VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Nhận biết
Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
- A.
  SC và BC
- B.
  SC và DC
- C.
  SC và SA
- D.
  SC và AC
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Câu 2: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC

Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh bằng 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
- A.
  $2\sqrt{3}$
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  3
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.

Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.

=> d(AA’, BC) = $\frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Câu 3: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, SA = $a\sqrt{2}$ và vuông góc với (ABCD). Tính cosin của góc giữa (SBC) và (SCD).
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{6}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi H, N lần lượt là trung điểm của SC, AB.

Ta có CN = 1/2 AB suy ra tam giác ABC vuông cân tại C.

Suy ra: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AC\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAC)$

Do tam giác SAC vuông cân tại A nên AH = a.

Kẻ AK ⊥ SD. Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} AH\bot(SBC) \\ AK\bot(SCD) \\ \end{matrix} ight.$

=> ((SBC), (SCD)) = (AH, AK) = $\widehat{KAH}$ = ϕ

Xét tam giác vuông SAD có:

$\begin{matrix}\dfrac{1}{AK^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AD^{2}}\hfill \\\Rightarrow AK = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\hfill \\\end{matrix}$

Xét tam giác vuông AKH ta có:

$\cos\widehat{KAH} = \frac{AK}{AH} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Câu 4: Nhận biết
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
- A.
  45⁰
- B.
  30⁰
- C.
  60⁰
- D.
  135⁰
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy $\widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}$
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên $\widehat{SBA}= 45^{0}$
Câu 5: Nhận biết
Tìm tập hợp điểm M

Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là:
- A.
  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- B.
  Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB
- C.
  Mặt phẳng vuông góc với AB tại A.
- D.
  Đường thẳng qua A và vuông góc với AB.
Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Câu 6: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
- C.
  Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Ta có:

“Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

“Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.

“Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau.

Vậy khẳng định đúng là: “Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.”
Câu 7: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = a\sqrt{5};d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = a^{3}\sqrt{5}$
- B.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{5}}{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AJ\bot BB' \\ AK\bot CC' \Rightarrow AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AJK)$

$\Rightarrow BB'\bot JK \Rightarrow JK//CH \Rightarrow JK = CH = a\sqrt{5}$

Xét tam giác AJK có: $JK^{2} = AJ^{2} + AK^{2} = 5a^{2}$

Vậy tam giác AJK vuông tại A

Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có: $AF = JF = FK = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:

$\cos\widehat{ANF} = \dfrac{AF}{AN} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ANF} = 60^{0}$

( $AN = AM = a\sqrt{5}$ vì $AN//AM;AN = AM$ )

$\Rightarrow S_{AJK} = \frac{1}{2}AJ.AK = \frac{1}{2}.a.2a = a^{2}$

Lại có: $S_{AJK} = S_{ABC}.\cos60^{0}\Rightarrow S_{ABC} = \frac{S_{AJK}}{\cos60^{0}} = 2a^{2}$

Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:

$\widehat{MAA'} = \widehat{AMF} = 30^{0}$

Hay $AM = A'M.\tan30^{0} =\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

$V = AM.S_{ABC} = \frac{a\sqrt{15}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là.
- A.
  $\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{17}}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{26}}{\sqrt{107}}$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Dựng hình chữ nhật AND
Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)
Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)
=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))
Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)
=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))
=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))
Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.
BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)
BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))
=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH
Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH
Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a
=> $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2};AG =\frac{2}{3}AN = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác AA’G vuông tại G
=> $A'G = \sqrt{AA'^{2} -AG^{2}}$
$\Rightarrow A'G = \sqrt{4a^{2} -\frac{a^{2}}{3}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$
Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật => $GI= NB = \frac{a}{2}$
Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I
=> $\frac{1}{GH^{2}} = \frac{1}{GI^{2}}+ \frac{1}{A'G^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{GH^{2}} =\dfrac{1}{\dfrac{a^{2}}{4}} + \dfrac{1}{\dfrac{11a^{2}}{3}} =\dfrac{47}{11a^{2}}$
Suy ra $GH =\sqrt{\frac{11}{47}}a$
$\Rightarrow d\left( C'(A'BM)ight) = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{47}}$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$ . Gọi $D$ là trung điểm cạnh BC. Biết $AA' = 2a$ , khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $C'D$ là:
- A.
  $a\sqrt{17}$ .
- B.
  $\frac{ a }{ \sqrt{ 1 7 } }$ .
- C.
  $2a\sqrt{17}$ .
- D.
  $\frac{2a}{\sqrt{17}}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $D'$ là trung điểm của $B'C'$ , ta có $BDC'D'$ là hình bình hành

$\Rightarrow C'D//BD' \Rightarrow C'D//(A'BD')$ .

Kẻ $B'H \bot BD'$ .

Ta có: $\left. \ \begin{matrix}A'D'\bot B'C' \\A'D'\bot BB' \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow A'D'\bot(BCC'B')\Rightarrow A'D'\bot B'H$ .

$\left. \ \begin{matrix} B'H\bot BD' \\ B'H\bot A'D' \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow B'H\bot(A'BD')$

Suy ra,

$d(A'B,C'D) = d\left( C'D;(A'BD') ight) = d\left( C';(A'BD') ight) = d\left( B';(A'BD') ight) = B'H$

Ta có: $B'D' = \frac{a}{2}; BB'= 2a$ .

Xét $\Delta BB'D'$ vuông tại $B'$ ta có:

$\frac{1}{B'H^{2}} = \frac{1}{BB'^{2}} + \frac{1}{B'D'^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} \Rightarrow BH = \frac{2a}{\sqrt{17}}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥(ABC). Kẻ AH ⊥ SB. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  SA ⊥ BC
- B.
  AB ⊥ BC
- C.
  AH ⊥ AC
- D.
  AH ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

AB ⊥ BC (hiển nhiên đúng)

Ta có: SA ⊥(ABC) mà BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC

Ta lại có:

$\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}BC\bot BA \subset (SAB) \\BC\bot SA \subset (SAB) \\BA \cap SA = A \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \hfill\\\Rightarrow BC\bot AH \hfill\\\left\{ \begin{matrix}BC\bot AH \\SB\bot AH \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow SC\bot AH \hfill \\\end{matrix}$

Dễ thấy AH ⊥ AC là khẳng định sai.
Câu 11: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $3a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{3}{2}a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = \frac{1}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = a^{3}$
Câu 12: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = m;(m > 0)$ , các cạnh còn lại bằng nhau và bằng $4$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa cạnh $AB$ và vuông góc với cạnh $CD$ tại $I$ . Diện tích tam giác $ABI$ lớn nhất bằng bao nhiêu?
- A.
  $12$
- B.
  $6$
- C.
  $8\sqrt{3}$
- D.
  $4\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $(\alpha)\bot CD \equiv I \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AI\bot CD \\ BI\bot CD \\ \end{matrix} ight.$

Theo giả thiết $AC = AD = BC = BD = CD = 4cm$ ta có các tam giác ACD và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 4

$\Rightarrow IA = IB = 4.\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Gọi H là trung điểm của AB ta có: $IH\bot AB$ và $IH = \sqrt{IA^{2} - \frac{m^{2}}{4}} = \sqrt{12 - \frac{m^{2}}{4}}$

$S_{ABI} = \frac{1}{2}IH.AB$

$= \frac{1}{2}m.\sqrt{12 - \frac{m^{2}}{4}}$

$= \sqrt{\frac{m^{2}}{4}.\left( 12 - \frac{m^{2}}{4} ight)} \leq 6$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = 2\sqrt{6}$

Vậy $\max S_{ABI} = 6$
Câu 13: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 14: Nhận biết
Số mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?
- A.
  2
- B.
  3
- C.
  1
- D.
  Vô số
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P). Do $(P)//(Q)⇒d⊥(Q)$
Giả sử (R) là mặt phẳng chứa d. Mà $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d \bot \left( P ight)} \\ {d \bot \left( Q ight)} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( R ight) \bot \left( P ight)} \\ {\left( R ight) \bot \left( Q ight)} \end{array}} ight.$
Có vô số mặt phẳng (R) chứa d. Do đó có vô số mặt phẳng qua M, vuông góc với (P) và (Q).
Câu 15: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b
- B. Nếu c vuông góc với a và c vuông góc với b thì a song song với b
- C. Nếu a và b vuông góc với c thì a và b không thể chéo nhau
- D. Cả ba mệnh đề đều sai
Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.
Câu 16: Nhận biết
Tính diện tích tam giác BCD

Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{9\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $27$
- D.
  $\frac{27}{2}$
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh $\sqrt{18}$ nên có diện tích là $S_{BCD} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$
Câu 17: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$ .

Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $IJ\bot AB$
- B.
  $IJ\bot AD$
- C.
  $IJ\bot BD$
- D.
  $IJ\bot SD$
Vì IJ là đường trung bình của tam giác SAC nên $IJ//AC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ//AC \\ BD\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot IJ$
Câu 18: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau có giao tuyến là đường thẳng m và a, b, c, d là các đường thẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).
- B.
  Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).
- C.
  Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).
- D.
  Nếu d ⊥ m và d // (Q) thì d ⊥ (P).
"Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q)" là khẳng định sai vì có thể b ⊂ (P) và b ⊂ (Q).
Câu 19: Nhận biết
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có: $OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Câu 20: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ , biết $AB = 6cm;AC = 7cm;AD = 4cm$ .
- A.
  $V = 7cm^{3}$
- B.
  $V = 14cm^{3}$
- C.
  $V =\frac{28}{3}cm^{3}$
- D.
  $V =\frac{7}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $V_{ABCD} =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = \frac{1}{2}.6.7.4 = 28\left( cm^{3}ight)$
Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} =\frac{1}{4}S_{BCD}$
$V_{JQK} = \frac{1}{4}V_{ABCD} = 7\left(cm^{3} ight)$
Câu 21: Vận dụng
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Dựng đoạn SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{3a}{7}$
- B.
  $\frac{3a\sqrt{21}}{7}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $3a$
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.
Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).
Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)
Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)
Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)
Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK
Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}
$\frac{d\left( C;(SAB) ight)}{d\left(H;(SAB) ight)} = \frac{CA}{HA} = \frac{3}{2}$
Do đó $d\left( C;(SAB) ight) =\frac{3}{2}d\left( H;(SAB) ight)$
Theo giả thiết ∆ABC đều => $CD =\frac{3a\sqrt{3}}{2}$
Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:
$\frac{HM}{CD} = \frac{AH}{AC} =\frac{2}{3}$
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:
$HM = \frac{2}{3}CD \Rightarrow HM =\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a, AC = a, $BC =a\sqrt{2}$ . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a}{2}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)
=> $\widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}$
Mặt khác có tam giác ABC vuông tại C:
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} =a\sqrt{3}$
$\Rightarrow \tan\widehat{SBA} =\frac{SA}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \widehat{SBA} =30^{0}$
Vậy (SB, (ABC)) = 30⁰
Câu 23: Nhận biết
Tính thể tích V của hình chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , $SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}$ . Tính chiều cao hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $2a\sqrt{3}$
Ta có:

$SA\bot(ABC)$ nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Ta lại có:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}$
Câu 24: Vận dụng
Tính tan của góc giữa SA và mặt phẳng (SBM)

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ và $SA = a\sqrt 3$ . Đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB = a,\,AD = a\sqrt 3$ . Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị $\tan \alpha$ bằng:
- A. $\frac{2}{{\sqrt {15} }}$
- B. $\frac{4}{{\sqrt {15} }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt {13} }}$
- D. $\frac{4}{{\sqrt {13} }}$
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.
Ta có $\left\{ \begin{gathered} BM \bot AK \hfill \\ BM \bot SA\left( {V\`i \,SA \bot \left( {ABCD} ight)} ight) \hfill \\ AK,SA \subset \left( {SAK} ight) \hfill \\ AK \cap SA = \left\{ A ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BM \bot \left( {SAK} ight)$
Mà $AI \subset \left( {SAK} ight) \Rightarrow BM \bot AI$
Ta có $\left\{ \begin{gathered} AI \bot BM \hfill \\ AI \bot SK \hfill \\ BM,SK \subset \left( {SBM} ight) \hfill \\ BM \cap SK = \left\{ K ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AI \bot \left( {SBM} ight)$
Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc $\widehat {ASK}$ .
Ta có $\left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ AK \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SA \bot AK$
Có
$\begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMD}} - {S_{\Delta BMC}} \hfill \\ = {a^2}\sqrt 3 - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ BM = \sqrt {B{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có
$\begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = \dfrac{1}{2}AK.BM \hfill \\ \Rightarrow AK = \dfrac{{2{S_{\Delta ABM}}}}{{BM}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{a\dfrac{{\sqrt {13} }}{2}}} = a\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác vuông SAK có $\tan \widehat {ASK} = \frac{{AK}}{{SA}} = \frac{{a\frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$
Câu 25: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A. $90^0$
- B. $30^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BD \bot SO} \\ {BD \bot AO} \end{array}} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot OM$
Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(MBD) \cap (ABCD) = BD} \\ {OM \subset (MBD)} \\ {OM \bot BD} \\ {OC \subset (ABCD)} \\ {OC \bot BD} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \widehat {\left( {MBD),(ABCD)} ight)} = (\widehat {OM,OC}) = \widehat {MOC}$
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra $OM = MC = \frac{{CS}}{2} = \frac{a}{2}$
=> Tam giác MOC cân tại M.
=> $OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khi đó $\cos \widehat {MOC} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOC} = {45^{^0}}$
Vậy $\widehat {\left( {\left( {MDB} ight);\left( {ABCD} ight)} ight)} = {45^0}$
Câu 26: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ BC\bot AB \\ SA\bigcap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ CD\bot AD \\ SA\bigcap AD = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow CD\bot(SAD)$ mà $CD \subset (SCD)$

$\Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SC \cap (SAD) = \left\{ S ight\} \\ CD\bot(SAD) \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)

Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc $\widehat{CSD}$ trong tam giác vuông SCD.

Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:

$\tan\widehat{SCD} = \sqrt{6} \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = \widehat{SCD} eq 30^{0}$
Câu 27: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $CH \perp AK$
- B.
  $CH \perp SB$
- C.
  $CH \perp SA$
- D.
  $AK \perp SB$
Hình vẽ minh họa
Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân => $CH⊥AB$
Ta có: $SA⊥(ABC)$ => $SA⊥CH$ mà $CH⊥AB$ => $CH⊥(SAB)$
Mặt khác $AK⊂(SAB)$ => CH vuông góc với các đường thẳng $SA,SB,AK$
Và $AK⊥SB$ chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Câu 28: Thông hiểu
Tính cos(AB, CD)

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = a;IJ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Gọi trung điểm của $AD;BC$ lần lượt là $AD;BC$ . Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $- \frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $- \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AC khi đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Ta có:

$\cos\widehat{IMJ} = \frac{IM^{2} + MJ^{2} - IJ^{2}}{2MI.MJ} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \cos(AB;CD) = \frac{1}{2}$
Câu 29: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ ; $SA\bot(ABCD)$ và $SA = AB$ . Gọi trung điểm của $BC;SC$ lần lượt là $E;F$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $EF$ và mặt phẳng $(SAD)$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$EF$ là đường trung bình của tam giác $SBC \Rightarrow EF//SB$
Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix}AB\bot AD \\AB\bot SA \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SAD)$ nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAD)
$\Rightarrow \left( SB;(SAD) ight) =(SB;SA) = \widehat{BSA}$
Mặt khác $\left\{ \begin{matrix}SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot AB \\SA = AB \\\end{matrix} ight.$
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A
$\Rightarrow \widehat{BSA} = 45^{0}\Rightarrow \left( EF;(SAD) ight) = 45^{0}$
Câu 30: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đều

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 4a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ .
- A.
  $V = 64\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = 32\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{32\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó $\left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan30^{0}} = 4\sqrt{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = 8a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = \frac{(8a)^{2}\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3}a^{3}$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh $2a$ , cạnh bên bằng $3a$ .
- A.
  $6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $3\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $\sqrt{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là $\frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AA' = 3a$ (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là: $V = \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}.3a = 3\sqrt{3}a^{3}$
Câu 32: Thông hiểu
Tính thế tích khối chóp tứ giác đều

Một khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng $2t$ (cm). Khi đó thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{2}}{3}t^{3}$
- B.
  $V = \frac{8}{3}t^{3}$
- C.
  $V = \frac{8\sqrt{2}}{3}t^{3}$
- D.
  $V = \frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2t là S.ABCD với I là tâm của đáy ta có:

$SA = BA = BC = DA = DC$

$\Rightarrow \Delta SAC = \Delta BAC = \Delta DBC$

$\Rightarrow \Delta SAC;\Delta BAC;\Delta DBC$ lần lượt vuông tại S; B; D

I là trung điểm của AC suy ra $SA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.2t.\sqrt{2} = t\sqrt{2}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SI = \frac{1}{3}.(2t)^{2}.t\sqrt{2} = \frac{4t^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 33: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a, $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 60⁰
Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a, $\widehat {MAB} = {90^0}$
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và $CM = \frac{1}{2}AD = a$
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AC} \\ {CD \bot SA} \\ {SA \cap AC = A} \\ {SA;AC \subset \left( {SAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$ mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot CD} \\ {AH \bot SC} \\ {CD \cap SC = C} \\ {CD;SC \subset \left( {SCD} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight)\left( 1 ight)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD \bot SA} \\ {AD \bot AB} \\ {SA \cap AB = A} \\ {SA;AB \subset \left( {SAB} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight)\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Xét tam giác SAC vuông tại A có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a$
Xét tam giác SAC vuông tại A và $SA = AC = a\sqrt 2$ nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và $AH = \frac{1}{2}SC = a$
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: $\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {DAH} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SCD} ight);\left( {SAB} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 34: Thông hiểu
Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và SD

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC;BD$ . Biết rằng $SO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ ?
- A.
  $120^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $AB//CD \Rightarrow (AB;SD) =(CD;SD)$
$OD = \frac{1}{2}BD =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$SD = \sqrt{SO^{2} + OD^{2}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2}} = a$
$\Rightarrow SC = SC = CD =a$
Suy ra tam giác SCD đều.
$\Rightarrow \widehat{SCD} =60^{0}$
$\Rightarrow (AB;SD) = (CD;SD) =\widehat{SCD} = 60^{0}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{0}$ và cạnh $AA' = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $\frac{2}{3}a^{3}$
- B.
  $\frac{14}{3}a^{3}$
- C.
  $\frac{5}{3}a^{3}$
- D.
  $\frac{8a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}$

Ta có: $AM = \frac{AA'}{tan60^{0}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow BC = 2AM = \frac{4a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2a.\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\frac{4a\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 36: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hai đường thẳng $a,b$ và mặt phẳng $(Q)$ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  Nếu $a//(Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
- B.
  Nếu $a \subset (Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
- C.
  Nếu $a\bot(Q),b\bot a$ thì $b//(Q)$ hoặc $b \subset (Q)$ .
- D.
  Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .
Mệnh đề: “Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).
Câu 37: Thông hiểu
Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Giả sử góc BAD bằng 60⁰. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng:
- A.
  $\frac{a}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $a$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa
Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD) ⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau) ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
$\begin{matrix} S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} \hfill \\ = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 38: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 39: Nhận biết
Xác định số mệnh đề đúng

Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi a, b, c, d là các đường thẳng. Xét các mệnh đề sau:

(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P).

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai
Câu 40: Vận dụng
Tính cos(CG; BD)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $x$ , $SA\bot(ABCD);SA = 2x$ . Gọi $F$ trung điểm các cạnh $AB$ , $G$ là trung điểm của $SF$ . Tính $\cos(CG;BD)$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{82}}{41}$
- B.
  $\frac{\sqrt{41}}{41}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{41}}{41}$
- D.
  $\frac{\sqrt{82}}{82}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD, H là trung điểm của SI.

Ta có: GH // FI; BD // FI nên GH // BD => $(CG;BD) = (CG;GH) = \widehat{CGH}$

Ta có: $CI = \sqrt{CD^{2} + DI^{2}} = \sqrt{x^{2} + \frac{x^{2}}{4}} = \frac{x\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow CI = \frac{x\sqrt{5}}{2}$

$SF = SI = \sqrt{SA^{2} + AF^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} + \left( \frac{x}{2} ight)^{2}} = \frac{x\sqrt{17}}{2}$

$SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} + \left( x\sqrt{2} ight)^{2}} = x\sqrt{6}$

Khi đó:

$CG = \sqrt{\frac{CF^{2} + SC^{2}}{2} -\frac{SF^{2}}{4}}$ $= \sqrt{\dfrac{\dfrac{5x^{2}}{4} + 6x^{2}}{2} -\dfrac{9x^{2}}{4}} = \dfrac{x\sqrt{41}}{4}$

$GH = \frac{1}{2}FI = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BD = \frac{x\sqrt{2}}{4}$

Ta có: $\cos\widehat{CGH} = \frac{GC^{2} + GH^{2} - HC^{2}}{2.GC.GH}$

$= \dfrac{\left( \dfrac{x\sqrt{41}}{4}ight)^{2} + \left( \dfrac{x\sqrt{2}}{4} ight)^{2} - \left(\dfrac{x\sqrt{41}}{4} ight)^{2}}{2.\left( \dfrac{x\sqrt{41}}{4}ight).\left( \dfrac{x\sqrt{2}}{4} ight)} =\dfrac{\sqrt{82}}{82}$

$\Rightarrow \cos(CG;BD) = \frac{\sqrt{82}}{82}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

72 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm