Giới hạn của dãy số Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Giới hạn của dãy số bao gồm định nghĩa, cách tính giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Dãy số 
\(\left( {{u}_{n}} \right)\) được gọi là có giới hạn hữu hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối \(\left| {{u_n}} \right|\) nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\) hay \(\lim {u_n} = 0\)
Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^4}}} = 0\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là \(a\) nếu \(\left| {{u_n} - a} \right|\) có giới hạn bằng 0. Nghĩa là:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\)
Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n-2}}{{1-3n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{3n}}{n} - \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{1}{n} - \dfrac{{3n}}{n}}} = \dfrac{{3 - 0}}{{0 - 3}} = - 1\)
Chú ý:
- \(\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)
- Nếu \(\left| {{q}} \right|<1\) thì \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\)
- Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
\left| {{u_n}} \right| \leqslant {v_n};\forall n \geqslant 1 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\)
- Nếu \({u_n} = c\) với c là hằng số thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\)
Ví dụ: Chứng minh rằng:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right)} \right] = 0\)
Ta có:
\(2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right) = \frac{2}{{\sqrt {{n^2} + 1} + n}} \leqslant \frac{2}{{n + n}} = \frac{1}{n}\)
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{n}} \right) = 0\)
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right)} \right] = 0\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = 0\)
Ta có:
\(\sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \leqslant \frac{1}{{2\sqrt n }}\)
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{2\sqrt n }}} \right) = 0\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = 0\)
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
i) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a;\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì
| \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\) |
| \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = \frac{a}{b};\left( {b \ne 0} \right)\) |
ii) Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
{u_n} \geqslant 0;\forall n \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\left\{ \begin{gathered}
a > 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{{{\left( {3n - 1} \right)}^2}}}\)
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
\(A = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{9{n^2} - 6n + 1}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{9 - \dfrac{6}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{4}{9}\)
b) \(B = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - {n^2} + 2n + 1}}{{\sqrt {3{n^4} + 2} }}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{ - 1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {3 + \dfrac{2}{{{n^4}}}} }}\)
\(= \frac{{ - 1 + 0 + 0}}{{\sqrt {3 + 0} }} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q với \(\left| q \right| < 1\).
Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:
\({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}};\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)
Chứng minh
Cho cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q. Khi đó tổng n số hạng đầu tiên của dãy số là:
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + .. + {u_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Vì \(\left| q \right| < 1 \Rightarrow {q^n} \to 0\) khi \(n \to + \infty\). Khi đó ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} - \left( {\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}} \right).{q^n}} \right]\) \(= \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {dpcm} \right)\)
Ví dụ: Tính tổng
a) \(S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 3}}}} + ...\)
b) \(S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} + ...\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 3}}}} + ...\)
\(= 9\left( {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...} \right)\)
(Vì \(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{n - 1}}}} + ...\) là cấp số nhân lùi vô hạn có \(\left| q \right| = \frac{1}{3} < 1\))
\(= 9.\left( {\frac{1}{{1 - \dfrac{1}{3}}}} \right) = \frac{{27}}{2}\)
b) Ta có:
\(S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} + ...\)
\(= 1 + \frac{2}{3} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + ...\)
(Vì \(1 + \frac{2}{3} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + ...\) là cấp số nhân lùi vô hạn có \(\left| q \right| = \frac{2}{3} < 1\))
\(= \frac{1}{{1 - \frac{2}{3}}} = 3\)
4. Giới hạn vô cực của dãy số
Một số quy tắc liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số:
+ Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)
+ Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0 \hfill \\
{v_n} > 0;\forall n \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty\)
+ Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = + \infty\)
Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} \hfill \\
= \lim \sqrt {{3^n}} \sqrt {2 - \dfrac{n}{{{3^n}}} + 2.{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^n}} \hfill \\
\end{matrix}\)
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim \sqrt {{3^n}} = + \infty } \\
{0 \leqslant \dfrac{n}{{{3^n}}} \leqslant \dfrac{n}{{C_2^n}} = \dfrac{2}{{n - 1}} \to 0 \Rightarrow \lim \dfrac{n}{{{3^n}}} = 0} \\
{\lim {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^n} = 0}
\end{array}} \right.\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lim \sqrt {{3^n}} = + \infty } \\
{\lim \sqrt {2 - \dfrac{n}{{{3^n}}} + 2{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^n}} = \sqrt 2 > 0}
\end{array}} \right.\)
Do đó \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} = + \infty\)
