VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
- B.
  $d=a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) $=> AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK$
Xét tam giác SAM ta có:
$AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Vậy $d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Câu 2: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A;D$ ; $AB = a;AD = DC = a$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ , biết hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{0}$ . Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh $SD$ đến mặt phẳng $(SBC)$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{17}}{5}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{15}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{15}}{20}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{6}}{19}$
Từ I kẻ $IP\bot BC \Rightarrow BC\bot SP$

$\Rightarrow \left( (SBC);(ABCD) ight) = \widehat{SPI} = 60^{0}$

Gọi K là trung điểm của SD.

Gọi $Q = BC \cap AD$ , kẻ $IH\bot SP$

Ta có:

$d\left( K;(SBC) ight) = \frac{1}{2}d\left( D;(SBC) ight)$

$= \frac{1}{4}d\left( I;(SBC) ight) = \frac{1}{4}IH$

Xét tam giác ICQ có $IP = \frac{CD.IQ}{QC} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$

Xét tam giác SIP vuông tại I có $SI = IP.tan60^{0} = \frac{2a\sqrt{3}}{5}$

$\frac{1}{IH^{2}} = \frac{1}{IS^{2}} + \frac{1}{IP^{2}} \Rightarrow IH = \frac{3a^{2}}{5}$

$\Rightarrow IH = \frac{a\sqrt{15}}{5}$

$\Rightarrow d\left( K;(SBC) ight) = \frac{a\sqrt{15}}{20}$
Câu 3: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 4: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 5: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{6}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$ (meta)
Hình vẽ minh họa:

Gọi O = AC ∩BD. Do hình chóp S.ABCD đều => SO ⊥ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của SD.

Tam giác SCD đều nên CM ⊥ SD.

Tam giác SBD có SB = SD = a, $BD = a\sqrt{2}$ nên vuông tại S

=> SB ⊥ SD => OM ⊥ SD

=> ((SBD),(SCD)) = (OM, CM) = $\widehat{OMC}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OC\bot BD \\ OC\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot(SBD) \Rightarrow OC\bot OM$

Tam giác vuông MOC ta có:

$\tan\widehat{OMC} = \frac{OC}{OM} = \sqrt{2}$
Câu 6: Nhận biết
Chọn kết luận chính xác

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi $B$ , $SB\bot(ABCD)$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$ ?
- A.
  $(SBC)$
- B.
  $(SAD)$
- C.
  $(SCD)$
- D.
  $(SAC)$
Minh họa bằng hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AC\bot BD \\ AC\bot SB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AC = a\sqrt{3}$ và $AA' = 3a$ . Chọn kết luận đúng về số đo góc giữa $A'C$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có hình chiếu của A”C lên mặt phẳng (ABC) là AC

Suy ra $\left( A'C;(ABC) ight) = (A'C;AC) = \widehat{A'CA}$

Ta có: $\tan\widehat{A'CA} = \frac{AA'}{AC} = \frac{3a}{a\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{A'CA} = 60^{0} \Rightarrow \left( A'C;(ABC) ight) = 60^{0}$
Câu 8: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b
- B. Nếu c vuông góc với a và c vuông góc với b thì a song song với b
- C. Nếu a và b vuông góc với c thì a và b không thể chéo nhau
- D. Cả ba mệnh đề đều sai
Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.
Câu 9: Nhận biết
Xác định mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ . Đường thẳng vuông góc với đáy $ABC$ . Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
- A.
  $(SAC)$ .
- B.
  $(SBC)$ .
- C.
  $(ABC)$ .
- D.
  $(SAB)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$
Câu 10: Nhận biết
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
- A. 90⁰
- B. 30⁰
- C. 45⁰
- D. 60⁰
Gọi a là độ dài cạnh tứ diện. Khi đó
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } ight).\overrightarrow {CD} \hfill \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} \hfill \\ = AC.CD.\cos {120^0} + CB.CD.\cos {60^0} \hfill \\ = - \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \Rightarrow AB \bot CD \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh $2a$ , cạnh bên bằng $3a$ .
- A.
  $6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $3\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $\sqrt{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là $\frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AA' = 3a$ (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là: $V = \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}.3a = 3\sqrt{3}a^{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Tính giá trị tan α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA =a\sqrt{6}$ . Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{\sqrt{7}}{7}$
- C.
  $\frac{1}{7}$
- D.
  $\frac{1}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}BC\bot SA \\BC\bot AB \\\end{matrix} ight.$ => BC ⊥ (SAB)
=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
=> $\alpha = \widehat{BSC}$
Mà $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} =a\sqrt{7}$
Vậy $\tan\alpha = \frac{BC}{SB} =\frac{\sqrt{7}}{7}$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , cạnh đáy bằng $2a$ , đường cao bằng $a\sqrt{2}$ . Giả sử $\left( (SCD);(ABCD) ight) = \alpha$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
- B.
  $\tan\alpha = 2$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{12}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BC$ , M là trung điểm của CD.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ OM\bot CD \\ SM\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \alpha = (OM;SM) = \widehat{SMO}$

Trong tam giác SMO có $\tan\widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \sqrt{2}$
Câu 14: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ ?
- A.
  $V = a^{3}$
- B.
  $V = 2a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

$AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a$

Dễ thấy $A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2}$ nên tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại A

Gọi H là trung điểm của $A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a$

Ta lại có $MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH$

$\Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)$

$= \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}$

Vậy $V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}$
Câu 15: Vận dụng
Tính cosin góc giữa KM và SQ

Cho S.ABCD là hình chóp có đáy là hình chữ nhật. $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ . Gọi K nằm trên cạnh BC sao cho KC = 2KB, Q nằm trên cạnh CD sao cho QD = 3QC và M là trung điểm của cạnh SD. Biết $AB = a,AD = 2a$ và $KM = \frac{{a\sqrt {67} }}{6}$ . Tính cosin góc giữa KM và SQ.
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- B. $\frac{{38}}{{11\sqrt {67} }}$
- C. $\frac{3}{{\sqrt {67} }}$
- D. $\frac{1}{2}$
Gọi N là trung điểm AD. Như vậy MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MB // SA.
Vậy $MN \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {NK} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BK} \hfill \\ = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \end{matrix}$
Suy ra
$\begin{matrix} N{K^2} = {\left( {\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD} } ight)^2} = A{B^2} + \dfrac{1}{{36}}A{D^2} \hfill \\ = {a^2} + \dfrac{1}{{36}}.4{a^2} = \dfrac{{10}}{9}{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác MNK vuông tại N (do $MN \bot \left( {ABCD} ight)$ ) ta có:
$\begin{matrix} M{N^2} = M{K^2} - N{K^2} = \dfrac{{67}}{{36}}{a^2} - \dfrac{{10}}{9}{a^2} = \dfrac{3}{4}{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = a\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Lại có
$\begin{matrix} \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DQ} = \overrightarrow {AD} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} \hfill \\ \Rightarrow A{Q^2} = {\left( {\overrightarrow {AD} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} } ight)^2} \hfill \\ = A{D^2} + \dfrac{9}{{16}}A{B^2} \hfill \\ = {(2a)^2} + \dfrac{9}{{16}}{a^2} = \dfrac{{73}}{{16}}{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác SAQ vuông tại A nên
$\begin{matrix} S{Q^2} = A{S^2} + A{Q^2} = 3{a^2} + \dfrac{{73}}{{16}}{a^2} = \dfrac{{121}}{{16}}{a^2} \hfill \\ \Rightarrow SQ = \dfrac{{11}}{4}a \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có
$\begin{matrix} \overrightarrow {KM} = \overrightarrow {NM} - \overrightarrow {NK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AS} - \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {SQ} = \overrightarrow {AQ} - \overrightarrow {AS} = \overrightarrow {AD} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó
$\begin{matrix} \overrightarrow {KM} .\overrightarrow {SQ} = - \dfrac{3}{4}A{B^2} + \dfrac{1}{6}A{D^2} - \dfrac{1}{2}A{S^2} \hfill \\ = - \dfrac{3}{4}{a^2} + \dfrac{1}{6}.4{a^2} - \dfrac{1}{2}.3{a^2} = \dfrac{{ - 19}}{{12}}{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy
$\begin{matrix} \cos \left( {KM,SQ} ight) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {KM} ,\overrightarrow {SQ} } ight)} ight| \hfill \\ = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {KM} .\overrightarrow {SQ} } ight|}}{{KM.SQ}} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 19}}{{12}}{a^2}} ight|}}{{\dfrac{{a\sqrt {67} }}{6}.\dfrac{{11a}}{4}}} = \dfrac{{38}}{{11\sqrt {67} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 16: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của $BD'$ . Diện tích thiết diện tạo thành bằng:
- A.
  $\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ . Ta có: $EB = ED'$ nên $E$ thuộc mặt phẳng trung trực của $BD'$ .

Gọi $F;G;H;I;K$ lần lượt là trung điểm của $CD;CC';B'C';A'B';AA'$

Chứng minh tương tự ta có các điểm trên đều thuộc mặt phẳng trung trực của $BD'$

Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của $BD'$ là hình lục giác đều $EFGHIK$ có cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy diện tích thiết diện là: $S = 6.\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Câu 17: Nhận biết
Xác định thể tích hình chóp

Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng $5$ , diện tích đáy bằng $6$ . Thể tích của hình chóp bằng:
- A.
  $V = 15$
- B.
  $V = 10$
- C.
  $V = 12$
- D.
  $V = 32$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 6 \\ h = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp tam giác là $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.6.5 = 10$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  BM ⊥ AC.
- B.
  (SBM) ⊥ (SAC).
- C.
  (SAB) ⊥ (SBC).
- D.
  (SAB) ⊥ (SAC).
Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm AC

=> BM ⊥ AC.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BM\bot AC \\ BM\bot SA \\ \end{matrix} ight.$ (do SA ⊥ (ABC)) => BM ⊥ (SAC) => (SBM) ⊥ (SAC).

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot BA \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.$ (do SA ⊥ (ABC)) => BC ⊥ (SAB) => (SBC) ⊥ (SAB).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai
Câu 19: Nhận biết
Tìm tất cả các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
- A.
  4 mặt phẳng
- B.
  5 mặt phẳng
- C.
  1 mặt phẳng
- D.
  2 mặt phẳng
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Câu 20: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mênh đề nào đúng?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
- B.
  Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- C.
  Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).
- D.
  Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d của (α) và (β) nếu có sẽ vuông góc với (γ).
Mệnh đề: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.” Sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.” sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Mệnh đề: “Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).” Sai vì ít nhất nếu cả A và B đều thuộc giao tuyến của (α) và (β) thì AB trùng với (α) ⋂ (β).
Câu 21: Nhận biết
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?
- A.
  Có một đường thẳng song song với (P) và vuông góc với (Q).
- B.
  Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b.
- C.
  Có một đường thẳng nằm trong (P) mà hình chiếu vuông góc của nó trên (Q) trùng với giao tuyến của (P) và (Q).
- D.
  Có hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau, lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho a và b đều vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).
Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.
Câu 22: Thông hiểu
Tính góc giữa AB và CD

Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều. Khi đó $(AB;CD)$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: I là trung điểm của AB.

Vì $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều nên $\left\{ \begin{matrix} CI\bot AB \\ DI\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(CID) \Rightarrow AB\bot CD$
Câu 23: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh $SA$ vuông góc với đáy và $SA = \sqrt{2}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ đã cho.
- A.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $V = \sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\sqrt{2}.1^{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Câu 24: Thông hiểu
Kéo ghép đáp án đúng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$
Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//A'B'$ mà $(A'B',B'C') = 90^{0} \Rightarrow (AB,B'C') = 90^{0}$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $(AC;BC) = 45^{0}$

Ta có: $BC//B'C'$ nên $(AC,B'C') = 45^{0}$

Ta có: $A'C'//AC$ và tam giác $AVB'$ là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó $(A'C',B'C) = (AC,B'C) = 60^{0}$
Câu 25: Thông hiểu
Hoàn thành mệnh đề

Nếu ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng vuông góc với vecto $\vec{n}$ khác $\vec{0}$ thì chúng:
- A.
  Đồng phẳng
- B.
  Không đồng phẳng
- C.
  Có thể đồng phẳng
- D.
  Có thể không đồng phẳng
"Nếu ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng vuông góc với vecto $\vec{n}$ khác $\vec{0}$ thì chúng đồng phẳng"
Giải thích:
Giả sử $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực $(x; y; z)$ sao cho:
$\overrightarrow n = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + z\overrightarrow c$
Nhân cả hai vế với $\overrightarrow n$ ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow n .\overrightarrow n = x\overrightarrow a .\overrightarrow n + y\overrightarrow b .\overrightarrow n + z\overrightarrow c .\overrightarrow n = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}$
(Mâu thuẫn với giả thiết)
Câu 26: Thông hiểu
Khẳng định nào là khẳng định đúng

Cho tứ diện ABCD có H là trực tâm tam giác BCD, AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A.
  CD ⊥ BD
- B.
  AC = BD
- C.
  AB ⊥ CD
- D.
  AB ⊥ CD
Hình vẽ minh họa:

Vì AH ⊥ (BCD) => AH ⊥ CD (*)

Do H là trực tâm tam giác BCD => BH ⊥ CD (**)

Từ (*) và (**) => CD ⊥ AH, CD ⊥ BH => CD ⊥ (ABH) => CD ⊥ AB
Câu 27: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ và cạnh $AA' = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $12a^{3}$
- B.
  $\frac{14}{3}a^{3}$
- C.
  $24a^{3}$
- D.
  $\frac{7a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Ta có: $AM = \frac{AA'}{tan30^{0}} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow BC = 2AM = 4a\sqrt{3}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}.AM.BC = 12a^{3}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 24a^{3}$
Câu 28: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 29: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).
- B.
  Nếu a // (P) và b ⊥ (P) thì a ⊥ b.
- C.
  Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).
- D.
  Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).
Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).
Câu 30: Thông hiểu
Xác định thể tích V

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác trong hình vẽ sau:
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Quan sát hình vẽ ta thấy:

Tam giác ABC vuông cân tại B

$\Rightarrow AB = BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = a$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}a^{2}$

Khi đó $V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.BB' = \frac{1}{2}a^{2}.a = \frac{a^{3}}{2}$
Câu 31: Vận dụng
Góc giữa hai đường thẳng SB và AC trong mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, $SA = a\sqrt 3$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?
- A. $\alpha = {69^0}17'$
- B. $\alpha = {72^0}84'$
- C. $\alpha = {84^0}62'$
- D. $\alpha = {27^0}38'$
Hình vẽ minh họa
Lấy M là trung điểm của SD
Góc cần tìm là góc giữa OM và SC
Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD
$\begin{matrix} M{C^2} = \dfrac{{S{C^2} + D{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 2{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác MOC ta có:
$\begin{matrix} \cos \widehat {MOC} = \dfrac{{M{O^2} + O{C^2} - M{C^2}}}{{2.MO.OC}} = - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \hfill \\ \Rightarrow \alpha \approx {69^0}17\prime \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 32: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $8a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{4}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 4a^{3}$
- C.
  $V = \frac{8}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 33: Thông hiểu
Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A.
  ϕ = 90◦
- B.
  ϕ = 60◦
- C.
  ϕ = 45◦
- D.
  ϕ = 30◦
Hình vẽ minh họa:

Gọi M’ là trung điểm OC.

Khi đó MM’ // SO => MM’ ⊥ (ABCD).

Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có:

$\begin{matrix}\cos\phi = \dfrac{S_{M'BD}}{S_{MBD}} = \dfrac{BD.MO}{BD.M'O} =\dfrac{MO}{M'O} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \hfill \\\Rightarrow \phi = 45^{0} \hfill \\\end{matrix}$
Câu 34: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện AJQK

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a$ . Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ ?
- A.
  $V = 15a^{3}$
- B.
  $V = 30a^{3}$
- C.
  $V = 45a^{3}$
- D.
  $V = 60a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}$

Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}$

$V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}$
Câu 35: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d.
- B.
  Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).
- C.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- D.
  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d” là sai. Trong trường hợp a ∈ d, b ∈ d, khi đó AB trùng với d.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia” là sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Vậy mệnh đề đúng là: ”Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).”
Câu 36: Vận dụng cao
Tổng khoảng cách d

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $\sqrt{3}$ . Gọi I là tâm của đáy ABC, d’ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d’’ là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d’ + d’’.
- A.
  $\frac{4\sqrt{22}}{33}$
- B.
  $\frac{8\sqrt{22}}{33}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{22}}{33}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{33}$
Gọi I là tâm của đáy ABC
=> $d' = 3d'' \Rightarrow d= 4d'' = 4IK$
Xét tam giác ABC đều cạnh a có tâm I
=> $AM = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left\{ \begin{matrix}AI = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\IM = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \\\end{matrix} ight.$
Xét tam giác SAI vuông tại I
$SI^{2} = SA^{2} - AI^{2} = 3^{2} -\frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
$\Rightarrow SI =\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Xét ∆SIM vuông tại I có:
$\frac{1}{IK^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} +\frac{1}{IM^{2}} = \frac{8}{99}$
$\Rightarrow IK = \frac{2\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = \frac{8\sqrt{22}}{33}$
Câu 37: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp tứ giác

Cho khối chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ ; đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = a\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ , biết mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60^{0}$ .
- A.
  $V = \sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $S_{ABCD} = a^{2}\sqrt{3}$

Vì $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABCD) = BC \\ BC\bot SB \subset (SBC) \\ BC\bot AB \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SBC);(ABCD) ight) = (SB;AB) = \widehat{SBA}$

Vậy $\widehat{SBA} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông SAB có

$\tan60^{0} = \frac{SA}{AB} \Rightarrow SA= AB.\tan60^{0} = a\sqrt{3}$

Vậy $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \frac{1}{3}.a^{2}\sqrt{3}.a\sqrt{3} = a^{3}$
Câu 38: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 39: Thông hiểu
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và $SO=\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
- A.
  $d = 2$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{30}}{5}$
- C.
  $d=2\sqrt{2}$
- D.
  $d=\sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BD \bot AC} \\ {BD \bot SO} \end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight)} ight.$
Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:
$OK⊂(SAC)⇒OK⊥BD(2)$
Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD
Khi đó $d(SA;BD)=OK$
$\begin{matrix} OK = \dfrac{{SO.OA}}{{\sqrt {S{O^2} + O{A^2}} }} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 3 .\dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {30} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 40: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC), H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  SA ⊥ BC
- B.
  BC ⊥ AH
- C.
  AC ⊥ AH
- D.
  AH ⊥ SC
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) mà BC thuộc (ABC)

=> SA ⊥ BC

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Khi đó: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Nếu có: AH ⊥ AC trong khi SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAB)

=> AC ⊥ AB (vô lí)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

17 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6