VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $BB' = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{0}$ .
- A.
  $V = \frac{8\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 8\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot A'M \\ (A'BC) \cap (ABC) = BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan60^{0}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = \frac{4a}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = 2a.\frac{4a^{2}\sqrt{3}}{9} = \frac{8\sqrt{3}a^{3}}{9}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vecto

Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OB, OC, OA đối một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {BC}$ ?
- A. 0⁰
- B. 60⁰
- C. 90⁰
- D. 120⁰
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } ight).\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} } ight) \hfill \\ = \dfrac{1}{2}O{B^2} = \dfrac{{ - 1}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} }}{{OM.BC}} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2}}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} } ight) = {120^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Nhận biết
Tính tích vô hướng của hai vecto

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}}$
- A. $\frac{{{a^2}}}{2}$
- B. ${a^2}$
- C. $\frac{{3{a^2}}}{4}$
- D. $\frac{{3{a^2}}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A{D_1}} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {{B_1}M} = \overrightarrow {{B_1}A} + \overrightarrow {AM} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {{B_1}M} = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {A{A_1}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = A{B^2} - A{A_1}^2 + \dfrac{1}{2}A{D^2} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Vận dụng
Xác định khoảng cách từ B đến (SCD)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $\frac{4}{3}a^{3}$ , đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$ ; $SA = SD$ . Biết mặt bên $(SAD)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ . Xác định khoảng cách $d\left( B;(SCD) ight)$ ?
- A.
  $\frac{3a}{4}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $\frac{4a}{3}$
- D.
  $\frac{8a}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD

Tam giác SAD cân tại S suy ra $SI\bot AD$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} SI\bot AD \\ (SAD)\bot(ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SI\bot(ABCD)$

Suy ra SI là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SI.S_{ABCD}$

$\Leftrightarrow \frac{4a^{3}}{3} = \frac{1}{2}SI.2a^{2}$

$\Leftrightarrow SI = 2a$

Vì $AB//(SCD) \Rightarrow d\left( B;(SCD) ight) = d\left( A;(SCD) ight) = 2d\left( I;(SCD) ight)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} SI\bot DC \\ ID\bot DC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow IH\bot DC$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IH\bot SD \\ IH\bot DC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow IH\bot(SCD)$

$\Rightarrow d\left( I;(SCD) ight) = IH$

Xét tam giác SID vuông tại I có:

$\frac{1}{IH^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} + \frac{1}{ID^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{4}{2a^{2}} \Rightarrow IH = \frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d\left( B;(SCD) ight) = d\left( A;(SCD) ight) = 2d\left( I;(SCD) ight) = \frac{4a}{3}$
Câu 5: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên $AA' = a\sqrt{2}$ . Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
- A.
  $\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{5}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{7}}{7}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C
=> B’C // (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))
Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN
=> BK ⊥ (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK
Ta có:
$\frac{1}{BH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{BM^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{BH^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$
$\Rightarrow BH =\frac{a}{\sqrt{5}}$
Ta có: $BN =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Do tam giác ABM vuông tại B
$\frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BH^{2}} +\frac{1}{BN^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{BK^{2}} =\frac{5}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}}$
$\Rightarrow BK =\frac{a\sqrt{7}}{7}$
$\Rightarrow d(AM;B'C) =\frac{a\sqrt{7}}{7}$
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)?
- A.
  Không có.
- B.
  Có một.
- C.
  Có vô số.
- D.
  Có một hoặc có vô số.
Có một khi (P) và (Q) cắt nhau, có vô số khi (P) // (Q).
Câu 7: Nhận biết
Tìm tất cả các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
- A.
  4 mặt phẳng
- B.
  5 mặt phẳng
- C.
  1 mặt phẳng
- D.
  2 mặt phẳng
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Câu 8: Thông hiểu
Xác định tanβ

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ tâm $I$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $SA = a\sqrt{3};\beta = \left( SI;(ABCD) ight)$ . Tính $\tan\beta$ ?
- A.
  $\tan\beta = \sqrt{6}$
- B.
  $\tan\beta = \frac{\sqrt{6}}{6}$
- C.
  $\tan\beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\tan\beta = \sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên AI là hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng đáy.

Do đó góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SI và AI.

Xét tam giác SAI vuông tại A nên $\widehat{SIA} < 90^{0} \Rightarrow (SI;AI) = \widehat{SIA}$

$\tan\widehat{SIA} = \dfrac{SA}{AI} =\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6}$

Vậy $\tan\beta = \sqrt{6}$
Câu 9: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 10: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ . Tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính $d(SA;BC)$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{5}}{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của $BC$ . Suy ra $SH\bot(ABC)$

Kẻ $HK\bot SA;(K \in SA)(1)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SH \\ BC\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SHA) \Rightarrow BC\bot KH(2)$

Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Do đó $d(SA;BC) = HK = \frac{SH.HA}{\sqrt{SH^{2} + HA^{2}}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông tại $a$ . Giả sử $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $(BCC'B')$ . Biết rằng $AB = a\sqrt{3};AC = AA' = a$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$
- B.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Hạ $AH\bot BC$ ta có: $AH\bot(BCC'B')$

$\Rightarrow \left( AC';(BCC'B') ight) = \widehat{AC'H}$

Trong tam giác $ABC$ có:

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} = \frac{4}{3a^{2}}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \sin\widehat{AC'H} = \frac{AH}{AC'} = \frac{a\sqrt{3}}{2a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{4}$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ , đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại C và $AB = a\sqrt{3};AC = a$ . Biết tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Thể tích hình chóp tam giác $S.ABC$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Tam giác SAB đều nên $SH = \frac{3a}{2}$

Tam giác ABC vuông cân tại C nên

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \Rightarrow BC = \sqrt{3a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}$

Vậy thể tích hình chóp $S.ABC$ là: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$
Câu 13: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  $SA\bot SB$
- B.
  $SA\bot CD$
- C.
  $SA\bot BD$
- D.
  $SA\bot BD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} SA\bot CD \\ SA\bot BD \\ SA\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

Vậy mệnh đề sai là: $SA\bot SB$
Câu 14: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ ?
- A.
  $V = a^{3}$
- B.
  $V = 2a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

$AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a$

Dễ thấy $A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2}$ nên tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại A

Gọi H là trung điểm của $A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a$

Ta lại có $MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH$

$\Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)$

$= \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}$

Vậy $V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}$
Câu 15: Nhận biết
Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi trung điểm các cạnh $SC$ và $BC$ lần lượt là $I;J$ . Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $CD$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

$IJ$ là đường trung bình của tam giác $SBC$ nên $JI//SB$

Vì $\left\{ \begin{matrix} JI//SB \\ CD//AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (IJ;CD) = (SB;AB) = \widehat{SBA} = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos(IJ;CD) = \frac{1}{2}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a, $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 60⁰
Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a, $\widehat {MAB} = {90^0}$
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và $CM = \frac{1}{2}AD = a$
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AC} \\ {CD \bot SA} \\ {SA \cap AC = A} \\ {SA;AC \subset \left( {SAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$ mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot CD} \\ {AH \bot SC} \\ {CD \cap SC = C} \\ {CD;SC \subset \left( {SCD} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight)\left( 1 ight)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD \bot SA} \\ {AD \bot AB} \\ {SA \cap AB = A} \\ {SA;AB \subset \left( {SAB} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight)\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Xét tam giác SAC vuông tại A có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a$
Xét tam giác SAC vuông tại A và $SA = AC = a\sqrt 2$ nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và $AH = \frac{1}{2}SC = a$
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: $\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {DAH} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SCD} ight);\left( {SAB} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 17: Nhận biết
Tính khoảng cách

Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- B.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = a\sqrt{3}.2a^{2} = 2a^{3}\sqrt{3}$
Câu 19: Nhận biết

Điền đáp án vào ô trống

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Ta có:

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h$

Thể tích hình lăng trụ là: $V' = B.h$

Khi đó: $\dfrac{V}{V'} =\dfrac{\dfrac{1}{3}B.h}{B.h} = \dfrac{1}{3}$
Câu 20: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $3a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{3}{2}a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = \frac{1}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = a^{3}$
Câu 21: Thông hiểu
Số đo góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $2\sqrt 2$ , AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).
- A. $30^0$
- B. $90^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Ta có $CB \bot \left( {AA'B'B} ight)$ tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc $\widehat {CA'B}$
Khi đó $\tan \widehat {CA'B} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } ight)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CA'B} = 30^\circ$
Câu 22: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
- A.
  Thuộc một mặt phẳng
- B.
  Vuông góc với nhau
- C.
  Song song với một mặt phẳng
- D.
  Song song với nhau
Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.
Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.
Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.
Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.
Câu 23: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 24: Thông hiểu
Khẳng định nào là khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A.
  SA ⊥ BD
- B.
  SC ⊥ BD
- C.
  SO ⊥ BD
- D.
  AD ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

=> BD ⊥ (SAC)

Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)

=> BD ⊥ SO, BD ⊥ SC

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau

=> AD ⊥ SC là khẳng định sai.
Câu 25: Nhận biết
Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng nào

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
- A.
  (CDM)
- B.
  (ACD)
- C.
  (ABN)
- D.
  (ABC)
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BN \bot CD} \\ {AN \bot CD} \end{array} \Rightarrow } ight.CD \bot \left( {ABN} ight)$
Mà $CD \subset \left( {BCD} ight) \Rightarrow \left( {BCD} ight) \bot \left( {ABN} ight)$
Câu 26: Vận dụng cao
Tính khoảng cách d giữa SA và BD

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:
- A.
  $\frac{2a\sqrt{38}}{17}$
- B.
  $\frac{2a\sqrt{13}}{3}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{51}}{13}$
- D.
  $\frac{3a\sqrt{34}}{17}$
Hình vẽ minh họa:
Kẻ HI // BC (I ∈ CD) ta có: $\left\{\begin{matrix}CD\bot HI \\CD\bot SI \\\end{matrix} ight.$
=> Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SIH} = 45^{0}$
Dựng hình bình hành ADBE
Ta có: BD // (SAE) => d(SA, BD) = d(BD, (SAE)) = d(B, (SAE)) = d(H, (SAE))
Kẻ HJ ⊥ AE (J ∈ AE) ta có: AE ⊥ (SHJ) => (SAE) ⊥ (SHJ) theo giao tuyến SJ
Kẻ HK ⊥ SJ (K ∈ SJ) ta có: HK ⊥ (SAE) => HK = d(H, (SAE))
Ta có: $HK = \frac{HJ.HS}{\sqrt{HJ^{2} +HS^{2}}}$
Với $\left\{ \begin{matrix}HJ = AO = a\sqrt{2} \\HS = HI = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Vậy $HK =\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{3}{2}a}{\sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} +\left( \dfrac{3}{2}a ight)^{2}}} = \dfrac{3a\sqrt{31}}{17}$
Câu 27: Thông hiểu
Số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB.
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 60⁰
- D. 90⁰
Hình vẽ minh họa:
$\begin{matrix} \overrightarrow {SC} \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CS} .(\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} ) \hfill \\ = \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB} \hfill \\ = CS.CA.\cos \widehat {SCA} - CS.CB.\cos \widehat {SCB} \hfill \\ = CS.CA.\dfrac{{S{C^2} + C{A^2} - S{A^2}}}{{2SC.CA}} \hfill \\ - CS.CB.\dfrac{{S{C^2} + C{B^2} - S{B^2}}}{{2SC.CB}} \hfill \\ = \frac{{S{C^2} + C{A^2} - S{A^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2} + C{B^2} - S{B^2}}}{2} = 0 \hfill \\ ({\text{Do }}SA = SB{\text{ v\`a }}CA = CB) \Rightarrow SC \bot AB \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. cạn bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $SA \perp BC$
- B.
  $AH \perp BC$
- C.
  $AH \perp AC$
- D.
  $AH \perp SC$
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra, ta có $SA⊥(ABC)$ mà $BC⊂(ABC)⇒SA⊥BC$
Tam giác ABC vuông tại B, có $AB⊥BC$ => $BC⊥(SAB)⇒BC⊥AH$
Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AH \bot SB} \\ {AH \bot BC} \end{array}} ight.$
$⇒AH⊥(SBC)⇒AH⊥SC$
Nếu $AH⊥AC$ mà $SA⊥AC$ suy ra $AC⊥(SAH)⇒AC⊥AB$ (vô lý).
Câu 29: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu đã cho

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm O, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a;AD = 2a$ . Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB;SD$ . Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $AH\bot SC$ Đúng||Sai

b) $SC\bot(AHK)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm O, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a;AD = 2a$ . Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB;SD$ . Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $AH\bot SC$ Đúng||Sai

b) $SC\bot(AHK)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB);AH \subset (SAB)$

$\Rightarrow AH\bot BC$

Lại có $AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot SC(*)$

b) Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD);AK \subset (SAD)$

$\Rightarrow AK\bot CD$ mà $AK\bot SD \Rightarrow AK\bot(SCD)$

$\Rightarrow AK\bot SC(**)$

Từ (*) và (**) suy ra: $SC\bot(AHK)$ .

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow \widehat{\left( (AHK);(ABCD) ight)} = \widehat{(SC;SA)} = \widehat{ASC}$

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Tam giác SAC vuông tại A nên $SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = a\sqrt{6}$

$\Rightarrow \cos\widehat{ASC} = \frac{SA}{SC} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow \cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{6}}{6} eq \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 30: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD;AB = SA = a$ . Tính khoảng cách từ đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy $\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Kẻ $OH\bot SN$

Có $\left\{ \begin{matrix} ON\bot CD \\ CD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SON)$

$\Rightarrow CD\bot OH \Rightarrow OH\bot(SCD)$

Ta có: $AB//CD \subset (SCD) \Rightarrow AB//(SCD)$

Khi đó $d\left( AB;(SCD) ight) = d\left( M;(SCD) ight) = 2d\left( O;(SCD) ight) = 2OH$

Trong tam giác SON vuông tại O, $OH\bot SN$ có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} + \frac{1}{ON^{2}} \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow d\left( AB;(SCD) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 31: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  AH ⊥ (SBD)
- C.
  AH ⊥ (SCD)
- D.
  AH ⊥ SD
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Câu 32: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đều

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 4a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ .
- A.
  $V = 64\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = 32\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{32\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó $\left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan30^{0}} = 4\sqrt{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = 8a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = \frac{(8a)^{2}\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3}a^{3}$
Câu 33: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
- A. $\frac{2}{{\sqrt 7 }}$
- B. $\frac{2}{{\sqrt {35} }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- D. $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}$
+) Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } ight)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác
$\begin{matrix} AC = a\sqrt 5 ;CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \hfill \\ SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } ight)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \left( {SB,AC} ight) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} } ight|}}{{SB.AC}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt {35} }}$
Câu 34: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AC$ , $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $SC$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A.
  $(SAC)\bot(SAB)$
- B.
  $(BHK)\bot(ABC)$
- C.
  $(BHK)\bot(SBC)$
- D.
  $(SBC)\bot(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BH$

Mà tam giác ABC là tam giác đều $AC\bot BH$

$\Rightarrow BH\bot SC$ mà $HK\bot SC$

$\Rightarrow SC\bot(BHK) \Rightarrow (SCB)\bot(BHK)$
Câu 35: Vận dụng
Tính diện tích (α) của thiết diện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (α) qua SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tính diện tích (α) của thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho.
- A.
  $S = \frac{a^{2}}{2}$
- B.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $S = \frac{a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi E là trung điểm AB, suy ra AECD là hình vuông nên DE ⊥ AC. (1)

Mặt khác SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ DE (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE ⊥ (SAC) => (SAD) ⊥ (SAC)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SDE) \supset S \\ (SDE)\bot(SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (\alpha) \equiv (SDE)$

Vậy thiết diện là tam giác SDE.

Ta có:

$\begin{matrix} SD = \sqrt{SA^{2} + DA^{2}} = a\sqrt{2} \\ SE = \sqrt{SA^{2} + AE^{2}} = a\sqrt{2} \\ DE = AC = DC\sqrt{2} = a\sqrt{2} \\ \end{matrix}$

Do đó tam giác SDE đều có cạnh a √ 2 nên $S_{SDE} = \frac{SD^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
Câu 36: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $8a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{4}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AB = a;AA' = a\sqrt{3}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $CC'$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AA'//CC'$ nên góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $CC'$ là góc giữa $AA'$ và $AB'$ và bằng góc $\widehat{A'AB}$

Với $AB = a;AA' = a\sqrt{3}$ ta có: $\tan\widehat{A'AB} = \frac{A'B'}{AA'} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \widehat{A'AB} = 60^{0} \Rightarrow (AB';CC') = 60^{0}$
Câu 38: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
- A.
  $\cot\alpha = \frac{5}{\sqrt{15}}$
- B.
  $\cot\alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}$
- C.
  $\cot\alpha = \sqrt{3}$
- D.
  $\cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Giả sử H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB => SH ⊥ (ABCD)

=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh HD.

=> $\alpha = \left( SD,(ABCD) ight) = (SD;HD) = \widehat{SDH}$

Tam giác SAB đều cạnh a => $SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta lại có: $HD = \sqrt{AH^{2} + AB^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

=> $\cot\alpha = \cot\widehat{SDH} = \frac{DH}{SH} = \frac{5}{\sqrt{15}}$
Câu 39: Nhận biết
Tìm đường thẳng vuông góc với OA

Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc với nhau. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với $OA$ ?
- A.
  $BC$
- B.
  $AB$
- C.
  $AC$
- D.
  $OA$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OA\bot OB(gt) \\ OA\bot OC(gt) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OA\bot(OBC) \Rightarrow OA\bot BC$
Câu 40: Vận dụng
Xác định góc giữa MN và AP

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạng AB, BC, C’D’. Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.
- A. $60^0$
- B. $90^0$
- C. $30^0$
- D. $45^0$
Do AC song song với MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và AP là góc giữa hai đường thẳng AC và AP.
Ta tính được: $PC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2};AP = \frac{{3a}}{2};AC = a\sqrt 2$
$\begin{matrix} \cos \left( {\widehat {CAP}} ight) = \dfrac{{A{P^2} + A{C^2} - P{C^2}}}{{2AP.AC}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \to \widehat {CAP} = {45^0} \hfill \\ \end{matrix}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

60 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm