Hai mặt phẳng song song Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Hai mặt phẳng song song bao gồm cách xác định, điều kiện và tính chất và chứng minh hai mặt phẳng song song. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Hai mặt phẳng song song
Hai mặt phẳng 
\((α)\) và \((β)\) được gọi là song song với nhau nếu chúng có điểm chung, kí hiệu là \((α) // (β)\) hay \((β) // (α)\).
Hình vẽ minh họa
Nhận xét:
+ Nếu hai mặt phẳng \((α)\) và (β) song song với nhau và đường thẳng \(d\) nằm trong \((α)\) thì d và \((β)\) không có điểm chung, tức là \(d\) song song với \((β)\).
Kết luận: Nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.
2. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song
Định lí 1: Nếu mặt phẳng \((α)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng \((β)\) thì \((α)\) và \((β)\) song song với nhau.
 |
\(\left\{ \begin{gathered}
a;b \in \left( \alpha \right) \hfill \\
a \cap b = \left\{ M \right\} \hfill \\
a//\left( \beta \right) \hfill \\
b//\left( \beta \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) |
Định lí 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hình vẽ minh họa
Hệ quả 1
Nếu đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((α)\) thì qua \(d\) có duy nhất một mặt phẳng song song với \((α)\).
Hệ quả 2
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hệ quả 3
Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng \((α)\). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với \((α)\) đều nằm trong mặt phẳng qua A và song song với \((α)\).
Hình ảnh minh họa
Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
 |
\(\left\{ \begin{gathered}
\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \hfill \\
\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = a \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = b \hfill \\
a//b \hfill \\
\end{gathered} \right.\) |
Hệ quả
Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
3. Định lí Thalès trong không gian
Hình ảnh minh họa
Ví dụ: Cho hình chóp cụt tam giác \(ABC.A’B’C’\) trong đó \(ABC\) là đáy lớn. Gọi \(S\) là điểm đồng quy của các đường thẳng \(AA’; BB’; CC’\). Chứng minh rằng: \(\frac{{SA'}}{{SA}} = \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SC'}}{{SC}}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác \(SAB\) có \(A’B’ // AB\).
Theo định lí Thales trong mặt phẳng ta có: \(\frac{{SA'}}{{SA}} = \frac{{SB'}}{{SB}}\left( * \right)\)
Xét tam giác \(SAC\) có \(A’C’ // AC\).
Theo định lí Thales trong mặt phẳng ta có: \(\frac{{SA'}}{{SA}} = \frac{{SC'}}{{SC}}\left( {**} \right)\)
Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{{SA'}}{{SA}} = \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SC'}}{{SC}}\)
Chú ý: Nếu hai cát tuyến d và d’ cắt ba mặt phẳng song song \((P) // (Q) // (R)\) lần lượt tại các giao điểm \(A, B, C\) và \(A’, B’, C’\) thì \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{CA}}{{C'A'}}\).
4. Hình lăng trụ và hình hộp
Định nghĩa
Cho hai mặt phẳng \((α) // (α’)\). Trong \((α)\) cho đa giác lồi \(A_1A_2A_3 …. A_n\).
Qua các điểm \(A_1, A_2, A_3, …., A_n\) ta dựng các đường song song với nhau và cắt \((α’)\) tại \(A’_1A’_2A’_3 …. A’_n\).
Hình tạo thành bởi hai đa giác \(A_1A_2A_3 …. A_n\) và \(A’_1A’_2A’_3 …. A’_n\) cùng với các hình bình hành \(A_1A_2A’_2A’_1, A_2A_3A’_3A’_2, …, A_nA_1A’_1A’_n\) được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu bởi \(A_1A_2A_3 …. A_n.A’_1A’_2A’_3…. A’_n\).
Hình vẽ minh họa
Đặc điểm của hình lăng trụ
- Hai đa giác A1A2A3 …. An và A’1A’2A’3 …. A’n được gọi là mặt đáy (bằng nhau) của hình lăng trụ.
- Các đoạn thẳng A1A’1, A2A’2, … , AnA’n gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.
- Các hình bình hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, …, AnA1A’1A’n được gọi là các mặt bên của hình trụ.
- Các đỉnh của hai đa giác đáy là các đỉnh của hình lăng trụ.
Tính chất của hình lăng trụ
- Các mặt bên của hình lăng trụ thì song song và bằng nhau.
- Các mặt bên của hình lăng trụ đều là hình bình hành.
- Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
- Hình lăng trụ có đáy là tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác.
- Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành là hình hộp.
- Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy của nó như sau:
