VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 2: Vận dụng
Khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) ⊥ (ABCD), (SAC) ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AD\bot AB \\ SA\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SAD)$

=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAD) là SA

=> $\left( SB;(SAD) ight) = (SB;SA) = \widehat{BSA}$

Xét tam giác SAB vuông ta có:

$\cos\widehat{BSA} = \frac{SA}{SB} = \frac{SA}{\sqrt{SA^{2} + AB^{2}}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
Câu 3: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC
Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI
Ta có: $ND = \frac{a}{2}$ , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật
=> $DI = OK = \frac{OC}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{4}$
Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH
Xét tam giác vuông NDI ta có:
$\begin{matrix}\dfrac{1}{DH^{2}} = \dfrac{1}{DN^{2}} + \dfrac{1}{DI^{2}} \Rightarrow DH =\dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill \\\Rightarrow d(MN,BD) = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill\\\end{matrix}$
Câu 4: Nhận biết
Tính khoảng cách

Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 5: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 6: Thông hiểu
Tính thế tích khối chóp tứ giác đều

Một khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng $2t$ (cm). Khi đó thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{2}}{3}t^{3}$
- B.
  $V = \frac{8}{3}t^{3}$
- C.
  $V = \frac{8\sqrt{2}}{3}t^{3}$
- D.
  $V = \frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2t là S.ABCD với I là tâm của đáy ta có:

$SA = BA = BC = DA = DC$

$\Rightarrow \Delta SAC = \Delta BAC = \Delta DBC$

$\Rightarrow \Delta SAC;\Delta BAC;\Delta DBC$ lần lượt vuông tại S; B; D

I là trung điểm của AC suy ra $SA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.2t.\sqrt{2} = t\sqrt{2}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SI = \frac{1}{3}.(2t)^{2}.t\sqrt{2} = \frac{4t^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 7: Nhận biết
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC

Cho hình chóp S.ABC có AB = AC, $\widehat {SAB} = \widehat {SAC}$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
- A. 45⁰
- B. 60⁰
- C. 30⁰
- D. 90⁰
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AS} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AS} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AS} \hfill \\ = AC.AS.\cos \widehat {SAC} - AB.AS.\cos \widehat {SAB} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Vì $AB = AC,\widehat {SAB} = \widehat {SAC}$
=> Góc giữa hai đường thẳng SA, BC là: 90⁰
Câu 8: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng MN

Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
- A.
  $MN =\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- B.
  $MN =\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- C.
  $MN =\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $MN =\frac{3a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi P là trung điểm của AB => PN, PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác ABD.
=> $\left\{ \begin{matrix}PN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2} \\PM = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{3a}{2} \\\end{matrix} ight.$
Ta có: $AC\bot BD \Rightarrow PN\botPM$
=> $MN = \sqrt{PN^{2} + PM^{2}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9a^{2}}{4}} =\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Câu 9: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị $\cos \varphi$ bằng:
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$
- D. $\frac{{\sqrt 2 }}{6}$
Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=> $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } ight) = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} \hfill \\ = CB.CM.\cos \widehat {BCM} - CB.CA.\cos \widehat {ACB} \hfill \\ = a.\dfrac{a}{2}.\cos {60^o} - a.a.\cos {60^o} = - \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } ight|.\left| {\overrightarrow {AM} } ight|}} = \dfrac{{\dfrac{{ - {a^2}}}{4}}}{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{6}$

=> $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight)} ight| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 10: Thông hiểu
Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ . Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên cạnh $BC$ là điểm $H$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SAH}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SHA}$
- D.
  $\widehat{ASH}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BC = (SBC) \cap (ABC)$

Vì $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AS \\ BC\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAH) \Rightarrow BC\bot SH$

Vậy $\left( (SBC);(ABC) ight) = \widehat{SHA}$
Câu 11: Nhận biết
Tính diện tích tam giác BCD

Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{9\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $27$
- D.
  $\frac{27}{2}$
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh $\sqrt{18}$ nên có diện tích là $S_{BCD} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$
Câu 12: Nhận biết
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ . Kết luận nào sau đây sai về góc giữa $SB$ và $(ABC)$
- A.
  $\widehat{SAB}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SBC}$
- D.
  $\widehat{SCD}$
Vì $SA\bot(ABCD)$ nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy $\widehat{\left( SB;(ABC) ight)} = \widehat{SBA}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Tính $cosin$ của góc giữa hai đường thẳng $A'D$ và $B'I$ ta được kết quả là:
- A.
  $\frac{\sqrt{10}}{5}$
- B.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}}{5}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0

Ta có:

$B'C//A'D \Rightarrow (A'D;B'I) = (B'I,B'C)$

Tính được $\left\{ \begin{matrix}B'I = \sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a}{2} ight)^{2}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2} = CI \\B'C = a\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.$

Trong tam giác B’CI ta có:

$\cos\widehat{IB'C} = \dfrac{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{2} ight)^{2} - \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}ight)^{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}$

$= \frac{2a^{2}}{a^{2}\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$
Câu 14: Thông hiểu
Xác định thể tích V

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác trong hình vẽ sau:
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Quan sát hình vẽ ta thấy:

Tam giác ABC vuông cân tại B

$\Rightarrow AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = a$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}a^{2}$

Khi đó $V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.BB' = \frac{1}{2}a^{2}.a = \frac{a^{3}}{2}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).
- A. 90⁰
- B. 30⁰
- C. 60⁰
- D. 45⁰
Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra $AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2$
Vì $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
$\begin{matrix} \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC;AC} ight)} = \widehat {SCA} = {45^0} \hfill \\ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(SAD) \cap (SCD) = SD} \\ {MH \subset (SAD)} \\ {MH \bot SD} \\ {CH \subset (SCD)} \\ {CH \bot SD} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \widehat {((SAD),(SCD))} = \widehat {(MH,CH)} = \widehat {MHC} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có: $SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 6 ;CM = AB = a$
$\begin{matrix} \Delta SAD \sim \Delta MHD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{MH}}{{MD}} \hfill \\ \Rightarrow MH = \dfrac{{SA.MD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 a}}{{a\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Tam giác MHC vuông tại M
$\Rightarrow \tan \widehat {MHC} = \frac{{CM}}{{MH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MHC} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SAD} ight);\left( {SCD} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ . Biết rằng $SA = SB;AC = BC$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $BC\bot(SBC)$
- B.
  $AB\bot SB$
- C.
  $SA\bot(ABC)$
- D.
  $AB\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Gọi D là trung điểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC cân tại C nên $\left\{ \begin{matrix} AB\bot SD \\ AB\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SDC) \Rightarrow AB\bot SC$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $AB = 2a$ và $AB = 2a$ . Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$
- D.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều suy ra $SH\bot AB$

Mà $\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Khi đó $SH = a\sqrt{3}$

Ta có: $AB = 2a \Rightarrow BC = 2a$

$S_{ABC} = \frac{1}{2}(2a)^{2} = 2a^{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.2a^{2}.a\sqrt{3} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm giá trị x thỏa mãn điều kiện

Cho tam giác $ACD$ và tam giác $BCD$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và $AC = AD = BC = BD = a;CD = 2a$ . Với giá trị nào của $x$ thì hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$ ?
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Suy ra $CI\bot AB;DI\bot AB$ mà $(ABC) \cap (ABD) = AB$

Do đó $(ABC)\bot(ABD) \Rightarrow \widehat{CID} = 90^{0} \Rightarrow IJ = \frac{1}{2}CD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (ACD)\bot(BCD) \\ AJ\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AJ\bot(BCD) \Rightarrow AJ\bot JB$

Mặt khác $JA = JB;(\Delta ACD = \Delta BCD)$ nên tam giác $JAB$ vuông cân tại J

Do đó $IJ = \frac{\sqrt{2}}{2}JA = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{AC^{2} - JC^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Vậy $\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} = x \Leftrightarrow a^{2} = 3x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Câu 19: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $8a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{4}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 20: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 21: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu đã cho

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm O, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a;AD = 2a$ . Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB;SD$ . Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $AH\bot SC$ Đúng||Sai

b) $SC\bot(AHK)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm O, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a;AD = 2a$ . Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB;SD$ . Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $AH\bot SC$ Đúng||Sai

b) $SC\bot(AHK)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB);AH \subset (SAB)$

$\Rightarrow AH\bot BC$

Lại có $AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot SC(*)$

b) Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD);AK \subset (SAD)$

$\Rightarrow AK\bot CD$ mà $AK\bot SD \Rightarrow AK\bot(SCD)$

$\Rightarrow AK\bot SC(**)$

Từ (*) và (**) suy ra: $SC\bot(AHK)$ .

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow \widehat{\left( (AHK);(ABCD) ight)} = \widehat{(SC;SA)} = \widehat{ASC}$

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Tam giác SAC vuông tại A nên $SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = a\sqrt{6}$

$\Rightarrow \cos\widehat{ASC} = \frac{SA}{SC} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow \cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{6}}{6} eq \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 22: Vận dụng
Chọn kết luận sai

Cho tứ diện ABCD có $AB = AC = AD$ ; $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Kết luận nào sau đây sai?
- A.
  MN vuông góc với AB
- B.
  MN vuông góc với CD
- C.
  MN vuông góc với AB và CD
- D.
  MN không vuông góc với AB và CD
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABD có AB = AD và $\widehat {BAD} = {60^0}$
=> Tam giác ABD là tam giác đều
=> $DM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}$ (Vì DM là trung tuyến)
Xét tam giác ABC có AB = AC và $\widehat {BAC} = {60^0}$
=> Tam giác ABC là tam giác đều
=> $CM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}$ (Vì CM là trung tuyến)
=> DM = CM nên tam giác MCD cân tại M có MN là trung tuyến (do N là trung điểm của CD)
Suy ra MN là đường cao của tam giác MCD
=> MN ⊥ CD
Chứng minh tương tự:
Vì hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng AN; BN bằng nhau: AN = BN
=> Tam giác ABN cân tại N có NM là đường trung tuyến nên MN ⊥ AB
Vậy kết luận "MN không vuông góc với AB và CD" là kết luận sai.
Câu 23: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $BC\bot(SAC)$
- B.
  $BC\bot(SAM)$
- C.
  $BC\bot(SAJ)$
- D.
  $BC\bot(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Do tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên $BC\bot AM$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AM \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM)$
Câu 24: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , tam giác $SBA$ đều và cạnh $SC = a\sqrt{2}$ . Gọi trung điểm các cạnh $AB,CD$ lần lượt là $H,K$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $SH\bot(ABCD)$
- C.
  $AB\bot(SAD)$
- D.
  $CD\bot(SHK)$
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác SAB đều cạnh bằng a nên $AB = SB = a$

Mặt khác tam giác SBC có $SB^{2} + BC^{2} = SC^{2} = 2a^{2}$

Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B hay $BC\bot SB$

Từ $BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot SH$

Tam giác ABS đều mà H là trung điểm của AB nên $SH\bot AB$

$\Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Tam giác ABS đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot HK \\ AB\bot SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SHK) \Rightarrow CD\bot(SHK)$
Câu 25: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}}{36}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{36}$
Hình vẽ minh họa

$\left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAO} = 45^{0}$

$SO = AO.tan45^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$V = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{12}$
Câu 26: Nhận biết
Tìm khẳng định sai.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Có duy nhất một đường thẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- B.
  Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- C.
  Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- D.
  Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Câu 27: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và cạnh $SB$ vuông góc với mặt đáy. Biết rằng $AB = a;SB = a\sqrt{2}$ và $\alpha = \left( SC;(SAB) ight)$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{1}{2}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AC\bot AB \\ AC\bot SB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SAB)$

Suy ra hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAB) là SA

$\Rightarrow \alpha = \left( SC;(SAB) ight) = (SC;SA) = \widehat{ASC}$

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $AC = AB = a$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác SAB ta có:

$SA = \sqrt{SB^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{3}$

Tam giác SAC vuông tại A nên $\tan\widehat{ASC} = \frac{AC}{SA} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Câu 28: Nhận biết
Tính sin góc giữa hai đường thẳng SA và BC

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác $SAD$ là tam giác đều. Tìm sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $SA$ và $BC$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (BD;SA) = \widehat{SAD} = 60^{0}$

$\Rightarrow \sin(BC;SA) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Câu 29: Nhận biết
Tìm kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $SA\bot(ABC)$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $(SCB)\bot(SAB)$
- B.
  $(SAC)\bot(SAB)$
- C.
  $(SAC)\bot(SBC)$
- D.
  $(ABC)\bot(SBC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot(ABC) \\ AC \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot SA$

Mà $AC\bot AB \Rightarrow AC\bot(SAB)$

Đồng thời $AC \subset (SAC) \Rightarrow (SAC)\bot(SAB)$
Câu 30: Thông hiểu
Xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}$ ?
- A. 60⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 120⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} ) \hfill \\ - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos {60^0}{\text{ }} \hfill \\ {\text{Do }}AC = AD \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \hfill \\ \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai?

Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  Góc gữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
- B.
  Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R)).
- C.
  Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R).
- D.
  Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.

Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.

Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.
Câu 32: Nhận biết
Tính thể tích V của hình chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , $SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}$ . Tính chiều cao hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $2a\sqrt{3}$
Ta có:

$SA\bot(ABC)$ nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Ta lại có:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}$
Câu 33: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAC)
- B.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SBC)
- C.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)
- D.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Câu 34: Vận dụng
Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $4a;SO\bot(ABC)$ . Gọi $I$ là trung điểm cạnh $CD$ , $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $I$ trên $SI$ . Biết $OH = a\sqrt{2}$ . Khi đó, cosin góc tạo bởi đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SO\bot(ABCD) \\ CD \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SO\bot CD;OI\bot CD$

$\Rightarrow CD\bot(SOI)$

$OH \subset (SOI) \Rightarrow OH\bot CD;OH\bot SI$

$\Rightarrow OH\bot(SIO) \Rightarrow \left( SO;(SCD) ight) = \widehat{OSI}$

$OI = 2a;OH = a\sqrt{2}$ suy ra tam giác OHI vuông cân tại H

$\Rightarrow \widehat{HIO} = 45^{0} \Rightarrow \widehat{OSI} = 45^{0}$

$SD = \sqrt{SO^{2} + OD^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2}} = a$

$\Rightarrow SD = SC = CD = a$

Suy ra tam giác SCD đều $\Rightarrow \widehat{SDC} = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos\left( SO;(SCD) ight) = \cos\widehat{OSI} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 35: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng $9;4$ . Thể tích khối chóp bằng:
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 18$
- C.
  $V = 24$
- D.
  $V = 12$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 9 \\ h = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.9.4 = 12$
Câu 36: Vận dụng cao
Tổng khoảng cách d

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $\sqrt{3}$ . Gọi I là tâm của đáy ABC, d’ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d’’ là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d’ + d’’.
- A.
  $\frac{4\sqrt{22}}{33}$
- B.
  $\frac{8\sqrt{22}}{33}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{22}}{33}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{33}$
Gọi I là tâm của đáy ABC
=> $d' = 3d'' \Rightarrow d= 4d'' = 4IK$
Xét tam giác ABC đều cạnh a có tâm I
=> $AM = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left\{ \begin{matrix}AI = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\IM = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \\\end{matrix} ight.$
Xét tam giác SAI vuông tại I
$SI^{2} = SA^{2} - AI^{2} = 3^{2} -\frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
$\Rightarrow SI =\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Xét ∆SIM vuông tại I có:
$\frac{1}{IK^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} +\frac{1}{IM^{2}} = \frac{8}{99}$
$\Rightarrow IK = \frac{2\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = \frac{8\sqrt{22}}{33}$
Câu 37: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 38: Nhận biết
Xác định mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ . Đường thẳng vuông góc với đáy $ABC$ . Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
- A.
  $(SAC)$ .
- B.
  $(SBC)$ .
- C.
  $(ABC)$ .
- D.
  $(SAB)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$
Câu 39: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD;AB = SA = a$ . Tính khoảng cách từ đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy $\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Kẻ $OH\bot SN$

Có $\left\{ \begin{matrix} ON\bot CD \\ CD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SON)$

$\Rightarrow CD\bot OH \Rightarrow OH\bot(SCD)$

Ta có: $AB//CD \subset (SCD) \Rightarrow AB//(SCD)$

Khi đó $d\left( AB;(SCD) ight) = d\left( M;(SCD) ight) = 2d\left( O;(SCD) ight) = 2OH$

Trong tam giác SON vuông tại O, $OH\bot SN$ có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} + \frac{1}{ON^{2}} \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow d\left( AB;(SCD) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
- A.
  $\frac{a}{3}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $2a$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Gọi $E=HK∩AC$ . Do $HK//BD$ nên suy ra
$d(HK;SD)=d(HK;(SBD))=d(E;(SBD))=d(A;(SBD))/2$ (vì $OE=AO/2=1/2$ )
Kẻ $AF⊥SO(1)$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BD \bot AC} \\ {BD \bot SA} \end{array}} ight.$
$⇒BD⊥(SAC)⇒BD⊥AF(2)$
Từ (1) và (2) $⇒AF⊥(SBD)$ , khi đó $d(A;(SBD))=AF$
$\begin{matrix} AF = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} \hfill \\ = \dfrac{{2a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{3} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {HK;SD} ight) = \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{a}{3} \hfill \\ \end{matrix}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

18 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4