VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu đã cho

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm O, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a;AD = 2a$ . Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB;SD$ . Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $AH\bot SC$ Đúng||Sai

b) $SC\bot(AHK)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm O, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a;AD = 2a$ . Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB;SD$ . Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $AH\bot SC$ Đúng||Sai

b) $SC\bot(AHK)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB);AH \subset (SAB)$

$\Rightarrow AH\bot BC$

Lại có $AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot SC(*)$

b) Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD);AK \subset (SAD)$

$\Rightarrow AK\bot CD$ mà $AK\bot SD \Rightarrow AK\bot(SCD)$

$\Rightarrow AK\bot SC(**)$

Từ (*) và (**) suy ra: $SC\bot(AHK)$ .

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow \widehat{\left( (AHK);(ABCD) ight)} = \widehat{(SC;SA)} = \widehat{ASC}$

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Tam giác SAC vuông tại A nên $SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = a\sqrt{6}$

$\Rightarrow \cos\widehat{ASC} = \frac{SA}{SC} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow \cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{6}}{6} eq \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 2: Thông hiểu
Xác định thể tích V

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác trong hình vẽ sau:
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Quan sát hình vẽ ta thấy:

Tam giác ABC vuông cân tại B

$\Rightarrow AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = a$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}a^{2}$

Khi đó $V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.BB' = \frac{1}{2}a^{2}.a = \frac{a^{3}}{2}$
Câu 3: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = a\sqrt{5};d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = a^{3}\sqrt{5}$
- B.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{5}}{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AJ\bot BB' \\ AK\bot CC' \Rightarrow AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AJK)$

$\Rightarrow BB'\bot JK \Rightarrow JK//CH \Rightarrow JK = CH = a\sqrt{5}$

Xét tam giác AJK có: $JK^{2} = AJ^{2} + AK^{2} = 5a^{2}$

Vậy tam giác AJK vuông tại A

Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có: $AF = JF = FK = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:

$\cos\widehat{ANF} = \dfrac{AF}{AN} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ANF} = 60^{0}$

( $AN = AM = a\sqrt{5}$ vì $AN//AM;AN = AM$ )

$\Rightarrow S_{AJK} = \frac{1}{2}AJ.AK = \frac{1}{2}.a.2a = a^{2}$

Lại có: $S_{AJK} = S_{ABC}.\cos60^{0}\Rightarrow S_{ABC} = \frac{S_{AJK}}{\cos60^{0}} = 2a^{2}$

Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:

$\widehat{MAA'} = \widehat{AMF} = 30^{0}$

Hay $AM = A'M.\tan30^{0} =\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

$V = AM.S_{ABC} = \frac{a\sqrt{15}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Câu 4: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 5: Thông hiểu
Xác định góc giữa SC và (ABC)

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ . Biết rằng $SA\bot(ABC);SA = 2a;AB = 3a;BC = a\sqrt{3}$ . Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow \left( SC;(ABC) ight) = \widehat{SCA}$

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{9a^{2} + 3a^{2}} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{2a}{2a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = 30^{0}$
Câu 6: Thông hiểu
Hoàn thành mệnh đề

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác nhọn, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy. Khi đó:
- A. I là trực tâm tam giác ABC.
- B. I là trọng tâm tam giác ABC.
- C. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hình vẽ minh họa:
Ta có I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
Tam giác SAI vuông tại I
=> SA² = AI² + SI²
Tam giác SBI vuông tại I
=> SB² = BI² + SI²
Tam giác SCI vuông tại I
=> SC² = CI² + SI²
Kết hợp với điều kiện: SA = SB = SC
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 7: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = AD = BC = BD = a;AB = x$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Biết $(ACD)\bot(BCD)$ và $(ABC)\bot(ABD)$ . Tính giá trị của $x$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = AD = BC = BD = a;AB = x$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Biết $(ACD)\bot(BCD)$ và $(ABC)\bot(ABD)$ . Tính giá trị của $x$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  SO ⊥ (ABCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  BD ⊥ (SAC)
- D.
  BC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => SO ⊥ (ABCD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => AC ⊥ (SBD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Câu 9: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO ⊥ (ABCD) và $SO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
- A.
  30◦
- B.
  45◦
- C.
  60◦
- D.
  90◦
Hình vẽ minh họa:

Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot OQ \\ BC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SOQ) \Rightarrow BC\bot SQ$

Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) = $\widehat{SQO}$

Tam giác vuông SOQ ta có: $\tan\widehat{SQO} = \frac{SO}{OQ} = \sqrt{3}$

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦
Câu 10: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).
- B.
  Một đường thẳng đi qua một điểm của mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì nằm trọn trong mặt phẳng (P).
- C.
  Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
- D.
  Trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”
Câu 11: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào chỗ trống

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = AD = BC = BD = a;AB = x$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Biết $(ACD)\bot(BCD)$ và $(ABC)\bot(ABD)$ . Tính giá trị của $x$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = AD = BC = BD = a;AB = x$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Biết $(ACD)\bot(BCD)$ và $(ABC)\bot(ABD)$ . Tính giá trị của $x$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P).
- B.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với AH vuông góc với (P).
- C.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
- D.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Câu 13: Vận dụng
Tính độ dài cạnh CD

Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.
- A.
  $CD =\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $CD = 2a\sqrt{2}$
- C.
  $CD = a\sqrt{2}$
- D.
  $CD =\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân
=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}(ACD)\ \cap \ (BCD) \\CD\bot AM \subset (ACD) \\CD\bot BM \subset (BCD) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \widehat{\left( (ACD);\(BCD) ight)} = \widehat{(AM;\ BM)} = 90^{0}$
=> AM ⊥ BM
Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)
=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M
=> MN ⊥ AB
Đặt CD = x
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
$AM^{2} = a^{2} -\frac{x^{2}}{4}$
Xét ∆ABM vuông cân tại M
$\Rightarrow AB^{2} = 2AM^{2} = 2a^{2} -\frac{x^{2}}{2}$
$\Rightarrow AN^{2} = \frac{1}{4}AB^{2} =\frac{a^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8}$
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
$DN^{2} = AD^{2} - AN^{2}$
$\Rightarrow DN^{2} = a^{2} -\frac{a^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{8} = \frac{a^{2}}{2} +\frac{x^{2}}{8}$
Xét ∆CDN vuông cân tại N
$\Rightarrow CD^{2} = 2DN^{2} = a^{2} +\frac{x^{2}}{4}$
$\Rightarrow a^{2} + \frac{x^{2}}{4} =x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$
Câu 14: Nhận biết
Xác định mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ . Đường thẳng vuông góc với đáy $ABC$ . Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
- A.
  $(SAC)$ .
- B.
  $(SBC)$ .
- C.
  $(ABC)$ .
- D.
  $(SAB)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$
Câu 15: Nhận biết
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:
- A.
  $\widehat{ACB}$
- B.
  $\widehat{ANB}$
- C.
  $\widehat{ADB}$
- D.
  $\widehat{MNB}$
Hình vẽ minh họa
Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều
=> Tam giác ACD cân
=> BN ⊥ CD và AN ⊥ CD
=> $\widehat {ANB}$ là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)
Câu 16: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Tính $cosin$ của góc giữa hai đường thẳng $A'D$ và $B'I$ ta được kết quả là:
- A.
  $\frac{\sqrt{10}}{5}$
- B.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}}{5}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0

Ta có:

$B'C//A'D \Rightarrow (A'D;B'I) = (B'I,B'C)$

Tính được $\left\{ \begin{matrix}B'I = \sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a}{2} ight)^{2}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2} = CI \\B'C = a\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.$

Trong tam giác B’CI ta có:

$\cos\widehat{IB'C} = \dfrac{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{2} ight)^{2} - \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}ight)^{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}$

$= \frac{2a^{2}}{a^{2}\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$
Câu 17: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a², $AB = a\sqrt{2}$ , BC = 2a. Gọi M là trung điểm của DC. Hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng:
- A.
  $\frac{4a\sqrt{10}}{15}$
- B.
  $\frac{3a\sqrt{10}}{5}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{10}}{5}$
- D.
  $\frac{3a\sqrt{10}}{15}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H = AM ∩ BD
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}(SBD)\bot(ABC) \\(SAM)\bot(ABC) \\(SBD)\ \cap \ (SAM) = SH \\\end{matrix} ight.$
=> SH ⊥ (ABC)
Vì AB song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có:
$\frac{HB}{HD} = \frac{AB}{DM} =2$
$\Rightarrow \frac{d\left( B;(SAM)ight)}{d\left( D;(SAM) ight)} = 2$
=> d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM))
Kẻ DK ⊥ AM tại K.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}DK\bot AM \\DK\bot SH \\\end{matrix} ight.$ => DK ⊥ (SAM) tại K => d(D; (SAM)) = DK
=> d(B; (SAM)) = 2DK
Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2a² nên ta có:
$S_{ADM} = \frac{1}{2}S_{ADC} =\frac{1}{4}S_{ABDC} = \frac{2a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}$
Lại có $CD = AB = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}DM = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\AD = BC = 2a \\\end{matrix} ight.$
Khi đó
$S_{ADM} =\frac{1}{2}AM.DM.sin\widehat{D}$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{2} =\frac{1}{2}.2a.sin\widehat{D}$
$\Rightarrow \sin\widehat{D} =\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{D} = 45^{0}$
Do vậy xét trong tam giác ADM ta có:
$\begin{matrix}AM^{2} = AD^{2} + DM^{2} - 2AD.DM.cos45^{0} \hfill\\AM^{2} = 4a^{2} + \dfrac{a}{2}^{2} -2.2a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2} \hfill\\AM^{2} = \dfrac{5a^{2}}{2} \hfill\\\end{matrix}$
$AM = \frac{a\sqrt{10}}{2}$
Lại có $S_{ADM} =\frac{1}{2}DK.AM$
$\Rightarrow DK = \frac{2S_{ADM}}{AM} =\frac{2a}{\sqrt{10}} = \frac{a\sqrt{10}}{5}$
Từ đó $d\left( B;(SAM) ight) = 2.DK =\frac{2a\sqrt{10}}{5}$
Câu 18: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mênh đề nào đúng?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
- B.
  Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- C.
  Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).
- D.
  Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d của (α) và (β) nếu có sẽ vuông góc với (γ).
Mệnh đề: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.” Sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.” sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Mệnh đề: “Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).” Sai vì ít nhất nếu cả A và B đều thuộc giao tuyến của (α) và (β) thì AB trùng với (α) ⋂ (β).
Câu 19: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD

Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
- A.
  $\frac{a}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a}{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Câu 20: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b).
- B.
  Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).
- C.
  Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a.
- D.
  Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β).
Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).

Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”
Câu 21: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông $\widehat{ABC} = 60^{0}$ . Tam giác $SBC$ là tam giác đều có cạnh bằng $2a$ và hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm của $BC$ . Tính $\left( SA;(ABC) ight)$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của BC
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}SI\bot(ABC) \\SI = a\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.$
Vì $SI\bot(ABC)$ nên hình chiếu của SA trên (ABC) là AI
Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa SA và AI bằng $\widehat{SAI}$
Tma giác SAI vuông tại I ta có:
$SI = a\sqrt{3};AI = \frac{1}{2}BC =a$
$\Rightarrow \tan\widehat{SAI} =\frac{SA}{AI} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SAI} = 60^{0}$
Câu 22: Nhận biết
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là $3x^{2};2x$ . Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
- A.
  $x^{3}$
- B.
  $6x^{3}$
- C.
  $3x^{3}$
- D.
  $2x^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3x^{2} \\ h = 2x \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: $V = B.h = 3x^{2}.2x = 6x^{3}$
Câu 23: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 24: Nhận biết
Chọn khẳng định có thể sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
- A. A’C’ ⊥ BD
- B. A’B ⊥ DC’
- C. BB’ ⊥ BD
- D. BC’ ⊥ A’D
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Câu 25: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 26: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AB \Rightarrow (\alpha) \cap (ABC) = Bt//AC$ .

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$

$\Rightarrow (\beta) \cap (ABC) =Ct'//AB$

Khi đó, $(\alpha) \cap (\beta) = SH$ với $H = Bt \cap Ct'$ là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.

Khi đó: $\Delta SAB,\ \ \Delta SAC$ là hai tam giác vuông bằng nhau có $SB = SC = a\sqrt{3},SA = 2a$ .

Gọi $I$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $B$ của tam giác SAB, ta có $BI\bot SA,CI\bot SA$ .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ là $(IB;IC)$ .

Xét $\Delta IBC$ cân tại $I$ có $IB = IC = \frac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2},BC = a\sqrt{2}$ .

Ta có: $\cos\widehat{BIC} = \frac{IB^{2} +IC^{2} - BC^{2}}{2IB.IC}$ $= \dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{3a^{2}}{4} -2a^{2}}{2.\dfrac{3a^{2}}{4}} = - \dfrac{1}{3}$ .

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $\frac{1}{3}$ .
Câu 27: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC

Khi đó $SH\bot(ABC);BH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Theo bài ra ta có:

$\left( SB;(ABC) ight) = \widehat{SBH} = 60^{0}$

Tam giác SBH vuông tại H có: $SH = BH.tan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3} = a$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
Câu 28: Vận dụng
Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2$ và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng
- A. ${60^0}$
- B. ${30^0}$
- C. ${90^0}$
- D. ${45^0}$
Gọi $O = AC \cap BD$ . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra $SO \bot \left( {ABCD} ight)$ .
Vì $\left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ BD \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot BD$
Có $\left\{ \begin{gathered} BD \bot SO \hfill \\ BD \bot AC \hfill \\ SO,AC \subset \left( {SAC} ight) \hfill \\ SO \cap AC = \left\{ O ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight)$
Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc $\widehat {BSO}$ .
Có $BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a$
Vì $\left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ OB \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot OB$
Xét tam giác SOB có
Ta có $\sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BSO = {30^0}$
Câu 29: Nhận biết
Tìm tất cả các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
- A.
  4 mặt phẳng
- B.
  5 mặt phẳng
- C.
  1 mặt phẳng
- D.
  2 mặt phẳng
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Câu 30: Thông hiểu
Xác định vị trí điểm I

Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:
- A.
  Trọng tâm của tam giác ABC
- B.
  Trực tâm của tam giác ABC
- C.
  Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- D.
  Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot OC} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot CI$
Chứng minh tương tự ta được: $BC \bot AI$
Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 31: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng BC và SA

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , tam giác $SAD$ đều. góc giữa $BC$ và $SA$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $BC//AD \Rightarrow (BC,SA) = (AD,SA) = 60^{0}$
Câu 32: Thông hiểu
Xác định thể tích khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = 2a\sqrt{3}.8a^{2} = 16a^{3}\sqrt{3}$
Câu 33: Nhận biết

Điền đáp án vào ô trống

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Ta có:

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h$

Thể tích hình lăng trụ là: $V' = B.h$

Khi đó: $\dfrac{V}{V'} =\dfrac{\dfrac{1}{3}B.h}{B.h} = \dfrac{1}{3}$
Câu 34: Thông hiểu
Số đo góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $2\sqrt 2$ , AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).
- A. $30^0$
- B. $90^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Ta có $CB \bot \left( {AA'B'B} ight)$ tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc $\widehat {CA'B}$
Khi đó $\tan \widehat {CA'B} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } ight)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CA'B} = 30^\circ$
Câu 35: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 36: Nhận biết
Xác định khẳng định đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Xác định khẳng định đúng dưới đây?
- A.
  $AC\bot(SBC)$
- B.
  $BC\bot(SAC)$
- C.
  $BC\bot(SAB)$
- D.
  $AB\bot(SBC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC;SA \subset (SAB)$

Mà $BC\bot AB$ (vì đáy là tam giác vuông tại B); $AB \subset (SAB)$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$
Câu 37: Vận dụng
Tính cotan góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và $SH = \frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Gọi α là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\cot\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$
- B.
  $\cot\alpha = \sqrt{7}$
- C.
  $\cot\alpha = \frac{\sqrt{7}}{7}$
- D.
  $\cot\alpha = \frac{\sqrt{14}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm BC.

Tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Theo giả thiết, ta có SH ⊥ (ABC).

Qua B kẻ Bx // AC. Khi đó (SB, AC) = (SB, Bx).

Kẻ HE ⊥ Bx tại E, cắt AC tại M.

=> AMEB là hình chữ nhật nên $\left\{\begin{matrix}BE = AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a}{2} \\HE = HM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2} \\\end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} Bx\bot HE \\ Bx\bot SH \\ \end{matrix} \Rightarrow Bx\bot(SHE) \Rightarrow Bx\bot SE. ight.$

Tam giác vuông SEB ta có: $\cot\alpha = \frac{BE}{SE} = \frac{AM}{\sqrt{SH^{2} + HE^{2}}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$
Câu 38: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 39: Thông hiểu
Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦ . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $\frac{3a\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $a\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{3a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Ta có:

Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có

d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ = $\frac{3a}{2}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính góc giữa AB và CD

Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều. Khi đó $(AB;CD)$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: I là trung điểm của AB.

Vì $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều nên $\left\{ \begin{matrix} CI\bot AB \\ DI\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(CID) \Rightarrow AB\bot CD$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

60 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm