VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tính góc giữa AC' và (ABCD)

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ (như hình vẽ):

Biết rằng $AB = AD = 2;AA' = 2\sqrt{2}$ . Tính góc tạo bởi đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $(ABCD)$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Góc cần tìm là góc $\widehat{A'CA} = \alpha$

Vì đáy là hình vuông nên $AC = AB\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{AA'}{AC} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^{0}$

TH

1
Câu 2: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $ABC$ vuông tại $B$ và $SA\bot(ABC)$ . Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $SAB$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  $SA\bot BC$
- B.
  $AH\bot AC$
- C.
  $AH\bot SC$
- D.
  $AH\bot BC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB(gt) \\ BC\bot SA;\left( do\ SA\bot(ABC) ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH$

Mà $AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AH\bot SC \\ AH\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

Vậy khẳng định sai là: “ $AH\bot AC$ ”.
Câu 3: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC

Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh bằng 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
- A.
  $2\sqrt{3}$
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  3
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.

Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.

=> d(AA’, BC) = $\frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Câu 4: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Cho tứ diện O.ABC trong đó ba đường thẳng OB, OC, OA đôi một vuông góc. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A. Hai cạnh đối nào của tứ diện cũng vuông góc với nhau
- B. Mỗi cạnh OB, OC, OA của tứ diện đều vuông góc với đúng ba cạnh khác của tứ diện
- C. Tam giác ABC là tam giác vuông
- D. Tam giác ABC có thế là tam giác đều
Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn
Câu 5: Vận dụng
Góc giữa hai đường thẳng SB và AC trong mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, $SA = a\sqrt 3$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?
- A. $\alpha = {69^0}17'$
- B. $\alpha = {72^0}84'$
- C. $\alpha = {84^0}62'$
- D. $\alpha = {27^0}38'$
Hình vẽ minh họa
Lấy M là trung điểm của SD
Góc cần tìm là góc giữa OM và SC
Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD
$\begin{matrix} M{C^2} = \dfrac{{S{C^2} + D{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 2{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác MOC ta có:
$\begin{matrix} \cos \widehat {MOC} = \dfrac{{M{O^2} + O{C^2} - M{C^2}}}{{2.MO.OC}} = - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \hfill \\ \Rightarrow \alpha \approx {69^0}17\prime \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Vận dụng
Tính độ dài cạnh SA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB = 2AD = 2DC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60◦. Độ dài cạnh SA là:
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $2a\sqrt{3}$
- C.
  $3a\sqrt{2}$
- D.
  $a\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi E là trung điểm của AB.

Ta dễ dàng chứng minh được ABCE là hình vuông

$\left\{ \begin{matrix} CE\bot AB \\ CE\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CE\bot(SAB) \Rightarrow CE\bot SB$

Trong (SAB) kẻ HE ⊥ SB ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SB\bot EH \\ SB\bot CE \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SB\bot(CHE) \Rightarrow SB\bot CH$

$\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} (SAB)\ \cap \ (SBC) = SB \\ (SAB) \supset EH\bot SB \\ (SAC) \supset CH\bot SB \\ \end{matrix} ight.\ \\ \Rightarrow \widehat{\left( (SAB),(SBC) ight)} = \widehat{(EH,CH)} = \widehat{CHE} = 6 \\ \end{matrix}$

Xét tam giác vuông CEH có EH = CE. cot 60◦ = $a\sqrt{3}$

Ta có ∆SAB ∼ ∆EHG (g - g)

$\begin{matrix}\Rightarrow \dfrac{SA}{EH} = \dfrac{SB}{BE} \hfill \\\Rightarrow SA = \dfrac{SB.EH}{BE} =\dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{SA^{2} + 4a^{2}}}{a} \\\Rightarrow \sqrt{3SA} = \sqrt{SA^{2} + 4a^{2}}\hfill \\\Leftrightarrow SA = a\sqrt{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 7: Vận dụng
Tính chu vi đáy của hình chóp đó

Cho hình chóp đều, các cạnh bên có độ dài bằng $a$ và tạo với đáy một góc $60^{0}$ . Tính chu vi đáy P của hình chóp đó.
- A.
  $P = 3a\sqrt{3}$
- B.
  $P = 3a$
- C.
  $P = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $P = \frac{3a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ $SH\bot(ABC)$

H là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: $\left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAH} = 60^{0}$

$\Rightarrow AH = SA.cos\widehat{SAH} = SA.cos60^{0} = a.\frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM = \frac{3}{2}AH = \frac{3}{2}.\frac{a}{2} = \frac{3a}{4}$

Gọi $AB = BC = AC = x \Rightarrow BM = \frac{x}{2}$

Vì M là trung điểm của BC nên $AM\bot BC$

$\Rightarrow AB^{2} = BM^{2} + AM^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} = \frac{1}{4}x^{2} + \left( \frac{3a}{4} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Chu vi đáy ABC bằng $AB + BC + AC = 3.x = 3.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a\sqrt{3}}{2}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦ . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $\frac{3a\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $a\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{3a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{3a}{2}$
Ta có:

Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có

d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ = $\frac{3a}{2}$
Câu 9: Thông hiểu
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC). Biết α là góc giữa SB và mặt phẳng (ABC). Xác định góc α.
- A.
  $\alpha = \widehat{SBA}$
- B.
  $\alpha = \widehat{BSA}$
- C.
  $\alpha = 90^{0}$
- D.
  $\alpha = 180^{0} - \widehat{SBA}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có SA ⊥(ABC) => Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB.

=> Góc giữa đường thẳng SB và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng SB và AB

Tức là $\alpha = \widehat{SBA}$
Câu 10: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 11: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 12: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 13: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$ và $SA = a\sqrt{3}$ vuông góc với đáy. Tính $cosin$ góc giữa $SB;AC$ .
- A.
  $\cos(SB,AC) = \frac{1}{2}$
- B.
  $\cos(SB,AC) = \cos\widehat{HOI} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\cos(SB,AC) = \frac{\sqrt{2}}{4}$
- D.
  $\cos(SB,AC) = \frac{1}{4}$
Hình vẽ minh hoạ

Gọi I là trung điểm của SD

=> OI là đường trung bình tam giác SBD

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}OI//SB \\OI = \dfrac{SB}{2} = \dfrac{\sqrt{SA^{2} + AB^{2}}}{2} = a \\\end{matrix} ight.$

Ta có: $AI = \frac{SD}{2} = \frac{\sqrt{SA^{2} + AD^{2}}}{2} = a$

$\Rightarrow AI = OI$ nên tam giác AOI cân tại I

Gọi H là tung điểm của OA $\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}IH\bot OA \\OH = \dfrac{OA}{2} = \dfrac{AC}{4} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác OHI có:

$\cos\widehat{HOI} = \dfrac{OH}{OI} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{a} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos(SB,AC) = \cos\widehat{HOI} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
Câu 14: Vận dụng cao
Tính khoảng cách khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) nằm trong hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
- A.
  $\frac{5a\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\frac{2a\sqrt{15}}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}SM\bot AB \\AB\bot SH \\\end{matrix} ight.$
=> AB ⊥ MH
=> MH là đường trung bình của hình vuông ABCD
Giả sử MH cắt CD tại N, ta có N là trung điểm CD
Ta cũng có SN ⊥ CD nên $\widehat{\left((SCD),(ABCD) ight)} = \widehat{(SN,MN)} = \widehat{SNM}$
Gọi P là trung điểm BC, ta có MP // AC nên AC // (SMP)
Do đó, d(SM, AC) = d(AC,(SMP)) = d(O,(SMP))
Gọi K là hình chiếu của H lên MP (nhận thấy HK // OB), I là hình chiếu của H lên SK
Khi đó d(H, (SMP)) = HI
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMN, ta có:
$\begin{matrix}SM^{2} = MN^{2} + SN^{2} - 2MN.SN.cos60^{0} \hfill\\\Leftrightarrow 3a^{2} = 4a^{2} + SN^{2} - 2.2a.SN.\dfrac{1}{2} \hfill \\\Leftrightarrow a = SN \hfill \\\end{matrix}$
Xét tam giác vuông SHN ta có:
$SH = SN.sin60^{0} =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$HN = SN.cos60^{0} =\frac{a}{2}$
$\Rightarrow MH = \frac{3}{4}.MN\Rightarrow KH = \frac{3}{4}NP = \frac{3a\sqrt{2}}{4}$
Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có:
$HI = \sqrt{\frac{HK^{2}.SH^{2}}{HK^{2} +SH^{2}}} = \frac{3a\sqrt{5}}{10}$
Mặt khác: $d\left( O;(SMP) ight) =\frac{2}{3}d\left( H;(SMP) ight) = \frac{a\sqrt{5}}{5}$
Câu 15: Nhận biết
Hoàn thiện mệnh đề

Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
- A.
  a vuông góc với mặt phẳng (P)
- B.
  a không vuông góc với mặt phẳng (P)
- C.
  a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)
- D.
  a có thể vuông góc với mặt phẳng (P)
"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥c ⊂ (P); b // c$
"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥ c ⊂ (P); b ∩ c ≠ ∅$
$=>a⊥(P)$
=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M, cắt a và vuông góc với a?
- A. Không có
- B. Có vô số
- C. Có một và chỉ một
- D. Có một hoặc vô số
Có 1 nếu M không thuộc a, có vô số nếu M thuộc a
Câu 17: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tứ giác

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a,SA\bot(ABCD)$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ , biết $d\left( A;(SBC) ight) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{9}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ $AH\bot SB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AH \\ SB\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC)$

$\Rightarrow d\left( A;(SBC) ight) = AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{SB^{2}} \Rightarrow SA = a$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}}{3}$
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}}{36}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{36}$
Hình vẽ minh họa

$\left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAO} = 45^{0}$

$SO = AO.tan45^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$V = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{12}$
Câu 19: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp S.ABCD

Khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = SB = 2a$ . Mặt phẳng $(SAB)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $90^{0}$ . Xác định thể tích khối chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
- D.
  $V = \frac{2a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên $SH\bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vậy thể tích hình chóp là:

$V = \frac{1}{3}.SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{15}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{6}$
Câu 20: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 21: Thông hiểu
Tính số đo góc

Cho hình chóp $S.ABC$ có $BC = a\sqrt{2}$ , các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $70^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AB, SA

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//SB \\ MH//AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SB,AC) = (MN,MH)$

$\left\{ \begin{matrix}MN = \dfrac{SB}{2} = \dfrac{a}{2} \\NH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a}{2} \\AH = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét tam giác SBC có: SB = SC nên $SH\bot BC \Rightarrow SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Lại H là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mà SA = SB = SC = a nên $SH\bot(ABC)$

Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H

$HN = \frac{SA}{2} = \frac{a}{2}$

Do đó tam giác MHN cạnh $\frac{a}{2}$ . Góc cần tìm bằng $60^{0}$
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  SO ⊥ (ABCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  BD ⊥ (SAC)
- D.
  BC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => SO ⊥ (ABCD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => AC ⊥ (SBD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Câu 23: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp $S.ABC$ đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $SA\bot(ABC)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $BC\bot SA$
- B.
  $BC\bot(SAB)$
- C.
  $BC\bot SB$
- D.
  $BC\bot(SAC)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA;\left( do\ SA\bot(ABC) ight) \\ BC\bot AB \\ SA \cap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

$\Rightarrow BC\bot SB$

Vậy đáp án sai là: $BC\bot(SAC)$ .
Câu 24: Nhận biết
Xác định thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $5a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{5}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{5}{2}a^{3}$
- C.
  $V = 5a^{3}$
- D.
  $V = \frac{5}{3}a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 5a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{5}{3}a^{3}$
Câu 25: Thông hiểu
Tìm tan α

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.
- A.
  $1$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SAH}$
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
$AH = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy tan α = 1
Câu 26: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  $(ABCD)\bot(SBD)$
- B.
  $(SAB)\bot(ABCD)$
- C.
  $(SBD)\bot(SAC)$
- D.
  $(ABCD)\bot(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của AB suy ra

$\left\{ \begin{matrix} MO\bot AB \\ SM\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SAB);(ABCD) ight) = \widehat{SMO} = \varphi$

Tam giác SMO vuông tại O nên $\varphi eq 90^{0}$

Do đó mặt phẳng $(SAB)$ không vuông góc với $(ABCD)$ .
Câu 27: Thông hiểu
Tính tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $90^{0}$ , $SA = SB$ . Tính tan góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ , biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{4a^{3}}{3}$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{7}}{7}$
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ $SH\bot AB$ , gọi $\alpha = \left( SC;(ABCD) ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABCD) \\ (SAB) \cap (ABCD) = AB \\ SH \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SCH}$

Lại có: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{4a^{3}}{3} \Rightarrow SH = a$

Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

$\Rightarrow HC = \sqrt{BH^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{5}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \tan\widehat{SCH} = \frac{SH}{HC} = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 28: Nhận biết
Xác định đường vuông góc chung của AB và CD

Cho tứ diện ABCD có: $AB = AC = AD$ , $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường vuông góc chung của AB và CD là:
- A.
  BN
- B.
  AN
- C.
  BC
- D.
  MN
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AB \bot CM} \\ {AB \bot DM} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {CDM} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot MN} \\ {AB \bot \left( {CDM} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
=> MN là đường vuông góc chung của AB và CD
Câu 29: Nhận biết
Xác định thể tích hình chóp

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $x$ ; $SC\bot(ABC);SC = x$ . Xác định thể tích hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $V = \frac{x^{3}\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $V = \frac{x^{3}\sqrt{2}}{12}$
- C.
  $V = \frac{x^{3}\sqrt{3}}{9}$
- D.
  $V = \frac{x^{3}\sqrt{3}}{12}$
Ta có $SC\bot(ABC)$ nên SC là đường cao của hình chóp

Tam giác ABC đều cạnh x nên $S_{ABC} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$

Vậy thể tích hình chóp là: $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SC.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}.x = \frac{x^{3}\sqrt{3}}{12}$
Câu 30: Thông hiểu
Kéo ghép đáp án đúng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$
Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//A'B'$ mà $(A'B',B'C') = 90^{0} \Rightarrow (AB,B'C') = 90^{0}$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $(AC;BC) = 45^{0}$

Ta có: $BC//B'C'$ nên $(AC,B'C') = 45^{0}$

Ta có: $A'C'//AC$ và tam giác $AVB'$ là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó $(A'C',B'C) = (AC,B'C) = 60^{0}$
Câu 31: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a, $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 60⁰
Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a, $\widehat {MAB} = {90^0}$
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và $CM = \frac{1}{2}AD = a$
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AC} \\ {CD \bot SA} \\ {SA \cap AC = A} \\ {SA;AC \subset \left( {SAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$ mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot CD} \\ {AH \bot SC} \\ {CD \cap SC = C} \\ {CD;SC \subset \left( {SCD} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight)\left( 1 ight)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD \bot SA} \\ {AD \bot AB} \\ {SA \cap AB = A} \\ {SA;AB \subset \left( {SAB} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight)\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Xét tam giác SAC vuông tại A có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a$
Xét tam giác SAC vuông tại A và $SA = AC = a\sqrt 2$ nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và $AH = \frac{1}{2}SC = a$
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: $\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {DAH} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SCD} ight);\left( {SAB} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 32: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
- A. $\frac{2}{{\sqrt 7 }}$
- B. $\frac{2}{{\sqrt {35} }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- D. $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}$
+) Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } ight)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác
$\begin{matrix} AC = a\sqrt 5 ;CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \hfill \\ SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } ight)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \left( {SB,AC} ight) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} } ight|}}{{SB.AC}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt {35} }}$
Câu 33: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $BC\bot(SAC)$
- B.
  $BC\bot(SAM)$
- C.
  $BC\bot(SAJ)$
- D.
  $BC\bot(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Do tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên $BC\bot AM$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AM \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM)$
Câu 34: Nhận biết
Tìm tất cả các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
- A.
  4 mặt phẳng
- B.
  5 mặt phẳng
- C.
  1 mặt phẳng
- D.
  2 mặt phẳng
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Câu 35: Nhận biết
Tỉ lệ khoảng cách

Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó $\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{2AM}{BM}$
- B.
  $\frac{AM}{2BM}$
- C.
  $\frac{AM}{BM}$
- D.
  $\frac{2AM}{3BM}$
$\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}$
Câu 36: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
- A.
  $d =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $d = 2a$
- C.
  $d = a\sqrt{2}$
- D.
  $d =\frac{2a\sqrt{15}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc 60⁰
$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} =\widehat{(SC;AC)} = 60^{0} = \widehat{SCA}$
$SA = AC.tan\widehat{SCA} =a\sqrt{6}$
Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a
Xét tam giác ACB ta có:
$CM = a = \frac{1}{2}AB$
=> Tam giác ACB vuông tại C
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật
=> AC // BE
=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))
Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:
$d\left( A;(SBE) ight) = AK =\frac{SA.AE}{\sqrt{SA^{2} + AE^{2}}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\tan\phi = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\tan\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình ảnh minh họa:

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Trong mặt phẳng (SAB) có SH ⊥ AB => SH ⊥ d.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot HK \\ CD\bot SH \\ \end{matrix} \Rightarrow CD\bot(SHK) \Rightarrow CD\bot SK ight.$

=> d ⊥ SK. Từ đó suy ra ((SAB), (SCD)) = (SH, SK) = $\widehat{HSK}$

Trong tam giác vuông SHK ta có: $\tan\widehat{HSK} = \frac{HK}{SH} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
Câu 38: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai?

Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  Góc gữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
- B.
  Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R)).
- C.
  Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R).
- D.
  Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.

Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.

Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}B.h$
- B.
  $V = \frac{4}{3}B.h$
- C.
  $V = B.h$
- D.
  $V = 3B.h$
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là:

$V = B.h$
Câu 40: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm O cạnh bằng $a$ ; $\widehat{ABC} = 60^{0}$ . Biết $SO\bot(ABCD);SO = a\sqrt{3}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\alpha \in \left( 53^{0};61^{0} ight)$
- B.
  $\alpha \in \left( 62^{0};66^{0} ight)$
- C.
  $\alpha \in \left( 27^{0};33^{0} ight)$
- D.
  $\alpha \in \left( 25^{0};27^{0} ight)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot AC \\ BD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(SAC)$

$\Rightarrow (SBD)\bot(SAC)$

Mà $(SBD) \cap (SAC) = SO$

$\Rightarrow \left( SB;(SAC) ight) = (SB;SO) = \widehat{BSO}$

Ta có: $\tan\widehat{BSO} = \frac{SB}{SO} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BSO} = \arctan\frac{1}{2} = \alpha$

Vậy $\alpha \in \left( 25^{0};27^{0} ight)$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

17 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4