VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài Rủ bạn học

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị $\cos \varphi$ bằng:
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$
- D. $\frac{{\sqrt 2 }}{6}$
Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=> $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } ight) = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} \hfill \\ = CB.CM.\cos \widehat {BCM} - CB.CA.\cos \widehat {ACB} \hfill \\ = a.\dfrac{a}{2}.\cos {60^o} - a.a.\cos {60^o} = - \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } ight|.\left| {\overrightarrow {AM} } ight|}} = \dfrac{{\dfrac{{ - {a^2}}}{4}}}{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{6}$

=> $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight)} ight| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 2: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 3: Thông hiểu
Độ dài DE

Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Độ dài DE bằng:
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $a\sqrt{2}$
- C.
  $3a^{2}$
- D.
  $a(1 + \sqrt{3})$
Ta có:
EB ⊥ (ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho
=> CD ⊥ (EBC) => CD ⊥ CE
=> Tam giác ECD vuông tại C.
=> $DE = \sqrt {E{C^2} + C{D^2}}$
Ta có: EB ⊥ BC => Tam giác EBC vuông tại B
=> $EC = \sqrt {B{E^2} + C{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$
=> $DE = \sqrt {E{C^2} + C{D^2}}$
=> $DE =a\sqrt{3}$
Câu 4: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = a\sqrt{5};d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = a^{3}\sqrt{5}$
- B.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{5}}{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AJ\bot BB' \\ AK\bot CC' \Rightarrow AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AJK)$

$\Rightarrow BB'\bot JK \Rightarrow JK//CH \Rightarrow JK = CH = a\sqrt{5}$

Xét tam giác AJK có: $JK^{2} = AJ^{2} + AK^{2} = 5a^{2}$

Vậy tam giác AJK vuông tại A

Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có: $AF = JF = FK = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:

$\cos\widehat{ANF} = \dfrac{AF}{AN} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ANF} = 60^{0}$

( $AN = AM = a\sqrt{5}$ vì $AN//AM;AN = AM$ )

$\Rightarrow S_{AJK} = \frac{1}{2}AJ.AK = \frac{1}{2}.a.2a = a^{2}$

Lại có: $S_{AJK} = S_{ABC}.\cos60^{0}\Rightarrow S_{ABC} = \frac{S_{AJK}}{\cos60^{0}} = 2a^{2}$

Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:

$\widehat{MAA'} = \widehat{AMF} = 30^{0}$

Hay $AM = A'M.\tan30^{0} =\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

$V = AM.S_{ABC} = \frac{a\sqrt{15}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
- B.
  $d=a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) $=> AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK$
Xét tam giác SAM ta có:
$AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Vậy $d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Câu 6: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp S.ABCD

Khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = SB = 2a$ . Mặt phẳng $(SAB)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $90^{0}$ . Xác định thể tích khối chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
- D.
  $V = \frac{2a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vậy thể tích hình chóp là:

$V = \frac{1}{3}.SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{15}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
Câu 7: Vận dụng
Tính tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Tính tan α. Biết α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).
- A.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45⁰ khi đó:

$\begin{matrix} \left( SC;(ABCD) ight) = (SC;AC) = \widehat{SCA} \\ \Rightarrow SA = AC = 2a\sqrt{2} \\ \end{matrix}$

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} DO\bot AC \\ DO\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow DO\bot(SAC)$ => Hình chiếu của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.

=> $\left( SD;(SAC) ight) = (SD;SO) = \widehat{DSO}$

$\left\{ \begin{matrix}DO = \dfrac{1}{2}BD = a\sqrt{2} \hfill \\SO = \sqrt{SA^{2} + AO^{2}} = a\sqrt{10} \hfill \\\end{matrix} ight.$

=> $\tan\widehat{DSO} = \frac{DO}{SO} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA = a;SA\bot(ABCD)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC;BD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- B.
  $a\sqrt{6}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Dựng $Cx//BD;(\alpha) = (SC;Cx)$

$\Rightarrow d(BD;SC) = d\left( BD;(\alpha) ight)$

$d\left( BD;(\alpha) ight) = d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{1}{2}d\left( A;(\alpha) ight)$

Dựng $AK\bot SC$ . Dễ thấy $AK\bot(\alpha) \Rightarrow d\left( A;(\alpha) ight) = AK$

$\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng?

Cho tứ diện ABCD có AB = AC, BD = CD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  BD ⊥ (ABC)
- B.
  AC ⊥ BD
- C.
  CD ⊥ (ABD)
- D.
  BC ⊥ AD
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD
Câu 10: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
- A.
  IO
- B.
  IA
- C.
  IC
- D.
  IB
Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Câu 11: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 12: Thông hiểu
Xác định kết luận sai

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là hình tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ trên cạnh $SB;SC$ . Kết luận nào sau đây sai?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $AH\bot(SBC)$
- C.
  $AK\bot(SBC)$
- D.
  $SC\bot(AKH)$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}SA\bot(ABC) \\BC \subset (ABC) \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow SA\bot BC;AB\bot BC$
$\Rightarrow BC\bot(SAB)$ đúng
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}BC\bot AH \\SC\bot AH \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC)$ đúng
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AH\bot SC \\AK\bot SC \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow SC\bot(AHK)$ đúng
Vậy kết luận sai là: $AK\bot(SBC)$ .
Câu 13: Vận dụng
Thiết diện tạo bởi (α) là hình gì

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy lớn AB; cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi Q là điểm trên cạnh SA và Q ≠ A, Q ≠ S; M là điểm trên đoạn AD và M ≠ A. Mặt phẳng (α) qua QM và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho là
- A.
  tam giác
- B.
  hình thang cân
- C.
  hình thang vuông
- D.
  hình bình hành
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot AD \\ AB\bot SA \\ \end{matrix} ight.$ => AB ⊥ (SAD)

Mà (α) ⊥ (SAD) suy ra AB// (α).

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P.

Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN // P Q).

Vì AB ⊥ (SAD) suy ra MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ QM.

Do đó thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại Q và M
Câu 14: Nhận biết
Tính khoảng cách

Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 15: Thông hiểu
Tính thể tích V của khối chóp

Cho một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x(cm)$ , biết độ dài cạnh bên và cạnh đáy tỉ lệ $2:1$ . Tính thể tích V của khối chóp?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{14}}{6}x^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{14}}{2}x^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{2}x^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}x^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$

$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} + x^{2}} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Trong tam giác SOC vuông tại O ta có:

$SO = \sqrt{SC^{2} - OC^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} - \left( \frac{x\sqrt{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{x\sqrt{14}}{2}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SO = \frac{1}{3}.\frac{x\sqrt{14}}{2}.x^{2} = \frac{x^{3}\sqrt{14}}{6}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính số đo góc

Cho hình chóp $S.ABC$ có $BC = a\sqrt{2}$ , các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $70^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AB, SA

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//SB \\ MH//AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SB,AC) = (MN,MH)$

$\left\{ \begin{matrix}MN = \dfrac{SB}{2} = \dfrac{a}{2} \\NH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a}{2} \\AH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác SBC có: SB = SC nên $SH\bot BC \Rightarrow SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Lại H là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà SA = SB = SC = a nên $SH\bot(ABC)$

Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H

$HN = \frac{SA}{2} = \frac{a}{2}$

Do đó tam giác MHN cạnh $\frac{a}{2}$ . Góc cần tìm bằng $60^{0}$
Câu 17: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ .
- B.
  Cho hai đường thẳng $a;b$ vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $a$ thì $b\bot(\alpha)$ .
- C.
  Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng kia.
- D.
  Cho hai đường thẳng chéo nhau, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề đúng: “Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ ”.

Minh họa bằng hình vẽ:
Câu 18: Nhận biết
Xác định góc giữa hai đường thẳng AC, A’D

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC, A’D là góc nào sau đây?
- A. $\widehat {AB'C}$
- B. $\widehat {DA'C'}$
- C. $\widehat {BB'D}$
- D. $\widehat {BDB'}$
Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:
$\left( {\widehat {AC;A'D}} ight) = \left( {\widehat {A'C';A'D}} ight)$
Như vậy $\left( {\widehat {AC;A'D}} ight) = \widehat {DA'C'}$
Câu 19: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và HD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; biết AB = BC = 4a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng $a\sqrt {10}$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và HD.
- A. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$
- B. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- C. $\frac{{\sqrt 5 }}{4}$
- D. $\frac{{\sqrt 5 }}{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \left( {SAB} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = AB \hfill \\ SH \bot AB \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SH \bot (ABCD)$
Kẻ $CK \bot HD$ tại K, ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} CK \bot HD \hfill \\ CK \bot SH \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow CK \bot \left( {SHD} ight) \hfill \\ \Rightarrow d(C,(SHD)) = CK = a\sqrt {10} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} CH = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = a\sqrt {20} \hfill \\ \Rightarrow HK = \sqrt {C{H^2} + C{K^2}} = a\sqrt {10} \hfill \\ \Rightarrow CK = HK \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó tam giác CHK vuông cân tại K
$\Rightarrow \widehat {KHC} = {45^o} \Rightarrow \widehat {DHC} = {45^o} \Rightarrow \tan \widehat {DHC} = 1$
Tam giác BHC vuông tại B nên $\tan \widehat {BHC} = \frac{{BC}}{{BH}} = 2$
$\tan \widehat {BHD} = \tan \left( {\widehat {BHC} + \widehat {CHD}} ight) = \frac{{\tan \widehat {BHC} + \tan \widehat {CHD}}}{{1 - \tan \widehat {BHC}.\tan \widehat {CHD}}} = - 3$
Mà $\widehat {BHD} + \widehat {AHD} = 180^\circ$
$\Rightarrow \tan \widehat {AHD} = - \tan \widehat {BHD} = 3 \Rightarrow \frac{{AD}}{{AH}} = 3 \Rightarrow AD = 6a$
Gọi M, E lần lượt là giao điểm của HD với AC và BC.
Khi đó AEBD là hình bình hành nên EB = AD = 4a => EC = 10a
Ta có: AD // EC
$\begin{matrix} \dfrac{{AD}}{{EC}} = \dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{6a}}{{10a}} = \dfrac{3}{5} \hfill \\ \Rightarrow AM = \frac{3}{5}MC = \dfrac{3}{8}AC = \dfrac{3}{8}.a\sqrt {32} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CN song song HD, với $N \in AB$ . Khi đó góc giữa hai đường thẳng SC và HD bằng góc giữa SC và CN.
Ta có:
$\begin{matrix} AH = \dfrac{3}{5}HN \hfill \\ \Rightarrow HN = \dfrac{{10}}{3}a \Rightarrow BN = \dfrac{4}{3}a \hfill \\ SN = \sqrt {S{H^2} + H{N^2}} = \sqrt {\dfrac{{208}}{3}} a \hfill \\ CN = \sqrt {B{N^2} + B{C^2}} = \dfrac{{4\sqrt {10} }}{3}a. \hfill \\ \end{matrix}$
Áp dụng định lý côsin trong tam giác SCN, ta có:
$\cos \widehat {SCN} = \frac{{S{C^2} + C{N^2} - S{N^2}}}{{2SC.CN}} = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$
Vậy $\cos \left( {SC,HD} ight) = \cos \left( {SC,CN} ight) = \left| {\cos \widehat {SCN}} ight| = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$
Câu 20: Thông hiểu
Xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}$ ?
- A. 60⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 120⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} ) \hfill \\ - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos {60^0}{\text{ }} \hfill \\ {\text{Do }}AC = AD \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \hfill \\ \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 21: Vận dụng cao
Tổng khoảng cách d

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $\sqrt{3}$ . Gọi I là tâm của đáy ABC, d’ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d’’ là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d’ + d’’.
- A.
  $\frac{4\sqrt{22}}{33}$
- B.
  $\frac{8\sqrt{22}}{33}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{22}}{33}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{33}$
Gọi I là tâm của đáy ABC
=> $d' = 3d'' \Rightarrow d= 4d'' = 4IK$
Xét tam giác ABC đều cạnh a có tâm I
=> $AM = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left\{ \begin{matrix}AI = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\IM = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \\\end{matrix} ight.$
Xét tam giác SAI vuông tại I
$SI^{2} = SA^{2} - AI^{2} = 3^{2} -\frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
$\Rightarrow SI =\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Xét ∆SIM vuông tại I có:
$\frac{1}{IK^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} +\frac{1}{IM^{2}} = \frac{8}{99}$
$\Rightarrow IK = \frac{2\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = \frac{8\sqrt{22}}{33}$
Câu 22: Thông hiểu
Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB)

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 60⁰. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).
- A. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$
- B. $\frac{1}{{2\sqrt 5 }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- D. $\frac{3}{{2\sqrt 5 }}$
Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên $SO \bot \left( {ABCD} ight);BD \bot \left( {SAC} ight)$
ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC = BD = a\sqrt 2 ;OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Ta có: $\left( {SAB} ight) \cap \left( {AMO} ight) = AM$
Khi đó: $\sin \varphi = \frac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}}$ với $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do $BD \bot \left( {SAC} ight)$ suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc $\widehat {BSO} = {60^0}$ .
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
$\begin{matrix} SO = \dfrac{{OB}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ SB = \dfrac{{OB}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ \Rightarrow MB = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} ight) \Rightarrow OH \bot AB$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OH \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight) = OH$
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên $OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt {10} }}$
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{2A{B^2} + 2S{A^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow AM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ C{M^2} = \dfrac{{2C{B^2} - 2C{S^2} - S{B^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2}}}{3} \Rightarrow CM = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} \hfill \\ \end{matrix}$
Trong tam giác AMC, có:
$\cos \widehat {CAM} = \frac{{A{M^2} + A{C^2} - M{C^2}}}{{2AMM.AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {CAM} = {30^0}$
$\begin{matrix} d\left( {O;AM} ight) = \dfrac{{d\left( {C;AM} ight)}}{2} \hfill \\ = \frac{1}{2}AC.\sin \widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}AC.\sin {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \hfill \\ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{d\left( {O;\left( {SAB} ight)} ight)}}{{d\left( {O;AM} ight)}} = \dfrac{a}{{\sqrt {10} }}:\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Thông hiểu
Xác định thể tích khối hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{16\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 60^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan60^{0} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = 2a\sqrt{3}.8a^{2} = 16a^{3}\sqrt{3}$
Câu 24: Nhận biết
Xác định số mệnh đề đúng

Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi a, b, c, d là các đường thẳng. Xét các mệnh đề sau:

(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P).

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai
Câu 25: Nhận biết
Tính thể tích khối lập phương

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $3a$ ?
- A.
  $V = 27a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = 9a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $V = (3a)^{3} = 27a^{3}$
Câu 26: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

a) $\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

b) $AH\bot(SBC)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ Đúng||Sai

d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

$\widehat{(AC;AD)} = 90^{0}$ đúng

$AH\bot(SBC)$ đúng

$\widehat{(SC;HK)} = 90^{0}$ đúng

Tam giác SBC cân tại B. sai
Câu 27: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
- A.
  a vuông góc với (P).
- B.
  a song song với (P).
- C.
  a nằm trên (P).
- D.
  a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Câu 28: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  $SA\bot SB$
- B.
  $SA\bot CD$
- C.
  $SA\bot BD$
- D.
  $SA\bot BD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} SA\bot CD \\ SA\bot BD \\ SA\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

Vậy mệnh đề sai là: $SA\bot SB$
Câu 29: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh $SA$ vuông góc với đáy và $SA = \sqrt{2}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ đã cho.
- A.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $V = \sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\sqrt{2}.1^{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Câu 30: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $BM\bot AC$
- B.
  $(SBM)\bot(SAC)$
- C.
  $(SAB)\bot(SBC)$
- D.
  $(SAB)\bot(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B, BM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.

$\Rightarrow BM\bot SA$

Lại có: $BM\bot SA \Rightarrow BM\bot(SAC) \Rightarrow BM\bot AC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BM\bot(SAC) \\ BM \subset (SBM) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SBM)\bot(SAC)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

Mà $BC \subset (SBC) \Rightarrow (SAB)\bot(SBC)$
Câu 32: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c)
- B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c
- C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn
- D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Mệnh đề đúng là: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c)
Câu 33: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC

Khi đó $SH\bot(ABC);BH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Theo bài ra ta có:

$\left( SB;(ABC) ight) = \widehat{SBH} = 60^{0}$

Tam giác SBH vuông tại H có: $SH = BH.tan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3} = a$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
Câu 34: Nhận biết
Xác định mặt phẳng theo yêu cầu

Cho hình chóp $ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , $SA = SC$ . Mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
- A.
  $(SAD)$
- B.
  $(ABCD)$
- C.
  $(SBD)$
- D.
  $(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: O là tâm hình thoi ABCD $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} OB = OD \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $SA = SC \Rightarrow SO\bot AC$ (tính chất tam giác cân)

Và $AC\bot BD$ (tính chất hình thoi)

Từ (1) và (2) suy ra $AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)$
Câu 35: Thông hiểu
Tính góc nhị diện

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $AB = a\sqrt{2}$ . Biết $SA\bot(ABC)$ và $SA = a$ . Góc nhị diện $\lbrack S,\ BC,\ Abrack$ có số đo bằng:
- A.
  $30{^\circ}$ .
- B.
  $60{^\circ}$ .
- C.
  $45{^\circ}$ .
- D.
  $90{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Kẻ $AM\bot BC$ tại $M \Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$ và $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{\left( a\sqrt{2} ight)\sqrt{2}}{2} = a$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ (SAM)\bot BC \\ (SAM) \cap (SBC) = SM \\ (SAM) \cap (ABC) = AM \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left( \widehat{(SBC),(ABC)} ight) = \left( \widehat{SM,AM} ight)$ .

Suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng góc $\widehat{SMA}$ .

Ta có: $\tan\widehat{SMA} = \frac{SA}{AM} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat{SMA} = 45{^\circ}$

Suy ra góc nhị diện $\lbrack S,\ BC,\ Abrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ .
Câu 36: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ BC\bot AB \\ SA\bigcap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ CD\bot AD \\ SA\bigcap AD = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow CD\bot(SAD)$ mà $CD \subset (SCD)$

$\Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SC \cap (SAD) = \left\{ S ight\} \\ CD\bot(SAD) \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)

Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc $\widehat{CSD}$ trong tam giác vuông SCD.

Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:

$\tan\widehat{SCD} = \sqrt{6} \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = \widehat{SCD} eq 30^{0}$
Câu 37: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp $S.ABC$ đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $SA\bot(ABC)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $BC\bot SA$
- B.
  $BC\bot(SAB)$
- C.
  $BC\bot SB$
- D.
  $BC\bot(SAC)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA;\left( do\ SA\bot(ABC) ight) \\ BC\bot AB \\ SA \cap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

$\Rightarrow BC\bot SB$

Vậy đáp án sai là: $BC\bot(SAC)$ .
Câu 38: Vận dụng
Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{21}}{6}$ . Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a}{4}$
- B.
  $d=\frac{3a}{4}$
- C.
  $d=\frac{3}{4}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa
Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC
Do S.ABC đều nên => $SO \bot(ABC)$
Gọi E là trung điểm của BC ta có:
$\begin{matrix} AO \cap \left( {SBC} ight) = E \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight)}} = \dfrac{{AE}}{{OE}} = 3 \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 3d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Xét (SAE) kẻ $OK \bot SE (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot AE} \\ {BC \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SEA} ight) \Rightarrow BC \bot OK\left( {**} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} SO = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}AE} ight)}^2}} \hfill \\ = \sqrt {\dfrac{{21{a^2}}}{{36}} - {{\left( {\dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)}^2}} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác vuông SOE ta có:
$OK = \frac{{SO.OE}}{{\sqrt {S{O^2} + O{E^2}} }} = \frac{a}{4}$
$\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 3OK = \frac{{3a}}{4}$
Câu 39: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 40: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $3a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{3}{2}a^{3}$
- B.
  $V = 3a^{3}$
- C.
  $V = \frac{1}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = a^{3}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

67 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm