VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tìm cosin góc nhị diện

Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh $B$ , cạnh $CD = a,BD = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ , $AB = AC = AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
- B.
  $\frac{1}{2}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
- D.
  $- \frac{1}{2}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Do $\Delta BCD$ vuông tại $B$ nên $BH = CH = DH$ hay $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ .

Mà $AB = AC = AD$ nên AH là đường cao kẻ từ $A$ xuống $(BCD)$ hay $AH\bot(BCD)$ .

$\Rightarrow AH\bot BC.$ (1)

M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của $\Delta BCD$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}MH = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}. \\MH//BD \\\end{matrix} ight.$

Mà $MD\bot BC$ nên $MH\bot BC$ . (2)

Từ (1), (2) suy ra: $BC\bot(AMH)$ .

Suy ra: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot MH \\ \end{matrix} \Rightarrow \lbrack A,BC,Dbrack = \widehat{AMH} ight.$ .

Lại có: $AH = \sqrt{AC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

$\Rightarrow \tan\widehat{AMH} = \frac{AH}{MH} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{AMH} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\widehat{AMH} = \frac{1}{2}.$
Câu 2: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa SB và DC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB = a\sqrt{3};BC = a\sqrt{2}$ . Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SB và DC bằng:
- A.
  $a\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD = $a\sqrt{2}$
Câu 3: Thông hiểu
Góc (IE; JF) = ?

Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (IE; JF) bằng:
- A.
  30⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa

Ta có: IF là đường trung bình của tam giác ACD => $\left\{ \begin{matrix}IF//CD \\IF = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$

JE là đường trung bình của tam giác BCD => $\left\{ \begin{matrix}JE//CD \\JE = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$

=> $\left\{ \begin{matrix} IF = JE \\ IF//JE \\ \end{matrix} ight.$ => Tứ giác IJEF là hình bình hành

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix}IJ = \dfrac{1}{2}AB \\JE = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$ . MÀ AB = CD => IJ = JE

Do đó IJEF là hình thoi => (IE; JF) = 90⁰
Câu 4: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ BC\bot AB \\ SA\bigcap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ CD\bot AD \\ SA\bigcap AD = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow CD\bot(SAD)$ mà $CD \subset (SCD)$

$\Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SC \cap (SAD) = \left\{ S ight\} \\ CD\bot(SAD) \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)

Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc $\widehat{CSD}$ trong tam giác vuông SCD.

Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:

$\tan\widehat{SCD} = \sqrt{6} \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = \widehat{SCD} eq 30^{0}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{0}$ và cạnh $AA' = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $\frac{2}{3}a^{3}$
- B.
  $\frac{14}{3}a^{3}$
- C.
  $\frac{5}{3}a^{3}$
- D.
  $\frac{8a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}$

Ta có: $AM = \frac{AA'}{tan60^{0}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow BC = 2AM = \frac{4a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2a.\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\frac{4a\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính góc giữa AB’ và (BCC’B’)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, BC = 1, AA’ = 1. Tính góc giữa AB’ và (BCC’B’).
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AB\bot BC \\AB\bot BB’ \\\end{matrix} ight.$
=> BA ⊥ (BCC’B’)
Khi đó BB’ là hình chiếu vuông góc của AB’ lên (BCC’B’)
Hay góc giữa AB’ và (BCC’B’) là $\widehat{AB'B}$
Ta có: $AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} =\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$
$\tan\widehat{AB'B} =\frac{AB}{BB'} = \sqrt{3}$
Vậy góc giữa AB’ và (BCC’B’) là 60⁰
Câu 7: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh $SA$ vuông góc với đáy và $SA = \sqrt{2}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ đã cho.
- A.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $V = \sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\sqrt{2}.1^{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$
Câu 8: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
- D.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề đúng: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia”.
Câu 9: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC cân với cạnh huyền $AB = 4\sqrt 2$ , cạnh bên $SC \bot \left( {ABC} ight)$ và $SC = 2$ . Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN.
- A. ${30^o}$
- B. ${45^o}$
- C. ${90^o}$
- D. ${60^o}$
Đặt $\overrightarrow {CA} = \overrightarrow x ;\overrightarrow {CB} = \overrightarrow y ;\overrightarrow {CS} = \overrightarrow z$
Do tam giác vuông cân ABC tại C có $AB = 4\sqrt 2$ suy ra:
$CA = CB = 4;CN = 2\sqrt 2 ;SM = 2\sqrt 2$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } ight) \hfill \\ \overrightarrow {SM} = \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CM} = - \overrightarrow z + \dfrac{1}{2}\overrightarrow x \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } ight)\left( {\overrightarrow x - 2\overrightarrow z } ight)$
Mặt khác: $\left\{ \begin{gathered} {\overrightarrow x ^2} = {\overrightarrow y ^2} = 16 \hfill \\ {\overrightarrow z ^2} = 4 \hfill \\ \overrightarrow x .\overrightarrow y = \overrightarrow y .\overrightarrow z = \overrightarrow z .\overrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow x }^2} - 2\overrightarrow x .\overrightarrow z + \overrightarrow y .\overrightarrow x - 2\overrightarrow y .\overrightarrow z } ight) = 4$
Gọi $\alpha$ góc giữa hai véctơ $\overrightarrow {SM}$ và $\overrightarrow {CN}$
Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \left| {\overrightarrow {CN} } ight|.\left| {\overrightarrow {SM} } ight|.{\text{cos}}\alpha \hfill \\ \Rightarrow {\text{cos}}\alpha = \dfrac{{\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} }}{{\left| {\overrightarrow {CN} } ight|.\left| {\overrightarrow {SM} } ight|}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \alpha = {60^o} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng ${60^o}$
Câu 10: Thông hiểu
Tính giá trị cos α

Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{1}{5}$
- C. $- \frac{1}{5}$
- D. $- \frac{3}{5}$
Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên $AK \bot BD$
Và CBD cân tại C nên $CK \bot DB$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.$
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có $DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3$ nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight)$ mà $HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK$
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc $\widehat {AKC}$ suy ra $\widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}$
Ta có: $t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Vậy $\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}$
Câu 11: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 12: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Giả sử $V$ là thể tích khối tứ diện đều $ABCD$ . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích $V'$ . Tỉ số $\frac{V'}{V} =$ 1/2

(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng $\frac{a}{2}$

Do đó thể tích phần cắt bỏ là $V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}$

(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm $\left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}$

Vậy $V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$
Câu 13: Vận dụng cao
Tính khoảng cách d giữa SA và BD

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là:
- A.
  $\frac{2a\sqrt{38}}{17}$
- B.
  $\frac{2a\sqrt{13}}{3}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{51}}{13}$
- D.
  $\frac{3a\sqrt{34}}{17}$
Hình vẽ minh họa:
Kẻ HI // BC (I ∈ CD) ta có: $\left\{\begin{matrix}CD\bot HI \\CD\bot SI \\\end{matrix} ight.$
=> Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SIH} = 45^{0}$
Dựng hình bình hành ADBE
Ta có: BD // (SAE) => d(SA, BD) = d(BD, (SAE)) = d(B, (SAE)) = d(H, (SAE))
Kẻ HJ ⊥ AE (J ∈ AE) ta có: AE ⊥ (SHJ) => (SAE) ⊥ (SHJ) theo giao tuyến SJ
Kẻ HK ⊥ SJ (K ∈ SJ) ta có: HK ⊥ (SAE) => HK = d(H, (SAE))
Ta có: $HK = \frac{HJ.HS}{\sqrt{HJ^{2} +HS^{2}}}$
Với $\left\{ \begin{matrix}HJ = AO = a\sqrt{2} \\HS = HI = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Vậy $HK =\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{3}{2}a}{\sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} +\left( \dfrac{3}{2}a ight)^{2}}} = \dfrac{3a\sqrt{31}}{17}$
Câu 14: Nhận biết
Chọn khẳng định có thể sai?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
- A. A’C’ ⊥ BD
- B. A’B ⊥ DC’
- C. BB’ ⊥ BD
- D. BC’ ⊥ A’D
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Câu 15: Vận dụng
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{7}}{30}$
- B.
  $d=\frac{2a\sqrt{7}}{30}$
- C.
  $d=\frac{a}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hình vuông ABCD => $SO \bot \left( {ABCD} ight)$
Vì $OA \cap \left( {SCD} ight) = C$ nên
$\begin{matrix} \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2 \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Gọi H là trung điểm của CD => $OH \bot CD$
Gọi K là hình chiếu của O trên SH => $OK \bot SH (*)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot OH} \\ {CD \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SOH} ight) \Rightarrow CD \bot OK\left( ** ight)$
Từ (*) và (**)
$\begin{matrix} OK \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) = OK \hfill \\ OK = \dfrac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta lại có:
$\begin{matrix} SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \hfill \\ = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
$\Rightarrow OK = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}$
$d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = 2.OK = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng?

Cho tứ diện ABCD có AB = AC, BD = CD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  BD ⊥ (ABC)
- B.
  AC ⊥ BD
- C.
  CD ⊥ (ABD)
- D.
  BC ⊥ AD
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD
Câu 17: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 4a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{32\sqrt{3}a^{3}}{3}$
- B.
  $V = 48\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = 16\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{16\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên $AB = AD = 2a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 2a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}.8a^{2} = \frac{16a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 19: Vận dụng
Tính diện tích (α) của thiết diện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng (α) qua SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tính diện tích (α) của thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho.
- A.
  $S = \frac{a^{2}}{2}$
- B.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $S = \frac{a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi E là trung điểm AB, suy ra AECD là hình vuông nên DE ⊥ AC. (1)

Mặt khác SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ DE (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE ⊥ (SAC) => (SAD) ⊥ (SAC)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SDE) \supset S \\ (SDE)\bot(SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (\alpha) \equiv (SDE)$

Vậy thiết diện là tam giác SDE.

Ta có:

$\begin{matrix} SD = \sqrt{SA^{2} + DA^{2}} = a\sqrt{2} \\ SE = \sqrt{SA^{2} + AE^{2}} = a\sqrt{2} \\ DE = AC = DC\sqrt{2} = a\sqrt{2} \\ \end{matrix}$

Do đó tam giác SDE đều có cạnh a √ 2 nên $S_{SDE} = \frac{SD^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
Câu 20: Nhận biết
Tính góc giữa SC và mặt đáy

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Tính $\left( SC;(ABCD) ight)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng góc $\widehat{SCA}$ .

Ta có: $SA = a\sqrt{2};AC = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = 1 \Rightarrow \widehat{SCA} = 45^{0}$

Vậy $\left( SC;(ABCD) ight) = 45^{0}$
Câu 21: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Hình chóp tam giác đều $S.ABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $SA\bot(ABC)$
- B.
  $SG\bot(ABC)$
- C.
  $AB\bot(ASC)$
- D.
  $SG\bot(ABS)$
Ta có khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, trọng tâm G cũng là tâm của đáy nên $SG\bot(ABC)$ .
Câu 22: Vận dụng
Số đo góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính $\alpha$
- A. $30^0$
- B. $60^0$
- C. $55^0$
- D. $45^0$
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra $SN \bot AB \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} ight)$
+ Gọi $h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) \Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}}$
Gọi $I = DM \cap CN,\,J = AB \cap DM$
+ Ta có $\frac{{d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight)}}{{d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)}} = \frac{{{\text{AJ}}}}{{NJ}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)$
+ Ta có
$\Delta CNB = \Delta DMC \Rightarrow \widehat {NCB} = \widehat {MDC}$
$\Rightarrow \widehat {NCB} + \widehat {DMC} = \widehat {MDC} + \widehat {DMC} = 180^\circ - \widehat {MCD} = 90^\circ$
$\Rightarrow DM \bot CN \Rightarrow DM \bot \left( {SNC} ight)$
+ Gọi NH là đường cao $\Delta SNI \Rightarrow NH \bot \left( {SDM} ight)$
$\Rightarrow d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = NH$
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{NI}}{{MB}} = \dfrac{{NJ}}{{MJ}} \hfill \\ \Rightarrow NI = \dfrac{{NJ}}{{MJ}}.MB = \dfrac{{NJ}}{{\sqrt {M{B^2} + B{J^2}} }} \hfill \\ MB = \dfrac{3}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}.1 = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2 $\Rightarrow SN = \sqrt 3$
$\frac{1}{{N{H^2}}} = \frac{1}{{N{S^2}}} + \frac{1}{{N{I^2}}} \Rightarrow NH = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
$h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{4} = \sqrt 2$
$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$
Câu 23: Nhận biết
Tìm góc giữa hai đường thẳng SA và CD

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và mặt bên $SAB$ là tam giác vuông tại $S$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD//AB$

$\Rightarrow (SA;CD) = (SA;AB) = \widehat{SAB} = 45^{0}$
Câu 24: Thông hiểu
Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
- A.
  $d = 2a$
- B.
  $d = a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Do $BB’ // AA’$ nên $d(BB′;A′H)=d(BB′;(AA′H))=d(B;(AA′H))$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BH \bot AH} \\ {BH \bot A\prime H} \end{array} \Rightarrow BH \bot \left( {AA\prime H} ight)} ight.$
Nên $d(B;(AA′H))=BH=BC/2=a$
Vậy khoảng cách $d(BB′;A′H)=a$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ , $SA\bot(ABC)$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ . Biết rằng $SA = a\sqrt{2};AB = a$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\alpha = 90^{0}$
- B.
  $\alpha = 45^{0}$
- C.
  $\alpha = 30^{0}$
- D.
  $\alpha = 60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta thấy hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $ABC$ là $AC$ nên $\left( SC;(ABC) ight) = \widehat{SCA}$

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên $AC = \sqrt{BC^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = 1$

$\Rightarrow \left( SC;(ABC) ight) = \widehat{SCA} = 45^{0}$
Câu 26: Thông hiểu
Tìm đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Tính $cosin$ của góc giữa hai đường thẳng $A'D$ và $B'I$ ta được kết quả là:
- A.
  $\frac{\sqrt{10}}{5}$
- B.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}}{5}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0

Ta có:

$B'C//A'D \Rightarrow (A'D;B'I) = (B'I,B'C)$

Tính được $\left\{ \begin{matrix}B'I = \sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a}{2} ight)^{2}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2} = CI \\B'C = a\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.$

Trong tam giác B’CI ta có:

$\cos\widehat{IB'C} = \dfrac{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{2} ight)^{2} - \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}ight)^{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}$

$= \frac{2a^{2}}{a^{2}\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$
Câu 27: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  AH ⊥ (SBD)
- C.
  AH ⊥ (SCD)
- D.
  AH ⊥ SD
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Câu 28: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}\pi rh$
- B.
  $V = \pi rh$
- C.
  $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
- D.
  $V = \pi r^{2}h$
Công thức tính thể tích là: $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Câu 29: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên $SA = a\sqrt{6}$ và SA ⊥ (ABCD). Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
- A.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{7}}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

=> Hình chiếu vuông góc của BC trên mặt phẳng (SAB) là SB

=> $\left( SC;(SAB) ight) = (SC;SB) = \widehat{CSB}$

Xét tam giác SAB vuông ta có:

$SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{7}$

Xét tam giác SBC vuông ta có:

$\tan\widehat{CSB} = \frac{BC}{SB} = \frac{1}{\sqrt{7}}$
Câu 30: Thông hiểu
Xác định góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD)

Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc, H là trực tâm tam giác BCD. Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc nào trong các góc sau đây?
- A.
  $\widehat{ACB}$
- B.
  $\widehat{ADB}$
- C.
  $\widehat{ABH}$
- D.
  $\widehat{BAH}$
Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc $\widehat{BAH}$
Câu 31: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 32: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai?

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
- B.
  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
- C.
  Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Mệnh đề sai: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.”

Vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau.
Câu 33: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $4a$ ?
- A.
  $V = 16a^{3}$
- B.
  $V = 64a^{3}$
- C.
  $V = 32a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $V = (4a)^{3} = 64a^{3}$
Câu 34: Nhận biết
Chọn kết luận chính xác

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi $B$ , $SB\bot(ABCD)$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$ ?
- A.
  $(SBC)$
- B.
  $(SAD)$
- C.
  $(SCD)$
- D.
  $(SAC)$
Minh họa bằng hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AC\bot BD \\ AC\bot SB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD) \Rightarrow (SAC)\bot(SBD)$
Câu 35: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = a\sqrt{5};d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = a^{3}\sqrt{5}$
- B.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{5}}{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AJ\bot BB' \\ AK\bot CC' \Rightarrow AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AJK)$

$\Rightarrow BB'\bot JK \Rightarrow JK//CH \Rightarrow JK = CH = a\sqrt{5}$

Xét tam giác AJK có: $JK^{2} = AJ^{2} + AK^{2} = 5a^{2}$

Vậy tam giác AJK vuông tại A

Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có: $AF = JF = FK = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:

$\cos\widehat{ANF} = \dfrac{AF}{AN} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ANF} = 60^{0}$

( $AN = AM = a\sqrt{5}$ vì $AN//AM;AN = AM$ )

$\Rightarrow S_{AJK} = \frac{1}{2}AJ.AK = \frac{1}{2}.a.2a = a^{2}$

Lại có: $S_{AJK} = S_{ABC}.\cos60^{0}\Rightarrow S_{ABC} = \frac{S_{AJK}}{\cos60^{0}} = 2a^{2}$

Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:

$\widehat{MAA'} = \widehat{AMF} = 30^{0}$

Hay $AM = A'M.\tan30^{0} =\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

$V = AM.S_{ABC} = \frac{a\sqrt{15}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Câu 36: Nhận biết
Tỉ lệ khoảng cách

Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó $\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{2AM}{BM}$
- B.
  $\frac{AM}{2BM}$
- C.
  $\frac{AM}{BM}$
- D.
  $\frac{2AM}{3BM}$
$\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính tan góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $90^{0}$ , $SA = SB$ . Tính tan góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ , biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{4a^{3}}{3}$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{7}}{7}$
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ $SH\bot AB$ , gọi $\alpha = \left( SC;(ABCD) ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABCD) \\ (SAB) \cap (ABCD) = AB \\ SH \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SCH}$

Lại có: $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{4a^{3}}{3} \Rightarrow SH = a$

Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

$\Rightarrow HC = \sqrt{BH^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{5}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \tan\widehat{SCH} = \frac{SH}{HC} = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
Câu 38: Nhận biết
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Khoảng cách từ $A'$ đến mp $(ABCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a}{2}.$
- B.
  $a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $3a.$
Hình vẽ minh họa

Ta có $A'A\bot(ABCD)$ nên $d\left( A',(ABCD) ight) = A'A = a$ .
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)?
- A.
  Không có.
- B.
  Có một.
- C.
  Có vô số.
- D.
  Có một hoặc có vô số.
Có một khi (P) và (Q) cắt nhau, có vô số khi (P) // (Q).
Câu 40: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AB;BC$ lần lượt là $M;N$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $(MN;CD) = 30^{0}$
- B.
  $(MN;CD) = 60^{0}$
- C.
  $(MN;CD) = 45^{0}$
- D.
  $(MN;CD) = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: $MN;NP;MP$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC;BCD;ABD$ .

Do đó:

$MN//AC;MN = \frac{1}{2}AC$

$NP//CD;NP = \frac{1}{2}CD$

Vì $ABCD$ là tứ diện đều $\Rightarrow AC = CD = AD$

$\Rightarrow MN = NP = MP$ nên tam giác $MNP$ là tam giác đều.

$\Rightarrow (MN;CD) = (MN;NP) = \widehat{MNP} = 60^{0}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

50 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Đang tìm đối thủ...