VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Kết quả nào dưới đây đúng?
- A.
  $(AB;SC) = 60^{0}$
- B.
  $(AB;SC) = 90^{0}$
- C.
  $(AB;SC) = 30^{0}$
- D.
  $(AB;SC) = 45^{0}$
Ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ suy ra tam giác ABC vuông tại A

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì $SA = SB = SC$ nên $SM$ là đường cao của hình chóp $S.ABC$ .

Hình vẽ minh họa

Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.

Ta có: MN // AB và IM // SC nên $(SC,AB) = (IM,MN)$

Mà $BN = \sqrt{AB^{2} + AN^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$SN = \sqrt{SC^{2} - NC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$MN = \frac{a}{2};MI = \frac{a}{2}$

Xét tam giác IMN có

$\cos\widehat{NMI} = \dfrac{MN^{2} +IM^{2} - IN^{2}}{2.MN.IM}$ $= \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4} + \dfrac{a^{2}}{4} -\dfrac{3a^{2}}{4}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}} = -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{NMI} = 120^{0}$

$\Rightarrow (SC,AB) = (IM,MN) = 60^{0}$
Câu 2: Thông hiểu
Hoàn thành mệnh đề

Cho ba vecto $\vec{n}, \vec{a}, \vec{b}$ bất kì đều khác với vecto $\vec{0}$ . Nếu vecto $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì $\vec{n}$ , $\vec{a}$ và $\vec{b}$ :
- A.
  Đồng phẳng
- B.
  Không đồng phẳng
- C.
  Có giá vuông góc với nhau từng đôi một
- D.
  Có thể đồng phẳng
Nếu vecto $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì $\vec{n}$ , $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì có thể đồng phẳng.
Câu 3: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và mằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AI ⊥ SC
- B.
  (SBC) ⊥ (SAC)
- C.
  AI ⊥ BC
- D.
  (ABI) ⊥ (SBC)
Hình vẽ minh họa:

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC => AI ⊥ SC.

Gọi H là trung điểm AC => SH ⊥ AC.

Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC => SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ BC.

Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC ⊥ AC.

Từ đó suy ra BC ⊥ (SAC) => BC ⊥ AI.

Từ đó suy ra (ABI) ⊥ (SBC).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai
Câu 4: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 5: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 6: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC
Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI
Ta có: $ND = \frac{a}{2}$ , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật
=> $DI = OK = \frac{OC}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{4}$
Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH
Xét tam giác vuông NDI ta có:
$\begin{matrix}\dfrac{1}{DH^{2}} = \dfrac{1}{DN^{2}} + \dfrac{1}{DI^{2}} \Rightarrow DH =\dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill \\\Rightarrow d(MN,BD) = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill\\\end{matrix}$
Câu 7: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng $a$ , $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Xác định góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $DM$ ?
- A.
  $\arccos\frac{3\sqrt{3}}{8}$
- B.
  $\arccos\frac{\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\arccos\frac{2\sqrt{3}}{5}$
- D.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{8}$
Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AC thì MN // AB

Suy ra $(AB,DM) = (MN,DM)$

Ta có: $\cos\widehat{DMN} = \frac{MN^{2} + DM^{2} - DN^{2}}{2MN.DM}$

$= \dfrac{\left( \dfrac{a}{2} ight)^{2} +\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} - \left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}ight)^{2}}{2\left( \dfrac{a}{2} ight).\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}ight)} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$

$\cos\widehat{DMN} = \frac{\sqrt{3}}{6} \Rightarrow (AB;DM) = \arccos\frac{\sqrt{3}}{6}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng?

Cho tứ diện ABCD có AB = AC, BD = CD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  BD ⊥ (ABC)
- B.
  AC ⊥ BD
- C.
  CD ⊥ (ABD)
- D.
  BC ⊥ AD
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD
Câu 10: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{32\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- B.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{16\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.8a^{2} = \frac{16a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- B.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = a\sqrt{3}.2a^{2} = 2a^{3}\sqrt{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và SD

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC;BD$ . Biết rằng $SO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ ?
- A.
  $120^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $AB//CD \Rightarrow (AB;SD) =(CD;SD)$
$OD = \frac{1}{2}BD =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$SD = \sqrt{SO^{2} + OD^{2}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2}} = a$
$\Rightarrow SC = SC = CD =a$
Suy ra tam giác SCD đều.
$\Rightarrow \widehat{SCD} =60^{0}$
$\Rightarrow (AB;SD) = (CD;SD) =\widehat{SCD} = 60^{0}$
Câu 13: Nhận biết
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi trung điểm các cạnh $AC$ và $AD$ lần lượt là các điểm $M,N$ . Giao tuyến của hai mặt phẳng $(BMN)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là
- A.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với BC
- B.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với MN
- C.
  Đường thẳng đi qua điểm B và I, với $I = MD \cap CN$
- D.
  Đường thẳng đi qua điểm B và song song với MC
Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng $(BMN)$ và mặt phẳng $(BCD)$ có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).
Câu 14: Thông hiểu
Xác định thể tích khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = 2a\sqrt{3}.8a^{2} = 16a^{3}\sqrt{3}$
Câu 15: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- B.
  Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- C.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- D.
  Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước” là sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mệnh đề “Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Vậy mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”
Câu 16: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau có giao tuyến là đường thẳng m và a, b, c, d là các đường thẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).
- B.
  Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).
- C.
  Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).
- D.
  Nếu d ⊥ m và d // (Q) thì d ⊥ (P).
"Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q)" là khẳng định sai vì có thể b ⊂ (P) và b ⊂ (Q).
Câu 17: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
- A.
  $d = 1$
- B.
  $d=\sqrt{2}$
- C.
  $d=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{21}}{7}$
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB => $SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có: AH // CD => $d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight)$
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
$\begin{matrix} \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight) = HK \hfill \\ \Rightarrow HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Vận dụng
Tính cos(MN, B'C)

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ và $\widehat{BAD} = \widehat{DAA'} = \widehat{A'AB} = 60^{0}$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm câc các cạnh $AA';CD$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $B'C$ ?
- A.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'D//B'C \\ MN//A'P \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $(MN,B'C) = (A'P,A'D) = \widehat{DA'P}$

Xét tam giác ADA’ có $\left\{ \begin{matrix} AD = AA' \\ \widehat{DAA'} = 60^{0} \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều $\Rightarrow A'D = x$

Xét tam giác A’AB có $\left\{ \begin{matrix} AB = AA' \\ \widehat{A'AB} = 60^{0} \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tam giác A’AB đều

Do đó tam giác DD’C đều

Vậy $DC' = 2DP = 2.\frac{x\sqrt{3}}{2}= x\sqrt{3}$

Xét tam giác BAD có AD = AB và $\widehat{BAD} = 60^{0}$ nên tam giác BAD là tam giác đều.

Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.

Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’

Khi đó: $A'C' = 2A'I =2.\frac{x\sqrt{2}}{2} = x\sqrt{3}$

Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên $A'P = \sqrt{\frac{A'D'^{2} +A'C'^{2}}{2} - \frac{DC'^{2}}{4}} =\frac{x\sqrt{5}}{2}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:

$\Rightarrow \cos\widehat{DA'P} =\frac{A'D^{2} + A'P^{2} - DP^{2}}{2.A'D.A'P} =\frac{x\sqrt{5}}{10}$

$\Rightarrow \cos(MN,B'C) = \left| \cos\widehat{DA'P} ight| = \frac{3\sqrt{5}}{10}$
Câu 19: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
- A.
  Thuộc một mặt phẳng
- B.
  Vuông góc với nhau
- C.
  Song song với một mặt phẳng
- D.
  Song song với nhau
Đáp án "Thuộc một mặt phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau.
Đáp án "Vuông góc với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau.
Đáp án "Song song với nhau" sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau.
Đáp án "Song song với một mặt phẳng" đúng vì chúng đồng phẳng.
Câu 20: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}\pi rh$
- B.
  $V = \pi rh$
- C.
  $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
- D.
  $V = \pi r^{2}h$
Công thức tính thể tích là: $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Câu 21: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AB \Rightarrow (\alpha) \cap (ABC) = Bt//AC$ .

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$

$\Rightarrow (\beta) \cap (ABC) =Ct'//AB$

Khi đó, $(\alpha) \cap (\beta) = SH$ với $H = Bt \cap Ct'$ là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.

Khi đó: $\Delta SAB,\ \ \Delta SAC$ là hai tam giác vuông bằng nhau có $SB = SC = a\sqrt{3},SA = 2a$ .

Gọi $I$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $B$ của tam giác SAB, ta có $BI\bot SA,CI\bot SA$ .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ là $(IB;IC)$ .

Xét $\Delta IBC$ cân tại $I$ có $IB = IC = \frac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2},BC = a\sqrt{2}$ .

Ta có: $\cos\widehat{BIC} = \frac{IB^{2} +IC^{2} - BC^{2}}{2IB.IC}$ $= \dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{3a^{2}}{4} -2a^{2}}{2.\dfrac{3a^{2}}{4}} = - \dfrac{1}{3}$ .

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $\frac{1}{3}$ .
Câu 22: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai?

Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c.
- B.
  Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b.
- C.
  Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a.
- D.
  Nếu a ⊥ b, b ⊥ c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a; c).
Nếu a ⊥ b, b ⊥ c thì a // c hoặc a cắt c hoặc a trùng với c hoặc a chéo c.
Câu 23: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ . Biết rằng $SA = SB;AC = BC$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $BC\bot(SBC)$
- B.
  $AB\bot SB$
- C.
  $SA\bot(ABC)$
- D.
  $AB\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Gọi D là trung điểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC cân tại C nên $\left\{ \begin{matrix} AB\bot SD \\ AB\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SDC) \Rightarrow AB\bot SC$ .
Câu 24: Vận dụng
Tính góc giữa hai mặt phẳng

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích tam giác ABC bằng $2\sqrt{3}$ . Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’, diện tích tam giác MNP bằng 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP).
- A.
  120⁰
- B.
  45⁰
- C.
  30⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa:
Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (MNP).
Dễ thấy tam giác ABC là hình chiếu của tam giác MNP trên mặt phẳng (ABC).
=> $S_{ABC} =S_{MNP}.cos\alpha$
Từ đó suy ra:
$\begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \hfill\\\Rightarrow \alpha = 30^{0}\hfill \\\end{matrix}$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP) bằng 30◦
Câu 25: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 26: Thông hiểu
Tính tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $90^{0}$ , $SA = SB$ . Tính tan góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ , biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{4a^{3}}{3}$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{7}}{7}$
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ $SH\bot AB$ , gọi $\alpha = \left( SC;(ABCD) ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABCD) \\ (SAB) \cap (ABCD) = AB \\ SH \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SCH}$

Lại có: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{4a^{3}}{3} \Rightarrow SH = a$

Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

$\Rightarrow HC = \sqrt{BH^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{5}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \tan\widehat{SCH} = \frac{SH}{HC} = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 27: Vận dụng
Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2$ và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng
- A. ${60^0}$
- B. ${30^0}$
- C. ${90^0}$
- D. ${45^0}$
Gọi $O = AC \cap BD$ . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra $SO \bot \left( {ABCD} ight)$ .
Vì $\left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ BD \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot BD$
Có $\left\{ \begin{gathered} BD \bot SO \hfill \\ BD \bot AC \hfill \\ SO,AC \subset \left( {SAC} ight) \hfill \\ SO \cap AC = \left\{ O ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight)$
Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc $\widehat {BSO}$ .
Có $BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a$
Vì $\left\{ \begin{gathered} SO \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ OB \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SO \bot OB$
Xét tam giác SOB có
Ta có $\sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BSO = {30^0}$
Câu 28: Vận dụng
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, SB. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A. (IJK) // (SAC)
- B. $\widehat {\left( {SC;BD} ight)} = {60^0}$
- C. BD ⊥ (IJK)
- D. BD ⊥ (SAC)
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác SBC ta có: $\frac{{BK}}{{BS}} = \frac{{BJ}}{{BC}} = \frac{1}{2}$
=> KJ // SC (*)
Xét tam giác SAB ta có: $\frac{{BI}}{{BA}} = \frac{{BK}}{{BS}} = \frac{1}{2}$
=> KI // SA (**)
Từ (*) và (**) => (IJK) // (SAC) (1)
Vì ABCD là hình vuông => BD ⊥ AC
Mà SA ⊥ BD => BD ⊥ (SAC)
Kết hợp với (1) => BD ⊥ (IJK)
=> $\widehat {\left( {SC;BD} ight)} = {90^0}$
Câu 29: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d.
- B.
  Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).
- C.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d” là sai. Trong trường hợp a ∈ d, b ∈ d, khi đó AB trùng với d.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia” là sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Vậy mệnh đề đúng là: ”Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).”
Câu 30: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 31: Nhận biết
Tìm tập hợp điểm M

Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là:
- A.
  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- B.
  Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB
- C.
  Mặt phẳng vuông góc với AB tại A.
- D.
  Đường thẳng qua A và vuông góc với AB.
Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Câu 32: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là.
- A.
  $\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{17}}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{26}}{\sqrt{107}}$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Dựng hình chữ nhật AND
Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)
Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)
=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))
Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)
=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))
=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))
Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.
BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)
BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))
=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH
Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH
Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a
=> $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2};AG =\frac{2}{3}AN = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét tam giác AA’G vuông tại G
=> $A'G = \sqrt{AA'^{2} -AG^{2}}$
$\Rightarrow A'G = \sqrt{4a^{2} -\frac{a^{2}}{3}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$
Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật => $GI= NB = \frac{a}{2}$
Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I
=> $\frac{1}{GH^{2}} = \frac{1}{GI^{2}}+ \frac{1}{A'G^{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{GH^{2}} =\dfrac{1}{\dfrac{a^{2}}{4}} + \dfrac{1}{\dfrac{11a^{2}}{3}} =\dfrac{47}{11a^{2}}$
Suy ra $GH =\sqrt{\frac{11}{47}}a$
$\Rightarrow d\left( C'(A'BM)ight) = \frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{47}}$
Câu 33: Nhận biết
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có: $OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Câu 34: Thông hiểu
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với $AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.
- A.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $d=\frac{a}{2}$
- D.
  $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ta có $AD // BC => AD // (SBC)$ => $d(AD;SC)=d(A;(SBC))$
Kẻ $AP⊥SB$ $=>d(A;(SBC))=AP$ $=>d(AD;SC)=AP$
Ta có:
$\begin{matrix} AB = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \dfrac{1}{{A{P^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Lại có $\left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \widehat {SBA} = {60^0}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \tan {60^0} = \dfrac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \Rightarrow AP = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ . Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên cạnh $BC$ là điểm $H$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SAH}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SHA}$
- D.
  $\widehat{ASH}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BC = (SBC) \cap (ABC)$

Vì $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AS \\ BC\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAH) \Rightarrow BC\bot SH$

Vậy $\left( (SBC);(ABC) ight) = \widehat{SHA}$
Câu 36: Thông hiểu
Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD)

Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB, BC, CD đôi một vuông góc. Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc nào trong các góc sau đây?
- A.
  $\widehat{ACB}$
- B.
  $\widehat{ADB}$
- C.
  $\widehat{BIA}$ (I là trung điểm của CD)
- D.
  $\widehat{GBA}$ , (G là trọng tâm tam giác BCD)
Dễ thấy rằng: $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} (ACD) \cap (BCD) = CD \\ (ABC)\bot CD \\ (ABC) \cap (ACD) = AC \\ \end{matrix} \\ (ABC) \cap (BCD) = BC \\ \end{matrix} ight.$

Như vậy góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và BC, tức là bằng góc $\widehat{ACB}$
Câu 37: Nhận biết
Tính thể tích khối lập phương

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $2a$ ?
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = 8a^{3}$
- C.
  $V = 4a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $V = (2a)^{3} = 8a^{3}$
Câu 38: Nhận biết
Tính khoảng cách

Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 39: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AC = a\sqrt{3}$ và $AA' = 3a$ . Chọn kết luận đúng về số đo góc giữa $A'C$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có hình chiếu của A”C lên mặt phẳng (ABC) là AC

Suy ra $\left( A'C;(ABC) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA}$

Ta có: $\tan\widehat{A'CA} = \frac{AA'}{AC} = \frac{3a}{a\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{A'CA} = 60^{0} \Rightarrow \left( A'C;(ABC) ight) = 60^{0}$
Câu 40: Nhận biết
Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’)

Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là $\widehat{BA'B'}$
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=> $\widehat{BA'B'} =45^{0}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

60 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm