Hàm số lượng giác Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Hàm số lượng giác bao gồm định nghĩa, tính chất và các công thức về các hàm số lượng giác cơ bản và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
- Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực
\(x\) với số thực \(\sin x\) được gọi là hàm số sin, kí hiệu là \(y = \sin x\).
- Tập xác định của hàm số sin là \(\mathbb{R}\).
- Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực \(x\) với số thực \(\cos x\) được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là \(y = \cos x\).
- Tập xác định của hàm số cos là \(\mathbb{R}\).
- Hàm số được cho bằng công thức \(y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\) được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx.
- Tập xác định của hàm số tang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
- Hàm số được cho bằng công thức \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\) được gọi là hàm số cotang, kí hiệu là y = cotx.
- Tập xác định của hàm số cotang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số:
|
a. |
b. |
|
c. |
d. |
Hướng dẫn giải
a. Tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k\pi } \right\}\)
b. Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k2\pi \Leftrightarrow x \ne k\pi\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c. Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3 - \cos x \geqslant 0} \\
{1 + \cos x \geqslant 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x \leqslant 3} \\
{\cos x \geqslant - 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x \leqslant 1} \\
{\cos x \geqslant - 1}
\end{array} \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d. Điều kiện xác định: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin x \geqslant 0} \\
{\cos x + 1 \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant k\pi } \\
{x \ne \pi + k2\pi }
\end{array}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(D\).
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \(\left\{ \begin{gathered}
- x \in D \hfill \\
f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \(\left\{ \begin{gathered}
- x \in D \hfill \\
f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận trục hoành làm trục đối xứng.
Chú ý: Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ) ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số với những x dương, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, gốc tọa độ) sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.
b) Hàm số tuần hoàn
Định nghĩa: Hàm số có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số \(T \ne 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có:
- \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - T \in D} \\
{x + T \in D}
\end{array}} \right.\)
- \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được:
- \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\)
- \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\)
- \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\)
- \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\)
Chú ý:
- Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\)
- Hàm số \(y = \cos \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\)
- Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}\)
- Hàm số \(y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}\)
Đặc biệt:
- Hàm số \(y = a\sin mx + b\cos nx + c,\left( {m,n \in \mathbb{Z}} \right)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left( {m,n} \right)}}\) với (m, n) là ước chung lớn nhất.
- Hàm số \(y = a\tan mx + b\cot nx + c,\left( {m,n \in \mathbb{Z}} \right)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{{\left( {m,n} \right)}}\) với (m, n) là ước chung lớn nhất.
Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:
|
a. |
b. |
|
c. |
d. |
Hướng dẫn giải
a. Hàm số \(y = \sin \left( {2x + 1} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi\)
b. Hàm số \(y = \cos \left( {\frac{1}{2} - 3x} \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| { - 3} \right|}} = \frac{{2\pi }}{3}\)
c. Ta có:
\(y = 1 + {\sin ^2}(2x) = 1 + \frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{{\cos 4x}}{2}\)
Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T
\(\Rightarrow f(x + T) = f(x)\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{2} - \frac{{\cos 4x}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{{\cos 4(x + T)}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \cos 4x = \cos 4(x + T)\) chọn x = 0
\(\Rightarrow \cos 4{\text{T}} = 1 \Leftrightarrow {\text{T}} = \frac{{{\text{k}}\pi }}{2}\)
Chọn \({\text{k}} = 1 \to {\text{T}} = \frac{\pi }{2}\) vậy chu kì là \({\text{T}} = \frac{\pi }{2}\)
d. Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T \(\Rightarrow f(x + T) = f(x)\)
Chọn \(x = 0 \Rightarrow \sin T = 0 \Rightarrow T = k\pi\)
Chọn \(k = 1 \Rightarrow T = \pi\)
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\)
3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x
Hàm số \(y = \sin x\)
- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
- Tập giá trị [-1; 1] hay \(- 1 \leqslant \operatorname{sinx} \leqslant 1,\forall x \in \mathbb{R}\)
- Hàm số là hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\)
- Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.
Đồ thị hàm số y = sinx
4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cos x
Hàm số \(y = \cos x\)
- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
- Tập giá trị [-1; 1] hay \(- 1 \leqslant \operatorname{cosx} \leqslant 1,\forall x \in \mathbb{R}\)
- Hàm số là hàm chẵn tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\)
- Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)
5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx
Hàm số \(y = \tan x\)
- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
- Tập giá trị: \(\mathbb{R}\)
- Hàm số là hàm lẻ tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\)
- Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\)
- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\)
6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cot x
Hàm số y = cotx
- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
- Tập giá trị: \(\mathbb{R}\)
- Hàm số là hàm lẻ tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\)
- Nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}\)
- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đồ thị hàm số y = cotx
