VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định cấp số nhân

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=2u_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
- B.
  $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=u_n+u_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
- C.
  $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=u^3_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
- D.
  $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=u_{n-1}+1\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
Xét dãy số $\left\{\begin{matrix}u_0=1 \\ u_n=2u_{n-1}\end{matrix}ight.\forall n\geq1$
Ta có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 2$ => Dãy số là cấp số nhân
Câu 2: Vận dụng cao
Công thức tính tổng?

Cho tổng $S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$ .

Khi đó công thức tính tổng S(n) là?
- A.
  $S(n) = \frac{n}{n + 2}$
- B.
  $S(n) = \frac{n}{n + 1}$
- C.
  $S(n) = \frac{2n}{n + 1}$
- D.
  $S(n) = \frac{n}{2^{n}}$ .
$S(n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$= 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}}$ . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $u_{5} = \frac{2}{3^{4}}$
- B.
  $u_{5} = \frac{2}{3^{5}}$
- C.
  $u_{5} = 3^{5}$
- D.
  $u_{5} = \frac{5}{3^{5}}$
$S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}} = 3.\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack$

Mặt khác

$\Rightarrow S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 -q^{n}}{1 - q} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3(1 - q) \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{5} = u_{1}.q^{4} = \frac{2}{3^{4}}$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ k

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{n + 3}{2n^{2} - 1}$ . Biết rằng $u_{k} = \frac{7}{31}$ . Khi đó $u_{k}$ là số hạng thứ mấy trong dãy số?
- A.
  Thứ bảy
- B.
  Thứ sáu
- C.
  Thứ tư
- D.
  Thứ năm
Ta có:

$u_{k} = \frac{7}{31} \Rightarrow \frac{k + 3}{2k^{2} - 1} = \frac{7}{31}$

$\Leftrightarrow 14k^{2} - 7 = 31k + 93$

$\Leftrightarrow 14k^{2} - 31k - 100 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}k = 4(tm) \\k = - \dfrac{25}{14}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy $u_{k}$ là số hạng thứ tư trong dãy số.
Câu 5: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức

Cho ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì $\left| {3b - a} ight|$ bằng?
- A. 8
- B. 5
- C. 12
- D. 15
Ta có:
Ba số a; 5; 3b theo thứ tự lập thành cấp số cộng
=> a + 3b = 5.2
=> a = 10 – 3b
Ba số a; 3; 3b theo thứ tự lập thành cấp số nhân
=> a.3b = 3²
=> ab = 3
$\begin{matrix} \Rightarrow b\left( {10 - 3b} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{b^2} - 10b + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 3 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \\ {b = \dfrac{1}{3} \Rightarrow a = 9 \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left| {3y - x} ight| = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị số hạng thứ n

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $u_{2} = 2001;u_{5} = 1995$ . Khi đó $u_{1001}$ bằng:
- A.
  $u_{1001} = 4005$
- B.
  $u_{1001} = 4003$
- C.
  $u_{1001} = 3$
- D.
  $u_{1001} = 1$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{2} = 2001 \\ u_{5} = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + d = 2001 \\ u_{1} + 4d = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2003 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d = 3$
Câu 7: Nhận biết
Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân

Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64. Khi đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 2^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = 2^{n}$
- C.
  $u_{n} = 2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 2n$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{2} = 4 \\ u_{6} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}q = 4 \\ u_{1}q^{5} = 64 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 2.2^{n - 1} = 2^{n}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức D

Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m₁, m₂, m₃ của tham số m để phương trình ${x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức $D = {m_1}^3 + {m_2}^3 + {m_3}^3$
- A. D = 34
- B. D = 36
- C. D = 64
- D. D = -34
Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là $- \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3$ là nghiệm của phương trình
$\begin{matrix} \Leftrightarrow {3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = 2} \\ {m = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Với $m = - 1;m = 2;m = 3$ thì ${m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15$
$\begin{matrix} \Rightarrow {x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight)\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \\ {x = 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng
Vậy giá trị cần tìm là 34
Câu 9: Thông hiểu
Xác định vị trí số hạng

Cho cấp số nhân $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}$ . Hỏi số $\frac{1}{4096}$ là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?
- A.
  $11$
- B.
  $12$
- C.
  $10$
- D.
  $13$
Ta có: $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{4096}$ là cấp số nhân với $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{2} \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = \frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{n - 1} = \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{4096}$

$\Rightarrow \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{12}} \Rightarrow n = 12$
Câu 10: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
- A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân
- B. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương
- C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng
- D. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng
Ta lấy một phản ví dụ:
Dãy số (u_n) với ${u_n} = n - 2$ là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0
Nhưng dạng khai triển của nó là -1; 0; 1; … không phải một dãy số dương.
Câu 11: Nhận biết
Tìm x

Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.
- A.
  x = 7
- B.
  x = 10
- C.
  x = 11
- D.
  x = 12
Ta có: d = 6 - 1 = 5
Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
=> x = 6 + 5 = 11
Vậy x = 11
Câu 12: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức

Biết bốn số $5;x;15;y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3x + 2y$ bằng
- A.
  $50$
- B.
  $70$
- C.
  $30$
- D.
  $62$
Ta có:
$x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20$
$\Rightarrow 3x + 2y = 70$
Câu 13: Vận dụng
Tìm a để dãy tăng

Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = au_{n} + 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Tất cả các giá trị của a để (u_n) là dãy số tăng là?
- A.
  a < 0
- B.
  a ≤ 0
- C.
  a > 0
- D.
  a > 1
Xét hiệu u_n + 1 − u_n = (au_n+1) − (au_n − 1+1) = a(u_n−u_n − 1)

Áp dụng, ta có u₂ = au₁ + 1 = a + 1 ⇒ u₂ − 1 = a ⇒ u₂ − u₁ = a

⇒ u₃ − u₂ = a(u₂−u₁) = a²

⇒ u₄ − u₃ = a(u₃−u₂) = a³

⇒ u_n + 1 − u_n = aⁿ > 0

Để dãy số (u_n) tăng thì u_n > u_n − 1 > … > u₂ > u₁ ⇒ a > 0
Câu 14: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ tư của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_{n} = 5^{n} - 1$ . Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $u_{4} = 100$
- B.
  $u_{4} = 124$
- C.
  $u_{4} = 500$
- D.
  $u_{4} = 624$
Ta có:
$S_{n} = 5^{n - 1}$
$\Rightarrow u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 -q} = 5^{n - 1}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = q - 1 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 4 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó $u_{4} = u_{1}.q^{3} = 4.5^{3} =500$
Câu 15: Vận dụng
Mỗi tháng bác Hoa phải trả bao nhiêu tiền

Bác Hoa mua nhà trị giá 900 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu bác Hoa muốn trả hết nợ trong 3 năm và phải trả lãi mức 6% trên năm thì mỗi tháng bác phải trả bao nhiêu tiền?
- A.
  $28001244$
- B.
  $28058236$
- C.
  $28124756$
- D.
  $28421035$
Gọi x (đồng) là số tiền bác Hoa phải trả mỗi năm. (Điều kiện x > 0)

Ta có:

$x = \frac{900.10^{6}.0,06.1,06^{3}}{1,06^{3} - 1}$

$x = 336698831,5$ (đồng)

Vậy số tiền bác Hoa phải trả mỗi tháng là $T = \frac{336698831,5}{12} \approx 28058236$ (đồng).
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5$ .
- B.
  $1;\ 3;\ 6;\ 9;\ 12$ .
- C.
  $2;\ 4;\ 6;\ 8;\ 10$ .
- D.
  $2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2$ .
Ta thấy ở dãy số $2;\ 2;\ 2;\ 2;\ 2$ có $u_{1} = u_{2} = u_{3} = u_{4} = u_{5} = 2$ nên đây là cấp số nhân với công bội $q = 1$ .
Câu 17: Thông hiểu
Dãy số bị chặn?

Trong các dãy (u_n) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?
- A.
  $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2}$
- B.
  $u_{n} = \frac{3n^{2} - 1}{n - 5}$
- C.
  u_n = − n² − n + 1
- D.
  u_n = n³
Ta có:

n² − n + 1 < n² + 2n + 2 (do n > 0)

Suy ra $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2} < 1$ , với mọi n.
Câu 18: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

Đáp án: 20

Đáp án là:

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

Đáp án: 20

Số ghế ở các hàng tạo thành một cấp số cộng có $u_{1} = 15$ và công sai $d = 3$ .

Giả sử hội trường có $n$ hàng ghế $n\mathbb{\in N}*$ .

Tổng số ghế có trong hội trường là:

$S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2} = \frac{\lbrack 2.15 + (n - 1).3brack n}{2} = \frac{3n^{2} + 27n}{2}.$

Để hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì $S_{n} \geq 870$

$\Leftrightarrow \frac{3n^{2} + 27n}{2} \geq 870 \Leftrightarrow n^{2} + 9n - 580 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n \geq 20 \\ n \leq - 29 \\ \end{matrix}. ight.$

Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.
Câu 19: Thông hiểu
Dãy số bị chặn dưới

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \sin n - \cos n$ . Dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?
- A.
  0
- B.
  -1
- C.
  $-\sqrt{2}$
- D.
  Không bị chặn dưới.
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = \sin n - \cos n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}\sin n - \sin \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \Rightarrow 1 \geqslant \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt 2 \geqslant \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Nhận biết
Tìm số hạng

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}$ . Tìm số hạng $u_{5}$
- A.
  $u_{5}=\frac{1}{4}$
- B.
  $u_{5}=\frac{17}{12}$
- C.
  $u_{5}=\frac{7}{4}$
- D.
  $u_{5}=\frac{71}{39}$
Ta có:
${u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}$
Câu 21: Nhận biết
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu và công sai lần lượt là $- 2;3$ . Số hạng thứ $10$ bằng:
- A.
  $u_{10} = 25$
- B.
  $u_{10} = 31$
- C.
  $u_{10} = 22$
- D.
  $u_{10} = 28$
Ta có: $u_{1} = - 2;d = 3$

$\Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9d = 25$
Câu 22: Nhận biết
Tìm giá trị của x

Với giá trị $x$ nào dưới đây thì các số $- 4;x; - 9$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
- A.
  $x = 36$
- B.
  $x = - \frac{13}{2}$
- C.
  $x = 6$
- D.
  $x = - 36$
Ta có: $- 4;x; - 9$ lập thành một cấp số nhân

$\Rightarrow x^{2} = ( - 4).( - 9) = 36$

$\Rightarrow x = \pm 6$
Câu 23: Thông hiểu
Tính tổng 16 số hạng đầu dãy số

Cho một cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{4} = - 12;u_{14} = 18$ . Giá trị $S_{16}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $S_{16} = - 24$
- B.
  $S_{16} = 24$
- C.
  $S_{16} = 26$
- D.
  $S_{16} = - 26$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

$S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24$
Câu 24: Nhận biết
Xác định cấp số cộng

Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $u_{n}=7-3n$
- B.
  $u_{n}=7-3^{n}$
- C.
  $u_{n}=\frac{7}{3n}$
- D.
  $u_{n}=7.3^{n}$
Xét dãy số $u_{n}=7-3n$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) - \left( {7 - 3n} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy dãy số $u_{n}=7-3n$ là một cấp số cộng với $u_1=4;d=-3$
Câu 25: Nhận biết
Tìm số hạng thứ 2n của dãy số

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_{n}=\frac{n^{2}}{3^{n}}$ với $\forall n\geq 1$ . Khi đó số hạng $u_{2n}$ của dãy $(u_{n})$ là
- A.
  $\frac{2n^{2}}{3^{n}}$
- B.
  $\frac{4n^{2}}{6^{n}}$
- C.
  $\frac{4n^{2}}{9^{n}}$
- D.
  $\frac{2n^{2}}{6^{n}}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n}} = \dfrac{{{{\left( {2n} ight)}^2}}}{{{3^{2n}}}} = \dfrac{{4{n^2}}}{{{9^n}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ 3n của dãy

Cho dãy số $(u_n)$ với $\begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{n\pi }}{3}} ight)}}{{n + 1}} \hfill \\\end{matrix}$ với mọi $n\geq 1$ . Khi đó số hạng $u_{3n}$ của dãy $(u_{n})$ là:
- A.
  $\frac{1}{3n+1}$
- B.
  $\frac{1}{n+1}$
- C.
  $-\frac{1}{3n+1}$
- D.
  $0$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{n\pi }}{3}} ight)}}{{n + 1}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{3n}} = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{3n\pi }}{3}} ight)}}{{3n + 1}} = \dfrac{{\sin \left( {n\pi } ight)}}{{3n + 1}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 0,1;d = 0,1$ . Số hạng thứ $7$ của cấp số cộng là
- A.
  $1,6$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $0,5$ .
- D.
  $0,6$
Ta có: $u_{7} = u_{1} + 6d = - 0,1 + 6.0,1 = 0,5$
Câu 28: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến $A(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n ≥ p$ (p là một
số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với $n$ bằng:
- A.
  $n=1$
- B.
  $n=p$
- C.
  $n>p$
- D.
  $n\ge p$
Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với $n$ bằng $n=p$
Câu 29: Thông hiểu
Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u_n}} ight)$ công bội $q$ . Đặt $S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...$ thì:
- A. $S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}$
- B. $S = \dfrac{{{u_1}}}{{q - 1}}$
- C. $S = \dfrac{{1 - q}}{{{u_n}}}$
- D. $S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - {q^n}}}$
Tổng cấp số nhân là: $S = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$
Do cấp số đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn nên ta có:
$\begin{matrix} \left| q ight| < 1 \Rightarrow {q^n} \mapsto 0 \hfill \\ \Rightarrow 1 - {q^n} \mapsto 1 \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Vận dụng cao
Tính tổng của một cấp số nhân

Tính tổng $3 + 33 + 333 + ... + 33...33 + ....$
- A. $S = \frac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 9 - 10n} ight)$
- B. $S = \frac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n} ight)$
- C. $S = \frac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} + 10 - 9n} ight)$
- D. $S = \frac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 + 9n} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} S = 3\left( {1 + 11 + 111 + ... + 11...1} ight) \hfill \\ S = 3.\left( {\dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^n} - 1}}{9}} ight) \hfill \\ S = \dfrac{3}{9}.\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^n} - n} ight) \hfill \\ S = \dfrac{1}{3}.\left( {10.\dfrac{{{{10}^n} - 1}}{{10 - 1}} - n} ight) = \dfrac{1}{{27}}.\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Nhận biết
Viết 5 số hạng đầu của dãy số

Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = 3^{n} + n - 2;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ ?
- A.
  $2;6;10;14;18$
- B.
  $2;9;28;83;264$
- C.
  $2;6;28;82;246$
- D.
  $2;9;28;83;246$
Ta có:

$u_{1} = 3^{1} + 1 - 2 = 2$

$u_{2} = 3^{2} + 2 - 2 = 9$

$u_{3} = 3^{3} + 3 - 2 = 28$

$u_{4} = 3^{4} + 4 - 2 = 83$

$u_{5} = 3^{5} + 5 - 2 = 246$

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là $2;9;28;83;246$
Câu 32: Vận dụng
Tính tổng S

Tính tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n$ với $n \geq 1;n\mathbb{\in N}$ .
- A.
  $S = 0$
- B.
  $S = - 1$
- C.
  $S = n$
- D.
  $S = - n$
Với $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ thì $(2n - 1) - 2n = - 1$

Ta có:

$S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ... + (2n - 1) - 2n$

$S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + \left\lbrack (2n - 1) - 2n ightbrack$

Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1..

=> $S = - 1$

Ta có: $1;3;5;...;2n - 1$ và $2;4;6;...;2n$ là cấp số cộng có n số hạng nên.

$S = (1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1) - (2 + 4 + 6 + ... + 2n)$

$S = \frac{n}{2}.(1 + 2n - 1) - \frac{n}{2}.(2 + 2n)$

$S = n^{2} - \left( n^{2} + n ight) = - n$
Câu 33: Thông hiểu
Tính tổng 50 số nguyên dương đầu tiên

Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:
- A.
  $S_{50} = 7650$
- B.
  $S_{50} = 7500$
- C.
  $S_{50} = 3900$
- D.
  $S_{50} = 3825$
Ta có:

Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng $3n;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ nên chúng lập thành cấp số cộng $u_{n} = n$

$ightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{50} = 150 \\ \end{matrix} ight.$

$S_{n} = \frac{n}{2}.\left( u_{1} + u_{n} ight) = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}$

$\Rightarrow S_{50} = \frac{50}{2}.\left( u_{1} + u_{50} ight) = 3825$
Câu 34: Nhận biết
Xác định cấp số nhân

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A. 1; 2; 3; 4; 5
- B. 1; 2; 4; 8; 16
- C. 1; -1; 1; -1; 1
- D. 1; -2; 4; -8; 16
Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1
Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2
Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1
Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2
Câu 35: Thông hiểu
Tìm công thức của số hạng?

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{n} = - 2 \\ u_{n + 1} = - 2 - \frac{1}{u_{n}} \\ \end{matrix} ight.$ . Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?
- A.
  $u_{n} = - \frac{n - 1}{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$
- C.
  $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$
- D.
  $u_{n} = - \frac{n}{n + 1}$
Ta có $u_{1} = - \frac{3}{2};u_{2} = - \frac{4}{3};u_{3} = - \frac{5}{4};\ldots$ suy ra được $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$ .
Câu 36: Thông hiểu
Tổng dãy số chia hết cho bao nhiêu

Với mọi số nguyên dương $n$ thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho
- A.
  3
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  7
Với $n = 1$ $\Rightarrow {S_1} = {1^3} + 2.1 = 3$ chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh $S_n$ chia hết cho 3 với mọi $n$ .
Giả sử khẳng định đúng với $n=k$ tức là ${S_k} = {k^3} + 2k$ chia hết cho 3, ta chứng minh ${S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight)$ cũng chia hết cho 3.
Ta có:
$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 2k} ight) + 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 2k} ight) \vdots 3 \hfill \\ 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {S_{k + 1}} \vdots 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy với mọi số nguyên dương thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho 3.
Câu 37: Vận dụng
Tìm số hạng tổng quát

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là $S_{n} = n^{2} + 4n^{2};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ của cấp số cộng đã cho.
- A.
  $u_{n} = 2n + 3$
- B.
  $u_{n} = 3n + 2$
- C.
  $u_{n} = 5.3^{n - 1}$
- D.
  $u_{n} = 5.\left( \frac{8}{5} ight)^{n - 1}$
Ta có:

$S_{n} = n^{2} + 4n^{2}$

Mặt khác

$S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2} = \frac{d}{2}.n^{2} + \left( u_{1} - \frac{d}{2} ight).n$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{d}{2} = 1 \\u_{1} - \dfrac{d}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 5 \\d = 2 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = 2n + 3$
Câu 38: Thông hiểu
Tìm giá trị của x và y

Với giá trị nào của $x;y$ thì các số hạng $- 2;x; - 18;y$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = - 54 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 10 \\ y = - 26 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 6 \\ y = - 54 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 6 \\ y = 54 \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: các số hạng $- 2;x; - 18;y$ lập thành cấp số nhân

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{- 2} = \dfrac{- 18}{x} \\\dfrac{- 18}{x} = \dfrac{y}{- 18} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 6 \\y = \dfrac{324}{x} = \pm 54 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $\left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (6;54) \\ (x;y) = ( - 6;54) \\ \end{matrix} ight.$
Câu 39: Thông hiểu
Số hạng thứ 99 của CSC là bao nhiêu

Cho cấp số cộng (U_n) có $u_1=11$ và công sai d = 4. Tính ${u_{99}}$ ?
- A. 401
- B. 403
- C. 402
- D. 404
Ta có: ${u_{99}} = {u_1} + 99d = 11 + 98.4 = 403$
Câu 40: Vận dụng
Mệnh đề đúng?

Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2} + 1}{4},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  (u_n) là dãy số tăng.
- B.
  (u_n) là dãy số giảm.
- C.
  (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.
- D.
  (u_n) là dãy số không đổi.
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh u_n + 1 − u_n < 0 bằng quy nạp toán học.

Từ giả thiết suy ra u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Ta có $u_{2} - u_{1} = \frac{5}{4} - 2 = \frac{- 3}{4} < 0.$

Giả sử: u_k + 1 − u_k < 0, ∀k ≥ 1

Xét hiệu $u_{k + 2} - u_{k + 1} = \frac{u_{k + 1}^{2} + 1}{4} - \frac{u_{k}^{2} + 1}{4}$

$= \frac{1}{4}\left( u_{k + 1} + u_{k} ight)\left( u_{k + 1} - u_{k} ight) < 0$

Theo nguyên lí quy nạp suy ra u_n + 1 − u_n < 0, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) là dãy số giảm.

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

70 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm