VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tìm kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB > CD)$ . Lấy một điểm $M$ thuộc cạnh $CD$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ qua M song song với SA và BC. Giả sử $(\alpha) \cap (SAD) = d$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $d//SC$
- B.
  $d//SA$
- C.
  $d//BC$
- D.
  $d//SD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (\alpha) \cap (ABCD) \\ (\alpha)//BC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = MN//BC;(N \in AB)$

Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} E \in (\alpha) \cap (SAD) \\ (\alpha)//SA \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $(\alpha) \cap (SAD) = d//SA$
Câu 2: Vận dụng cao
Tính giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

Giá trị lớn nhất của hàm số: $y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}$
- A. -3
- B. 1
- C. -2
- D. 3
Ta có:
$\begin{matrix} \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \Rightarrow - 1 \leqslant \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow - \sqrt 2 \leqslant \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \Rightarrow - \sqrt 2 + 2 \leqslant \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 2 \leqslant \sqrt 2 + 2 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} ight) + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} y = \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {1 - y} ight)\sin x + \left( {2 - y} ight)\cos x + 1 - 2y = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Phương trình có nghiệm:
$\begin{matrix} \Leftrightarrow {\left( {1 - y} ight)^2} + {\left( {2 - y} ight)^2} \geqslant {\left( {1 - 2y} ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {y^2} + y - 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow - 2 \leqslant y \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow \max y = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?
- A.
  Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác
- B.
  Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác
- C.
  Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác
- D.
  Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó
Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.
Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa
Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác
Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.
Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.
Câu 4: Thông hiểu
Xác định khoảng liên tục của hàm số

Xác định khoảng liên tục của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \cos\frac{\pi x}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| \leq 1 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ |x| > 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số liên tục tại $x = - 1$
- B.
  Hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 1),(1; + \infty)$
- C.
  Hàm số liên tục tại $x = 1$
- D.
  Hàm số liên tục trên khoảng $( - 1;1)$
Hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty; - 1),(1; + \infty);( - 1;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} ight)}^ - }} \left( {x - 1} ight) = - 2 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

=> Hàm số gián đoạn tại $x = - 1$

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 1 ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \dfrac{{\pi x}}{2} = 0 \hfill \\ \end{matrix} ight.$

=> Hàm số liên tục tại $x = 1$
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}$ . Giá trị $u_{21}$ là
- A.
  $\frac{11}{243}$ .
- B.
  $\frac{10}{243}$ .
- C.
  $\frac{21}{443}$ .
- D.
  $\frac{19}{443}$ .
Ta có: $u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án sai

Khẳng định nào dưới đây sai?
- A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) là ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ với công bội q và số hạng đầu u₁
- B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d$ với công sai d và số hạng đầu u₁
- C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + nd$ với công sai d và số hạng đầu u₁
- D. Nếu dãy số (u_n) là một cấp số cộng thì ${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + {u_{n + 2}}}}{2};\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} ight)$
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d$ với công sai d và số hạng đầu u₁
Câu 7: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}}$ bằng
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 9: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
- A.
  Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong $(\beta)$ đều song song với mọi đường thẳng nằm trong $(\beta)$ .
- B.
  Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt $(\alpha)$ và $(\beta)$ thì $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau.
- C.
  Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ đều song song với $(\beta)$ .
Khẳng định đúng là: “Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$ đều song song với $(\beta)$ .”.
Câu 10: Thông hiểu
Xác định bảng số liệu ghép nhóm đúng

Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam (đơn vị: cm) lớp 11 được thống kê như sau:
160
161
161
162
162
162
163
163
163
164
164
164
164
165
165
165
165
165
166
166
166
166
167
167
168
168
168
168
169
169
170
171
171
172
172
174
Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?
- A.
- B.
- C.
- D.
Ta có:
Khoảng biến thiên là $174 - 160 =14$
Để chia số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 4
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 176.
Khi đó ta có các nhóm là: $\lbrack160;164),\lbrack 164;168),\lbrack 168;172),\lbrack 172;176)$
Vậy bảng dữ liệu ghép nhóm đúng là:
Câu 11: Thông hiểu
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = 8 - 4\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} ight)$ là:
- A. $M = 8;m = 4$
- B. $M = 14;m = 4$
- C. $M = 12;m = 4$
- D. $M = 6;m = 4$
Ta có:
$\begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow 4 \geqslant - 4\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} ight) \geqslant - 4 \hfill \\ \Rightarrow 8 + 4 \geqslant 8 - 4\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} ight) \geqslant 8 - 4 \hfill \\ \Rightarrow 12 \geqslant y \geqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$
=> M = 12; m = 4
Câu 12: Nhận biết
Xác định nhóm chứa trung vị

Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Thời gian (phút)

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

Số học sinh

7

13

9

18

22

6

Nhóm chứa trung vị là:
- A.
  [30; 40)
- B.
  [10; 20)
- C.
  [40; 50)
- D.
  [20; 30)
Cỡ mẫu của bảng số liệu này là $n = 75$ , nên nhóm chứa trung vị là nhóm chứa giá trị thứ $38$ , suy ra đó là nhóm $\lbrack 30;40)$
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa $a$ và $b$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $1$ .
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.

Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị?

Giá trị của $F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  8
- D.
  1
Ta có:

$F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}$

$= \lim\frac{\left( 1 - \frac{2}{n}ight)^{7}\left( 2 + \frac{1}{n} ight)^{3}}{\left( 1 +\frac{5}{n^{2}} ight)^{5}\ } = 8$
Câu 15: Vận dụng
Phát biểu nào sau đây là đúng

Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm nằm trong tam giác SAD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD.
- B.
  Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD.
- C.
  Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM.
- D.
  Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC).
Đáp án "Giao điểm của (SMC) với BD là giao điểm của CN với BD, trong đó N là giao điểm của SM và AD." đúng.
Đáp án "Giao điểm của (SAC) với BD là giao điểm của SA và BD." sai vì giao điểm của BD và (SAC) là giao điểm của BD và AC.
Đáp án "Giao điểm của (SAB) với CM là giao điểm của SA và CM." sai vì CM không cắt SA.
Đáp án "Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng (SBC)." sai vì DM cắt mặt phẳng (SBC) tại giao điểm của DM và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Câu 16: Thông hiểu
Xác định mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  $\lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5$
- B.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{4x + 5}{x - 2} = + \infty$
- C.
  $\lim_{x ightarrow +}\left( \sqrt{x^{2} + 2x + 5} - x ight) = 1$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x + 2}{x - 1} = + \infty$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3x +2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{1 -\dfrac{1}{x}} = \dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3$
Câu 17: Vận dụng
Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Tìm số hạng tổng quát của dãy số?
- A.
  $u_{n} = 2020 + \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$
- B.
  $u_{n} = 2020 + \frac{n(n + 1)}{2}$
- C.
  $u_{n} = \frac{n(n - 1)}{2}$
- D.
  $u_{n} = 2020 + \frac{n(n - 1)}{2}$
Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = n,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra

$u_{2} - u_{1} = 1$

$u_{3} - u_{2} = 2$

$u_{4} - u_{3} = 3$

…

$u_{n + 1} - u_{n} = n$

Cộng các vễ theo đẳng thức trên ta được

$u_{n + 1} - u_{n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

$\Leftrightarrow u_{n + 1} = 2020 + \frac{n(n + 1)}{2};\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$
Câu 18: Thông hiểu
Mối quan hệ giữa ba đường thẳng

Cho ba mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha ight),\;{m{ }}\left( \beta ight),{m{ }}\;\left( \gamma ight)$ có $\left( \alpha ight) \cap \left( \beta ight) = {d_1}; \left( \beta ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_2};$ $\left( \alpha ight) \cap \left( \gamma ight) = {d_3}$ . Khi đó ba đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$ :
- A. Đôi một cắt nhau.
- B. Đôi một song song.
- C. Đồng quy.
- D. Đôi một song song hoặc đồng quy.
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Câu 19: Thông hiểu

Tìm trung vị

Dưới đây là bảng biểu diễn điểm của 140 sinh viên của trường đại học. Tìm trung vị.

Khoảng điểm	Số sinh viên
(9,5; 19,5)	7
[19,5; 29,5)	15
[29,5; 39,5)	18
[39,5; 49,5)	25
[49,5; 59,5)	30
[59,5; 69,5)	20
[69,5; 79,5)	16
[79,5; 39,5)	7
[89,5; 39,5)	2

A.
$50,14$
B.
$49,78$
C.
$44,35$
D.
$51,17$

Ta có:

Khoảng điểm	Số sinh viên	Tần số tích lũy
(9,5; 19,5)	7	7
[19,5; 29,5)	15	22
[29,5; 39,5)	18	40
[39,5; 49,5)	25	65
[49,5; 59,5)	30	95
[59,5; 69,5)	20	115
[69,5; 79,5)	16	131
[79,5; 39,5)	7	138
[89,5; 39,5)	2	140
	N = 140

Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{140}{2} =70$

=> Trung vị nằm trong nhóm $[49,5; 59,5)$ (vì 70 nằm giữa hai tần số tích lũy là 65 và 95)

$\Rightarrow l = 49,5;\frac{N}{2} = 70;m= 65;f = 30,c = 10$

$\Rightarrow M_{e} = l + \dfrac{\left(\dfrac{N}{2} - m ight)}{f}.c$ $= 49,5 + \frac{70 - 65}{30}.10 =51,17$

Câu 20: Thông hiểu
Tìm các đường thẳng chéo nhau với AB

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Số đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng $AB$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là $CC',DD',C'B',D'A'$ .
Câu 21: Thông hiểu
Kiểm tra mệnh đề nào đúng

Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin^{2}a + \cos^{2}a =1$
- B.
  $1 + \cot^{2}a = -\frac{1}{\sin^{2}a}$
- C.
  $\tan a.\cot a = - 1$
- D.
  $\cos a = \tan a.\sin a$
Mệnh đề đúng là: $\sin^{2}a + \cos^{2}a =1$
Câu 22: Vận dụng
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông $AA'D'D$ . Xác định các giao tuyến của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ tạo với mặt phẳng $(CMN)$ . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến.
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{14}}{4}$
- B.
  $\frac{3a^{2}\sqrt{14}}{2}$
- C.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{14}}{2}$
Hình vẽ minh họa
Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.
Tứ giác $CQPM$ là hình thang có
$CM = \frac{a\sqrt{5}}{2};OM =\frac{a\sqrt{13}}{6};PQ = \frac{a\sqrt{10}}{3};CQ =\frac{a\sqrt{13}}{3}$
$\Rightarrow MF = PQ =\frac{a\sqrt{10}}{3};CF = PM = \frac{a\sqrt{13}}{6}$
Ta có: $S_{CMPQ} = 3S_{CMF}$
$S_{CMF} = \sqrt{p(p - CM)(p - CF)(p -MF)}$ với $p = \frac{CM + MF +FC}{2}$
Thay giá trị các cạnh ta có $S_{CMF} =\sqrt{\frac{7}{72}}a^{2} \Rightarrow S_{CMPQ} =\frac{a^{2}\sqrt{14}}{4}$
Câu 23: Nhận biết
Tính số mặt phẳng chứa a và song song với b

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  Không
- D.
  Vô số
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Câu 24: Vận dụng

Kiểm tra tính đúng sai của các phát biểu

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Câu 25: Nhận biết
Điều kiện để dãy số lập thành CSC

Cho dãy số -7; h; 11; k. Với giá trị nào của h, k thì dãy số đã cho lập thành một cấp số cộng?
- A. h = 1; k = 21
- B. h = 2; k = 20
- C. h = 3; k = -19
- D. h = 4; k = 18
Bốn số hạng 7; h; 11; k theo thứ tự là u₁; u₂; u₃; u₄ lập thành một cấp số cộng nên
$\begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_3} = {u_3} - {u_2}} \\ {{u_4} - {u_3} = {u_2} - {u_1}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 11 = 11 - h} \\ {k - 11 = h + 7} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h + k = 22} \\ {h - k = - 18} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h = 2} \\ {k = 20} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Thông hiểu
Tổng dãy số chia hết cho bao nhiêu

Với mọi số nguyên dương $n$ thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho
- A.
  3
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  7
Với $n = 1$ $\Rightarrow {S_1} = {1^3} + 2.1 = 3$ chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh $S_n$ chia hết cho 3 với mọi $n$ .
Giả sử khẳng định đúng với $n=k$ tức là ${S_k} = {k^3} + 2k$ chia hết cho 3, ta chứng minh ${S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight)$ cũng chia hết cho 3.
Ta có:
$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 2k} ight) + 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 2k} ight) \vdots 3 \hfill \\ 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {S_{k + 1}} \vdots 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy với mọi số nguyên dương thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho 3.
Câu 27: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Tìm khẳng định đúng.
- A.
  Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác.
- B.
  Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng.
- C.
  Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt.
- D.
  Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.

Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.

ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.

=> Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.
Câu 28: Vận dụng cao
Tính S?

Tổng $S ={4.5}^{100} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}+ \ldots + \frac{1}{5^{100}} ight) + 1$ có kết quả bằng?
- A.
  5¹⁰⁰ − 1
- B.
  5¹⁰⁰
- C.
  5¹⁰¹ − 1
- D.
  5¹⁰¹
Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} +\frac{1}{5^{3}} + \ldots + \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 5M - M = \left( 1 +\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{99}} ight) -\left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}}\ldots +\frac{1}{5^{100}} ight)$
$= 1 - \frac{1}{5^{100}}$
$\Rightarrow 4M = 1 - \frac{1}{5^{100}}\Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}}$
$\Rightarrow S = {4.5}^{100} \cdot\frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$
Câu 29: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
- A.
  $\sin^{2}x = \frac{1 -\cos2x}{2}$
- B.
  $\cos^{2}x = \frac{1 +\cos2x}{2}$
- C.
  $\sin x =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
- D.
  $\cos3x = \cos^{3}x -\sin^{3}x$
Ta có:

$\cos3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x$
Câu 30: Vận dụng cao
Tính lim

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2;u_{2} = 4 \\ u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_{n} + 5;(n \geq 1) \\ \end{matrix} ight.$ . Tính $\lim_{n ightarrow\infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}}$ .
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{3}{2}$
Ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 5 \hfill \\ \end{matrix}$

Đặt $\Rightarrow v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} \Rightarrow v_{n + 1} = v_{n} + 5;(n \geq 1)$

Từ đó:

$\begin{matrix} {u_2} - {u_1} = 2 \hfill \\ {u_3} - {u_2} = 7 \hfill \\ {u_4} - {u_3} = 12 \hfill \\ ... \hfill \\ {u_{n + 1}} - {u_n} = 5n - 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Khi đó:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 + 7 + 12 + ... + \left( {5n - 3} ight) \hfill \\ = \dfrac{{n\left[ {2 + \left( {5n - 3} ight)} ight]}}{2} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Từ đó ta có:

$\begin{matrix} {u_{n + 1}} = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + {u_1} \hfill \\ = \dfrac{{n\left( {5n - 1} ight)}}{2} + 2 = \dfrac{{5{n^2} - n + 4}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy $u_{n} = \frac{5n^{2} - 11n + 10}{2}$

=> $\lim_{n ightarrow \infty}\frac{u_{n}}{n^{2}} = \lim_{n ightarrow \infty}\left( \frac{5n^{2} - 11n + 10}{2} ight) = \frac{5}{2}$
Câu 31: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số a

Tìm các giá trị nguyên của a thuộc $(0;20)$ sao cho $\lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}$ là một số nguyên?
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\lim\left( \dfrac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} ight) = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\left( \dfrac{1}{2^{n}} ight) = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}= 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a \in (0;20),a\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 1;6;13 ight\}$

Vậy có ba giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 32: Vận dụng cao
Tính diện tích đa giác tạo bởi các điểm biểu diễn nghiệm

Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình $\tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1$ .
- A.
  $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{10}}{5}$
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  $\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Ta có:
$\tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1$
$\Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1$
$\Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x$
$\Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Với $tanx = 0$ ta được nghiệm $x=k\pi$
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.
Với $tanx = 3$ ta được $x = acrtan 3 + kπ$
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.
Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
$\begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;\ \ u_{4} = - 54$ . Tính $u_{8}$ .
- A.
  $u_{8} = 4374$ .
- B.
  $u_{8} = 13122$ .
- C.
  $u_{8} = - 13122$ .
- D.
  $u_{8} = - 4374$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = - 54 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{1}.q^{3} = - 54 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q^{3} = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $u_{8} = u_{1}.q^{7} = - 2.3^{7} = - 4374$ .
Câu 34: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{\pi}{2};\pi ight)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( \pi;\frac{3\pi}{2}ight)$
- B.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{3\pi}{2}; - \frac{\pi}{2} ight)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}ight)$
- C.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi}{2} ight)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};0 ight)$
- D.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}ight)$
Ta có thể hiểu như sau:
“ Hàm số y = sinx đồng biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc x thuộc góc phần tư thứ II và III”.
Câu 35: Thông hiểu

Tính giá trị trung bình

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Giá trị trung bình của đối tượng bằng 162,75||163,14||164,02||160,58

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Giá trị trung bình của đối tượng bằng 162,75||163,14||164,02||160,58

Ta có:
Đối tượng
Giá trị đại diện
Tần số
[150; 155)
152,5
15
[155; 160)
157,5
11
[160; 165)
162,5
39
[165; 170)
167,5
27
[170; 175)
172,5
5
[175; 180)
177,5
3
Giá trị trung bình của đối tượng là:
$\overline{x} = \frac{152,5.15 + 157,5.11+ 162,5.39 + 167,5.27 + 172,5.5 + 177,5.3}{100} = 162,75$
Câu 36: Nhận biết
Tính giới hạn

Tính giới hạn $\lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}},\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$
- A.
  $2$
- B.
  $\sqrt{2}$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{3}{\sqrt{2}}$
Ta có: $\lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}} =\lim\sqrt{\dfrac{2 + \dfrac{9}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}}} = \sqrt{\frac{2 +0}{1 + 0}} = \sqrt{2}$
Câu 37: Vận dụng
Mệnh đề nào đúng?

Gọi $x_0$ là nghiệm âm lớn nhất của $\sin 9x + \sqrt 3 \cos 7x = \sin 7x + \sqrt 3 \cos 9x$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. ${x_0} \in \left( { - \frac{\pi }{{12}};0} ight)$
- B. ${x_0} \in \left[ { - \frac{\pi }{6}; - \frac{\pi }{{12}}} ight]$
- C. ${x_0} \in \left[ { - \frac{\pi }{3}; - \frac{\pi }{6}} ight)$
- D. ${x_0} \in \left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} ight)$
Phương trình $\Leftrightarrow \sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = \sin 7x - \sqrt 3 \cos 7x$
$\Leftrightarrow \sin \left( {9x - \frac{\pi }{3}} ight) = \sin \left( {7x - \frac{\pi }{3}} ight)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 9x - \frac{\pi }{3} = 7x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 9x - \frac{\pi }{3} = \pi - \left( {7x - \frac{\pi }{3}} ight) + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = \frac{{5\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{8} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\xrightarrow{{{\text{Cho}} < 0}}\left[ \begin{gathered} k\pi < 0 \Leftrightarrow k < 0\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}{k_{\max }} = - 1 \to x = - \pi \hfill \\ \frac{{5\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{8} < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{5}{6}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}{k_{\max }} = - 1 \to x = - \frac{\pi }{{48}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{\pi }{{48}} \in \left( { - \frac{\pi }{{12}};0} ight)$
Câu 38: Thông hiểu
Tính tổng 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $u_{2} + u_{23} = 60$ . Tính tổng $S_{24}$ của $24$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
- A.
  $S_{24} = 60$
- B.
  $S_{24} = 120$
- C.
  $S_{24} = 720$
- D.
  $S_{24} = 1440$
Ta có:
$u_{2} + u_{23} = 60$
$\Leftrightarrow \left( u_{1} + d ight)+ \left( u_{1} + 22d ight) = 60$
$\Leftrightarrow 2u_{1} + 23d =60$
Khi đó:
$\Rightarrow S_{24} = \frac{24}{2}\left(u_{1} + u_{24} ight)$
$\Rightarrow S_{24} = 12.\left\lbracku_{1} + \left( u_{1} + 23d ight) ightbrack$
$\Rightarrow S_{24} = 12.60 =720$
Câu 39: Nhận biết
Tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ ba

Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là:
- A.
  $\lbrack 40;60)$
- B.
  $\lbrack 20;40)$
- C.
  $\lbrack60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)

Số học sinh
5
9
12
10
6
N = 42
Tần số tích lũy
5
14
26
36
42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{3N}{4} =31,5$
=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [60; 80)
(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)
Câu 40: Nhận biết
Điều kiện PT có nghiệm

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ { - 2023;\,\,\,2023} ight]$ để phương trình $m\cos x + 1 = 0$ có nghiệm?
- A. 2023
- B. 2022
- C. 4046
- D. 4044
Ta có $m\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{m}$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - 1 \leqslant - \frac{1}{m} \leqslant 1$
$\Leftrightarrow m \geqslant 1\xrightarrow[{m \in \left[ { - 2023;\,2023} ight]}]{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ {1;2;3;...;2023} ight\}$ .
Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của tham số m.
Câu 41: Thông hiểu
Khẳng định đúng?

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $\cos 2x - \sin 2x = 1$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. $\frac{\pi }{4} \in S$
- B. $\frac{\pi }{2} \in S$
- C. $\frac{3\pi }{4} \in S$
- D. $\frac{5\pi }{4} \in S$
Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} ight) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} ight) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
$\Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} ight) = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ 2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = k\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.,k \in \mathbb{Z}.$
Xét nghiệm $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$ , với k = 1 ta được $x = \frac{{3\pi }}{4}$ .
Câu 42: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{ khi }}x e 1} \\ {{\text{m khi }}x = 1} \end{array}} ight.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có:
Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;1),(1; + \infty)$ . Khi đó hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x = 1$ , tức là ta cần có:
$\lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)$
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)$
Ta lại có:
$f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$
$\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1$
$\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1$
Khi đó $(*)$ không thỏa mãn với mọi $m\mathbb{\in R}$
Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 43: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Hàm số liên tục trên $( - \infty;4)$
- B.
  Hàm số liên tục trên $(1;4)$
- C.
  Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
- D.
  Hàm số liên tục trên $(1; + \infty)$
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên $(1;4)$
Câu 44: Thông hiểu
Giới hạn của hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?$
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  $+\infty$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 45: Vận dụng
Tính số hạng đầu tiên của dãy

Cho cấp số nhân (u_n) có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{20}} = 8{u_{17}}} \\ {{u_1} + {u_5} = 272} \end{array}} ight.$ . Tìm số hạng đầu tiên của dãy biết số đó không lớn hơn 100.
- A. ${u_1} = 16$
- B. ${u_1} = 2$
- C. ${u_1} = - 12$
- D. ${u_1} = 10$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{20}} = 8{u_{17}}} \\ {{u_1} + {u_5} = 272} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}{q^{19}} = 8{u_1}.{q^{16}}} \\ {{u_1} + {u_1}.{q^4} = 272} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}{q^{16}}\left( {{q^3} - 8} ight) = 0} \\ {{u_1}.\left( {1 + {q^4}} ight) = 272} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 0 \Rightarrow {u_1} = 272 > 100\left( L ight)} \\ {q = 2 \Rightarrow {u_1} = 16 < 100\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

50 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm

160	161	161	162	162	162
163	163	163	164	164	164
164	165	165	165	165	165
166	166	166	166	167	167
168	168	168	168	169	169
170	171	171	172	172	174

Thời gian (phút)	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số học sinh	7	13	9	18	22	6

Đối tượng	Giá trị đại diện	Tần số
[150; 155)	152,5	15
[155; 160)	157,5	11
[160; 165)	162,5	39
[165; 170)	167,5	27
[170; 175)	172,5	5
[175; 180)	177,5	3

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

160	161	161	162	162	162
163	163	163	164	164	164
164	165	165	165	165	165
166	166	166	166	167	167
168	168	168	168	169	169
170	171	171	172	172	174

160	161	161	162	162	162
163	163	163	164	164	164
164	165	165	165	165	165
166	166	166	166	167	167
168	168	168	168	169	169
170	171	171	172	172	174