

Đáp án: 6 m²

Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là $S_{11} = \frac{12288}{2^{11}} = 6\ m^{2}$ .
Câu 40: Nhận biết
Chọn câu đúng?

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

(I) k ∈ A

(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k

Lúc đó, ta có:
- A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A
- B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A
- C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A
- D. Mọi số nguyên đều thuộc A
(I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.

(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

38 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5