VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ . Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của $BC$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $AB = a;AC = a\sqrt{3};SB = a\sqrt{2}$ .
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có: $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = 2a$

H là trung điểm của BC nên $BH = a$

Xét tam giác SBH vuông tại H có $SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} - a^{2}} = a$

Diện tích đáy ABC là $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}SH.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết $AB = a;AA' = 2a$ .
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{2}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{6}a^{3}$
- C.
  $V = \sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Quan sát hình vẽ ta thấy

Tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng a nên $S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Do khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là $AA' = 2a$

Thể tích khối lăng trụ là $V = AA'.S_{ABCD} = 2a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính góc giữa SO và mặt đáy

Cho hình chóp tam giác $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Tam giác $ABD$ có tất cả các cạnh bằng $a\sqrt{2}$ , $SA\bot(ABCD);SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$ . Góc giữa đường thẳng $SO$ với mặt đáy bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left( SO;(ABCD) ight) = (SO;OA) = \widehat{SOA}$

Xét tam giác SAO ta có:

$SA = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$

$AO = \sqrt{AB^{2} - OB^{2}}$

$= \sqrt{AB^{2} - \left( \frac{BD}{2} ight)^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow \tan\widehat{SOA} = \frac{SA}{AO} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \left( SO;(ABCD) ight) = \widehat{SOA} = 30^{0}$
Câu 4: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ ?
- A.
  $V = a^{3}$
- B.
  $V = 2a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

$AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a$

Dễ thấy $A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2}$ nên tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại A

Gọi H là trung điểm của $A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a$

Ta lại có $MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH$

$\Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)$

$= \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}$

Vậy $V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}$
Câu 5: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ BC\bot AB \\ SA\bigcap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ CD\bot AD \\ SA\bigcap AD = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow CD\bot(SAD)$ mà $CD \subset (SCD)$

$\Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SC \cap (SAD) = \left\{ S ight\} \\ CD\bot(SAD) \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)

Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc $\widehat{CSD}$ trong tam giác vuông SCD.

Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:

$\tan\widehat{SCD} = \sqrt{6} \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = \widehat{SCD} eq 30^{0}$
Câu 6: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 7: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD;AB = SA = a$ . Tính khoảng cách từ đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{6}$
- D.
  $a$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy $\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Kẻ $OH\bot SN$

Có $\left\{ \begin{matrix} ON\bot CD \\ CD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SON)$

$\Rightarrow CD\bot OH \Rightarrow OH\bot(SCD)$

Ta có: $AB//CD \subset (SCD) \Rightarrow AB//(SCD)$

Khi đó $d\left( AB;(SCD) ight) = d\left( M;(SCD) ight) = 2d\left( O;(SCD) ight) = 2OH$

Trong tam giác SON vuông tại O, $OH\bot SN$ có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} + \frac{1}{ON^{2}} \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow d\left( AB;(SCD) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Câu 8: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua a và vuông góc với mặt phẳng (P)?
- A.
  Không có.
- B.
  Có một.
- C.
  Có vô số.
- D.
  Có một hoặc có vô số.
Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).
Câu 9: Thông hiểu
Số đo góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $2\sqrt 2$ , AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).
- A. $30^0$
- B. $90^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Ta có $CB \bot \left( {AA'B'B} ight)$ tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc $\widehat {CA'B}$
Khi đó $\tan \widehat {CA'B} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } ight)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CA'B} = 30^\circ$
Câu 10: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC là:
- A.
  Tam giác vuông
- B.
  Tam giác có một góc tù
- C.
  Tam giác cân đỉnh A
- D.
  Tam giác có ba góc nhọn
Giả sử tam giác ABC vuông tại A
Khi đó B có hai đường thẳng BO và BA cùng vuông góc với mặt phẳng (OCA)
Điều này vô lí, do đó tam giác ABC không thể là tam giác vuông
Từ O hạ $OH \perp AB$ => $CH \perp AB$ (theo định lí ba đường vuông góc)
Vì điểm H giữa hai điểm A và B nên tam giác ABC không thể có góc tù.
Suy ra ABC có ba góc nhọn.
Câu 12: Vận dụng
Tính cosin của góc α

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Gọi H là trung điểm AB. Biết rằng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = SH = a. Tính cosin của góc α tọa bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
- A.
  $\cos\alpha = \frac{1}{3}$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\cos\alpha = \frac{2}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ CH. (1)

Tam giác ABC cân tại C => CH ⊥ AB (2)

Từ (1) và (2) => CH ⊥ (SAB)

Gọi I là trung điểm AC => HI // BC => HI ⊥ AC (3)

Mặt khác AC ⊥ SH (do SH ⊥ (ABC) (4)

Từ (3) và (4) => AC ⊥ (SHI)

Kẻ HK ⊥ SI (K ∈ SI) (5)

Từ AC ⊥ (SHI) => AC ⊥ HK (6)

Từ (5) và (6), suy ra HK ⊥ (SAC)

Vì HK ⊥ (SAC) và HC ⊥ (SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc giữa hai đường thẳng HK và HC

Xét tam giác CHK vuông tại K ta có:

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

$\frac{1}{HK^{2}} = \frac{1}{SH^{2}} + \frac{1}{HI^{2}} \Rightarrow HK = \frac{a}{3}$

Do đó $\cos\alpha = \frac{2}{3}$
Câu 13: Thông hiểu
Góc (IE; JF) = ?

Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (IE; JF) bằng:
- A.
  30⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa

Ta có: IF là đường trung bình của tam giác ACD => $\left\{ \begin{matrix}IF//CD \\IF = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$

JE là đường trung bình của tam giác BCD => $\left\{ \begin{matrix}JE//CD \\JE = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$

=> $\left\{ \begin{matrix} IF = JE \\ IF//JE \\ \end{matrix} ight.$ => Tứ giác IJEF là hình bình hành

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix}IJ = \dfrac{1}{2}AB \\JE = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.$ . MÀ AB = CD => IJ = JE

Do đó IJEF là hình thoi => (IE; JF) = 90⁰
Câu 14: Nhận biết
Tìm góc α

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\alpha = \left( SD;(ABCD) ight)$ . Xác định $\alpha$ ?
- A.
  $\alpha = \widehat{ASD}$
- B.
  $\alpha = \widehat{DAS}$
- C.
  $\alpha = \widehat{SDA}$
- D.
  $\alpha = \widehat{SDC}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SDA}$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{SDA}$
Câu 15: Vận dụng
Xác định điểm cách đều bốn đỉnh tứ diện

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD?
- A.
  Trung điểm của BD.
- B.
  Trung điểm của AD.
- C.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- D.
  Trọng tâm của tam giác ACD.
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ CD\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(BCD)$ => Tam giác ABD vuông tại B.

=> IA = IB = ID = AD/2 (với I là trung điểm của AD)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot AB \\ CD\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC)$

=> Tam giác BCD vuông tại C.

=> EA = EC = ED = AD/2 (E là trung điểm của AD)

Vậy I trùng với E

Vậy điểm cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Câu 16: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề

Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng Δ gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu
- A.
  Vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng (P).
- B.
  Vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mặt phẳng (P).
- C.
  Vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).
- D.
  Vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Câu 17: Thông hiểu
Sin của góc tạo bởi A’H với (A’ACC’)

Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB = a,\widehat {ACB} = 30^\circ$ , M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60⁰. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính $\sin\alpha$ ?
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{5}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Ta có $A'H \bot \left( {ABC} ight)$ nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ $HK \bot AC$ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra $HI \bot \left( {AA'C'C} ight)$
Khi đó $\alpha = \left( {A'H,A'I} ight) = \widehat {HA'K}$
+) Do tam giác MCB cân tại B nên $\widehat {BMC} = \widehat {BCM} = 30^\circ$
$\begin{matrix} MH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{1}{4}\dfrac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \Rightarrow HK = MH.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng $\widehat {A'AH} = 60^\circ$ (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
$\Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{2}$
Vì vậy, $\sin \alpha = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 18: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng $9;4$ . Thể tích khối chóp bằng:
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 18$
- C.
  $V = 24$
- D.
  $V = 12$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 9 \\ h = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.9.4 = 12$
Câu 19: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
- A. $\frac{2}{{\sqrt 7 }}$
- B. $\frac{2}{{\sqrt {35} }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- D. $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 7 }}$
+) Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } ight)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2} \hfill \\ \end{matrix}$
+) Mặt khác
$\begin{matrix} AC = a\sqrt 5 ;CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \hfill \\ SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } ight)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \left( {SB,AC} ight) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} } ight|}}{{SB.AC}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt {35} }}$
Câu 20: Nhận biết
Tỉ lệ khoảng cách

Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó $\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)}$ bằng:
- A.
  $\frac{2AM}{BM}$
- B.
  $\frac{AM}{2BM}$
- C.
  $\frac{AM}{BM}$
- D.
  $\frac{2AM}{3BM}$
$\frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}$
Câu 21: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SO$ vuông góc với mặt đáy. Chọn kết luận đúng?
- A.
  $AC\bot(SAB)$
- B.
  $AC\bot(SAD)$
- C.
  $AC\bot(SCD)$
- D.
  $AC\bot(SBD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SO\bot(ABCD) \Rightarrow SO\bot AC;SO \subset (SBD)$

$ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow AC\bot BD;BD \subset (SBD)$

$SO \cap BD = \left\{ O ight\}$

$\Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 22: Vận dụng
Xác định khoảng cách từ B đến (SCD)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $\frac{4}{3}a^{3}$ , đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$ ; $SA = SD$ . Biết mặt bên $(SAD)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ . Xác định khoảng cách $d\left( B;(SCD) ight)$ ?
- A.
  $\frac{3a}{4}$
- B.
  $\frac{2a}{3}$
- C.
  $\frac{4a}{3}$
- D.
  $\frac{8a}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD

Tam giác SAD cân tại S suy ra $SI\bot AD$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} SI\bot AD \\ (SAD)\bot(ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SI\bot(ABCD)$

Suy ra SI là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SI.S_{ABCD}$

$\Leftrightarrow \frac{4a^{3}}{3} = \frac{1}{2}SI.2a^{2}$

$\Leftrightarrow SI = 2a$

Vì $AB//(SCD) \Rightarrow d\left( B;(SCD) ight) = d\left( A;(SCD) ight) = 2d\left( I;(SCD) ight)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} SI\bot DC \\ ID\bot DC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow IH\bot DC$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IH\bot SD \\ IH\bot DC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow IH\bot(SCD)$

$\Rightarrow d\left( I;(SCD) ight) = IH$

Xét tam giác SID vuông tại I có:

$\frac{1}{IH^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} + \frac{1}{ID^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{4}{2a^{2}} \Rightarrow IH = \frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d\left( B;(SCD) ight) = d\left( A;(SCD) ight) = 2d\left( I;(SCD) ight) = \frac{4a}{3}$
Câu 23: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 24: Nhận biết
Tính khoảng cách

Cho hình chóp $S.ABC$ có đường thẳng $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ , $SA = 2a$ . Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng:
- A.
  $a.$
- B.
  $3a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $\frac{a}{2}.$
Vì $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$ nên $SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SBA
- B.
  (SAB) ⊥ (SAD)
- C.
  Khoảng cách giữa BC và SA là AB
- D.
  Góc giữa BD và (SAD) bằng 45⁰
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD)

BC ⊥ BA

=> BC ⊥ (SAB).

Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

Ta có:

Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Câu 26: Thông hiểu
Tính sinα

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA\bot(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{6}$ . Giả sử $\alpha = \left( SB;(SAC) ight)$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{14}}{14}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\sin\alpha = \frac{1}{5}$
Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $BO\bot(SAC) \Rightarrow \alpha = \left( SB;(SAC) ight) = \widehat{BSO}$

Ta có: $\sin\alpha = \dfrac{BO}{SB} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{7}} =\dfrac{\sqrt{14}}{14}$
Câu 27: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song
- B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
- C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
- D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hoặc song song với nhau hoặc vuông góc với nhau
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Câu 28: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- C.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
- D.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a\bot b \\ b//c \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a\bot c$

Vậy mệnh đề đúng là: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.”
Câu 29: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ và cạnh $AA' = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $12a^{3}$
- B.
  $\frac{14}{3}a^{3}$
- C.
  $24a^{3}$
- D.
  $\frac{7a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Ta có: $AM = \frac{AA'}{tan30^{0}} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow BC = 2AM = 4a\sqrt{3}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}.AM.BC = 12a^{3}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 24a^{3}$
Câu 30: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 31: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $AC\bot(SDC)$
- B.
  $BD\bot(SAD)$
- C.
  $AC\bot(SDB)$
- D.
  $BD\bot(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $ABCD$ là hình vuông nên $BD\bot AC$

Và $SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BD$

$\Rightarrow BD\bot(SAC)$
Câu 32: Thông hiểu
Hãy xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0};\widehat {CAD} = {90^0}$ . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {IJ}$ ?
- A. 120⁰
- B. 90⁰
- C. 60⁰
- D. 45⁰
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ICD có J là trung điểm của CD => $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {ID} } ight)$
Tam giác ABC có AB = AC và $\widehat {BAC} = {60^0}$ => Tam giác ABC đều => CI ⊥ AB
Tương tự ta chứng minh được tam giác aBD đều => DI ⊥ AB
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} ) \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {ID} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {IJ} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {IJ} } ight) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và HD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; biết AB = BC = 4a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng $a\sqrt {10}$ . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và HD.
- A. $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$
- B. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
- C. $\frac{{\sqrt 5 }}{4}$
- D. $\frac{{\sqrt 5 }}{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \left( {SAB} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = AB \hfill \\ SH \bot AB \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SH \bot (ABCD)$
Kẻ $CK \bot HD$ tại K, ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} CK \bot HD \hfill \\ CK \bot SH \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow CK \bot \left( {SHD} ight) \hfill \\ \Rightarrow d(C,(SHD)) = CK = a\sqrt {10} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} CH = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = a\sqrt {20} \hfill \\ \Rightarrow HK = \sqrt {C{H^2} + C{K^2}} = a\sqrt {10} \hfill \\ \Rightarrow CK = HK \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó tam giác CHK vuông cân tại K
$\Rightarrow \widehat {KHC} = {45^o} \Rightarrow \widehat {DHC} = {45^o} \Rightarrow \tan \widehat {DHC} = 1$
Tam giác BHC vuông tại B nên $\tan \widehat {BHC} = \frac{{BC}}{{BH}} = 2$
$\tan \widehat {BHD} = \tan \left( {\widehat {BHC} + \widehat {CHD}} ight) = \frac{{\tan \widehat {BHC} + \tan \widehat {CHD}}}{{1 - \tan \widehat {BHC}.\tan \widehat {CHD}}} = - 3$
Mà $\widehat {BHD} + \widehat {AHD} = 180^\circ$
$\Rightarrow \tan \widehat {AHD} = - \tan \widehat {BHD} = 3 \Rightarrow \frac{{AD}}{{AH}} = 3 \Rightarrow AD = 6a$
Gọi M, E lần lượt là giao điểm của HD với AC và BC.
Khi đó AEBD là hình bình hành nên EB = AD = 4a => EC = 10a
Ta có: AD // EC
$\begin{matrix} \dfrac{{AD}}{{EC}} = \dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{6a}}{{10a}} = \dfrac{3}{5} \hfill \\ \Rightarrow AM = \frac{3}{5}MC = \dfrac{3}{8}AC = \dfrac{3}{8}.a\sqrt {32} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CN song song HD, với $N \in AB$ . Khi đó góc giữa hai đường thẳng SC và HD bằng góc giữa SC và CN.
Ta có:
$\begin{matrix} AH = \dfrac{3}{5}HN \hfill \\ \Rightarrow HN = \dfrac{{10}}{3}a \Rightarrow BN = \dfrac{4}{3}a \hfill \\ SN = \sqrt {S{H^2} + H{N^2}} = \sqrt {\dfrac{{208}}{3}} a \hfill \\ CN = \sqrt {B{N^2} + B{C^2}} = \dfrac{{4\sqrt {10} }}{3}a. \hfill \\ \end{matrix}$
Áp dụng định lý côsin trong tam giác SCN, ta có:
$\cos \widehat {SCN} = \frac{{S{C^2} + C{N^2} - S{N^2}}}{{2SC.CN}} = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$
Vậy $\cos \left( {SC,HD} ight) = \cos \left( {SC,CN} ight) = \left| {\cos \widehat {SCN}} ight| = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$
Câu 34: Vận dụng
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
- A.
  $d =\frac{a\sqrt{21}}{14}$
- B.
  $d =\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $d =\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $d =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của AD
=> SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)
Kẻ Ax // BD
Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))
Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE
Khi đó d (I, (SAx)) = IK
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có: $IE = IF = \frac{AO}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{4}$
Xét tam giác vuông SIE ta có:
$IK = \frac{SI.IE}{\sqrt{SI^{2} +IE^{2}}} = \frac{a\sqrt{21}}{14}$
=> $d(BD;SA) = 2IK =\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Câu 35: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $4a$ ?
- A.
  $V = 16a^{3}$
- B.
  $V = 64a^{3}$
- C.
  $V = 32a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $V = (4a)^{3} = 64a^{3}$
Câu 36: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp

Cho khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng 1cm và các cạnh bên bằng 2cm. Khi đó thể tích khối chóp bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{13}}{3}cm^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{11}}{4}cm^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{13}}{6}cm^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{11}}{12}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Theo định lí Pythagore ta có:

$AI = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}cm$

$\Rightarrow AO = \frac{2}{3}AI = \frac{\sqrt{3}}{3}cm$

Trong tam giác SOA vuông tại O ta có: $SO = \sqrt{4 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}cm$

Vậy thể tích khối chóp tam giác là: $V = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{11}}{12}cm^{3}$
Câu 37: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b).
- B.
  Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).
- C.
  Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a.
- D.
  Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β).
Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).

Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”
Câu 38: Thông hiểu
Tìm điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D

Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c.
Điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là:
- A.
  trung điểm của AB
- B.
  trung điểm của BC
- C.
  trung điểm của AD
- D.
  trung điểm của CD
Hình vẽ minh họa
Gọi O là trung điểm của AD.
Từ giả thiết ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot CD} \\ {BC \bot CD} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {ABC} ight) \Rightarrow CD \bot AC$
Vậy $ΔACD$ vuông tại C
Do đó $OA=OC=OD$ (1)
Mặt khác
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot CD} \\ {AB \bot BC} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} ight) \Rightarrow AB \bot BD$
=> $ΔABD$ vuông tại B.
Do đó $OA=OB=OD$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $OA=OB=OC=OD$
Vậy điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là trung điểm của AD.
Câu 39: Thông hiểu
Xác định góc giữa cặp vecto

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}$ ?
- A. 60⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 120⁰
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} ) \hfill \\ - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.\cos {60^0}{\text{ }} \hfill \\ {\text{Do }}AC = AD \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \hfill \\ \Rightarrow (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 40: Nhận biết
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
- A.
  45⁰
- B.
  30⁰
- C.
  60⁰
- D.
  135⁰
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy $\widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}$
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên $\widehat{SBA}= 45^{0}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

29 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm