VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Tính chiều cao hình chóp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $x$ , SA vuông góc với đáy và $SA = x\sqrt{3}$ . Tính chiều cao hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $V = \frac{x^{3}}{4}$
- B.
  $V = \frac{x^{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{3x^{3}}{4}$
- D.
  $V = 4x^{3}$
Ta có $SA\bot(ABC)$ nên SA là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên $S_{ABC} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SA.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}.x\sqrt{3} = \frac{x^{3}}{4}$
Câu 2: Nhận biết
Hoàn thiện mệnh đề

Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
- A.
  a vuông góc với mặt phẳng (P)
- B.
  a không vuông góc với mặt phẳng (P)
- C.
  a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)
- D.
  a có thể vuông góc với mặt phẳng (P)
"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥c ⊂ (P); b // c$
"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥ c ⊂ (P); b ∩ c ≠ ∅$
$=>a⊥(P)$
=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.
Câu 3: Vận dụng
Số đo góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính $\alpha$
- A. $30^0$
- B. $60^0$
- C. $55^0$
- D. $45^0$
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra $SN \bot AB \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} ight)$
+ Gọi $h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) \Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}}$
Gọi $I = DM \cap CN,\,J = AB \cap DM$
+ Ta có $\frac{{d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight)}}{{d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)}} = \frac{{{\text{AJ}}}}{{NJ}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)$
+ Ta có
$\Delta CNB = \Delta DMC \Rightarrow \widehat {NCB} = \widehat {MDC}$
$\Rightarrow \widehat {NCB} + \widehat {DMC} = \widehat {MDC} + \widehat {DMC} = 180^\circ - \widehat {MCD} = 90^\circ$
$\Rightarrow DM \bot CN \Rightarrow DM \bot \left( {SNC} ight)$
+ Gọi NH là đường cao $\Delta SNI \Rightarrow NH \bot \left( {SDM} ight)$
$\Rightarrow d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = NH$
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{NI}}{{MB}} = \dfrac{{NJ}}{{MJ}} \hfill \\ \Rightarrow NI = \dfrac{{NJ}}{{MJ}}.MB = \dfrac{{NJ}}{{\sqrt {M{B^2} + B{J^2}} }} \hfill \\ MB = \dfrac{3}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}.1 = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2 $\Rightarrow SN = \sqrt 3$
$\frac{1}{{N{H^2}}} = \frac{1}{{N{S^2}}} + \frac{1}{{N{I^2}}} \Rightarrow NH = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
$h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{4} = \sqrt 2$
$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$
Câu 4: Nhận biết
Xác định mặt phẳng theo yêu cầu

Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , $SA = SC$ . Mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
- A.
  $(SAD)$
- B.
  $(ABCD)$
- C.
  $(SBD)$
- D.
  $(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} OB = OD \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $SA = SC \Rightarrow SO\bot AC$ (tính chất tam giác cân)

Và $AC\bot BD$ (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra $AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)$
Câu 5: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $8a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{4}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định sai?

Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α).
- B.
  Nếu đường thẳng d ⊥ (α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α).
- C.
  Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).
- D.
  Nếu d ⊥ (α) và đường thẳng a // (α) thì d ⊥ (α).
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”

Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).

Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).
Câu 8: Thông hiểu
Tìm giá trị x thỏa mãn điều kiện

Cho tam giác $ACD$ và tam giác $BCD$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và $AC = AD = BC = BD = a;CD = 2a$ . Với giá trị nào của $x$ thì hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$ ?
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Suy ra $CI\bot AB;DI\bot AB$ mà $(ABC) \cap (ABD) = AB$

Do đó $(ABC)\bot(ABD) \Rightarrow \widehat{CID} = 90^{0} \Rightarrow IJ = \frac{1}{2}CD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (ACD)\bot(BCD) \\ AJ\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AJ\bot(BCD) \Rightarrow AJ\bot JB$

Mặt khác $JA = JB;(\Delta ACD = \Delta BCD)$ nên tam giác $JAB$ vuông cân tại J

Do đó $IJ = \frac{\sqrt{2}}{2}JA = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{AC^{2} - JC^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Vậy $\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} = x \Leftrightarrow a^{2} = 3x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Câu 9: Thông hiểu
Tan của góc giữa đường thẳng SC và (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và (ABCD). Giá trị của tan α bằng:
- A. 1
- B. $\frac{{\sqrt {15} }}{5}$
- C. $\frac{{\sqrt {15} }}{3}$
- D. $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$
+) Gọi H là trung điểm AB.
Vì tam giác ABC đều nên SH ⊥ AB
Ta có:
$\left\{ \begin{gathered} \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \left( {SAB} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = AB \hfill \\ SH \subset \left( {SAB} ight) \hfill \\ SH \bot AB\left( {cmt} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)$
=> Hình chiếu của SC lên (ABCD) là HC.
$\Rightarrow \,\alpha = \widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC,HC} ight)} = \widehat {SCH}$ (Vì tam giác SHC vuông tại H)
+) Ta có: $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HC = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$
Xét tam giác SHC vuông tại H: $\tan \alpha = \tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{HC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$
Vậy $\tan \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$
Câu 10: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’)

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là $\widehat{BA'B'}$
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=> $\widehat{BA'B'} =45^{0}$
Câu 11: Vận dụng
Tính độ dài cạnh SA

Cho hình vuông ABCD cạnh a và SA ⊥ (ABCD). Để góc giữa (SCB) và (SCD) bằng 60◦ thì độ dài cạnh SA là:
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $a\sqrt{2}$
- C.
  $a$
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a.

Kẻ AM ⊥ SD, m ∈ SD, AN ⊥ SB, N ∈ SB, ta có: $\left\{ \begin{matrix} AM\bot(SCD) \\ AN\bot(SBC) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra: $\widehat{\left( (SCD);(SBC) ight)} = \widehat{(AM;AN)}$

Do ∆SAD = ∆SAB (c.g.c) => AM = AN

Do đó => ((SCD); (SBC)) = 60◦ => (AM; AN) = 60◦

Xét tam giác SAD, ta có:

$\frac{1}{AM^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \Rightarrow AM = MN \Rightarrow x = a$

$\begin{matrix}\dfrac{MN}{BD} = \dfrac{SM}{SD} = \dfrac{SM.SD}{SD^{2}} =\dfrac{SA^{2}}{SD^{2}} = \dfrac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} \hfill\\\Rightarrow MN = \dfrac{ax^{2}\sqrt{2}}{a^{2} + x^{2}} \hfill\\\end{matrix}$

Nếu $\widehat{MAN} = 60^{0}$ thì ∆AMN đều => AM = MN => x = a

Nếu $\widehat{MAN} = 120^{0}$ thì $MN = \sqrt{3}AM \Rightarrow 2x^{2} = 3\left( x^{2} + a^{2} ight)$ (Vô lý)

Vậy SA = a
Câu 12: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 13: Vận dụng
Xác định điểm cách đều bốn đỉnh tứ diện

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD?
- A.
  Trung điểm của BD.
- B.
  Trung điểm của AD.
- C.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D.
  Trọng tâm của tam giác ACD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ CD\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(BCD)$ => Tam giác ABD vuông tại B.

=> IA = IB = ID = AD/2 (với I là trung điểm của AD)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot AB \\ CD\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC)$

=> Tam giác BCD vuông tại C.

=> EA = EC = ED = AD/2 (E là trung điểm của AD)

Vậy I trùng với E

Vậy điểm cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Câu 14: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu đã cho

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm O, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a;AD = 2a$ . Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB;SD$ . Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $AH\bot SC$ Đúng||Sai

b) $SC\bot(AHK)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm O, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a;AD = 2a$ . Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB;SD$ . Xét tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $AH\bot SC$ Đúng||Sai

b) $SC\bot(AHK)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB);AH \subset (SAB)$

$\Rightarrow AH\bot BC$

Lại có $AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot SC(*)$

b) Chứng minh tương tự câu a ta có:

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD);AK \subset (SAD)$

$\Rightarrow AK\bot CD$ mà $AK\bot SD \Rightarrow AK\bot(SCD)$

$\Rightarrow AK\bot SC(**)$

Từ (*) và (**) suy ra: $SC\bot(AHK)$ .

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow \widehat{\left( (AHK);(ABCD) ight)} = \widehat{(SC;SA)} = \widehat{ASC}$

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Tam giác SAC vuông tại A nên $SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = a\sqrt{6}$

$\Rightarrow \cos\widehat{ASC} = \frac{SA}{SC} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow \cos\left( (AHK);(ABCD) ight) = \frac{\sqrt{6}}{6} eq \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 15: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
- D.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau sai vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau sai vì chúng có thể song song với nhau
Câu 16: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ . Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của $BC$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $AB = a;AC = a\sqrt{3};SB = a\sqrt{2}$ .
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có: $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = 2a$

H là trung điểm của BC nên $BH = a$

Xét tam giác SBH vuông tại H có $SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} - a^{2}} = a$

Diện tích đáy ABC là $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}SH.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và cạnh bên đều bằng $a$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD;SD$ . Khi đó $(MN,SC)$ bằng:
- A. 90⁰
- B. 60⁰
- C. 80⁰
- D. 45⁰
Ta có: $MN//SA \Rightarrow (MN,SC) = (SA,SC)$

Lại có $AC = a\sqrt{2}$

Xét tam giác $SAC$ có $AC^{2} = SA^{2} + SC^{2}$

Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $S$

Suy ra $\widehat{ASC} = 90^{0}$ hay $(MN,SC) = (SA,SC) = 90^{0}$
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  SO ⊥ (ABCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  BD ⊥ (SAC)
- D.
  BC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => SO ⊥ (ABCD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => AC ⊥ (SBD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Câu 19: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.
- A.
  $a$
- B.
  $\frac{3a}{5}$
- C.
  $\frac{2a}{5}$
- D.
  $\frac{a}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’
=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’
=> D’ là trung điểm của PC’
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’
Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)
=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = $\frac{1}{2}$ d(C’,(CPB’))
Xét tứ diện PCC’B’ ta có:
C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau
Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:
$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{CC'^{2}}+ \frac{1}{C'B'^{2}} + \frac{1}{C'P^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{x^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{4a^{2}} =\frac{9}{4a^{2}}$
$\Rightarrow d\left( C';(CPB')ight) = x = \frac{2a}{3}$
$\Rightarrow d(CK;A'D) =\frac{1}{2}d\left( C';(CPB') ight) = \frac{1}{2}.\frac{2a}{3}= \frac{a}{3}$
Câu 20: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 21: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ và đáy là hình vuông. Chọn kết luận đúng?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $AC\bot(SAD)$
- C.
  $AC\bot(SBD)$
- D.
  $AC\bot(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$
Câu 22: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 3a;$ $SA\bot(ABCD);SA = 2a$ . Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $SAB$ . Khi đó:

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 30^{0}$ Sai||Đúng

c) $AI\bot CS$ Đúng||Sai

d) Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{7a^{2}}{5}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 3a;$ $SA\bot(ABCD);SA = 2a$ . Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $SAB$ . Khi đó:

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 30^{0}$ Sai||Đúng

c) $AI\bot CS$ Đúng||Sai

d) Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{7a^{2}}{5}$ Sai||Đúng

$BC\bot(SAB)$ đúng

$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 32,3^{0}$ đúng

$AI\bot CS$ đúng

Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{a^{2}\sqrt{46}}{5}$
Câu 23: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
- B.
  $d=a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) $=> AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK$
Xét tam giác SAM ta có:
$AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Vậy $d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Câu 24: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  $(ABCD)\bot(SBD)$
- B.
  $(SAB)\bot(ABCD)$
- C.
  $(SBD)\bot(SAC)$
- D.
  $(ABCD)\bot(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AB suy ra

$\left\{ \begin{matrix} MO\bot AB \\ SM\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SAB);(ABCD) ight) = \widehat{SMO} = \varphi$

Tam giác SMO vuông tại O nên $\varphi eq 90^{0}$

Do đó mặt phẳng $(SAB)$ không vuông góc với $(ABCD)$ .
Câu 25: Nhận biết
Tính khoảng cách

Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 26: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b
- B. Nếu c vuông góc với a và c vuông góc với b thì a song song với b
- C. Nếu a và b vuông góc với c thì a và b không thể chéo nhau
- D. Cả ba mệnh đề đều sai
Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.
Câu 27: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AB;BC$ lần lượt là $M;N$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $(MN;CD) = 30^{0}$
- B.
  $(MN;CD) = 60^{0}$
- C.
  $(MN;CD) = 45^{0}$
- D.
  $(MN;CD) = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: $MN;NP;MP$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC;BCD;ABD$ .

Do đó:

$MN//AC;MN = \frac{1}{2}AC$

$NP//CD;NP = \frac{1}{2}CD$

Vì $ABCD$ là tứ diện đều $\Rightarrow AC = CD = AD$

$\Rightarrow MN = NP = MP$ nên tam giác $MNP$ là tam giác đều.

$\Rightarrow (MN;CD) = (MN;NP) = \widehat{MNP} = 60^{0}$
Câu 28: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO ⊥ (ABCD) và $SO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
- A.
  30◦
- B.
  45◦
- C.
  60◦
- D.
  90◦
Hình vẽ minh họa:

Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot OQ \\ BC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SOQ) \Rightarrow BC\bot SQ$

Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) = $\widehat{SQO}$

Tam giác vuông SOQ ta có: $\tan\widehat{SQO} = \frac{SO}{OQ} = \sqrt{3}$

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦
Câu 29: Thông hiểu
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- B.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = a\sqrt{3}.2a^{2} = 2a^{3}\sqrt{3}$
Câu 30: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Xác định thể tích $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $V = a^{3}\sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$S_{ABCD} = a^{2} \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 31: Nhận biết
Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng α. Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
- A.
  $\tan \alpha$
- B.
  $\cot \alpha$
- C.
  $\sqrt{2} \tan \alpha$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{2\tan \alpha}$
Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)
=> $\widehat {SAO} = \alpha$
Gọi M là trung điểm của BC => OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) và MO ⊥ BC.
$\begin{matrix} \widehat {SMO} = \left( {\left( {SBC} ight);\left( {ABCD} ight)} ight) \hfill \\ \tan \widehat {SMO} = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\tan \alpha .\dfrac{2}{a} = \sqrt 2 \tan \alpha \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 32: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh $AB = AC = AD = BC = BD = a$ và $CD = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
- A.
  $90^{0}$ .
- B.
  $45^{0}$ .
- C.
  $30^{0}$ .
- D.
  $60^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: $KH//AD,KI//BC \Rightarrow (AD;BC) = (KH;KI)$ .

Xét $\Delta BIC,BI = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AB\bot DH \\ AB\bot HC \\ \end{matrix} \Rightarrow AB\bot(DHC) \Rightarrow AB\bot HI ight.$ .

Xét $\Delta BIH,HI = \sqrt{IB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$ . (1)

Xét $\Delta IHK$ , ta có: $\left\{ \begin{matrix} IK = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} \\ HK = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2} \\ \end{matrix} \Rightarrow IK = HK = \frac{a}{2} ight.$ . (2)

Từ $(1),(2) \Rightarrow HI = IK = HK \Rightarrow \Delta IHK$ là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{IKH} = 60^{0} \Rightarrow (KH;KI) = 60^{0}$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}}{36}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{36}$
Hình vẽ minh họa

$\left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAO} = 45^{0}$

$SO = AO.tan45^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$V = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{12}$
Câu 34: Thông hiểu
Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
- A.
  $d = 2a$
- B.
  $d = a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Do $BB’ // AA’$ nên $d(BB′;A′H)=d(BB′;(AA′H))=d(B;(AA′H))$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BH \bot AH} \\ {BH \bot A\prime H} \end{array} \Rightarrow BH \bot \left( {AA\prime H} ight)} ight.$
Nên $d(B;(AA′H))=BH=BC/2=a$
Vậy khoảng cách $d(BB′;A′H)=a$
Câu 35: Vận dụng
Tìm bước giải sai của bài toán

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy chứng mình $AB ⊥ CD$ .
Một bạn chứng mình qua các bước sau:
Bước 1. $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$
Bước 2. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } ight)$
Bước 3. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} = 0$
Bước 4. Suy ra $AB ⊥ CD$
Theo em. Lời giải trên sai từ:
- A.
  Bước 1
- B.
  Bước 2
- C.
  Bước 3
- D.
  Bước 4
Bài toán sai từ bước 1 vì
Theo quy tắc trừ hai vectơ ta có:
$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} {\text{ }}$
Câu 36: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A. $90^0$
- B. $30^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BD \bot SO} \\ {BD \bot AO} \end{array}} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot OM$
Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(MBD) \cap (ABCD) = BD} \\ {OM \subset (MBD)} \\ {OM \bot BD} \\ {OC \subset (ABCD)} \\ {OC \bot BD} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \widehat {\left( {MBD),(ABCD)} ight)} = (\widehat {OM,OC}) = \widehat {MOC}$
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra $OM = MC = \frac{{CS}}{2} = \frac{a}{2}$
=> Tam giác MOC cân tại M.
=> $OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khi đó $\cos \widehat {MOC} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOC} = {45^{^0}}$
Vậy $\widehat {\left( {\left( {MDB} ight);\left( {ABCD} ight)} ight)} = {45^0}$
Câu 37: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là.
- A.
  $\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{17}}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{26}}{\sqrt{107}}$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Dựng hình chữ nhật AND
Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)
Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)
=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))
Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)
=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))
=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))
Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.
BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)
BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))
=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH
Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH
Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a
=> $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2};AG =\frac{2}{3}AN = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác AA’G vuông tại G
=> $A'G = \sqrt{AA'^{2} -AG^{2}}$
$\Rightarrow A'G = \sqrt{4a^{2} -\frac{a^{2}}{3}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$
Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật => $GI= NB = \frac{a}{2}$
Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I
=> $\frac{1}{GH^{2}} = \frac{1}{GI^{2}}+ \frac{1}{A'G^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{GH^{2}} =\dfrac{1}{\dfrac{a^{2}}{4}} + \dfrac{1}{\dfrac{11a^{2}}{3}} =\dfrac{47}{11a^{2}}$
Suy ra $GH =\sqrt{\frac{11}{47}}a$
$\Rightarrow d\left( C'(A'BM)ight) = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{47}}$
Câu 38: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Do đó thể tích phần cắt bỏ là $V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}$

(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm $\left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}$

Vậy $V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$
Câu 39: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng BA' và CD

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai đường thẳng $BA'$ và $CD$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//CD \Rightarrow (BA',CD) = (BA',AB)$

Vì $ABB'A'$ là hình vuông nên $(BA',AB) = \widehat{ABA'} = 45^{0}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $AB = 2a$ và $AB = 2a$ . Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$
- D.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều suy ra $SH\bot AB$

Mà $\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Khi đó $SH = a\sqrt{3}$

Ta có: $AB = 2a \Rightarrow BC = 2a$

$S_{ABC} = \frac{1}{2}(2a)^{2} = 2a^{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.2a^{2}.a\sqrt{3} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

18 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4