Cấp số cộng Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Cấp số cộng bao gồm định nghĩa, cách xác định và tính tổng các số hạng của cấp số cộng. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Định nghĩa
Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi 
\(d\). Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi hệ thức truy hồi \({u_n} = {u_{n - 1}} + d;\left( {n \geqslant 2} \right)\).
2. Số hạng tổng quát
Cấp số cộng bắt đầu là phần tử \({u_1}\) và công sai là \(d\) thì số hạng thứ \(n\) (số hạng tổng quát) của cấp số cộng được tính theo công thức:
\({u_{n + 1}} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
Tính chất
Ba số hạng \({u_{n - 1}},{u_n},{u_{n + 1}}\) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi với \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}\).
Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 19n - 5\).
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n} + 10n\).
Hướng dẫn giải
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 19n - 5\).
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = 19\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {19n - 5} \right) = 19\)
Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 19.
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n} + 10n\).
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}} + 10\left( {n + 2} \right) - \left[ {{{\left( { - 1} \right)}^n} + 10n} \right]\)
\(= - {\left( { - 1} \right)^n} + 10 - {\left( { - 1} \right)^n} = 10 - 2{\left( { - 1} \right)^n}\) phụ thuộc vào n
Vậy dãy số đã cho là không phải cấp số cộng.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và \(\widehat C = 5\widehat A\). Xác định các góc tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Từ giải thiết bài toán đã cho ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \hfill \\
\widehat A + \widehat C = 2\widehat B \hfill \\
\end{gathered} \\
{\widehat C = 5\widehat A}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\widehat A = {{20}^0}} \\
{\widehat B = {{60}^0}} \\
{\widehat C = {{100}^0}}
\end{array}} \right.\)
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d\). Đặt \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) khi đó:
\(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
Chứng minh
\({S_n} = {u_1} + {u_1} + d + {u_1} + 2d + ... + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) (1)
Mặt khác:
\({S_n} = {u_n} - \left( {n - 1} \right)d + {u_n} - \left( {n - 2} \right)d + ... + {u_n} - d + {u_n}\) (2)
Lấy (1) cộng (2)
\(\Rightarrow 2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right) \Rightarrow {S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\)
\(\Rightarrow {S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\)
Ví dụ: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21} \\
{3{u_7} - 2{u_4} = - 34}
\end{array}} \right.\)
a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số.
b) Tính tổng của 15 số hạng đầu của cấp số công.
c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}}\).
Hướng dẫn giải
Từ giải thiết đề bài ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - \left( {{u_1} + d} \right) = - 21} \\
{3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34}
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = 2} \\
{d = - 3}
\end{array}} \right.\)
a) Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: \({u_{100}} = {u_1} + 99d = - 295\)
b) Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng:
\({S_{15}} = \frac{{15\left( {2{u_1} + \left( {15 - 1} \right)d} \right)}}{2} = - 285\)
c) \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}} = \frac{{27\left( {2{u_4} + 26d} \right)}}{2} = - 1242\)
