VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}$ ?
- A. 60⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 120⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} ) \hfill \\ - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos {60^0}{\text{ }} \hfill \\ {\text{Do }}AC = AD \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \hfill \\ \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, A’B’C’D’ là hình chữ nhật tâmH, A’D’ = 2a, $A'B' = 2\sqrt 3 a$ , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’D’), $AH = 2\sqrt 3 a$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’. Tính $\cos \alpha$ .
- A. $\cos \alpha = \frac{1}{2}$
- B. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- D. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}$
Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’
Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E
Suy ra $\alpha = \widehat {\left( {AD',\,DB'} ight)} = \widehat {\left( {DE,\,DB'} ight)}$
Bước 2: Tính $\cos \alpha$
Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.
Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.
Suy ra DI // AH , mà $AH \bot \left( {A'B'C'D'} ight)$
=> $DI \bot \left( {A'B'C'D'} ight) \Rightarrow DI \bot IB'$
Ta có
$\begin{matrix} DE = AD' = \sqrt {A{H^2} + H{{D'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 a} ight)}^2} + {{\left( {2a} ight)}^2}} = 4a \hfill \\ EB' = \sqrt {A'{E^2} + A'{{B'}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 7 a \hfill \\ IB' = \sqrt {I{F^2} + F{{B'}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 3 a \hfill \\ DB' = \sqrt {D{I^2} + I{{B'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 6 a \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác EDB’, có:
$\begin{matrix} \cos \widehat {EDB'} = \dfrac{{D{E^2} + D{{B'}^2} - E{{B'}^2}}}{{2.DE.DB'}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {4a} ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 6 a} ight)}^2} - {{\left( {2\sqrt 7 a} ight)}^2}}}{{2.4a.2\sqrt 6 a}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8} > 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Suy ra $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}$
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $4a$ ?
- A.
  $V = 16a^{3}$
- B.
  $V = 64a^{3}$
- C.
  $V = 32a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $V = (4a)^{3} = 64a^{3}$
Câu 4: Vận dụng cao
Tính khoảng cách d giữa SA và BD

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:
- A.
  $\frac{2a\sqrt{38}}{17}$
- B.
  $\frac{2a\sqrt{13}}{3}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{51}}{13}$
- D.
  $\frac{3a\sqrt{34}}{17}$
Hình vẽ minh họa:
Kẻ HI // BC (I ∈ CD) ta có: $\left\{\begin{matrix}CD\bot HI \\CD\bot SI \\\end{matrix} ight.$
=> Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SIH} = 45^{0}$
Dựng hình bình hành ADBE
Ta có: BD // (SAE) => d(SA, BD) = d(BD, (SAE)) = d(B, (SAE)) = d(H, (SAE))
Kẻ HJ ⊥ AE (J ∈ AE) ta có: AE ⊥ (SHJ) => (SAE) ⊥ (SHJ) theo giao tuyến SJ
Kẻ HK ⊥ SJ (K ∈ SJ) ta có: HK ⊥ (SAE) => HK = d(H, (SAE))
Ta có: $HK = \frac{HJ.HS}{\sqrt{HJ^{2} +HS^{2}}}$
Với $\left\{ \begin{matrix}HJ = AO = a\sqrt{2} \\HS = HI = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Vậy $HK =\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{3}{2}a}{\sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} +\left( \dfrac{3}{2}a ight)^{2}}} = \dfrac{3a\sqrt{31}}{17}$
Câu 5: Vận dụng
Tính độ dài đoạn thẳng AD

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài đoạn thẳng AD bằng bao nhiêu?
- A.
  $AD = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- B.
  $AD = \sqrt{a^{2} - b^{2} + c^{2}}$
- C.
  $AD = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$
- D.
  $AD = \sqrt{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ CD\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(BCD)$

=> Tam giác ABD vuông tại B.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot AB \\ CD\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC)$

=> Tam giác BCD vuông tại C.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AD^{2} = AB^{2} + BD^{2} \\ BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\begin{matrix}\Rightarrow AD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} \hfill \\\Rightarrow AD = \sqrt{AB^{2} + BC^{2} + CD^{2}} \hfill \\\Rightarrow AD = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \hfill \\\end{matrix}$
Câu 6: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng

Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P).
- B.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với AH vuông góc với (P).
- C.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH.
- D.
  Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Câu 7: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp S.ABCD

Khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = SB = 2a$ . Mặt phẳng $(SAB)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $90^{0}$ . Xác định thể tích khối chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
- D.
  $V = \frac{2a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vậy thể tích hình chóp là:

$V = \frac{1}{3}.SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{15}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $CH \perp AK$
- B.
  $CH \perp SB$
- C.
  $CH \perp SA$
- D.
  $AK \perp SB$
Hình vẽ minh họa
Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân => $CH⊥AB$
Ta có: $SA⊥(ABC)$ => $SA⊥CH$ mà $CH⊥AB$ => $CH⊥(SAB)$
Mặt khác $AK⊂(SAB)$ => CH vuông góc với các đường thẳng $SA,SB,AK$
Và $AK⊥SB$ chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Câu 10: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 11: Nhận biết
Tính thể tích khối lập phương

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $2a$ ?
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = 8a^{3}$
- C.
  $V = 4a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $V = (2a)^{3} = 8a^{3}$
Câu 12: Nhận biết
Xác định mặt phẳng theo yêu cầu

Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , $SA = SC$ . Mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
- A.
  $(SAD)$
- B.
  $(ABCD)$
- C.
  $(SBD)$
- D.
  $(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} OB = OD \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $SA = SC \Rightarrow SO\bot AC$ (tính chất tam giác cân)

Và $AC\bot BD$ (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra $AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)$
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc nào trong các góc dưới đây?
- A. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chung
- B. Góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chung
- C. Góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng
- D. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Câu 14: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
- A.
  $CD \perp BD$
- B.
  $AC = BD$
- C.
  $AB = CD$
- D.
  $AB \perp CD$
Hình vẽ minh họa
Vì AH vuông góc với (BCD) suy ra $AH⊥CD$ (1)
Mà H là trực tâm của tam giác BCD $⇒BH⊥CD$ (2)
Từ (1), (2) suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {CD \bot AH} \\ {CD \bot BH} \end{array}} ight.$
$⇒CD⊥(ABH)⇒CD⊥AB$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\left( AC;DA_{1} ight)$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AC//A_{1}C_{1} \Rightarrow \left( AC;DA_{1} ight) = \left( A_{1}C_{1};DA_{1} ight) = \widehat{DA_{1}C_{1}}$

Do $A_{1}C_{1};DA_{1};DC_{1}$ là các đường chéo hình vuông bằng nhau.

Vậy tam giác $AD_{1}C_{1}$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{DA_{1}C_{1}} = 60^{0}$

$\Rightarrow \left( AC;DA_{1} ight) = \widehat{DA_{1}C_{1}} = 60^{0}$
Câu 16: Vận dụng
Tìm giá trị của m để góc tạo bởi 2 đường thẳng thỏa mãn điều kiện

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = 1; AA’ = m (m > 0). Để góc giữa AB’ và BC’ bằng 60⁰ thì m có giá trị là bao nhiêu?
- A. $m = \sqrt 3$
- B. $m = \sqrt 2$
- C. $m = 2\sqrt 3$
- D. $m = 3\sqrt 2$
Hình vẽ minh họa
Giả sử M, N, O lần lượt là trung điểm của BB’; B’C’; AB
=> MP // AB’; MN // BC’
=> Góc cần tìm là góc giữa MP và MN
=> $MP = MN = \frac{{\sqrt {{m^2} + 1} }}{2}$
Lấy Q là trung điểm của A’B’ khi đó suy ra:
$\begin{matrix} PN = \sqrt {P{Q^2} + Q{N^2}} = \sqrt {{m^2} + \dfrac{1}{4}} \hfill \\ \Rightarrow \cos \widehat {PMN} = \dfrac{{P{M^2} + M{N^2} - P{N^2}}}{{2.PM.MN}} = \pm \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow m = \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $AA'$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên các tứ giác $AA'D'D;AA'B'B$ đều là hình vuông

Do đó $\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{A'B'} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{AA'}.\left( \overrightarrow{A'D} - \overrightarrow{A'B'} ight)$

$= \overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{A'D} - \overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{A'B'} = 0$

Suy ra $\overrightarrow{AA'}\bot\overrightarrow{B'D'} \Rightarrow \left( \overrightarrow{AA'};\overrightarrow{B'D'} ight) = 90^{0}$

$\Rightarrow (AA';B'D') = 90^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đứng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết $AB = a$ và góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng $30^{0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$
- B.
  $\frac{1}{4}a^{3}$
- C.
  $\frac{3}{8}a^{3}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{2}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')$

Suy ra $\left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}$

Ta có: $AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = \sqrt{3}a$

$\Rightarrow AA' = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}$

Vậy $V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = \sqrt{2}a.\frac{1}{2}.a.a = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
- A.
  $\frac{a}{3}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $2a$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Gọi $E=HK∩AC$ . Do $HK//BD$ nên suy ra
$d(HK;SD)=d(HK;(SBD))=d(E;(SBD))=d(A;(SBD))/2$ (vì $OE=AO/2=1/2$ )
Kẻ $AF⊥SO(1)$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BD \bot AC} \\ {BD \bot SA} \end{array}} ight.$
$⇒BD⊥(SAC)⇒BD⊥AF(2)$
Từ (1) và (2) $⇒AF⊥(SBD)$ , khi đó $d(A;(SBD))=AF$
$\begin{matrix} AF = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} \hfill \\ = \dfrac{{2a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{3} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {HK;SD} ight) = \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{a}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 21: Thông hiểu
Tính cosμ

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ ; cạnh $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Gọi $\mu$ là góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$ . Xác định $\cos\mu$ ?
- A.
  $\cos\mu = \frac{\sqrt{21}}{7}$
- B.
  $\cos\mu = \frac{\sqrt{5}}{10}$
- C.
  $\cos\mu = \frac{\sqrt{7}}{14}$
- D.
  $\cos\mu = \frac{\sqrt{5}}{7}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AC => HM // SA và $HM = \frac{1}{2}.SA = a$

Mà $SA\bot(ABCD) \Rightarrow HM\bot(ABC)$

$\Rightarrow \left( BM;(ABC) ight) = (BM,BH) = \widehat{MBH}$

Ta có: $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow BM = \sqrt{BH^{2} + MH^{2}}$ $= \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$

Trong tam giác BMH có:

$\cos\mu = \cos\widehat{MBH} =\dfrac{BH}{BM} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{7}}{2}} =\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính giá trị cos α

Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{1}{5}$
- C. $- \frac{1}{5}$
- D. $- \frac{3}{5}$
Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên $AK \bot BD$
Và CBD cân tại C nên $CK \bot DB$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.$
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có $DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3$ nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight)$ mà $HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK$
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc $\widehat {AKC}$ suy ra $\widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}$
Ta có: $t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Vậy $\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}$
Câu 23: Vận dụng
Tính độ dài cạnh SA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB = 2AD = 2DC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60◦. Độ dài cạnh SA là:
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $2a\sqrt{3}$
- C.
  $3a\sqrt{2}$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi E là trung điểm của AB.

Ta dễ dàng chứng minh được ABCE là hình vuông

$\left\{ \begin{matrix} CE\bot AB \\ CE\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CE\bot(SAB) \Rightarrow CE\bot SB$

Trong (SAB) kẻ HE ⊥ SB ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SB\bot EH \\ SB\bot CE \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SB\bot(CHE) \Rightarrow SB\bot CH$

$\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} (SAB)\ \cap \ (SBC) = SB \\ (SAB) \supset EH\bot SB \\ (SAC) \supset CH\bot SB \\ \end{matrix} ight.\ \\ \Rightarrow \widehat{\left( (SAB),(SBC) ight)} = \widehat{(EH,CH)} = \widehat{CHE} = 6 \\ \end{matrix}$

Xét tam giác vuông CEH có EH = CE. cot 60◦ = $a\sqrt{3}$

Ta có ∆SAB ∼ ∆EHG (g - g)

$\begin{matrix}\Rightarrow \dfrac{SA}{EH} = \dfrac{SB}{BE} \hfill \\\Rightarrow SA = \dfrac{SB.EH}{BE} =\dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{SA^{2} + 4a^{2}}}{a} \\\Rightarrow \sqrt{3SA} = \sqrt{SA^{2} + 4a^{2}}\hfill \\\Leftrightarrow SA = a\sqrt{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 24: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ , tam giác $SAB$ cân. Giả sử $E;F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB;CD$ . Khẳng định nào dưới đây sai?
- A.
  $CD\bot SF$
- B.
  $CD\bot SE$
- C.
  $CD\bot SO$
- D.
  $CD\bot EF$
Hình vẽ minh họa

Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên $SE\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB//CD \\ SE\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SE\bot CD$
Câu 25: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $SA\bot(ABC)$
- B.
  $SG\bot(ABC)$
- C.
  $AB\bot(ASC)$
- D.
  $SG\bot(ABS)$
Ta có khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, trọng tâm G cũng là tâm của đáy nên $SG\bot(ABC)$ .
Câu 26: Vận dụng
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
- A.
  $d =\frac{a\sqrt{21}}{14}$
- B.
  $d =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $d =\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $d =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của AD
=> SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)
Kẻ Ax // BD
Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))
Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE
Khi đó d (I, (SAx)) = IK
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có: $IE = IF = \frac{AO}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{4}$
Xét tam giác vuông SIE ta có:
$IK = \frac{SI.IE}{\sqrt{SI^{2} +IE^{2}}} = \frac{a\sqrt{21}}{14}$
=> $d(BD;SA) = 2IK =\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Câu 27: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi. Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ chứa cạnh $A'C'$ và cắt $AB;BC$ lần lượt tại $I;J$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $BD\bot A'I$
- B.
  $BD\bot IJ$
- C.
  $BD\bot C'J$
- D.
  $BD\bot A'J$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (ABCD) = IJ \\ (\alpha) \cap (A'B'C'D') = A'C' \\ (A'B'C'D')//(ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A'C'//IJ$ mà $A'C'//AC$

$\Rightarrow AC//IJ$

Mặt khác $BD\bot AC$

$\Rightarrow BD\bot IJ$ .
Câu 28: Nhận biết
Chọn kết luận chính xác

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi $B$ , $SB\bot(ABCD)$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$ ?
- A.
  $(SBC)$
- B.
  $(SAD)$
- C.
  $(SCD)$
- D.
  $(SAC)$
Minh họa bằng hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AC\bot BD \\ AC\bot SB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)$
Câu 29: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 30: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{32\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- B.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{16\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.8a^{2} = \frac{16a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 31: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ ?
- A.
  $V = a^{3}$
- B.
  $V = 2a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

$AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a$

Dễ thấy $A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2}$ nên tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại A

Gọi H là trung điểm của $A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a$

Ta lại có $MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH$

$\Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)$

$= \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}$

Vậy $V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}$
Câu 32: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện AJQK

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a$ . Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ ?
- A.
  $V = 15a^{3}$
- B.
  $V = 30a^{3}$
- C.
  $V = 45a^{3}$
- D.
  $V = 60a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}$

Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}$

$V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}$
Câu 33: Nhận biết
Số đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước.

Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và vuông góc với a?
- A.
  Có một và chỉ một
- B.
  Có hai
- C.
  Có vô số
- D.
  Có một hoặc vô số
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.
=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.
Câu 34: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 35: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ , đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại C và $AB = a\sqrt{3};AC = a$ . Biết tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Thể tích hình chóp tam giác $S.ABC$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Tam giác SAB đều nên $SH = \frac{3a}{2}$

Tam giác ABC vuông cân tại C nên

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \Rightarrow BC = \sqrt{3a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}$

Vậy thể tích hình chóp $S.ABC$ là: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$
Câu 36: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a, $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 60⁰
Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a, $\widehat {MAB} = {90^0}$
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và $CM = \frac{1}{2}AD = a$
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AC} \\ {CD \bot SA} \\ {SA \cap AC = A} \\ {SA;AC \subset \left( {SAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$ mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot CD} \\ {AH \bot SC} \\ {CD \cap SC = C} \\ {CD;SC \subset \left( {SCD} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight)\left( 1 ight)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD \bot SA} \\ {AD \bot AB} \\ {SA \cap AB = A} \\ {SA;AB \subset \left( {SAB} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight)\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Xét tam giác SAC vuông tại A có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a$
Xét tam giác SAC vuông tại A và $SA = AC = a\sqrt 2$ nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và $AH = \frac{1}{2}SC = a$
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: $\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {DAH} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SCD} ight);\left( {SAB} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính độ dài SA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\bot(ABCD)$ . Biết diện tích tam giác SBD bằng $a^{2}$ . Khi đó SA bằng:
- A.
  $SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $SA =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- D.
  $SA = \frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy.

Khi đó $BD\bot(SAC) \Rightarrow BD\bot SO \Rightarrow S_{SBD} = \frac{1}{2}.SO.BD = a^{2}$

$\Rightarrow SO = \frac{2a^{2}}{a\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow SA = \sqrt{SO^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 38: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau có giao tuyến là đường thẳng m và a, b, c, d là các đường thẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).
- B.
  Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).
- C.
  Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).
- D.
  Nếu d ⊥ m và d // (Q) thì d ⊥ (P).
"Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q)" là khẳng định sai vì có thể b ⊂ (P) và b ⊂ (Q).
Câu 39: Thông hiểu
Tính góc giữa SO và mặt đáy

Cho hình chóp tam giác $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Tam giác $ABD$ có tất cả các cạnh bằng $a\sqrt{2}$ , $SA\bot(ABCD);SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$ . Góc giữa đường thẳng $SO$ với mặt đáy bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left( SO;(ABCD) ight) = (SO;OA) = \widehat{SOA}$

Xét tam giác SAO ta có:

$SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$

$AO = \sqrt{AB^{2} - OB^{2}}$

$= \sqrt{AB^{2} - \left( \frac{BD}{2} ight)^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SOA} = \frac{SA}{AO} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \left( SO;(ABCD) ight) = \widehat{SOA} = 30^{0}$
Câu 40: Nhận biết
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi trung điểm các cạnh $AC$ và $AD$ lần lượt là các điểm $M,N$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(BMN)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là
- A.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với BC
- B.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với MN
- C.
  Đường thẳng đi qua điểm B và I, với $I = MD \cap CN$
- D.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với MC
Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng $(BMN)$ và mặt phẳng $(BCD)$ có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

68 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm