VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = a\sqrt{5};d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = a^{3}\sqrt{5}$
- B.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{5}}{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AJ\bot BB' \\ AK\bot CC' \Rightarrow AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AJK)$

$\Rightarrow BB'\bot JK \Rightarrow JK//CH \Rightarrow JK = CH = a\sqrt{5}$

Xét tam giác AJK có: $JK^{2} = AJ^{2} + AK^{2} = 5a^{2}$

Vậy tam giác AJK vuông tại A

Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có: $AF = JF = FK = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:

$\cos\widehat{ANF} = \dfrac{AF}{AN} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ANF} = 60^{0}$

( $AN = AM = a\sqrt{5}$ vì $AN//AM;AN = AM$ )

$\Rightarrow S_{AJK} = \frac{1}{2}AJ.AK = \frac{1}{2}.a.2a = a^{2}$

Lại có: $S_{AJK} = S_{ABC}.\cos60^{0}\Rightarrow S_{ABC} = \frac{S_{AJK}}{\cos60^{0}} = 2a^{2}$

Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:

$\widehat{MAA'} = \widehat{AMF} = 30^{0}$

Hay $AM = A'M.\tan30^{0} =\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

$V = AM.S_{ABC} = \frac{a\sqrt{15}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Câu 2: Nhận biết
Xác định các mặt phẳng vuông góc

Cho tứ diện OABC với các đường thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là
- A.
  (OAB), (ABC), (OCA).
- B.
  (OAB), (OBC), (OCA).
- C.
  (ABC), (OBC), (OAB).
- D.
  (ACB), (OBC), (OCA).
Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)

Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).
Câu 3: Thông hiểu
Xác định góc tạo bởi SB và mặt đáy

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ , $AC = a;BC = a\sqrt{2}$ , $SA\bot(ABC);SA = a$ . Tính góc tạo bởi $SB$ và mặt phẳng đáy?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC)$ nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng đáy.

$\Rightarrow \left( SB;(ABC) ight) = (SB;AB) = \widehat{SBA}$

Mặt khác tam giác ABC vuông tại C nên $AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SBA} = \frac{SA}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \left( SB;(ABC) ight) = \widehat{SBA} = 30^{0}$
Câu 4: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 5: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định sai?

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁. Chọn khẳng định sai?
- A.
  Góc giữa B₁D₁ và AA₁ bằng 60⁰.
- B.
  Góc giữa B₁D₁ và AC bằng 90⁰.
- C.
  Góc giữa AD và C₁B bằng 45⁰.
- D.
  Góc giữa BD và CA₁ bằng 90⁰.
Hình vẽ minh họa:

Dễ thấy

Góc giữa B₁D₁ và AC bằng 90⁰

Góc giữa AD và C₁B bằng 45⁰

Góc giữa BD và CA₁ bằng 90⁰

Đều là các đáp án đúng

Góc giữa B₁D₁ và AA₁ bằng 60⁰ sai vì $\widehat{\left( B_{1}D_{1};AA_{1} ight)} = 90^{0}$
Câu 7: Nhận biết
Tìm đường thẳng vuông góc với OA

Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc với nhau. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với $OA$ ?
- A.
  $BC$
- B.
  $AB$
- C.
  $AC$
- D.
  $OA$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OA\bot OB(gt) \\ OA\bot OC(gt) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OA\bot(OBC) \Rightarrow OA\bot BC$
Câu 8: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC

Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh bằng 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
- A.
  $2\sqrt{3}$
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  3
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.

Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.

=> d(AA’, BC) = $\frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Câu 9: Vận dụng
Hoàn thành mệnh đề

Cho vecto $\vec{n}$ ≠ $\vec{0}$ và hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Nếu vecto $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì $\vec{n}$ , $\vec{a}$ và $\vec{b}$ :
- A.
  Đồng phẳng
- B.
  Không đồng phẳng
- C.
  Có thể đồng phẳng
- D.
  Có thể không đồng phẳng
Trường hợp "Đồng phẳng" và " Có thể đồng phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp như hình vẽ sau:
Giả sử trường hợp "Không đồng phẳng" sai tức là ba vecto $\vec{n}$ , $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đồng phẳng.
Khi đó vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow n \bot \overrightarrow a } \\ {\overrightarrow n \bot \overrightarrow b } \end{array}} ight. \Rightarrow \overrightarrow a //\overrightarrow b$ điều này mẫu thuẫn với giả thiết hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương.
Vậy đáp án đúng là "Không đồng phẳng"
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của I trên mặt phẳng đáy. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A. H là trung điểm của cạnh AB.
- B. H là trung điểm của cạnh BC.
- C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D. H là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB
=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC
Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA
=> H là trung điểm của cạnh AC,
Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 11: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a\sqrt{2}$ .Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- B.
  $d=a\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: AD // BC => $d\left( {D;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB => $AK \bot SB (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AH\left( {**} ight)$
Từ (*) và (**) => $AH \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AH \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Nhận biết
Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng nào

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
- A.
  (CDM)
- B.
  (ACD)
- C.
  (ABN)
- D.
  (ABC)
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BN \bot CD} \\ {AN \bot CD} \end{array} \Rightarrow } ight.CD \bot \left( {ABN} ight)$
Mà $CD \subset \left( {BCD} ight) \Rightarrow \left( {BCD} ight) \bot \left( {ABN} ight)$
Câu 13: Nhận biết
Vì sao hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD. Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì
- A.
  Góc của (SAB) và (SBC) là góc ABC và bằng 90⁰.
- B.
  Góc của (SAB) và (SBC) là góc BAD và bằng 90⁰.
- C.
  AB ⊥ BC; AB ⊂ (SAB) và BC ⊂ (SBC)
- D.
  BC ⊥ (SAB) do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA
Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì BC ⊥ (SAB) do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA
Câu 14: Thông hiểu
Xác định thể tích V

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác trong hình vẽ sau:
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Quan sát hình vẽ ta thấy:

Tam giác ABC vuông cân tại B

$\Rightarrow AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = a$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}a^{2}$

Khi đó $V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.BB' = \frac{1}{2}a^{2}.a = \frac{a^{3}}{2}$
Câu 15: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 16: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song
- B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
- C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
- D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hoặc song song với nhau hoặc vuông góc với nhau
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Câu 17: Nhận biết
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là $3x^{2};2x$ . Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
- A.
  $x^{3}$
- B.
  $6x^{3}$
- C.
  $3x^{3}$
- D.
  $2x^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3x^{2} \\ h = 2x \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: $V = B.h = 3x^{2}.2x = 6x^{3}$
Câu 18: Thông hiểu
Số đo góc (IJ; CD) bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo góc (IJ; CD) bằng:
- A.
  90⁰
- B.
  45⁰
- C.
  30⁰
- D.
  60⁰
Hình vẽ minh họa:

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

=> OJ là đường trung bình của tam giác BCD => $\left\{ \begin{matrix}OJ//CD \\OJ = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$

Vì CD // OJ => (IJ; CD) = (IJ; OJ)

Xét tam giác IOJ có: $\left\{\begin{matrix}IJ = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{a}{2} \\\begin{matrix}OJ = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2} \\OI = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2} \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.$ => Tam giác IOJ đều

Vậy (IJ; CD) = (IJ; OJ) = $\widehat{IJO} = 60^{0}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính góc giữa SC và mặt đáy

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy, biết rằng $SA = a\sqrt{15};AB = a;BC = 2a$ .
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC)$ nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABC) từ đó suy ra $\left( SC;(ABC) ight) = (SC;AC) = \widehat{SCA}$

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4a^{2}} = a\sqrt{5}$

Trong tam giác SAC vuông tại A ta có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{15}}{a\sqrt{15}} = \sqrt{3}$

$\tan\widehat{SCA} = 60^{0}$

$\Rightarrow \left( SC;(ABC) ight) = 60^{0}$
Câu 20: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’)

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là $\widehat{BA'B'}$
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=> $\widehat{BA'B'} =45^{0}$
Câu 21: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}}{36}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{36}$
Hình vẽ minh họa

$\left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAO} = 45^{0}$

$SO = AO.tan45^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$V = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{12}$
Câu 22: Vận dụng
Tính độ dài cạnh SA

Cho hình vuông ABCD cạnh a và SA ⊥ (ABCD). Để góc giữa (SCB) và (SCD) bằng 60◦ thì độ dài cạnh SA là:
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $a\sqrt{2}$
- C.
  $a$
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a.

Kẻ AM ⊥ SD, m ∈ SD, AN ⊥ SB, N ∈ SB, ta có: $\left\{ \begin{matrix} AM\bot(SCD) \\ AN\bot(SBC) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra: $\widehat{\left( (SCD);(SBC) ight)} = \widehat{(AM;AN)}$

Do ∆SAD = ∆SAB (c.g.c) => AM = AN

Do đó => ((SCD); (SBC)) = 60◦ => (AM; AN) = 60◦

Xét tam giác SAD, ta có:

$\frac{1}{AM^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \Rightarrow AM = MN \Rightarrow x = a$

$\begin{matrix}\dfrac{MN}{BD} = \dfrac{SM}{SD} = \dfrac{SM.SD}{SD^{2}} =\dfrac{SA^{2}}{SD^{2}} = \dfrac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} \hfill\\\Rightarrow MN = \dfrac{ax^{2}\sqrt{2}}{a^{2} + x^{2}} \hfill\\\end{matrix}$

Nếu $\widehat{MAN} = 60^{0}$ thì ∆AMN đều => AM = MN => x = a

Nếu $\widehat{MAN} = 120^{0}$ thì $MN = \sqrt{3}AM \Rightarrow 2x^{2} = 3\left( x^{2} + a^{2} ight)$ (Vô lý)

Vậy SA = a
Câu 23: Nhận biết
Tính diện tích tam giác BCD

Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{9\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $27$
- D.
  $\frac{27}{2}$
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh $\sqrt{18}$ nên có diện tích là $S_{BCD} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng CM và DM. Tính giá trị của cos α?
- A. $\frac{2}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$
- C. $\frac{1}{3}$
- D. $\frac{1}{6}$
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều. Khi đó:
$CD = a;MC = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Ta có hình vẽ minh họa:
Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMD ta được:
$\begin{matrix} \cos \widehat {CMD} = \dfrac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}} \hfill \\ = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2} - {a^2}}}{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 25: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $H$ là trực tâm tam giác $BCD$ và $AH$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $CD\bot BD$
- B.
  $AC = BD$
- C.
  $AB = CD$
- D.
  $AB\bot CD$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AH\bot(BCD) \Rightarrow AH\bot CD$

H là trực tâm tam giác BCD nên $BH\bot CD$

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AH \\ CD\bot BH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABH) \Rightarrow CD\bot AB$
Câu 26: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$ .

Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $IJ\bot AB$
- B.
  $IJ\bot AD$
- C.
  $IJ\bot BD$
- D.
  $IJ\bot SD$
Vì IJ là đường trung bình của tam giác SAC nên $IJ//AC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ//AC \\ BD\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot IJ$
Câu 27: Nhận biết

Điền đáp án vào ô trống

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là $V$ và $V'$ . Khi đó tỉ số $\frac{V}{V'} =$ 1/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Ta có:

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h$

Thể tích hình lăng trụ là: $V' = B.h$

Khi đó: $\dfrac{V}{V'} =\dfrac{\dfrac{1}{3}B.h}{B.h} = \dfrac{1}{3}$
Câu 28: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
- D.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau sai vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau sai vì chúng có thể song song với nhau
Câu 29: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $7a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{7}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{7}{2}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{7}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 7a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{7}{3}a^{3}$
Câu 30: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , tam giác $SBA$ đều và cạnh $SC = a\sqrt{2}$ . Gọi trung điểm các cạnh $AB,CD$ lần lượt là $H,K$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $SH\bot(ABCD)$
- C.
  $AB\bot(SAD)$
- D.
  $CD\bot(SHK)$
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác SAB đều cạnh bằng a nên $AB = SB = a$

Mặt khác tam giác SBC có $SB^{2} + BC^{2} = SC^{2} = 2a^{2}$

Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B hay $BC\bot SB$

Từ $BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot SH$

Tam giác ABS đều mà H là trung điểm của AB nên $SH\bot AB$

$\Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Tam giác ABS đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot HK \\ AB\bot SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SHK) \Rightarrow CD\bot(SHK)$
Câu 31: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{3}$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc $\widehat{SCA}$

Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{3} \Rightarrow AC = a\sqrt{6}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = 30^{0}$
Câu 32: Vận dụng
Tính cosin góc giữa KM và SQ

Cho S.ABCD là hình chóp có đáy là hình chữ nhật. $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ . Gọi K nằm trên cạnh BC sao cho KC = 2KB, Q nằm trên cạnh CD sao cho QD = 3QC và M là trung điểm của cạnh SD. Biết $AB = a,AD = 2a$ và $KM = \frac{{a\sqrt {67} }}{6}$ . Tính cosin góc giữa KM và SQ.
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- B. $\frac{{38}}{{11\sqrt {67} }}$
- C. $\frac{3}{{\sqrt {67} }}$
- D. $\frac{1}{2}$
Gọi N là trung điểm AD. Như vậy MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MB // SA.
Vậy $MN \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {NK} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BK} \hfill \\ = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \end{matrix}$
Suy ra
$\begin{matrix} N{K^2} = {\left( {\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD} } ight)^2} = A{B^2} + \dfrac{1}{{36}}A{D^2} \hfill \\ = {a^2} + \dfrac{1}{{36}}.4{a^2} = \dfrac{{10}}{9}{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác MNK vuông tại N (do $MN \bot \left( {ABCD} ight)$ ) ta có:
$\begin{matrix} M{N^2} = M{K^2} - N{K^2} = \dfrac{{67}}{{36}}{a^2} - \dfrac{{10}}{9}{a^2} = \dfrac{3}{4}{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = a\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Lại có
$\begin{matrix} \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DQ} = \overrightarrow {AD} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} \hfill \\ \Rightarrow A{Q^2} = {\left( {\overrightarrow {AD} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} } ight)^2} \hfill \\ = A{D^2} + \dfrac{9}{{16}}A{B^2} \hfill \\ = {(2a)^2} + \dfrac{9}{{16}}{a^2} = \dfrac{{73}}{{16}}{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác SAQ vuông tại A nên
$\begin{matrix} S{Q^2} = A{S^2} + A{Q^2} = 3{a^2} + \dfrac{{73}}{{16}}{a^2} = \dfrac{{121}}{{16}}{a^2} \hfill \\ \Rightarrow SQ = \dfrac{{11}}{4}a \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có
$\begin{matrix} \overrightarrow {KM} = \overrightarrow {NM} - \overrightarrow {NK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AS} - \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {SQ} = \overrightarrow {AQ} - \overrightarrow {AS} = \overrightarrow {AD} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó
$\begin{matrix} \overrightarrow {KM} .\overrightarrow {SQ} = - \dfrac{3}{4}A{B^2} + \dfrac{1}{6}A{D^2} - \dfrac{1}{2}A{S^2} \hfill \\ = - \dfrac{3}{4}{a^2} + \dfrac{1}{6}.4{a^2} - \dfrac{1}{2}.3{a^2} = \dfrac{{ - 19}}{{12}}{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy
$\begin{matrix} \cos \left( {KM,SQ} ight) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {KM} ,\overrightarrow {SQ} } ight)} ight| \hfill \\ = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {KM} .\overrightarrow {SQ} } ight|}}{{KM.SQ}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 19}}{{12}}{a^2}} ight|}}{{\dfrac{{a\sqrt {67} }}{6}.\dfrac{{11a}}{4}}} = \dfrac{{38}}{{11\sqrt {67} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Nhận biết
Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
- A.
  SC và BC
- B.
  SC và DC
- C.
  SC và SA
- D.
  SC và AC
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Câu 34: Thông hiểu
Tính góc nhị diện

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $AB = a\sqrt{2}$ . Biết $SA\bot(ABC)$ và $SA = a$ . Góc nhị diện $\lbrack S,\ BC,\ Abrack$ có số đo bằng:
- A.
  $30{^\circ}$ .
- B.
  $60{^\circ}$ .
- C.
  $45{^\circ}$ .
- D.
  $90{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Kẻ $AM\bot BC$ tại $M \Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$ và $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{\left( a\sqrt{2} ight)\sqrt{2}}{2} = a$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ (SAM)\bot BC \\ (SAM) \cap (SBC) = SM \\ (SAM) \cap (ABC) = AM \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left( \widehat{(SBC),(ABC)} ight) = \left( \widehat{SM,AM} ight)$ .

Suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng góc $\widehat{SMA}$ .

Ta có: $\tan\widehat{SMA} = \frac{SA}{AM} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat{SMA} = 45{^\circ}$

Suy ra góc nhị diện $\lbrack S,\ BC,\ Abrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ .
Câu 35: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SMA}$
- B.
  $\widehat{SJA}$
- C.
  $\widehat{SBA}$
- D.
  $\widehat{SCA}$
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $(SBC) \cap (ABC) = BC$

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra $AM\bot BC$

Theo giả thiết $SA\bot(ABC)$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Ta được $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( \widehat{(SBC);(ABC)} ight) = \widehat{SMA}$
Câu 36: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của $BD'$ . Diện tích thiết diện tạo thành bằng:
- A.
  $\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ . Ta có: $EB = ED'$ nên $E$ thuộc mặt phẳng trung trực của $BD'$ .

Gọi $F;G;H;I;K$ lần lượt là trung điểm của $CD;CC';B'C';A'B';AA'$

Chứng minh tương tự ta có các điểm trên đều thuộc mặt phẳng trung trực của $BD'$

Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của $BD'$ là hình lục giác đều $EFGHIK$ có cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy diện tích thiết diện là: $S = 6.\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác theo a

Một hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là cân $AB = AC = a;\widehat{CAB} = 120^{0}$ . Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$ .
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{8}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = 3a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a^{2}.\sin120^{0} =\frac{a^{3}}{8}$
Câu 38: Vận dụng
Tính độ dài cạnh CD

Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.
- A.
  $CD =\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $CD = 2a\sqrt{2}$
- C.
  $CD = a\sqrt{2}$
- D.
  $CD =\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân
=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}(ACD)\ \cap \ (BCD) \\CD\bot AM \subset (ACD) \\CD\bot BM \subset (BCD) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \widehat{\left( (ACD);\(BCD) ight)} = \widehat{(AM;\ BM)} = 90^{0}$
=> AM ⊥ BM
Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)
=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M
=> MN ⊥ AB
Đặt CD = x
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
$AM^{2} = a^{2} -\frac{x^{2}}{4}$
Xét ∆ABM vuông cân tại M
$\Rightarrow AB^{2} = 2AM^{2} = 2a^{2} -\frac{x^{2}}{2}$
$\Rightarrow AN^{2} = \frac{1}{4}AB^{2} =\frac{a^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{8}$
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
$DN^{2} = AD^{2} - AN^{2}$
$\Rightarrow DN^{2} = a^{2} -\frac{a^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{8} = \frac{a^{2}}{2} +\frac{x^{2}}{8}$
Xét ∆CDN vuông cân tại N
$\Rightarrow CD^{2} = 2DN^{2} = a^{2} +\frac{x^{2}}{4}$
$\Rightarrow a^{2} + \frac{x^{2}}{4} =x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$
Câu 39: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 40: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đứng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết $AB = a$ và góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^{0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$
- B.
  $\frac{1}{4}a^{3}$
- C.
  $\frac{3}{8}a^{3}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{2}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')$

Suy ra $\left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}$

Ta có: $AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = \sqrt{3}a$

$\Rightarrow AA' = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}$

Vậy $V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = \sqrt{2}a.\frac{1}{2}.a.a = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

29 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm