VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh $2a$ , cạnh bên bằng $3a$ .
- A.
  $6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $3\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $\sqrt{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là $\frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AA' = 3a$ (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là: $V = \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}.3a = 3\sqrt{3}a^{3}$
Câu 2: Vận dụng
Tìm bước giải sai của bài toán

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy chứng mình $AB ⊥ CD$ .
Một bạn chứng mình qua các bước sau:
Bước 1. $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$
Bước 2. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } ight)$
Bước 3. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} = 0$
Bước 4. Suy ra $AB ⊥ CD$
Theo em. Lời giải trên sai từ:
- A.
  Bước 1
- B.
  Bước 2
- C.
  Bước 3
- D.
  Bước 4
Bài toán sai từ bước 1 vì
Theo quy tắc trừ hai vectơ ta có:
$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} {\text{ }}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính thể tích hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ cạnh bằng $2a$ , cạnh bên $SB = a\sqrt{5}$ . Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 4\sqrt{5}a^{3}$
- B.
  $V = 4\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{4\sqrt{5}a^{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S_{ABCD} = 4a^{2} \\ SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{5a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy thể tích hình chóp là: $V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}.4a^{2}}{3} = \frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và các góc $\widehat{BAD};\widehat{DAA'};\widehat{A'AB}$ đều bằng $60^{0}$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AA',CD$ lần lượt là $M,N$ . Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $MN$ và $B'C$ . Xác định $\cos\alpha$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{3}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
- D.
  $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'D//B'C \\ MN//A'P \\ \end{matrix} ight.$ với P là trung điểm của D’C

Suy ra $(MN,B'C) = (A'P;A'D) = \widehat{DA'P}$

Vì $\widehat{BAD} = \widehat{DAA'} = \widehat{A'AB} = 60^{0}$ và các cạnh của hình hộp bằng a

Do đó $A'D = a;C'D = C'A' = a\sqrt{3}$

$A'P = \frac{A'D^{2} + A'C'^{2}}{2} - \frac{DC'^{2}}{4}$

$\Rightarrow A'P = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP ta có:

$\cos\alpha = \frac{A'D^{2} + A'P^{2} - DP^{2}}{2A'D.A'P} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$
Câu 5: Vận dụng cao
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với $AC = a\sqrt{3}$ . Biết BC’ hợp với mặt phẳng (AA’C’C) với một góc 30⁰ và hợp với mặt phẳng đáy góc α sao cho $\sin\alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh BB’ và A’C’. Khoảng cách MN và AC’ là:
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{4}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{5}}{4}$
- D.
  $\frac{a}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\widehat{\left( BC’,(AA’C’C) ight)} = \widehat{BC’A} = 30^{0} \\\widehat{\left( BC’,(ABC) ight)} = \widehat{C'BC} = \alpha \\\end{matrix} ight.$
Đặt AB = x => $BC = \sqrt{3a^{2} +x^{2}}$
$BC = \sqrt{3a^{2} + x^{2}}$
$CC' = BC.tan\alpha =\sqrt{\frac{3\left( x^{2} + 3a^{2} ight)}{5}}$
$AC' = AB.cot30^{0} =\sqrt{\frac{3\left( x^{2} + 3a^{2} ight)}{5}}$
Ta có: $AC^{2} + CC'^{2} =AC^{2}$
$\Rightarrow x = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow CC' = a\sqrt{3};AC =a\sqrt{6}$
Gọi P là trung điểm của B’C’ => (MNP) // (ABC’)
d(MN, AC’) = d(N, (ABC’)) = $\frac{1}{2}$ d(A’, (ABC’)
Kẻ A’H ⊥ AC’ tại H => A’H ⊥ (ABC’)
$d\left( A';(ABC') ight) =A'H = \frac{AA'.A'C'}{AC'} =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
=> d(MN, AC’) = $\frac{a\sqrt{6}}{4}$
Câu 6: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp tứ giác

Cho khối chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ ; đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = a\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ , biết mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60^{0}$ .
- A.
  $V = \sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $S_{ABCD} = a^{2}\sqrt{3}$

Vì $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABCD) = BC \\ BC\bot SB \subset (SBC) \\ BC\bot AB \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SBC);(ABCD) ight) = (SB;AB) = \widehat{SBA}$

Vậy $\widehat{SBA} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông SAB có

$\tan60^{0} = \frac{SA}{AB} \Rightarrow SA= AB.\tan60^{0} = a\sqrt{3}$

Vậy $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \frac{1}{3}.a^{2}\sqrt{3}.a\sqrt{3} = a^{3}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính góc giữa AC’ và BD

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa AC’ và BD?
- A.
  90⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  120⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)
BD ⊥ CC’
⇒ BD ⊥ AC’
Do đó góc giữa AC' và BD bằng 90⁰
Câu 8: Thông hiểu
Tìm tan α

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.
- A.
  $1$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SAH}$
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
$AH = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy tan α = 1
Câu 9: Nhận biết
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , cạnh bên $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SD$ với mặt phẳng đáy. Khi đó:
- A.
  $\alpha = \widehat{SDA}$
- B.
  $\alpha = \widehat{SDO}$
- C.
  $\alpha = \widehat{SAD}$
- D.
  $\alpha = \widehat{ASD}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SO\bot(ABCD)$ suy ra OD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD)

Suy ra $\widehat{\left( SD;(ABCD) ight)} = \widehat{(SD;SO)} = \widehat{SDO}$

Vậy $\alpha = \widehat{SDO}$
Câu 10: Vận dụng
Góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có $AA' = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}';AC = a\sqrt 2 ;BC = a;\widehat {ACB} = {135^0}$$ . Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)
- A. $90^0$
- B. $60^0$
- C. $45^0$
- D. $30^0$
Trong (ABC) kẻ $MN \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {MNC'} ight)$ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc $\widehat {MC'N}$
Ta có
$\begin{matrix} A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos \widehat {ACB} = 5{a^2} \hfill \\ \Rightarrow AB = a\sqrt 5 \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
$C{M^2} = \frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow CM = \frac{a}{2}$
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên $C'M = \sqrt {C{{C'}^2} - C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}$
Diện tích ${S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{1}{2}MN \cdot AC \Rightarrow MN = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}$
Xét tam giác vuông MC’N, có
$\tan \widehat {MC'N} = \frac{{MN}}{{MC'}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {MC'N} = {30^o}$
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là $\widehat {MC'N} = {30^o}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đều

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 4a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ .
- A.
  $V = 64\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = 32\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{32\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó $\left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan30^{0}} = 4\sqrt{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = 8a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = \frac{(8a)^{2}\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3}a^{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau và đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $SA\bot(ABCD)$
- B.
  $SO\bot(ABCD)$
- C.
  $AB\bot(SBC)$
- D.
  $AC\bot(SBC)$
Hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau

Do đó: $SA = SC$ suy ra tam giác SAC cân tại A

Lại có ABCD là hình vuông

=> O là trung điểm cạnh AC

=> SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SAC

=> $SO\bot AC$

Tương tự SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác SBD

=> $SO\bot BD$

Từ đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO\bot AC \subset (ABCD) \\ SO\bot BD \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$
Câu 13: Thông hiểu
Số đo góc (IJ; CD) bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo góc (IJ; CD) bằng:
- A.
  90⁰
- B.
  45⁰
- C.
  30⁰
- D.
  60⁰
Hình vẽ minh họa:

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

=> OJ là đường trung bình của tam giác BCD => $\left\{ \begin{matrix}OJ//CD \\OJ = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$

Vì CD // OJ => (IJ; CD) = (IJ; OJ)

Xét tam giác IOJ có: $\left\{\begin{matrix}IJ = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{a}{2} \\\begin{matrix}OJ = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2} \\OI = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2} \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.$ => Tam giác IOJ đều

Vậy (IJ; CD) = (IJ; OJ) = $\widehat{IJO} = 60^{0}$
Câu 14: Nhận biết
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?
- A.
  Có một đường thẳng song song với (P) và vuông góc với (Q).
- B.
  Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b.
- C.
  Có một đường thẳng nằm trong (P) mà hình chiếu vuông góc của nó trên (Q) trùng với giao tuyến của (P) và (Q).
- D.
  Có hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau, lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho a và b đều vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).
Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.
Câu 15: Thông hiểu
Tính tan góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $BC = AA' = a\sqrt{2}$ . Tính $\tan\left( BC';(ABB'A') ight)$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác ABC vuông cân tại A và có $BC = a\sqrt{2} \Rightarrow AC = AB = a$

Tam giác $ABA'$ vuông tại A suy ra $A'B = a\sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} C'A'\bot A'B' \\ C'A'\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'A'\bot(ABB'A')$

Suy ra BA’ là hình chiếu của BC’ lên mặt phẳng $(ABB'A')$

=> $\left( BC';(ABB'A') ight) = (BC';BA')$

Tam giác A’BC’ vuông tại A’ => $\tan\widehat{A'BC'} = \frac{A'C'}{A'B} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \tan\left( BC';(ABB'A') ight) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 16: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SO$ vuông góc với mặt đáy. Chọn kết luận đúng?
- A.
  $AC\bot(SAB)$
- B.
  $AC\bot(SAD)$
- C.
  $AC\bot(SCD)$
- D.
  $AC\bot(SBD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SO\bot(ABCD) \Rightarrow SO\bot AC;SO \subset (SBD)$

$ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow AC\bot BD;BD \subset (SBD)$

$SO \cap BD = \left\{ O ight\}$

$\Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , tam giác SBC là tam giác đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\varphi = 60^{0}$
- B.
  $\tan\varphi = 2\sqrt{3}$
- C.
  $\tan\varphi = \frac{\sqrt{3}}{6}$
- D.
  $\tan\varphi = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ⊥ BC

=> SH ⊥ (ABC).

Gọi K là trung điểm AC=> HK // AB nên HK ⊥ AC.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AC\bot HK \\ AC\bot SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SHK) \Rightarrow AC\bot SK.$

=> ((SAC), (ABC)) = (SK, HK) = $\widehat{SHK}$

Xét tam giác vuông ABC ta có:

$\begin{matrix}AB = BC.cos\widehat{ABC} = a \hfill\\\Rightarrow HK = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2} \hfill\\\end{matrix}$

Xét tam giác vuông SHK ta có: $\tan\widehat{SHK} = \frac{SH}{HK} = 2\sqrt{3}$
Câu 18: Vận dụng
Tính cosin góc giữa MN và (SBD)

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh bằng $a$ , tâm $O$ . Gọi trung điểm các cạnh $SA;BC$ lần lượt là $M,N$ . Biết rằng góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó cosin góc giữa $MN$ và mặt phẳng $(SBD)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{41}}{41}$
- B.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{41}}{41}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AN \cap CD = F \Rightarrow MN//SF$

$\Rightarrow \left( MN;(ABCD) ight) = \left( SF;(ABCD) ight) = \widehat{SFO} = 60^{0}$

Với $\left\{ \begin{matrix} OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \\ CF = CD = a \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow OF = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{2} - 2a.\frac{a\sqrt{2}}{2}.cos135^{0}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}$

Khi đó $SF = \frac{OF}{cos60^{0}} = \frac{a\sqrt{10}}{2}.2 = a\sqrt{10}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OC\bot DB \\ OC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot(SBD)$

Lại có $OC//BF \Rightarrow BF\bot(SBD)$

Do vậy $\Rightarrow \left( MN;(SBD) ight) = \left( SF;(SBD) ight) = \widehat{FSB}$

Ta có: $BF = 2OC = a\sqrt{2}$ (vì OC là đường trung bình trong tam giác BDF)

$SB = \sqrt{SF^{2} - BF^{2}} = 2a\sqrt{2}$

Vậy $\cos\widehat{BSF} = \frac{SB}{SF} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, $AC=a\sqrt{3}$ . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{39}}{13}$
- B.
  $d = a$
- C.
  $d=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của BC
=> $SH \bot BC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi N là trung điểm của AC
=> $MN \bot AC$
Kẻ $ME \bot SN,\left( {E \in SN} ight)$
$\begin{matrix} d\left( {B,\left( {SAC} ight)} ight) = 2d\left( {M;\left( {SAC} ight)} ight) \hfill \\ = 2ME = 2.\dfrac{{SM.MN}}{{\sqrt {S{M^2} + M{N^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ , biết $AB = 6cm;AC = 7cm;AD = 4cm$ .
- A.
  $V = 7cm^{3}$
- B.
  $V = 14cm^{3}$
- C.
  $V =\frac{28}{3}cm^{3}$
- D.
  $V =\frac{7}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $V_{ABCD} =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = \frac{1}{2}.6.7.4 = 28\left( cm^{3}ight)$
Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} =\frac{1}{4}S_{BCD}$
$V_{JQK} = \frac{1}{4}V_{ABCD} = 7\left(cm^{3} ight)$
Câu 21: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $(M)$ . Biết rằng $a//(M)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu $b//(M)$ thì $b//a$ .
- B.
  Nếu $b\bot(M)$ thì $b\bot a$ .
- C.
  Nếu $b//a$ thì $b//(M)$ .
- D.
  Nếu $b\bot a$ thì $b\bot(M)$ .
Nếu $a//(M);b\bot(M)$ thì $b\bot a$ .
Câu 22: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng $9;4$ . Thể tích khối chóp bằng:
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 18$
- C.
  $V = 24$
- D.
  $V = 12$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 9 \\ h = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.9.4 = 12$
Câu 23: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $ABC$ vuông tại $B$ và $SA\bot(ABC)$ . Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $SAB$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  $SA\bot BC$
- B.
  $AH\bot AC$
- C.
  $AH\bot SC$
- D.
  $AH\bot BC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB(gt) \\ BC\bot SA;\left( do\ SA\bot(ABC) ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH$

Mà $AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AH\bot SC \\ AH\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

Vậy khẳng định sai là: “ $AH\bot AC$ ”.
Câu 24: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SBA
- B.
  (SAB) ⊥ (SAD)
- C.
  Khoảng cách giữa BC và SA là AB
- D.
  Góc giữa BD và (SAD) bằng 45⁰
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD)

BC ⊥ BA

=> BC ⊥ (SAB).

Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

Ta có:

Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Câu 26: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
- A.
  IO
- B.
  IA
- C.
  IC
- D.
  IB
Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Câu 27: Nhận biết
Tính góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , $SA = a\sqrt{2}$ . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}$
Lại có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$
=> $\widehat{SCA} = 45^{0}$
Câu 28: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 29: Nhận biết
Xác định mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ . Mặt phẳng $(BCD'A')$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
- A.
  $(ADD'A')$
- B.
  $(ABB'A')$
- C.
  $(ABCD)$
- D.
  $(BCC'B')$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật suy ra $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(ABB'A')$

$\Rightarrow (BCD'A')\bot(ABB'A')$
Câu 30: Vận dụng
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, $SA = a\sqrt{2}$ , SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
- A.
  30⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của AD

=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CM\bot AC \\ CM\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CM\bot(SAD)$

Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

$\Rightarrow \left( SC;(SAD) ight) = (SC;SM) = \widehat{CSM}$

=> $\tan\widehat{CSM} = \frac{CM}{SM} = \frac{AB}{\sqrt{SA^{2} + AM^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

=> $\widehat{CSM} = 30^{0}$
Câu 31: Nhận biết
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
- A.
  45⁰
- B.
  30⁰
- C.
  60⁰
- D.
  135⁰
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy $\widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}$
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên $\widehat{SBA}= 45^{0}$
Câu 32: Thông hiểu
Tính ϕ

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):
- A.
  $\phi = 45^{0}$
- B.
  $\phi = 60^{0}$
- C.
  $\phi = 30^{0}$
- D.
  $\phi = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}SH\bot CH \\\widehat{\left( SC,(ABC) ight)} = \widehat{SCH} \\\end{matrix} ight.$
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy $\widehat{\left( SC,(ABC) ight)} =\widehat{SCH} = 45^{0}$
Câu 33: Nhận biết
Chọn khẳng định có thể sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
- A. A’C’ ⊥ BD
- B. A’B ⊥ DC’
- C. BB’ ⊥ BD
- D. BC’ ⊥ A’D
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Câu 34: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC
Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI
Ta có: $ND = \frac{a}{2}$ , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật
=> $DI = OK = \frac{OC}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{4}$
Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH
Xét tam giác vuông NDI ta có:
$\begin{matrix}\dfrac{1}{DH^{2}} = \dfrac{1}{DN^{2}} + \dfrac{1}{DI^{2}} \Rightarrow DH =\dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill \\\Rightarrow d(MN,BD) = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill\\\end{matrix}$
Câu 35: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{a\sqrt{15}}{3}$ . Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{5}}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 2\sqrt{5}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{2\sqrt{15}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{15}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Kẻ $AI\bot BB';AK\bot CC'$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} d(A;BB') = a \Rightarrow AI = a \\ d(A;CC') = 2a \Rightarrow AK = 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi F là trung điểm của BC; $A'M = \frac{a\sqrt{15}}{3}$ khi đó $\Rightarrow AF = \frac{a\sqrt{15}}{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AI\bot BB' \\ AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AIK) \Rightarrow BB'\bot IK$

Vì $C'C//B'B \Rightarrow d(C;BB') = d(K;BB') = IK = a\sqrt{5}$

Vậy tam giác AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK

=> $EF//BB' \Rightarrow EF\bot(AIK) \Rightarrow EF\bot AE$

Lại có $AM\bot(ABC)$ do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc $\widehat{AME}$ bằng $\widehat{FAE}$

Ta có: $\cos\widehat{FAE} = \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{15}}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{FAE} = 30^{0}$

Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:

$S_{AIK} = S_{ABC}.\cos\widehat{FAE}\Rightarrow a^{2} = S_{ABC}.\cos30^{0}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{2}{\sqrt{3}}a^{2}$

Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:

$\tan\widehat{AMF} = \dfrac{AF}{AM}\Rightarrow AM = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{3}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}} =a\sqrt{5}$

Vậy $V_{ABC.A'B'C} = a\sqrt{5}.\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Câu 36: Nhận biết
Tính chiều cao hình chóp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $x$ , SA vuông góc với đáy và $SA = x\sqrt{3}$ . Tính chiều cao hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $V = \frac{x^{3}}{4}$
- B.
  $V = \frac{x^{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{3x^{3}}{4}$
- D.
  $V = 4x^{3}$
Ta có $SA\bot(ABC)$ nên SA là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên $S_{ABC} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SA.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}.x\sqrt{3} = \frac{x^{3}}{4}$
Câu 37: Nhận biết
Xác định khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Gọi trung điểm các cạnh $SC;SD$ lần lượt là $M,N$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $MN\bot AC$
- B.
  $MN\bot BD$
- C.
  $MN\bot AB$
- D.
  $MN\bot BC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD => $MN//CD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN//CD \\ BC\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\bot BC$
Câu 38: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Cho tứ diện O.ABC trong đó ba đường thẳng OB, OC, OA đôi một vuông góc. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A. Hai cạnh đối nào của tứ diện cũng vuông góc với nhau
- B. Mỗi cạnh OB, OC, OA của tứ diện đều vuông góc với đúng ba cạnh khác của tứ diện
- C. Tam giác ABC là tam giác vuông
- D. Tam giác ABC có thế là tam giác đều
Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $7a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{7}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{7}{2}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{7}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 7a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{7}{3}a^{3}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính số đo góc

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $AB =a;SA\bot(ABC);SA = a$ . Tính số đo góc giữa $SB$ và $(SAC)$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm AC. Tam giác ABC vuông cân tại B nên $BI\bot AC$
Có $BI\bot SA$ do $SA\bot(ABC)$ suy ra $BI\bot(SAC)$
Do vậy SI là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC). Khi đó
$\left( SB;(SAC) ight) = (SB;SI) =\widehat{BSI}$
Xét tam giác SBI vuông tại I (do $BI\bot(SAC) \Rightarrow BI\bot SI$ )
$SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} =a\sqrt{2}$
$SI = \sqrt{SA^{2} + AI^{2}} =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
$\cos S = \frac{SI}{SB} =\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \widehat{BSI} = 30^{0}$
Vậy $\left( SB;(SAC) ight) =30^{0}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

57 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm