VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định cung lượng giác

Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác $\mathop {AB}^{\displaystyle\frown}$ xác định:
- A.
  Một góc lượng giác tia đầu $OA$ , tia cuối $OB$ .
- B.
  Hai góc lượng giác tia đầu $OA$ , tia cuối $OB$ .
- C.
  Bốn góc lượng giác tia đầu $OA$ , tia cuối $OB$ .
- D.
  Vô số góc lượng giác tia đầu $OA$ , tia cuối $OB$ .
Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác $\mathop {AB}^{\displaystyle\frown}$ xác định vô số góc lượng giác tia đầu $OA$ , tia cuối $OB$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính f(0)

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[-3;3]$ với $f(x)=\frac{ \sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}}{x}$ với $xeq 0$ . Tính $f(0)$
- A.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  1
- D.
  0
Ta có: Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[-3;3]$
=> Hàm số liên tục tại $x=0$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 3} - \sqrt {3 - x} }}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {3 - x} } ight)\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}}{{x\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm số trung bình của mẫu dữ liệu

Tìm số trung bình của mẫu dữ liệu ghép nhóm dưới đây:
Nhóm
Tần số
(2; 4]
3
(4; 6]
4
(6; 8]
2
(8; 10]
1
- A.
  $4,8$
- B.
  $5,2$
- C.
  $4,3$
- D.
  $6,5$
Ta có:
Giá trị đại diện
Tần số
Tích các giá trị
3
3
9
5
4
20
7
2
14
9
1
9
Tổng
N = 10
52
Số trung bình là:
$\overline{x} = \frac{52}{10} =5,2$
Câu 4: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức S

Tính tổng $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{2^{n}}{3^{n}} + ...$ .
- A.
  $S = 3$
- B.
  $S = 4$
- C.
  $S = 5$
- D.
  $S = 6$
Ta có:

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + ... + \frac{2^{n}}{3^{n}} + ...$

$= \underbrace {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} ight)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} ight)}^n} + ...}_{CSN:{u_1} = 1;q = \frac{2}{3}}$

$= \dfrac{1}{1 - \dfrac{2}{3}} =3$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm số hạng âm

Số hạng âm trong dãy số x₁; x₂; x₃; …; x_n với $x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}}$ là?
- A.
  x₁; x₂
- B.
  x₁; x₂; x₃
- C.
  x₁; x₂; x₃…x_n
- D.
  x₁; x₂; x₃; x₄
Ta có $c_{n + 5}^{4} = \frac{(n + 5)(n +4)(n + 3)(n + 2)}{24},$

$\frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}} = \frac{143(n +5)(n + 4)}{96}$

$x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}}$

$= \frac{(n + 5)(n + 4)(2n + 17)(2n - 7)}{96} > 0,\forall n \geq 4,n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy các số hạng âm là x₁; x₂; x₃.
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó.
- A.
  a và b có một điểm chúng duy nhất
- B.
  a và b không có điểm chung nào
- C.
  a và b trùng nhau
- D.
  a và b song song hoặc trùng nhau
Theo lý thuyết ta có: mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó a // b.
Vậy a và b không có điểm chung nào.
Câu 7: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = \frac{3}{5}.2^{n - 1},n \in \mathbb{N}^{*}$ . Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó là
- A.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = 2$ .
- B.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = - 2$ .
- C.
  $u_{1} = \frac{6}{5},q = - 2$
- D.
  $u_{1} = \frac{3}{5},q = 2$ .
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta suy ra $u_{1} = \frac{3}{5}$ và $q = 2$ .
Câu 8: Vận dụng
Giải PT lượng giác với sin x và cos x

Giải phương trình ${\sin ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0$
- A. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- B. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- C. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
- D. $\left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Ta có: ${\sin ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0$
$\Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sqrt 3 {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0$
$\Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {\sqrt 3 + 1} ight)\tan x + \sqrt 3 \; = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 1 \hfill \\ \tan x = \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ x = \frac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).$
Câu 9: Vận dụng cao
Tìm các số nguyên a

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để $\lim\sqrt{\frac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n + a}}} \leq \frac{1}{2187}$ .
- A.
  $2018$
- B.
  $2011$
- C.
  $2012$
- D.
  $2019$
Ta có: $\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} +9^{n + a}} > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên

$\lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} = \sqrt{\lim\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n +a}}}$

$= \sqrt{\lim\dfrac{1 + 3.\left(\dfrac{1}{3} ight)^{n}}{\left( \dfrac{5}{9} ight)^{n} + 9^{a}}} =\sqrt{\dfrac{1}{9^{a}}} = \dfrac{1}{3^{a}}$

Theo đề bài ta có

$\lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} \leq \dfrac{1}{2187}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{3^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{2187}} \Leftrightarrow {3^a} \geqslant 2187 \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 7 \hfill \\ \end{matrix}$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} a\mathbb{\in Z} \\ a \in (0;2019) \\ \end{matrix} \Rightarrow a \in \left\{ 7;8;9;...;2018 ight\} ight.$

Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 10: Nhận biết

Tìm độ dài nhóm dữ liệu

Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm)
Tần số
[150; 155)
12
[155; 160)
9
[160; 165)
14
[165; 170)
10
[170; 175)
5
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5

Đáp án là:

Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm)
Tần số
[150; 155)
12
[155; 160)
9
[160; 165)
14
[165; 170)
10
[170; 175)
5
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5

Đáp án đúng là: 5.
Câu 11: Thông hiểu
Giới hạn nào không tồn tại

Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?
- A.
  $\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x + 1)^{2}}$
- B.
  $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 1}{x^{2} + 1}$
- C.
  $\lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x + 1}}$
- D.
  $\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos x ight)$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x + 1)^{2}} = - \infty$

$\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +1}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = 0$

$\lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x + 1}} = 0$

$\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos x ight)$ không xác định.
Câu 12: Thông hiểu
Tính diện tích tứ giác

Cho hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 10cm. Lấy $M \in SA$ sao cho $3SM = 2SA$ . Giả sử mặt phẳng $(\gamma)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và song song với $AB,AC$ . Các giao tuyến của $(\gamma)$ với các mặt của hình chóp tạo thành một tứ giác. Diện tích tứ giác đó là:
- A.
  $S = \frac{100}{3}cm^{2}$
- B.
  $S = \frac{153}{4}cm^{2}$
- C.
  $S = \frac{400}{9}cm^{2}$
- D.
  $S = \frac{214}{9}cm^{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (\gamma) \\ (\gamma)//(ABCD) \\ \end{matrix} ight.$ . Gọi $N,P,Q$ lần lượt là các giao điểm của $(\gamma)$ với $SB,SC,SD$ thì $\left\{ \begin{matrix} MN//AB \\ NP//BC \\ NP//BC \\ \end{matrix} ight.$ .

Do đó $MNPQ$ là hình vuông và $\frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{2}{3}$

Vậy diện tích tứ giác là $S = \frac{400}{9}cm^{2}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm các cặp cạnh cắt nhau

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 14: Vận dụng

Điền nội dung lời giải vào chỗ trống

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC thỏa mãn $AB = AC = 4;\widehat {BAC} = {30^0}$ . Mặt phẳng $\left( P ight)$ song song với $\left( {ABC} ight)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $\frac{{SM}}{{SA}} = 2$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P ight)$ và hình chóp $S.ABC$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Thông hiểu

Điền đáp án vào ô trống

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ . Gọi $Bx;Cy,Dz$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $B,C,D$ và song song với nhau. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ cắt các đường $Bx;Cy,Dz$ lần lượt tại $B_{1};C_{1},D_{1}$ sao cho $BB_{1} = 4;CC_{1} = 6$ . Độ dài cạnh $DD_{1}$ là: 2

Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm của $AC_{1}$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}OI//CC_{1}//BB_{1}//DD_{1} \\OI = \dfrac{1}{2}CC_{1} = 3 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in \left( BB_{1}D_{1}D ight)$ . Mà $I \in AC_{1} \subset (P)$ nên $I \in B_{1}D_{1}$

Hình thang $BB_{1}D_{1}D$ có $OI$ là đường trung bình nên $OI = \frac{1}{2}\left( BB_{1} + DD_{1} ight) \Rightarrow DD_{1} = 2$
Câu 16: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Ta có:

Hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$

Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ là: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 17: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \pi x{\text{ khi }}\left| x ight| \leqslant 1} \\ {x + 1{\text{ khi }}\left| x ight| > 1} \end{array}} ight.$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
- B. Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} ight)$ và $\left( { - 1; + \infty } ight)$
- C. Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; 1} ight)$ và $\left( { 1; + \infty } ight)$
- D. Hàm số gián đoạn tại $x = \pm 1$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \pi = 0} \end{array}} ight.$
=> Hàm số gián đoạn tại $x=1$
Ta lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0} \end{array}} ight.$
=> Hàm số liên tục tại $x=-1$
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; 1} ight)$ và $\left( { 1; + \infty } ight)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính giới hạn dãy số

Cho hai dãy số $\left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 1$ và $v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó $\lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight)$ bằng:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $+ \infty$
Ta có:

$u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}$

$\Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2$
Câu 19: Nhận biết
Đếm số vị trí biểu diễn điểm?

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) + \sqrt 3 = 0$ trên đường tròn lượng giác là?
- A. 4
- B. 3
- C. 2
- D. 1
Ta có $\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) + \sqrt 3 = 0$ $\Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) = - \sqrt 3$
$\Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} ight) = \tan \left( { - \frac{\pi }{3}} ight)$
$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = - \,\frac{\pi }{3} + k\pi$
$\Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)$
Ta xét có 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D.
Câu 20: Vận dụng cao
Chọn câu đúng về dãy số?

Cho dãy số (u_n), biết $\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{2} \\ u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}},n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng về dãy số (u_n) ?
- A.
  Dãy số (u_n) giảm và bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) giảm và không bị chặn
- C.
  Dãy số (u_n) tăng và bị chặn
- D.
  Dãy số (u_n) tăng và không bị chặn
Ta có $u_{1} = \sqrt{2};u_{2} = \sqrt{2 +\sqrt{2}};u_{3} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}};$

$\ldots;u_{n} = \sqrt{2+ \sqrt{2} + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2}}}$

Do u_n + 1 − u_n > 0 nên (u_n) là dãy số tăng.

Lại có $\sqrt{2} < u_{n} \leq 2$ suy ra dãy số bị chặn.

Câu 21: Thông hiểu

Xác định bảng dữ liệu ghép nhóm đúng

Cho bảng số liệu thống kê sau:

Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần

69	37	39	65	31	33	63
51	44	62	33	47	55	42

Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?

Bảng M	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng M	Số ngày	5	3	2	4
Bảng N	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng N	Số ngày	5	3	4	2
Bảng P	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng P	Số ngày	5	2	3	4
Bảng Q	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng Q	Số ngày	3	5	2	4

A.
Bảng M
B.
Bảng N
C.
Bảng P
D.
Bảng Q

Khoảng biến thiên là 69 – 31 = 38

Ta chia thành các nhóm sau: [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70)

Đếm số giá trị mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm

Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Số ngày	5	3	2	4

Câu 22: Vận dụng
Xác định công bội của cấp số nhân

Cho tam giác ABC vuông tại C có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số nhân có công bội lớn hơn 1. Xác định công bội của cấp số nhân đó.
- A.
  $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$
- B.
  $q = \sqrt{\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$
- C.
  $q = \sqrt{\sqrt{5} - 2}$
- D.
  $q = \sqrt{1 + \sqrt{5}}$
Giả sử $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, $a < b$ .

Do độ lớn ba cạnh tam giác lập thành cấp số nhân, công bội $q > 1$ nên $b = aq;c = aq^{2}$

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}q^{4} = a^{2} + a^{2}q^{2}$

$\Leftrightarrow q^{4} = 1 + q^{2}$

$\Leftrightarrow q^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\Leftrightarrow q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$
Câu 23: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $CD$ lên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm nào sau đây?
- A.
  $S$ .
- B.
  Trung điểm của $BC$ .
- C.
  $B$ .
- D.
  $C$ .
Hình vẽ minh họa

Do $AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\}$ suy ra hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $CD\ \ (CD//AB)$ lên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm $B$ .
Câu 24: Vận dụng
Tìm tổng số học sinh.

Bảng dưới đây cho biết số điểm trong kì kiểm tra của học sinh lớp 11.
Điểm
Số học sinh
[0; 10)
2
[10; 20)
6
[20; 30)
8
[30; 40)
x
[40; 50)
30
[50; 60)
22
[60; 70)
18
[70; 80)
8
[80; 90)
4
[90; 100)
2
Biết trung vị bằng 47. Tìm tổng số học sinh.
- A.
  $150$
- B.
  $135$
- C.
  $126$
- D.
  $143$
Ta có:
Điểm
Số học sinh
Tần số tích lũy
[0; 10)
2
2
[10; 20)
6
8
[20; 30)
8
16
[30; 40)
x
16 + x
[40; 50)
30
46 + x
[50; 60)
22
68 + x
[60; 70)
18
86 + x
[70; 80)
8
94 + x
[80; 90)
4
98 + x
[90; 100)
2
100 + x

N = 100 + x

Trung vị là 47 => Nhóm chứa trung vị là [40; 50)
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 40;\dfrac{N}{2} = \dfrac{100 + x}{2} \\m = 16 + x;f = 30,c = 50 - 40 = 10 \\\end{matrix} ight.$
$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c$
$\Leftrightarrow 47 = 40 + \dfrac{\left(\dfrac{100 + x}{2} - 16 - x ight)}{30}.10$
$\Leftrightarrow 21 = \frac{100 + x - 32- 2x}{2}$
$\Leftrightarrow x = 26$
Vậy số học sinh là 126 học sinh.
Câu 25: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Câu 26: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 27: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là sai?

Mệnh đề nào sau đây là sai?
- A. Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
- B. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
- C. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$
- D. Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$
Câu 28: Thông hiểu
Tính cân nặng trung bình

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Tính cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H?
- A.
  $58,64kg$
- B.
  $58,23kg$
- C.
  $59,46kg$
- D.
  $60,03kg$
Ta có: $N = 46$
Cân nặng (kg)
Giá trị đại diện
Số học sinh
[45; 50)
47,5
5
[50; 55)
52,5
12
[55; 60)
57,5
10
[60; 65)
62,5
6
[65; 70)
67,5
5
[70; 75)
72,5
8
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:
$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 +57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$
Câu 29: Vận dụng cao
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Tính giá trị lớn nhất của hàm số $y =\sqrt{1 + \frac{1}{2}cos^{2}x} + \frac{1}{2}\sqrt{5 +2sin^{2}x}$
- A.
  $\frac{\sqrt{11}}{2}$
- B.
  $1 + \sqrt{5}$
- C.
  $1 +\frac{\sqrt{5}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{22}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix}y = \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{5 + 2sin^{2}x}\hfill \\= \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \sqrt{\dfrac{5}{4} +\dfrac{1}{2}sin^{2}x}\hfill \\\end{matrix}$
Áp dụng bất đẳng thức $2\left( a^{2} +b^{2} ight) \geq (a + b)^{2}$
Do đó
$\begin{matrix} 2\left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}x} ight) + \left( {\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} ight)} ight] \geqslant {y^2} \hfill \\ {y^2} \leqslant 2\left( {\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{{11}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{{\sqrt {22} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Dấu bằng xảy ra khi
$\begin{matrix} 1 + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Nhận biết

Ghi đáp án vào ô trống

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Có bao nhiêu cư dân phải thanh toán cước phí từ 50 đến 200 nghìn đồng trong tháng?
Đáp án: 52 cư dân

Đáp án là:

Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số người
[0; 50)
5
[50; 100)
12
[100; 150)
23
[150; 200)
17
[200; 250)
3
Có bao nhiêu cư dân phải thanh toán cước phí từ 50 đến 200 nghìn đồng trong tháng?
Đáp án: 52 cư dân

Số cư dân phải thanh toán cước phí từ 50 đến 200 nghìn đồng trong tháng là:
12 + 23 + 17 = 52 (cư dân)
Câu 31: Thông hiểu
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $y = \sin 2x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
- A. $\left( {0;\frac{\pi }{2}} ight)$
- B. $\left( {0;\pi } ight)$
- C. $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } ight)$
- D. $\left( {\frac{{7\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{2}} ight)$
Hàm số $y = \sin 2x$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi$
Do hàm số $y=\sin x$ nghịch biến trên $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } ight)$
=> Hàm số $y = \sin{2x}$ nghịch biến khi
$\begin{matrix} \dfrac{\pi }{2} + k2\pi < 2x < \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{\pi }{4} + k\pi < x < \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đáp án đúng là $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } ight)$
Câu 32: Nhận biết
Tính giới hạn hàm số

Tính $\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3}$ .
- A.
  $- \frac{1}{2}$ .
- B.
  $\frac{2}{3}$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $\frac{1}{5}$ .
Ta có :

$\lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x + 2}{- 2x^{2} + x + 3} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1^{2} + 3.1 + 2}{- 2.1^{2} + 1 + 3} = 3$ .
Câu 33: Vận dụng
Xác định 4 điểm không thuộc cùng mặt phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Các cạnh $AC,BD,AB,CD,AD,BC$ có trung điểm lần lượt là $M,N,P,Q,R,S$ . Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $M,N,P,Q$
- B.
  $M,R,S,N$
- C.
  $P,Q,R,S$
- D.
  $M,P,R,S$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$MP // BC // NQ$ , $MP = \frac{1}{2}BC = NQ$

=> MPNQ là hình bình hành

=> $M, N, P, Q$ thuộc một mặt phẳng.

$MR // CD // SN$ , $MR = \frac{1}{2}CD = SN$

=> MRNS là hình bình hành

=> $M, R, S, N$ thuộc một mặt phẳng.

$PS // AC // RQ$ , $PS = \frac{1}{2}AC = RQ$

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy $M,P,R,S$ không thuộc cùng một mặt phẳng.
Câu 34: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Tìm được các giới hạn một bên sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$ Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty$ Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty$ Sai||Đúng

d) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Tìm được các giới hạn một bên sau:

a) $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$ Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = - \infty$ Sai||Đúng

c) $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 3x}{x^{2} - 6x + 9} = + \infty$ Sai||Đúng

d) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack = + \infty$ Sai||Đúng

a) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x}{x +1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ .

b) $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x - 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (2x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} ightbrack = + \infty$ (do $\lim_{x ightarrow 1^{+}}(2x - 1) = 1$ và $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{x - 1} = + \infty$ ).

c) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x^{2}- 3x}{x^{2} - 6x + 9} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x(x - 3)}{(x -3)^{2}}$

$= \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x}{x - 3} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( x\frac{1}{x - 3} ight) = - \infty$

Do $\lim_{x ightarrow 3^{-}}x = 3$ và $\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{1}{x - 3} = - \infty$ .

d) Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{3} - 1 ight)\left( \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 1}} ight) ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack (x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)^{2}}{(x - 1)(x + 1)}} ightbrack$

$= \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left\lbrack \left( x^{2} + x + 1 ight)\sqrt{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} ightbrack = 3 \cdot \sqrt{\frac{0}{2}} = 0$
Câu 35: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Với $k$ là số nguyên dương, $c$ là hằng số, giới hạn $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}}$ bằng
- A.
  $\mathbf{c}$ .
- B.
  $\mathbf{0}$ .
- C.
  $\mathbf{- \infty}$ .
- D.
  $\mathbf{+ \infty}$ .
Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}c = c$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}x^{k} = + \infty$ nên $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}} = 0$
Câu 36: Thông hiểu
Tìm x và y để dãy số là cấp số cộng

Tìm x và y để dãy số $9;x; - 1;y$ là một cấp số cộng?
- A.
  $x = 2;y = 5$
- B.
  $x = 4;y = 6$
- C.
  $x = 2;y = - 6$
- D.
  $x = 4;y = - 6$
Để dãy số $9;x; - 1;y$ là một cấp số cộng thì $\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{9 - 1}{2} \\- 1 = \dfrac{x + y}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = - 6 \\\end{matrix} ight.$
Câu 37: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB$ . $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SCD)$ . Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

a) $MN//CD$ Đúng||Sai

b) Tứ giác $CDSI$ là hình thang có đáy $SI < CD$ Sai||Đúng

c) $ME // ( SBC )$ Đúng||Sai

d) $HG//(SBD)$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB$ . $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SCD)$ . Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

a) $MN//CD$ Đúng||Sai

b) Tứ giác $CDSI$ là hình thang có đáy $SI < CD$ Sai||Đúng

c) $ME // ( SBC )$ Đúng||Sai

d) $HG//(SBD)$ Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB \Rightarrow MN//AB$ mà $AB//CD$ nên $MN//CD$

b) Sai

Ta có $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB//CD \\ AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d = (SAB) \cap (SCD) \\ S \in d \\ d//AB//CD \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $I = AN \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in AN \\ I \in d,d \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I = AN \cap (SCD)$

Ta có $SI//BA \Rightarrow \frac{SI}{AB} = \frac{SN}{NB} = 1$

$\Rightarrow SI = AB \Rightarrow SI = CD$

Vậy $SICD$ là hình bình hành

c) Đúng

Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $BC$ trong $(ABCD)$ , ta có

$AD//CF \Rightarrow \frac{AE}{EF} = \frac{ED}{CE} = 1$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $AF$

Vậy $ME$ là đường trung bình của tam giác $SAF$

$\Rightarrow EM//SF$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} ME//SF \\ ME ⊄ (SCD) \\ SF \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ME//(SCD)$

d) Đúng

Gọi $E$ là trung điểm $CD$ ta có

$\frac{EH}{ES} = \frac{EG}{EB}\left( = \frac{1}{3} ight) \Rightarrow GH//SB$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} GH//SB \\ SB \subset (SBD) \\ GH ⊄ (SBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GH//(SBD)$
Câu 38: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  Nếu c cắt a thì c và b chéo nhau.
- B.
  Nếu c // a thì c // b hoặc c ≡ b.
- C.
  Nếu c và a chéo nhau thì c và b chéo nhau.
- D.
  Nếu c và a cắt nhau thì c và b cắt nhau.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
Câu 39: Vận dụng cao
Tính số nghiệm?

Cho hàm số $y = x \sin x$ , số nghiệm thuộc $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là?
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. 3
Ta có: $y' = \operatorname{s} {\text{inx}} + x\cos x$
$y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$
Do đó
$y'' + y = 1 \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.\,\,\left( {k \in Z} ight)$
+) Trường hợp 1. Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = \frac{\pi }{3}$ .
+) Trường hợp 2. Với $x = -\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} ight)$
Do $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ nên $- \frac{\pi }{2} \leqslant -\frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}$
Suy ra k = 0 ta được $x = - \frac{\pi }{3};\,\,\,\,k = 1$ ta được $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Vậy có 3 nghiệm thuộc $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } ight]$ của phương trình $y''+y=1$ là
$x = \frac{\pi }{3}$ ; $x = -\frac{\pi }{3}$ ; $x = \frac{{5\pi }}{3}$ .
Câu 40: Vận dụng
Dãy số có bị chặn?

Xét tính bị chặn của dãy số $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 2)}$ , ta thu được kết quả?
- A.
  Dãy số bị chặn.
- B.
  Dãy số không bị chặn.
- C.
  Dãy số bị chặn trên.
- D.
  Dãy số bị chặn dưới.
Ta có $0 < u_{n} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1$

Dãy (u_n) bị chặn.
Câu 41: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $1; - 3; - 6; - 9; - 12$ .
- B.
  $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ .
- C.
  $1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .
- D.
  $1; - 2; - 4; - 6; - 8$ .
Ta có dãy số $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là một cấp số cộng có công sai $d = - 4$ .
Câu 42: Thông hiểu
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Một dãy số được xác định bởi $u_{1} = - 4;u_{n} = - \frac{1}{2}u_{n - 1};(n \geq 2)$ . Số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số đó là:
- A.
  $u_{n} = 2^{n - 1}$
- B.
  $u_{n} = ( - 2)^{n - 1}$
- C.
  $u_{n} = - 4.2^{- n + 1}$
- D.
  $u_{n} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ u_{n + 1} = - \frac{1}{2}u_{n} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 4 \\ q = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = - 4.\left( - \frac{1}{2} ight)^{n - 1}$
Câu 43: Nhận biết
Tìm số hạng tổng quát?

Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là
- A.
  u_n = 7n + 7
- B.
  u_n = 7.n
- C.
  u_n = 7.n + 1
- D.
  u_n = n + 7
Ta có 8 = 7.1 + 1; 15 = 7.2 + 1; 22 = 7.3 + 1; 29 = 7.4 + 1; 36 = 7.5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát u_n = 7n + 1
Câu 44: Nhận biết
Tìm đẳng thức đúng

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $sin(\pi - \alpha) = - sin\alpha$ .
- B.
  $tan( - \alpha) = tan\alpha$ .
- C.
  $cos(\pi - \alpha) = cos\alpha$ .
- D.
  $sin(\alpha + \pi) = - sin\alpha$ .
Công thức đúng là: $sin(\alpha + \pi) = - sin\alpha$
Câu 45: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số m

Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1$ nhận $x = \frac{\pi }{{12}}$ làm nghiệm.
- A. $m e 2$
- B. $m = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)}}{{\sqrt 3 - 2}}$
- C. $m = - 4$
- D. $m = -1$
Vì $x = \frac{\pi }{{12}}$ là một nghiệm của phương trình $\left( {m - 2} ight)\sin 2x = m + 1$ nên ta có:
$\left( {m - 2} ight).\sin \frac{{2\pi }}{{12}} = m + 1$
$\Leftrightarrow \frac{{m - 2}}{2} = m + 1 \Leftrightarrow m - 2 = 2m + 2 \Leftrightarrow m = - \,4$ .
Vậy m = - 4 là giá trị cần tìm.

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

52 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm

Giá trị đại diện	Tần số	Tích các giá trị
3	3	9
5	4	20
7	2	14
9	1	9
Tổng	N = 10	52

Chiều cao (tính bằng cm)	Tần số
[150; 155)	12
[155; 160)	9
[160; 165)	14
[165; 170)	10
[170; 175)	5

Điểm	Số học sinh
[0; 10)	2
[10; 20)	6
[20; 30)	8
[30; 40)	x
[40; 50)	30
[50; 60)	22
[60; 70)	18
[70; 80)	8
[80; 90)	4
[90; 100)	2

Điểm	Số học sinh	Tần số tích lũy
[0; 10)	2	2
[10; 20)	6	8
[20; 30)	8	16
[30; 40)	x	16 + x
[40; 50)	30	46 + x
[50; 60)	22	68 + x
[60; 70)	18	86 + x
[70; 80)	8	94 + x
[80; 90)	4	98 + x
[90; 100)	2	100 + x
	N = 100 + x

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

Số tiền (nghìn đồng)	Số người
[0; 50)	5
[50; 100)	12
[100; 150)	23
[150; 200)	17
[200; 250)	3

Nhóm	Tần số
(2; 4]	3
(4; 6]	4
(6; 8]	2
(8; 10]	1