VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC

Khi đó $SH\bot(ABC);BH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Theo bài ra ta có:

$\left( SB;(ABC) ight) = \widehat{SBH} = 60^{0}$

Tam giác SBH vuông tại H có: $SH = BH.tan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3} = a$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Kết quả nào dưới đây đúng?
- A.
  $(AB;SC) = 60^{0}$
- B.
  $(AB;SC) = 90^{0}$
- C.
  $(AB;SC) = 30^{0}$
- D.
  $(AB;SC) = 45^{0}$
Ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ suy ra tam giác ABC vuông tại A

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì $SA = SB = SC$ nên $SM$ là đường cao của hình chóp $S.ABC$ .

Hình vẽ minh họa

Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.

Ta có: MN // AB và IM // SC nên $(SC,AB) = (IM,MN)$

Mà $BN = \sqrt{AB^{2} + AN^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

$SN = \sqrt{SC^{2} - NC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$MN = \frac{a}{2};MI = \frac{a}{2}$

Xét tam giác IMN có

$\cos\widehat{NMI} = \dfrac{MN^{2} +IM^{2} - IN^{2}}{2.MN.IM}$ $= \dfrac{\dfrac{a^{2}}{4} + \dfrac{a^{2}}{4} -\dfrac{3a^{2}}{4}}{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}} = -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{NMI} = 120^{0}$

$\Rightarrow (SC,AB) = (IM,MN) = 60^{0}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
- A.
  $\frac{a}{3}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $2a$
- D.
  $\frac{a}{2}$
Gọi $E=HK∩AC$ . Do $HK//BD$ nên suy ra
$d(HK;SD)=d(HK;(SBD))=d(E;(SBD))=d(A;(SBD))/2$ (vì $OE=AO/2=1/2$ )
Kẻ $AF⊥SO(1)$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BD \bot AC} \\ {BD \bot SA} \end{array}} ight.$
$⇒BD⊥(SAC)⇒BD⊥AF(2)$
Từ (1) và (2) $⇒AF⊥(SBD)$ , khi đó $d(A;(SBD))=AF$
$\begin{matrix} AF = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} \hfill \\ = \dfrac{{2a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {2a} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{3} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {HK;SD} ight) = \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{a}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $7a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{7}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{7}{2}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{7}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 7a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{7}{3}a^{3}$
Câu 6: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $M$ là trung điểm của $BC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $AM\bot A'B'$
- B.
  $AM\bot BB'$
- C.
  $AM\bot B'C'$
- D.
  $AM\bot A'C'$
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên $AM\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ BC//B'C' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AM\bot B'C'$
Câu 7: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a và $I = AC \cap BD$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C'D', AA'. Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi đường thẳng IN và mặt phẳng (ACM). Tính $\sin \varphi$ .
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{9}$
- B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- C. $\frac{{5\sqrt 3 }}{9}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{{24}}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm N lên mặt phẳng (ACM).
Khi đó: $NH = h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = IN.\sin \varphi$
Ta có: $h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{1}{2}d\left( {A',\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{{3{V_{A'ACM}}}}{{2{S_{ACM}}}}$
Xét tam giác ACM có: $CM = \frac{{\sqrt 5 }}{2}a$
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{A{{D'}^2} + A{{C'}^2}}}{2} - \dfrac{{C'{{D'}^2}}}{4} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 a} ight)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} ight)}^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{9}{4}{a^2} \Rightarrow AM = \dfrac{3}{2}a \hfill \\ \Rightarrow {S_{ACM}} = \sqrt {p\left( {p - AC} ight)\left( {p - CM} ight)\left( {p - AM} ight)} = \dfrac{3}{4}{a^2} \hfill \\ \left( {p = \dfrac{{AC + CM + AM}}{2}} ight) \hfill \\ {V_{A'ACM}} = {V_{M.A'AC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D'.A'AC}} = \dfrac{1}{6}{V_{ACD.A'C'D'}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{{\text{lp}}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow h = IN = \dfrac{a}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $\sin \varphi = \frac{h}{{IN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}\pi rh$
- B.
  $V = \pi rh$
- C.
  $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
- D.
  $V = \pi r^{2}h$
Công thức tính thể tích là: $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Câu 9: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A. $90^0$
- B. $30^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BD \bot SO} \\ {BD \bot AO} \end{array}} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot OM$
Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(MBD) \cap (ABCD) = BD} \\ {OM \subset (MBD)} \\ {OM \bot BD} \\ {OC \subset (ABCD)} \\ {OC \bot BD} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \widehat {\left( {MBD),(ABCD)} ight)} = (\widehat {OM,OC}) = \widehat {MOC}$
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra $OM = MC = \frac{{CS}}{2} = \frac{a}{2}$
=> Tam giác MOC cân tại M.
=> $OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khi đó $\cos \widehat {MOC} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOC} = {45^{^0}}$
Vậy $\widehat {\left( {\left( {MDB} ight);\left( {ABCD} ight)} ight)} = {45^0}$
Câu 10: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 11: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a;AD = 2a;AA' = a\sqrt{2}$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc với $A'B$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và hình hộp chữ nhật đã cho?
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $2a^{2}$
- C.
  $a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $a^{2}\sqrt{6}$
Hình vẽ minh họa

Hình chữ nhật $ABB'A'$ có $AB = a;AA' = a\sqrt{2}$ . Lấy $M$ là trung điểm của $BB'$ . Ta dễ dàng chứng minh $AM\bot A'B$

Ta lại có $AD\bot A'B$ suy ra mặt phẳng $(\alpha)$ chính là mặt phẳng $(ADM)$ .

Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.

Ta tính được $AM = \frac{a\sqrt{6}}{2};AD = 2a$

Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: $a^{2}\sqrt{6}$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAC)
- B.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SBC)
- C.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)
- D.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Câu 13: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{6}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$ (meta)
Hình vẽ minh họa:

Gọi O = AC ∩BD. Do hình chóp S.ABCD đều => SO ⊥ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của SD.

Tam giác SCD đều nên CM ⊥ SD.

Tam giác SBD có SB = SD = a, $BD = a\sqrt{2}$ nên vuông tại S

=> SB ⊥ SD => OM ⊥ SD

=> ((SBD),(SCD)) = (OM, CM) = $\widehat{OMC}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OC\bot BD \\ OC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot(SBD) \Rightarrow OC\bot OM$

Tam giác vuông MOC ta có:

$\tan\widehat{OMC} = \frac{OC}{OM} = \sqrt{2}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và $BC = a$ . Tính cosin góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

Do $SA = SB = SC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay H là trung điểm của BC $\Rightarrow AH = \frac{a}{2}$

Ta có: $\left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAH}$

$\Rightarrow \cos\widehat{SAH} = \frac{AH}{SA} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 15: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng Δ gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu
- A.
  Vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng (P).
- B.
  Vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mặt phẳng (P).
- C.
  Vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).
- D.
  Vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Câu 16: Thông hiểu
Xác định vị trí điểm I

Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:
- A.
  Trọng tâm của tam giác ABC
- B.
  Trực tâm của tam giác ABC
- C.
  Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- D.
  Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot OC} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot CI$
Chứng minh tương tự ta được: $BC \bot AI$
Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 17: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 18: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D’ và tâm I của mặt bên BCC’B’. Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC’B’) và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là:
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{3a\sqrt{5}}{10}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\frac{2a\sqrt{3}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Kẻ ME vuông góc với CB, tam giác MEN vuông tại E nên MN = 2EK.
Vậy MN bé nhất khi và chỉ khi EK bé nhất.
Lúc này EK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và đường thẳng CB.
Qua I kẻ P Q song song với BC (như hình vẽ).
Vậy d(BC, d) = d(BC,(D’PQ)) = d(C, (D’PQ)) = d(C’, (D’P Q)) = C’H (trong đó C’H vuông góc với D’P).
Ta có:
$\frac{1}{C'H^{2}} = \frac{1}{a^{2}}+ \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$
$\Rightarrow C'H =\frac{a\sqrt{5}}{2} \Rightarrow d(BC;d) =\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
Câu 19: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Các măt bên là hình vuông
- B.
  Các mặt bên là hình chữ nhật
- C.
  Các mặt bên là hình thoi
- D.
  Các mặt bên là hình bình hành
Nếu $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp thì tất cả các mặt là bình bình hành nên mặt bên cũng là hình bình hành.
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và $AB = a, BC = b$ , $CD = c$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $AB ⊥ (ACD)$
- B.
  $BC ⊥ (ACD)$
- C.
  $CD ⊥ (ABC)$
- D.
  $AD ⊥ (BCD)$
Đáp án " $AB ⊥ (ACD)$ " sai vì chỉ có $AB ⊥ CD$
Đáp án " $BC ⊥ (ACD)$ " sai vì chỉ có: $BC ⊥ CD$
Đáp án " $CD ⊥ (ABC)$ " đúng vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {CD \bot AB} \\ {CD \bot BC} \end{array}} ight. ⇒CD⊥(ABC)$
Đáp án " $AD ⊥ (BCD)$ " sai vì AD không vuông góc với đường thẳng nào thuộc mặt phẳng (BCD).
Câu 21: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)?
- A.
  Không có.
- B.
  Có một.
- C.
  Có vô số.
- D.
  Có một hoặc có vô số.
Có một khi (P) và (Q) cắt nhau, có vô số khi (P) // (Q).
Câu 22: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d.
- B.
  Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).
- C.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d” là sai. Trong trường hợp a ∈ d, b ∈ d, khi đó AB trùng với d.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia” là sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Vậy mệnh đề đúng là: ”Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).”
Câu 23: Nhận biết
Xác định số mặt bên vuông góc với đáy

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và một cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Có bao nhiêu mặt bên vuông góc với mặt đáy?
- A.
  Không có mặt bên nào vuông góc với mặt đáy.
- B.
  Có đúng một mặt bên vuông góc với mặt đáy.
- C.
  Có đúng hai mặt bên vuông góc với mặt đáy.
- D.
  Có đúng ba mặt bên vuông góc với mặt đáy.
Hình vẽ minh họa:

Giả sử SA ⊥ (ABCD). Khi đó có đúng 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy là (SAB), (SAD).
Câu 24: Thông hiểu
Tứ giác MNPQ là hình gì?

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Tứ giác không phải hình thang
Hình vẽ minh họa:

Ta có: (MNPQ) // AB; (MNPQ) ∩ (ABC) = MQ

=> MQ // AB

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB; QP // CD

Khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: MN ⊥ MQ (Do AB ⊥ CD)

Hay tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Câu 25: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện AJQK

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a$ . Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ ?
- A.
  $V = 15a^{3}$
- B.
  $V = 30a^{3}$
- C.
  $V = 45a^{3}$
- D.
  $V = 60a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}$

Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}$

$V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}$
Câu 26: Vận dụng
Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng NC và BI

Cho hình lăng trụ ABC. MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Cosin của góc tạo bởi NC và BI bằng bao nhiêu?
- A. $\frac{{\sqrt 6 }}{2}$
- B. $\frac{{\sqrt {10} }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$
- D. $\frac{{\sqrt {15} }}{5}$
Gọi E là trung điểm MP => NE // BI
=> Góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng góc giữa hai đường thẳng NC và NE
=> Góc cần tính là $\widehat {CNE}$
Đặt a là chiều dài cạnh của hình lăng trụ ta có:
$\begin{matrix} NC = a\sqrt 2 \hfill \\ NE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ CE = \sqrt {C{P^2} + E{P^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \widehat {CNE} = \frac{{N{C^2} + N{E^2} - C{E^2}}}{{2NC.NE}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$
Câu 27: Vận dụng
Tính sin của góc giữa OM và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ , ABCD là hình thang vuông tại A, B và $2AB = 2BC = AD = 2a$ . Gọi $O = AC \cap BD$ , M là trung điểm SB. Tính sin của góc giữa OM và (SCD).
- A. $\frac{{2\sqrt {35} }}{{35}}$
- B. $\frac{{\sqrt {35} }}{{35}}$
- C. $\frac{{3\sqrt {35} }}{{70}}$
- D. $\frac{{\sqrt {35} }}{{70}}$
Trong (SBD), gọi $I = OM \cap SD \Rightarrow OM \cap \left( {SCD} ight) = I$
Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:
$\frac{{OB}}{{OD}} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}$
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:
$\frac{{BO}}{{OD}}.\frac{{DI}}{{IS}}.\frac{{SM}}{{MB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{DI}}{{IS}}.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IS}} = 2$
Tam giác SAD vuông tại A có
$SA = a\sqrt 2 ,AD = 2a \Rightarrow SD = a\sqrt 6$
=> $DI = \frac{3}{2}SD = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Mặt khác: $\frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight)}} = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight)$
Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và $2AB = 2BC = AD$ nên $AC = CD = a\sqrt 2$
=> $AC \bot CD$ mà $CD \bot SA$ $\Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$
Kẻ $AH \bot SC$ , có $CD \bot AH$ (do $CD \bot \left( {SBC} ight)$ )
$\Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} ight)} ight) = AH$
Xét tam giác SAC vuông tại A có $SA = a\sqrt 2 ,\,AC = a\sqrt 2$ , AH là đường cao:
$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = a \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{a}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác SBD có:
$\begin{matrix} SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \hfill \\ BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác DIO có:
$DI = 2SD = 2a\sqrt 6 ,DO = \frac{2}{3}DB = \frac{2}{3}a\sqrt 5 .$
Do đó:
$\begin{matrix} \cos SDB = \cos IDO \Leftrightarrow \dfrac{{S{D^2} + B{D^2} - S{B^2}}}{{2.SD.BD}} = \dfrac{{I{D^2} + O{D^2} - O{I^2}}}{{2.ID.OD}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{6{a^2} + 5{a^2} - 3{a^2}}}{{2.a\sqrt 6 .a\sqrt 5 }} = \dfrac{{24{a^2} + \dfrac{{20{a^2}}}{9} - O{I^2}}}{{2.2a\sqrt 6 .\dfrac{2}{3}a\sqrt 5 }}. \hfill \\ \Leftrightarrow 8 = \dfrac{{\dfrac{{236}}{9}{a^2} - O{I^2}}}{{\dfrac{4}{3}{a^2}}} \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{140{a^2}}}{9} \Leftrightarrow OI = \dfrac{{2a\sqrt {35} }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Mặt khác:
$\begin{matrix} \sin \left( {OM,\left( {SCD} ight)} ight) = \sin \left( {OI,\left( {SCD} ight)} ight) \hfill \\ = \dfrac{{d\left( {O,\left( {SCD} ight)} ight)}}{{OI}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{{2a\sqrt {35} }}{3}}} = \dfrac{{\sqrt {35} }}{{70}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA\bot(ABCD)$ , $SA = AB = a$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$ . Tính $(AM,BD)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB vuông tại A có: $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{2}$

Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:

$OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = (OE,BD)$ và $OE = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{4}SB = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Lại có: $CB\bot AB;SA\bot CB \Rightarrow CB\bot SB$

Suy ra tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:

$MC = \sqrt{MB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}.2a^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$BE = \frac{1}{2}MC = \frac{a\sqrt{6}}{4}$

Xét tam giác $EBO$ có:

$\cos\widehat{EOB} = \frac{EO^{2} + OB^{2} - EB^{2}}{2.EO.OB} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{EOB} = 60^{0} \Rightarrow OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = 60^{0}$
Câu 29: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp S.ABCD

Khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = SB = 2a$ . Mặt phẳng $(SAB)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $90^{0}$ . Xác định thể tích khối chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
- D.
  $V = \frac{2a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vậy thể tích hình chóp là:

$V = \frac{1}{3}.SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{15}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
Câu 30: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
- B.
  $d=a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) $=> AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK$
Xét tam giác SAM ta có:
$AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Vậy $d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Câu 31: Thông hiểu
Sin của góc tạo bởi A’H với (A’ACC’)

Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB = a,\widehat {ACB} = 30^\circ$ , M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60⁰. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính $\sin\alpha$ ?
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{5}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Ta có $A'H \bot \left( {ABC} ight)$ nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ $HK \bot AC$ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra $HI \bot \left( {AA'C'C} ight)$
Khi đó $\alpha = \left( {A'H,A'I} ight) = \widehat {HA'K}$
+) Do tam giác MCB cân tại B nên $\widehat {BMC} = \widehat {BCM} = 30^\circ$
$\begin{matrix} MH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{1}{4}\dfrac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \Rightarrow HK = MH.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng $\widehat {A'AH} = 60^\circ$ (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
$\Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{2}$
Vì vậy, $\sin \alpha = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 32: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $3a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{3}{2}a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = \frac{1}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = a^{3}$
Câu 33: Nhận biết
Chọn khẳng định có thể sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
- A. A’C’ ⊥ BD
- B. A’B ⊥ DC’
- C. BB’ ⊥ BD
- D. BC’ ⊥ A’D
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Câu 34: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ , đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại C và $AB = a\sqrt{3};AC = a$ . Biết tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ . Thể tích hình chóp tam giác $S.ABC$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Tam giác SAB đều nên $SH = \frac{3a}{2}$

Tam giác ABC vuông cân tại C nên

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \Rightarrow BC = \sqrt{3a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}$

Vậy thể tích hình chóp $S.ABC$ là: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$
Câu 35: Nhận biết
Tìm tất cả các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
- A.
  4 mặt phẳng
- B.
  5 mặt phẳng
- C.
  1 mặt phẳng
- D.
  2 mặt phẳng
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Câu 36: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
- A.
  $d =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $d = 2a$
- C.
  $d = a\sqrt{2}$
- D.
  $d =\frac{2a\sqrt{15}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc 60⁰
$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} =\widehat{(SC;AC)} = 60^{0} = \widehat{SCA}$
$SA = AC.tan\widehat{SCA} =a\sqrt{6}$
Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a
Xét tam giác ACB ta có:
$CM = a = \frac{1}{2}AB$
=> Tam giác ACB vuông tại C
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật
=> AC // BE
=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))
Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:
$d\left( A;(SBE) ight) = AK =\frac{SA.AE}{\sqrt{SA^{2} + AE^{2}}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 38: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 39: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ .
- B.
  Cho hai đường thẳng $a;b$ vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $a$ thì $b\bot(\alpha)$ .
- C.
  Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng kia.
- D.
  Cho hai đường thẳng chéo nhau, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề đúng: “Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ ”.

Minh họa bằng hình vẽ:
Câu 40: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ và $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

Mà $BC\bot SB$ nên SC là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAB)

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc giữa SC và SB hay góc $\widehat{CSB}$ .

Trong tam giác SAB vuông tại A có $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = \sqrt{2a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{3}$

Trong tam giác SBC vuông tại B có $\tan\widehat{CSB} = \frac{BC}{SB} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \widehat{CSB} = 30^{0}$

Số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $30^{0}$ .

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

32 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm