VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B và C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng (P). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Tam giác ABC’ vuông.
- B.
  Tam giác ABC’ có ba góc nhọn.
- C.
  Tam giác ABC’ có một góc tù.
- D.
  Tam giác ABC’ có một góc bằng 60⁰.
Vì C’ trùng với C nên tam giác ABC’ là tam giác vuông tại A.
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\left( AC;DA_{1} ight)$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AC//A_{1}C_{1} \Rightarrow \left( AC;DA_{1} ight) = \left( A_{1}C_{1};DA_{1} ight) = \widehat{DA_{1}C_{1}}$

Do $A_{1}C_{1};DA_{1};DC_{1}$ là các đường chéo hình vuông bằng nhau.

Vậy tam giác $AD_{1}C_{1}$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{DA_{1}C_{1}} = 60^{0}$

$\Rightarrow \left( AC;DA_{1} ight) = \widehat{DA_{1}C_{1}} = 60^{0}$
Câu 3: Thông hiểu
Xác định kết luận sai

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $SAB$ . Xác định kết luận sai?
- A.
  $SA\bot BC$
- B.
  $AH\bot BC$
- C.
  $AH\bot AC$
- D.
  $AH\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) ightarrow SA\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB(gt) \\ BC\bot SA;\left( do\ \ SA\bot(ABC) ight) \\ AB \cap SA = A \\ AB;SA \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} AH\bot SB \\ AH\bot BC;\left( do\ \ BC\bot(SAB) ight) \\ SB \cap BC = B \\ AB;BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot BC \Rightarrow AH\bot BC$
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $4a$ ?
- A.
  $V = 16a^{3}$
- B.
  $V = 64a^{3}$
- C.
  $V = 32a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $V = (4a)^{3} = 64a^{3}$
Câu 5: Nhận biết
Tìm đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài

Cho hình lập phương như hình vẽ:

Hỏi đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng $BC'$ ?
- A.
  $A'D$
- B.
  $AC$
- C.
  $BB'$
- D.
  $AD'$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AD'\bot AB \\ AD'\bot A'D \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AD'\bot(ABC'D') \Rightarrow AD'\bot BC'$
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 7: Thông hiểu
Xác định thể tích V của khối chóp

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Biết $\left( (SAB);(ABCD) ight) = 90^{0}$ và tam giác $SAB$ đều. Xác định thể tích hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{1}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{6}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{2}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{1}{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
Câu 8: Nhận biết
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:
- A.
  $\widehat{ACB}$
- B.
  $\widehat{ANB}$
- C.
  $\widehat{ADB}$
- D.
  $\widehat{MNB}$
Hình vẽ minh họa
Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều
=> Tam giác ACD cân
=> BN ⊥ CD và AN ⊥ CD
=> $\widehat {ANB}$ là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)
Câu 9: Thông hiểu
Tính cos(AB, CD)

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = a;IJ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Gọi trung điểm của $AD;BC$ lần lượt là $AD;BC$ . Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $- \frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $- \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AC khi đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Ta có:

$\cos\widehat{IMJ} = \frac{IM^{2} + MJ^{2} - IJ^{2}}{2MI.MJ} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \cos(AB;CD) = \frac{1}{2}$
Câu 10: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
- A.
  a vuông góc với (P).
- B.
  a song song với (P).
- C.
  a nằm trên (P).
- D.
  a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Câu 11: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  BC ⊥ AH.
- B.
  (AHK) ⊥ (SBC).
- C.
  SC ⊥ AI.
- D.
  Tam giác IAC đều.
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ SA\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH$

Lại có AH ⊥ SB. Từ đó suy ra AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC. (1)

Lại có theo giả thiết SC ⊥ AK. (2)

Từ (1) và (2) => SC ⊥ (AHK) => (SBC) ⊥ (AHK).

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SC\bot(AHK) \\ AI \subset (AHK) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SC\bot AI$

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “Tam giác IAC đều” là sai
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Các măt bên là hình vuông
- B.
  Các mặt bên là hình chữ nhật
- C.
  Các mặt bên là hình thoi
- D.
  Các mặt bên là hình bình hành
Nếu $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp thì tất cả các mặt là bình bình hành nên mặt bên cũng là hình bình hành.
Câu 13: Nhận biết
Tính thể tích khối lập phương

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $3a$ ?
- A.
  $V = 27a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = 9a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $V = (3a)^{3} = 27a^{3}$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối tứ diện đều $A.BCD$ , biết $AB = 3$ ?
- A.
  $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{6}$
- C.
  $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
- D.
  $\frac{9\sqrt{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm của CD, H là trọng tâm giác giác BCD $SH\bot(ABC)$

Tam giác BCD đều cạnh bằng 5

$\Rightarrow BE = \sqrt{3^{2} - \left( \frac{3}{2} ight)^{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BH = \sqrt{3}$

Tam giác ABH vuông tại H nên

$\Rightarrow AH = \sqrt{AB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{3^{2} - \left( \sqrt{3} ight)^{2}} = \sqrt{6}$

$\Rightarrow S_{ABCD} = \frac{1}{2}BE.CD = \frac{1}{2}.\frac{3\sqrt{3}}{2}.3 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

Vậy thể tích khối chóp tam giác là: $V = \frac{1}{3}.\frac{9\sqrt{3}}{4}.\sqrt{6} = \frac{9\sqrt{2}}{4}cm^{3}$
Câu 15: Nhận biết
Tính góc giữa SC và mặt đáy

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Tính $\left( SC;(ABCD) ight)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng góc $\widehat{SCA}$ .

Ta có: $SA = a\sqrt{2};AC = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = 1 \Rightarrow \widehat{SCA} = 45^{0}$

Vậy $\left( SC;(ABCD) ight) = 45^{0}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
- A.
  $d = 1$
- B.
  $d=\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{21}}{7}$
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB => $SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có: AH // CD => $d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight)$
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
$\begin{matrix} \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight) = HK \hfill \\ \Rightarrow HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho hình tứ diện ABCD có AB, CD, BC đôi một vuông góc. Khi đó ta có:
- A.
  AB ⊥ (ACD)
- B.
  BC ⊥ (ACD)
- C.
  CD⊥ (ABC)
- D.
  AD ⊥ (BCD)
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}CD\bot AB \subset (ABC) \hfill \\CD\bot CB \subset (ABC) \\AB \cap CB = B \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC) \hfill \\\Rightarrow CD\bot(ABC) \hfill \\\end{matrix}$
Ta có:
Nếu $AB\bot(ACD) \Rightarrow AB\botAC$ (Vô lí)
Nếu $BC\bot(ACD) \Rightarrow BC\botAC$ (Vô lí)
Nếu $AD\bot(BCD) \Rightarrow B \equivD$ (Vô lí)
Câu 18: Vận dụng
Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và DM

Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM.
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$
- C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- D. $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của AC
I là trung điểm của MN
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {MN//AB} \\ {DI \bot MN} \end{array}} ight. \Rightarrow \left( {AB,DM} ight) = \left( {MN,DM} ight)$
=> $\cos \left( {AB,DM} ight) = \cos \left( {MN,DM} ight) = \cos \widehat {IMD}$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \\ {MII = \dfrac{a}{4}} \end{array}} ight. \Rightarrow \cos \widehat {IMD} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 19: Vận dụng
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Dựng đoạn SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{3a}{7}$
- B.
  $\frac{3a\sqrt{21}}{7}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $3a$
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.
Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).
Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)
Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)
Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)
Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK
Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}
$\frac{d\left( C;(SAB) ight)}{d\left(H;(SAB) ight)} = \frac{CA}{HA} = \frac{3}{2}$
Do đó $d\left( C;(SAB) ight) =\frac{3}{2}d\left( H;(SAB) ight)$
Theo giả thiết ∆ABC đều => $CD =\frac{3a\sqrt{3}}{2}$
Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:
$\frac{HM}{CD} = \frac{AH}{AC} =\frac{2}{3}$
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:
$HM = \frac{2}{3}CD \Rightarrow HM =\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$
Câu 20: Nhận biết
Tính góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) , $SA = a\sqrt{2}$ . Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\widehat{\left( SC,(ABCD) ight)}= \widehat{(SC,AC)} = \widehat{SCA}$
Lại có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{SA}{AB\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$
=> $\widehat{SCA} = 45^{0}$
Câu 21: Thông hiểu
Chọn kết luận sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ . Biết $SA\bot(ABCD);AD = BC = a;AB = 2a$ . Xác định kết luận sai?
- A.
  $(SBC)\bot(SAC)$
- B.
  $(SAD)\bot(SAB)$
- C.
  $(SCD)\bot(SAD)$
- D.
  $(SAC)\bot(SBD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AB. Ta có: $CM = MA = MB = a$

Suy ra tam giác ACB vuông tại C.

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot AC \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAC) \Rightarrow (SBC)\bot(SAC)$

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AD \\ AB\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SAD) \Rightarrow (SAB)\bot(SAD)$

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD) \Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$
Câu 22: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đứng

Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết $AB = 2a$ và góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^{0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ .
- A.
  $4\sqrt{2}a^{3}$
- B.
  $2\sqrt{2}a^{3}$
- C.
  $2a^{3}$
- D.
  $4a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')$

Suy ra $\left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}$

Ta có: $AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = 2\sqrt{3}a$

$\Rightarrow AA' = \sqrt{12a^{2} - 4a^{2}} = 2\sqrt{2}a$

Vậy $V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2\sqrt{2}a.\frac{1}{2}.2a.2a = 4\sqrt{2}a^{3}$
Câu 23: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện AJQK

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a$ . Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ ?
- A.
  $V = 15a^{3}$
- B.
  $V = 30a^{3}$
- C.
  $V = 45a^{3}$
- D.
  $V = 60a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}$

Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}$

$V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ ; $SA\bot(ABCD)$ và $SA = AB$ . Gọi trung điểm của $BC;SC$ lần lượt là $E;F$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $EF$ và mặt phẳng $(SAD)$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$EF$ là đường trung bình của tam giác $SBC \Rightarrow EF//SB$
Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix}AB\bot AD \\AB\bot SA \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SAD)$ nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAD)
$\Rightarrow \left( SB;(SAD) ight) =(SB;SA) = \widehat{BSA}$
Mặt khác $\left\{ \begin{matrix}SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot AB \\SA = AB \\\end{matrix} ight.$
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A
$\Rightarrow \widehat{BSA} = 45^{0}\Rightarrow \left( EF;(SAD) ight) = 45^{0}$
Câu 25: Thông hiểu
Tính số đo góc

Cho hình chóp $S.ABC$ có $BC = a\sqrt{2}$ , các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $70^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AB, SA

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//SB \\ MH//AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SB,AC) = (MN,MH)$

$\left\{ \begin{matrix}MN = \dfrac{SB}{2} = \dfrac{a}{2} \\NH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a}{2} \\AH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác SBC có: SB = SC nên $SH\bot BC \Rightarrow SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Lại H là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà SA = SB = SC = a nên $SH\bot(ABC)$

Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H

$HN = \frac{SA}{2} = \frac{a}{2}$

Do đó tam giác MHN cạnh $\frac{a}{2}$ . Góc cần tìm bằng $60^{0}$
Câu 26: Nhận biết
Tính góc giữa MN và PQ

Cho tứ diện $ABCD$ có đáy $BCD$ là tam giác vuông cân tại $C$ . Gọi trung điểm các cạnh $AB,AC,BC,CD$ lần lượt là $M,N,P,Q$ . Khi đó $(MN,PQ)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ PQ//BD \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (MN,PQ) = (BC,BD) = \widehat{DBC} = 45^{0}$
Câu 27: Thông hiểu
Sin của góc tạo bởi A’H với (A’ACC’)

Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB = a,\widehat {ACB} = 30^\circ$ , M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60⁰. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính $\sin\alpha$ ?
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{5}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Ta có $A'H \bot \left( {ABC} ight)$ nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ $HK \bot AC$ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra $HI \bot \left( {AA'C'C} ight)$
Khi đó $\alpha = \left( {A'H,A'I} ight) = \widehat {HA'K}$
+) Do tam giác MCB cân tại B nên $\widehat {BMC} = \widehat {BCM} = 30^\circ$
$\begin{matrix} MH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{1}{4}\dfrac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \Rightarrow HK = MH.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng $\widehat {A'AH} = 60^\circ$ (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
$\Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{2}$
Vì vậy, $\sin \alpha = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 28: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = 2a;SA\bot(ABCD)$ . Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ ?
- A.
  $\frac{3a}{2}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $\frac{a}{\sqrt{2}}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BD$

Kẻ $AK\bot SO;(K \in SO)(1)$

Ta có:

$SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BD(*)$

Mà $AC\bot DB(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $DB\bot(SAC) \Rightarrow BC\bot AK(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $AK\bot(SBD) \Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = AK$

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$ ta có: $\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AO^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} = \frac{9}{4a^{2}} \Rightarrow AK = \frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = \frac{2a}{3}$
Câu 29: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 30: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
- A.
  Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì trên a đến (P).
- B.
  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- C.
  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.
- D.
  Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Câu 31: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 32: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a;AD = 2a;AA' = a\sqrt{2}$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc với $A'B$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình hộp chữ nhật đã cho?
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $2a^{2}$
- C.
  $a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $a^{2}\sqrt{6}$
Hình vẽ minh họa

Hình chữ nhật $ABB'A'$ có $AB = a;AA' = a\sqrt{2}$ . Lấy $M$ là trung điểm của $BB'$ . Ta dễ dàng chứng minh $AM\bot A'B$

Ta lại có $AD\bot A'B$ suy ra mặt phẳng $(\alpha)$ chính là mặt phẳng $(ADM)$ .

Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.

Ta tính được $AM = \frac{a\sqrt{6}}{2};AD = 2a$

Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: $a^{2}\sqrt{6}$ .
Câu 33: Vận dụng
Tính sin của góc giữa OM và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ , ABCD là hình thang vuông tại A, B và $2AB = 2BC = AD = 2a$ . Gọi $O = AC \cap BD$ , M là trung điểm SB. Tính sin của góc giữa OM và (SCD).
- A. $\frac{{2\sqrt {35} }}{{35}}$
- B. $\frac{{\sqrt {35} }}{{35}}$
- C. $\frac{{3\sqrt {35} }}{{70}}$
- D. $\frac{{\sqrt {35} }}{{70}}$
Trong (SBD), gọi $I = OM \cap SD \Rightarrow OM \cap \left( {SCD} ight) = I$
Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:
$\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}$
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:
$\frac{{BO}}{{OD}}.\frac{{DI}}{{IS}}.\frac{{SM}}{{MB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{DI}}{{IS}}.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IS}} = 2$
Tam giác SAD vuông tại A có
$SA = a\sqrt 2 ,AD = 2a \Rightarrow SD = a\sqrt 6$
=> $DI = \frac{3}{2}SD = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Mặt khác: $\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight)}} = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight)$
Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và $2AB = 2BC = AD$ nên $AC = CD = a\sqrt 2$
=> $AC \bot CD$ mà $CD \bot SA$ $\Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$
Kẻ $AH \bot SC$ , có $CD \bot AH$ (do $CD \bot \left( {SBC} ight)$ )
$\Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight) = AH$
Xét tam giác SAC vuông tại A có $SA = a\sqrt 2 ,\,AC = a\sqrt 2$ , AH là đường cao:
$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = a \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{a}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác SBD có:
$\begin{matrix} SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \hfill \\ BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác DIO có:
$DI = 2SD = 2a\sqrt 6 ,DO = \frac{2}{3}DB = \frac{2}{3}a\sqrt 5 .$
Do đó:
$\begin{matrix} \cos SDB = \cos IDO \Leftrightarrow \dfrac{{S{D^2} + B{D^2} - S{B^2}}}{{2.SD.BD}} = \dfrac{{I{D^2} + O{D^2} - O{I^2}}}{{2.ID.OD}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{6{a^2} + 5{a^2} - 3{a^2}}}{{2.a\sqrt 6 .a\sqrt 5 }} = \dfrac{{24{a^2} + \dfrac{{20{a^2}}}{9} - O{I^2}}}{{2.2a\sqrt 6 .\dfrac{2}{3}a\sqrt 5 }}. \hfill \\ \Leftrightarrow 8 = \dfrac{{\dfrac{{236}}{9}{a^2} - O{I^2}}}{{\dfrac{4}{3}{a^2}}} \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{140{a^2}}}{9} \Leftrightarrow OI = \dfrac{{2a\sqrt {35} }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác:
$\begin{matrix} \sin \left( {OM,\left( {SCD} ight)} ight) = \sin \left( {OI,\left( {SCD} ight)} ight) \hfill \\ = \dfrac{{d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight)}}{{OI}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{{2a\sqrt {35} }}{3}}} = \dfrac{{\sqrt {35} }}{{70}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 34: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 35: Nhận biết
Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
- A.
  SC và BC
- B.
  SC và DC
- C.
  SC và SA
- D.
  SC và AC
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Câu 36: Vận dụng
Tính diện tích (α) của thiết diện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (α) qua SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tính diện tích (α) của thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho.
- A.
  $S = \frac{a^{2}}{2}$
- B.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $S = \frac{a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi E là trung điểm AB, suy ra AECD là hình vuông nên DE ⊥ AC. (1)

Mặt khác SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ DE (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE ⊥ (SAC) => (SAD) ⊥ (SAC)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SDE) \supset S \\ (SDE)\bot(SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (\alpha) \equiv (SDE)$

Vậy thiết diện là tam giác SDE.

Ta có:

$\begin{matrix} SD = \sqrt{SA^{2} + DA^{2}} = a\sqrt{2} \\ SE = \sqrt{SA^{2} + AE^{2}} = a\sqrt{2} \\ DE = AC = DC\sqrt{2} = a\sqrt{2} \\ \end{matrix}$

Do đó tam giác SDE đều có cạnh a √ 2 nên $S_{SDE} = \frac{SD^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
Câu 37: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D’ và tâm I của mặt bên BCC’B’. Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC’B’) và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là:
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{3a\sqrt{5}}{10}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\frac{2a\sqrt{3}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên MN = 2EK.
Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất.
Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.
Qua I kẻ P Q song song với BC (như hình vẽ).
Vậy d(BC, d) = d(BC,(D’PQ)) = d(C, (D’PQ)) = d(C’, (D’P Q)) = C’H (trong đó C’H vuông góc với D’P).
Ta có:
$\frac{1}{C'H^{2}} = \frac{1}{a^{2}}+ \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$
$\Rightarrow C'H =\frac{a\sqrt{5}}{2} \Rightarrow d(BC;d) =\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
Câu 38: Thông hiểu
Tính thể tích hình chóp theo a

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ theo $a$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{4}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC

Ta có: $SO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Suy ra tam giác SAO đều

$\Rightarrow SH = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
Câu 39: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thoi tâm I, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SC;SD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $AH\bot(SCD)$
- B.
  $BD\bot(SAC)$
- C.
  $BC\bot(SAC)$
- D.
  $AK\bot(SCD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SA;do\ SA\bot(ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)$
Câu 40: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $SC$ . Tính côsin của góc $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{14}$ .
- B.
  $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{7}}{7}$ .
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{7}$ .
- D.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AC$ .

Khi đó $HM//SA$ nên $HM$ vuông góc $(ABC)$ tại $H$ .

Do đó $\left( \widehat{BM,(ABC)} ight) = \left( \widehat{BM,BH} ight) = \widehat{MBH}$ do $\Delta MBH$ vuông tại $H$ .

Ta có:

$\cos\widehat{MBH} = \frac{BH}{BM} = \frac{BH}{\sqrt{HM^{2} + BH^{2}}}$ $= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

68 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm