VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác nhất

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A.
  SO ⊥ (ABCD)
- B.
  AB ⊥ (SAC)
- C.
  CD ⊥ AC
- D.
  CD ⊥ (SBD)
Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

=> SO ⊥ (ABCD)
Câu 2: Thông hiểu
Chọn kết luận sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ . Biết $SA\bot(ABCD);AD = BC = a;AB = 2a$ . Xác định kết luận sai?
- A.
  $(SBC)\bot(SAC)$
- B.
  $(SAD)\bot(SAB)$
- C.
  $(SCD)\bot(SAD)$
- D.
  $(SAC)\bot(SBD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AB. Ta có: $CM = MA = MB = a$

Suy ra tam giác ACB vuông tại C.

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot AC \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAC) \Rightarrow (SBC)\bot(SAC)$

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AD \\ AB\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SAD) \Rightarrow (SAB)\bot(SAD)$

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD) \Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$
Câu 3: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua a và vuông góc với mặt phẳng (P)?
- A.
  Không có.
- B.
  Có một.
- C.
  Có vô số.
- D.
  Có một hoặc có vô số.
Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $4a$ ?
- A.
  $V = 16a^{3}$
- B.
  $V = 64a^{3}$
- C.
  $V = 32a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $V = (4a)^{3} = 64a^{3}$
Câu 5: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là.
- A.
  $\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{17}}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{26}}{\sqrt{107}}$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Dựng hình chữ nhật AND
Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)
Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)
=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))
Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)
=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))
=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))
Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.
BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)
BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))
=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH
Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH
Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a
=> $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2};AG =\frac{2}{3}AN = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác AA’G vuông tại G
=> $A'G = \sqrt{AA'^{2} -AG^{2}}$
$\Rightarrow A'G = \sqrt{4a^{2} -\frac{a^{2}}{3}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$
Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật => $GI= NB = \frac{a}{2}$
Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I
=> $\frac{1}{GH^{2}} = \frac{1}{GI^{2}}+ \frac{1}{A'G^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{GH^{2}} =\dfrac{1}{\dfrac{a^{2}}{4}} + \dfrac{1}{\dfrac{11a^{2}}{3}} =\dfrac{47}{11a^{2}}$
Suy ra $GH =\sqrt{\frac{11}{47}}a$
$\Rightarrow d\left( C'(A'BM)ight) = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{47}}$
Câu 6: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 8: Vận dụng
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, $SA = a\sqrt{2}$ , SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
- A.
  30⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của AD

=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CM\bot AC \\ CM\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CM\bot(SAD)$

Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

$\Rightarrow \left( SC;(SAD) ight) = (SC;SM) = \widehat{CSM}$

=> $\tan\widehat{CSM} = \frac{CM}{SM} = \frac{AB}{\sqrt{SA^{2} + AM^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

=> $\widehat{CSM} = 30^{0}$
Câu 9: Nhận biết
Tính sin góc giữa hai đường thẳng SA và BC

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác $SAD$ là tam giác đều. Tìm sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $SA$ và $BC$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (BD;SA) = \widehat{SAD} = 60^{0}$

$\Rightarrow \sin(BC;SA) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Câu 10: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SMA}$
- B.
  $\widehat{SJA}$
- C.
  $\widehat{SBA}$
- D.
  $\widehat{SCA}$
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $(SBC) \cap (ABC) = BC$

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra $AM\bot BC$

Theo giả thiết $SA\bot(ABC)$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Ta được $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( \widehat{(SBC);(ABC)} ight) = \widehat{SMA}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA = a;SA\bot(ABCD)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC;BD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- B.
  $a\sqrt{6}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Dựng $Cx//BD;(\alpha) = (SC;Cx)$

$\Rightarrow d(BD;SC) = d\left( BD;(\alpha) ight)$

$d\left( BD;(\alpha) ight) = d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{1}{2}d\left( A;(\alpha) ight)$

Dựng $AK\bot SC$ . Dễ thấy $AK\bot(\alpha) \Rightarrow d\left( A;(\alpha) ight) = AK$

$\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $x$ ; $SA\bot(ABCD)$ . Góc tạo bởi cạnh $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $30^{0}$ . Xác định thể tích khối chóp $S.ABCD$ .
- A.
  $V = \sqrt{2}x^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{2}x^{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{6}x^{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{2x^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên $S_{ABCD} = x^{2}$

Dễ dàng chứng minh được $BC\bot(SAB)$

$\Rightarrow \left( SC;(SAB) ight) = \widehat{CSB} = 30^{0}$

Đặt $SA = m \Rightarrow SB = \sqrt{m^{2} + x^{2}}$

Tam giác SBC vuông tại B nên $\tan\widehat{CSA} = \tan30^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{BC}{SB}$

Ta được:

$BC = SB\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + x^{2}} = x\sqrt{3} \Rightarrow m = x\sqrt{2}$

Vậy diện tích hình chóp là:

$V = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.x\sqrt{2}.x^{2} = \frac{x^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 13: Nhận biết
Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng nào

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
- A.
  (CDM)
- B.
  (ACD)
- C.
  (ABN)
- D.
  (ABC)
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BN \bot CD} \\ {AN \bot CD} \end{array} \Rightarrow } ight.CD \bot \left( {ABN} ight)$
Mà $CD \subset \left( {BCD} ight) \Rightarrow \left( {BCD} ight) \bot \left( {ABN} ight)$
Câu 14: Nhận biết
Chỉ ra mệnh đề sai

Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước.
- C.
  Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- D.
  Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”

Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 15: Nhận biết
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
- A.
  45⁰
- B.
  30⁰
- C.
  60⁰
- D.
  135⁰
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy $\widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}$
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên $\widehat{SBA}= 45^{0}$
Câu 16: Vận dụng
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{7}}{30}$
- B.
  $d=\frac{2a\sqrt{7}}{30}$
- C.
  $d=\frac{a}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hình vuông ABCD => $SO \bot \left( {ABCD} ight)$
Vì $OA \cap \left( {SCD} ight) = C$ nên
$\begin{matrix} \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2 \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi H là trung điểm của CD => $OH \bot CD$
Gọi K là hình chiếu của O trên SH => $OK \bot SH (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot OH} \\ {CD \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SOH} ight) \Rightarrow CD \bot OK\left( ** ight)$
Từ (*) và (**)
$\begin{matrix} OK \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) = OK \hfill \\ OK = \dfrac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có:
$\begin{matrix} SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \hfill \\ = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow OK = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}$
$d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = 2.OK = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}$
Câu 17: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a và $I = AC \cap BD$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C'D', AA'. Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi đường thẳng IN và mặt phẳng (ACM). Tính $\sin \varphi$ .
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{9}$
- B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- C. $\frac{{5\sqrt 3 }}{9}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{{24}}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm N lên mặt phẳng (ACM).
Khi đó: $NH = h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = IN.\sin \varphi$
Ta có: $h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{1}{2}d\left( {A',\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{{3{V_{A'ACM}}}}{{2{S_{ACM}}}}$
Xét tam giác ACM có: $CM = \frac{{\sqrt 5 }}{2}a$
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{A{{D'}^2} + A{{C'}^2}}}{2} - \dfrac{{C'{{D'}^2}}}{4} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 a} ight)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} ight)}^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{9}{4}{a^2} \Rightarrow AM = \dfrac{3}{2}a \hfill \\ \Rightarrow {S_{ACM}} = \sqrt {p\left( {p - AC} ight)\left( {p - CM} ight)\left( {p - AM} ight)} = \dfrac{3}{4}{a^2} \hfill \\ \left( {p = \dfrac{{AC + CM + AM}}{2}} ight) \hfill \\ {V_{A'ACM}} = {V_{M.A'AC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D'.A'AC}} = \dfrac{1}{6}{V_{ACD.A'C'D'}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{{\text{lp}}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow h = IN = \dfrac{a}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $\sin \varphi = \frac{h}{{IN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$
Câu 18: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính thể tích hình chóp theo a

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ theo $a$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{4}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC

Ta có: $SO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Suy ra tam giác SAO đều

$\Rightarrow SH = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi. Gọi $O;O'$ lần lượt là tâm các hình bình hành $ADD'A'$ và $ABB'A'$ (như hình vẽ).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  $OO'\bot AC$
- B.
  $OO'\bot AA'$
- C.
  $OO'\bot AD$
- D.
  $OO'\bot AB$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $O;O'$ lần lượt là tâm các hình bình hành $ADD'A'$ và $ABB'A'$

=> $O;O'$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A'D;A'B$

$\Rightarrow OO'$ là đường trung bình tam giác $A'BD$ $\Rightarrow OO'//BD$

Vì đáy ABCD là hình thoi $\Rightarrow AC\bot BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OO'//BD \\ AC\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot OO'$
Câu 21: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- B.
  Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
- C.
  Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng song song với một đường thẳng.
- D.
  Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng vuông góc với một đường thẳng.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.“ sai vì hai mặt phẳng đó có thể tạo với nhau những góc khác 90⁰.

Dễ thấy mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng song song với một đường thẳng.” đúng.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng vuông góc với một đường thẳng.“ sai vì trong trường hợp mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R), (P) ⊥ (Q) thì không thể có đường thẳng nào cùng vuông góc với (P) và (Q).
Câu 22: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, SA = $a\sqrt{2}$ và vuông góc với (ABCD). Tính cosin của góc giữa (SBC) và (SCD).
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{6}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi H, N lần lượt là trung điểm của SC, AB.

Ta có CN = 1/2 AB suy ra tam giác ABC vuông cân tại C.

Suy ra: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AC\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAC)$

Do tam giác SAC vuông cân tại A nên AH = a.

Kẻ AK ⊥ SD. Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} AH\bot(SBC) \\ AK\bot(SCD) \\ \end{matrix} ight.$

=> ((SBC), (SCD)) = (AH, AK) = $\widehat{KAH}$ = ϕ

Xét tam giác vuông SAD có:

$\begin{matrix}\dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AD^{2}}\hfill \\\Rightarrow AK = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\hfill \\\end{matrix}$

Xét tam giác vuông AKH ta có:

$\cos\widehat{KAH} = \frac{AK}{AH} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Câu 23: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 24: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
- B.
  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).
- C.
  Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
- D.
  Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.
Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).” sai vì hai góc này phụ nhau.

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).” sai vì (P) có thể trùng với (Q).

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.” sai vì a có thể trùng với b.
Câu 25: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $3a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{3}{2}a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = \frac{1}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = a^{3}$
Câu 26: Vận dụng
Tính cos(MN, B'C)

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ và $\widehat{BAD} = \widehat{DAA'} = \widehat{A'AB} = 60^{0}$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm câc các cạnh $AA';CD$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $B'C$ ?
- A.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'D//B'C \\ MN//A'P \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $(MN,B'C) = (A'P,A'D) = \widehat{DA'P}$

Xét tam giác ADA’ có $\left\{ \begin{matrix} AD = AA' \\ \widehat{DAA'} = 60^{0} \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều $\Rightarrow A'D = x$

Xét tam giác A’AB có $\left\{ \begin{matrix} AB = AA' \\ \widehat{A'AB} = 60^{0} \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tam giác A’AB đều

Do đó tam giác DD’C đều

Vậy $DC' = 2DP = 2.\frac{x\sqrt{3}}{2}= x\sqrt{3}$

Xét tam giác BAD có AD = AB và $\widehat{BAD} = 60^{0}$ nên tam giác BAD là tam giác đều.

Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.

Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’

Khi đó: $A'C' = 2A'I =2.\frac{x\sqrt{2}}{2} = x\sqrt{3}$

Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên $A'P = \sqrt{\frac{A'D'^{2} +A'C'^{2}}{2} - \frac{DC'^{2}}{4}} =\frac{x\sqrt{5}}{2}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:

$\Rightarrow \cos\widehat{DA'P} =\frac{A'D^{2} + A'P^{2} - DP^{2}}{2.A'D.A'P} =\frac{x\sqrt{5}}{10}$

$\Rightarrow \cos(MN,B'C) = \left| \cos\widehat{DA'P} ight| = \frac{3\sqrt{5}}{10}$
Câu 27: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác theo a

Một hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là cân $AB = AC = a;\widehat{CAB} = 120^{0}$ . Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$ .
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{8}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = 3a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a^{2}.\sin120^{0} =\frac{a^{3}}{8}$
Câu 28: Thông hiểu
Tính độ dài MN

Cho tứ diện $ABCD;AC = 6a;BD = 8a$ . Gọi trung điểm của $AD,BC$ lần lượt là $M,N$ . Biết $AC\bot DB$ . Độ dài đoạn thẳng $MN$ là:
- A.
  $MN = a\sqrt{10}$
- B.
  $MN = 7a$
- C.
  $MN = 5a$
- D.
  $MN = 10a$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của CD. Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MP = \dfrac{1}{2}AC = 3a \\NP = \dfrac{1}{2}BD = 4a \\\end{matrix} ight.$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} NP//BD;MP//AC \\ AC\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MP\bot NP$ hay tam giác MNP vuông tại P

Theo định lí Pythagore ta có:

$MN = \sqrt{NP^{2} + MP^{2}} = 5a$
Câu 29: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện AJQK

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a$ . Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ ?
- A.
  $V = 15a^{3}$
- B.
  $V = 30a^{3}$
- C.
  $V = 45a^{3}$
- D.
  $V = 60a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}$

Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}$

$V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}$
Câu 30: Nhận biết
Tính diện tích tam giác BCD

Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{9\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $27$
- D.
  $\frac{27}{2}$
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh $\sqrt{18}$ nên có diện tích là $S_{BCD} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$
Câu 31: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ , có đáy $ABC$ là tam giác đều và $SA\bot(ABC)$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC$ và $N$ là hình chiếu của $B$ lên $SC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $(BMN)\bot(SBC)$
- B.
  $(SAB)\bot(SAC)$
- C.
  $(BMN)\bot(ABC)$
- D.
  $(SAC)\bot(SBC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow BM\bot SA$

Mà $BM\bot AC \Rightarrow BM\bot(SAC) \supset SC \Rightarrow SC\bot BM(1)$

Theo giả thiết $SC\bot BN(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $SC\bot(BMN)$

Mà $SC \subset (SBC) \Rightarrow (BMN)\bot(SBC)$
Câu 32: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P).
- B.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với AH vuông góc với (P).
- C.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
- D.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Câu 33: Thông hiểu
Tứ giác MNPQ là hình gì?

Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình chữ nhật
- C.
  Hình vuông
- D.
  Hình thang
Hình vẽ minh họa:

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A

=> $\left\{ \begin{matrix}PQ = MN = \dfrac{1}{2}AB \\PQ//AB//MN \\\end{matrix} ight.$

=> MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB

Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên $\left\{ \begin{matrix} CH\bot AB \\ C'H\bot AB \\ \end{matrix} ight.$

=> $AB\bot(CHC') \Rightarrow AB\bot CC'$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} PQ//AB \\ \begin{matrix} PN//CC' \\ AB\bot CC' \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow PQ\bot PN$

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Câu 34: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây sai?
- A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Mệnh đề “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”
Là sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đồng phẳng.
Câu 35: Nhận biết
Tìm tập hợp điểm M

Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là:
- A.
  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- B.
  Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB
- C.
  Mặt phẳng vuông góc với AB tại A.
- D.
  Đường thẳng qua A và vuông góc với AB.
Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Câu 36: Thông hiểu
Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).
- A. 90⁰
- B. 30⁰
- C. 60⁰
- D. 45⁰
Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra $AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2$
Vì $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
$\begin{matrix} \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC;AC} ight)} = \widehat {SCA} = {45^0} \hfill \\ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(SAD) \cap (SCD) = SD} \\ {MH \subset (SAD)} \\ {MH \bot SD} \\ {CH \subset (SCD)} \\ {CH \bot SD} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \widehat {((SAD),(SCD))} = \widehat {(MH,CH)} = \widehat {MHC} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có: $SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 6 ;CM = AB = a$
$\begin{matrix} \Delta SAD \sim \Delta MHD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{MH}}{{MD}} \hfill \\ \Rightarrow MH = \dfrac{{SA.MD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 a}}{{a\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Tam giác MHC vuông tại M
$\Rightarrow \tan \widehat {MHC} = \frac{{CM}}{{MH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MHC} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SAD} ight);\left( {SCD} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 37: Vận dụng
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và A’C’.
- A. $\frac{{4\sqrt {15} }}{5}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{5}$
- C. $\frac{{3\sqrt 5 }}{5}$
- D. $\frac{{\sqrt {10} }}{5}$
+ Ta có AC // A’C’ nên góc giữa AM và A’C’ là góc giữa AC và AM.
+ Xét tam giác AMC có:
$MA = MC = \sqrt {M{B^2} + A{B^2}}$
$= \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} ight)}^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$
$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMC, ta có:
$\begin{gathered} cos\left( {AM\,,\,AC} ight) = \left| {\dfrac{{A{M^2} + A{C^2} - M{C^2}}}{{2MA.AC}}} ight| \hfill \\ = \dfrac{{AC}}{{2MA}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{gathered}$
Câu 38: Thông hiểu
Xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}$ ?
- A. 60⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 120⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} ) \hfill \\ - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos {60^0}{\text{ }} \hfill \\ {\text{Do }}AC = AD \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \hfill \\ \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 39: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ BC\bot AB \\ SA\bigcap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ CD\bot AD \\ SA\bigcap AD = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow CD\bot(SAD)$ mà $CD \subset (SCD)$

$\Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SC \cap (SAD) = \left\{ S ight\} \\ CD\bot(SAD) \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)

Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc $\widehat{CSD}$ trong tam giác vuông SCD.

Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:

$\tan\widehat{SCD} = \sqrt{6} \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = \widehat{SCD} eq 30^{0}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC

Khi đó $SH\bot(ABC);BH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Theo bài ra ta có:

$\left( SB;(ABC) ight) = \widehat{SBH} = 60^{0}$

Tam giác SBH vuông tại H có: $SH = BH.tan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3} = a$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

67 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm