VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $2$ . Gọi điểm M là điểm nằm trên cạnh $AA'$ sao cho mặt phẳng $(C'MB)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc nhỏ nhất. Khi đó diện tích tam giác $C'MB$ có dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c};\left( a,b,c\mathbb{\in N}ight)$ . Tính giá trị của biểu thức $T = a + b - c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 2: Thông hiểu
Tìm tan α

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.
- A.
  $1$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là $\widehat{SAH}$
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
$AH = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy tan α = 1
Câu 3: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAC)
- B.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SBC)
- C.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)
- D.
  AB vuông góc với mặt phẳng (SCD)
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Câu 4: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo chau

Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và $\widehat {SAC} = \widehat {SAB}$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo chau SA và BC.
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 60⁰
- D. 90⁰
Hình vẽ minh họa:
Xét
$\begin{matrix} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .(\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} ) \hfill \\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \hfill \\ = |\overrightarrow {SA} |.|\overrightarrow {SC} |.\cos (\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} ) - |\overrightarrow {SA} |.|\overrightarrow {SB} |.\cos \widehat {SAB} \hfill \\ = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SASB\cos \widehat {ASB}{\text{ }}\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có:
$\begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {SA{\text{ chung }}} \\ {AB = AC} \\ {\widehat {SAB} = \widehat {SAC}} \end{array} \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC(c - g - c)} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {SC = SB} \\ {\widehat {ASC} = \widehat {ASB}} \end{array}} ight.(2) \hfill \\ \end{matrix}$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow SA \bot BC$
Câu 5: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
- B.
  $d=a$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC
=>AM ⊥ BC và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) $=> AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK$
Xét tam giác SAM ta có:
$AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Vậy $d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AC$ , $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $SC$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
- A.
  $(SAC)\bot(SAB)$
- B.
  $(BHK)\bot(ABC)$
- C.
  $(BHK)\bot(SBC)$
- D.
  $(SBC)\bot(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BH$

Mà tam giác ABC là tam giác đều $AC\bot BH$

$\Rightarrow BH\bot SC$ mà $HK\bot SC$

$\Rightarrow SC\bot(BHK) \Rightarrow (SCB)\bot(BHK)$
Câu 7: Thông hiểu
Tính thể tích của hình chóp S.ABCD

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$ . Tam giác $SAB$ đều và $\left( (SAB);(ABCD) ight) = 90^{0}$ . Tính thể tích của hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 4a^{3}\sqrt{3}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $V = \frac{4a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Do tam giác SAB đều nên $SH\bot AB$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Tính được $SH = a\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.(2a)^{2}.a\sqrt{3} = \frac{4a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 8: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 9: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , đáy là tứ giác $ABCD$ cạnh bằng a. Biết cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .
- A.
  $V = \frac{\sqrt{14}}{2}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{14}}{6}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là tâm đáy.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.

Ta có: $BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{2}$

Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A

$\Rightarrow AI = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Chiều cao của khối chóp là $SI = \sqrt{SA^{2} - AI^{2}} = \sqrt{4a^{2} - \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)} = \frac{a\sqrt{14}}{2}$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}.SI.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{14}}{2}a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{6}$
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Xác định thể tích $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $V = a^{3}\sqrt{2}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$S_{ABCD} = a^{2} \Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$
Câu 11: Thông hiểu

Phân tích sự đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 3a;$ $SA\bot(ABCD);SA = 2a$ . Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $SAB$ . Khi đó:

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 30^{0}$ Sai||Đúng

c) $AI\bot CS$ Đúng||Sai

d) Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{7a^{2}}{5}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = 3a;$ $SA\bot(ABCD);SA = 2a$ . Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $SAB$ . Khi đó:

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 30^{0}$ Sai||Đúng

c) $AI\bot CS$ Đúng||Sai

d) Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{7a^{2}}{5}$ Sai||Đúng

$BC\bot(SAB)$ đúng

$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} \approx 32,3^{0}$ đúng

$AI\bot CS$ đúng

Diện tích tam giác $AIC$ bằng $\frac{a^{2}\sqrt{46}}{5}$
Câu 12: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b
- B. Nếu c vuông góc với a và c vuông góc với b thì a song song với b
- C. Nếu a và b vuông góc với c thì a và b không thể chéo nhau
- D. Cả ba mệnh đề đều sai
Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $BM \perp AC$
- B.
  $(SBM) \perp (SAC)$
- C.
  $(SAB) \perp (SBC)$
- D.
  $(SAB) \perp (SAC)$
Ta có:
$BC⊥AB,BC⊥SA⇒BC⊥(SAB)⇒(SBC)⊥(SAB)$
=> $(SAB) \perp (SAC)$ đúng.
ΔABC vuông cân tại B, M là trung điểm AC ⇒ $BM⊥AC$ ⇒ $BM \perp AC$ đúng.
$BM⊥AC,BM⊥SA⇒BM⊥(SAC)⇒(SBM)⊥(SAC)$
=> $(SBM) \perp (SAC)$ đúng
Câu 15: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 16: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , tam giác SBC là tam giác đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\varphi = 60^{0}$
- B.
  $\tan\varphi = 2\sqrt{3}$
- C.
  $\tan\varphi = \frac{\sqrt{3}}{6}$
- D.
  $\tan\varphi = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ⊥ BC

=> SH ⊥ (ABC).

Gọi K là trung điểm AC=> HK // AB nên HK ⊥ AC.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AC\bot HK \\ AC\bot SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SHK) \Rightarrow AC\bot SK.$

=> ((SAC), (ABC)) = (SK, HK) = $\widehat{SHK}$

Xét tam giác vuông ABC ta có:

$\begin{matrix}AB = BC.cos\widehat{ABC} = a \hfill\\\Rightarrow HK = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2} \hfill\\\end{matrix}$

Xét tam giác vuông SHK ta có: $\tan\widehat{SHK} = \frac{SH}{HK} = 2\sqrt{3}$
Câu 17: Vận dụng
Tính tan của góc giữa SA và mặt phẳng (SBM)

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ và $SA = a\sqrt 3$ . Đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB = a,\,AD = a\sqrt 3$ . Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị $\tan \alpha$ bằng:
- A. $\frac{2}{{\sqrt {15} }}$
- B. $\frac{4}{{\sqrt {15} }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt {13} }}$
- D. $\frac{4}{{\sqrt {13} }}$
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.
Ta có $\left\{ \begin{gathered} BM \bot AK \hfill \\ BM \bot SA\left( {V\`i \,SA \bot \left( {ABCD} ight)} ight) \hfill \\ AK,SA \subset \left( {SAK} ight) \hfill \\ AK \cap SA = \left\{ A ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BM \bot \left( {SAK} ight)$
Mà $AI \subset \left( {SAK} ight) \Rightarrow BM \bot AI$
Ta có $\left\{ \begin{gathered} AI \bot BM \hfill \\ AI \bot SK \hfill \\ BM,SK \subset \left( {SBM} ight) \hfill \\ BM \cap SK = \left\{ K ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AI \bot \left( {SBM} ight)$
Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc $\widehat {ASK}$ .
Ta có $\left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ AK \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SA \bot AK$
Có
$\begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMD}} - {S_{\Delta BMC}} \hfill \\ = {a^2}\sqrt 3 - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ BM = \sqrt {B{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có
$\begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = \dfrac{1}{2}AK.BM \hfill \\ \Rightarrow AK = \dfrac{{2{S_{\Delta ABM}}}}{{BM}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{a\dfrac{{\sqrt {13} }}{2}}} = a\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác vuông SAK có $\tan \widehat {ASK} = \frac{{AK}}{{SA}} = \frac{{a\frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích của khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ , đáy $ABC$ có $AB = AC = a;\widehat{BAC} = 120^{0}$ . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho biết $\left( (AB'C');(ABCD) ight) = 60^{0}$ .
- A.
  $V = \frac{3a^{3}}{8}$
- B.
  $V = \frac{9a^{3}}{8}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}}{8}$
- D.
  $V = \frac{3a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của B’C’, khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và (ABCD) là góc $\widehat{AHA'} = 60^{0}$

Ta có:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AC.AB.sin120^{0} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$B'C' = BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2} - 2AB.AC.cos120^{0}}$

$= \sqrt{a^{2} + a^{2} - 2.a.a.\left( - \frac{1}{2} ight)} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow AH' = \frac{2S_{ABC}}{B'C'} = \frac{a}{2}$

$\Rightarrow AA' = A'H.tan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $V = S_{ACB}.AA' = \frac{3a^{3}}{8}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính góc giữa SC và mặt đáy

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy, biết rằng $SA = a\sqrt{15};AB = a;BC = 2a$ .
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC)$ nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABC) từ đó suy ra $\left( SC;(ABC) ight) = (SC;AC) = \widehat{SCA}$

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4a^{2}} = a\sqrt{5}$

Trong tam giác SAC vuông tại A ta có: $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{15}}{a\sqrt{15}} = \sqrt{3}$

$\tan\widehat{SCA} = 60^{0}$

$\Rightarrow \left( SC;(ABC) ight) = 60^{0}$
Câu 20: Nhận biết
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
- A.
  45⁰
- B.
  30⁰
- C.
  60⁰
- D.
  135⁰
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy $\widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}$
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên $\widehat{SBA}= 45^{0}$
Câu 21: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là các tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $1$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $BB'$ và $AC'$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BB'//CC' \Rightarrow (BB';AC') = (CC';AC') = \widehat{AC'C}$

Khi đó tam giác $ACC'$ vuông cân tại C nên $\tan\widehat{AC'C} = \frac{AC}{CC'} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \widehat{AC'C} = 60^{0}$

$\Rightarrow (BB';AC') = \widehat{AC'C} = 60^{0}$
Câu 22: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng $9;4$ . Thể tích khối chóp bằng:
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 18$
- C.
  $V = 24$
- D.
  $V = 12$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 9 \\ h = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.9.4 = 12$
Câu 23: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $7a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{7}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{7}{2}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{7}{3}a^{3}$
- D.
  $V = a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 7a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{7}{3}a^{3}$
Câu 24: Nhận biết
Chỉ ra mệnh đề sai

Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước.
- C.
  Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- D.
  Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”

Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 25: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).
- B.
  Một đường thẳng đi qua một điểm của mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì nằm trọn trong mặt phẳng (P).
- C.
  Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
- D.
  Trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”
Câu 26: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 27: Nhận biết
Tính chiều cao của hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{2}}{3}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

$\begin{matrix}SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} \hfill \\= \sqrt{a^{2} - \dfrac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{2}} =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\hfill \\\end{matrix}$
Câu 28: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ đều

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AA' = 4a$ . Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ .
- A.
  $V = 64\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = 32\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{64\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{32\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó $\left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Trong tam giác vuông A’MA có:

$\tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan30^{0}} = 4\sqrt{3}a$

Tam giác ABC đều nên $AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = 8a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{ABC}.AA' = \frac{(8a)^{2}\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3}a^{3}$
Câu 29: Vận dụng
Tìm bước giải sai của bài toán

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD, $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}$ . Hãy chứng mình $AB ⊥ CD$ .
Một bạn chứng mình qua các bước sau:
Bước 1. $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$
Bước 2. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } ight)$
Bước 3. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} - |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos {60^0} = 0$
Bước 4. Suy ra $AB ⊥ CD$
Theo em. Lời giải trên sai từ:
- A.
  Bước 1
- B.
  Bước 2
- C.
  Bước 3
- D.
  Bước 4
Bài toán sai từ bước 1 vì
Theo quy tắc trừ hai vectơ ta có:
$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} {\text{ }}$
Câu 30: Nhận biết
Tính tích vô hướng của hai vecto

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}}$
- A. $\frac{{{a^2}}}{2}$
- B. ${a^2}$
- C. $\frac{{3{a^2}}}{4}$
- D. $\frac{{3{a^2}}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A{D_1}} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {{B_1}M} = \overrightarrow {{B_1}A} + \overrightarrow {AM} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {{B_1}M} = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {A{A_1}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = A{B^2} - A{A_1}^2 + \dfrac{1}{2}A{D^2} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ . Biết rằng $SA = SB;AC = BC$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $BC\bot(SBC)$
- B.
  $AB\bot SB$
- C.
  $SA\bot(ABC)$
- D.
  $AB\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Gọi D là trung điểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC cân tại C nên $\left\{ \begin{matrix} AB\bot SD \\ AB\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SDC) \Rightarrow AB\bot SC$ .
Câu 32: Nhận biết
Hoàn thiện mệnh đề

Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
- A.
  a vuông góc với mặt phẳng (P)
- B.
  a không vuông góc với mặt phẳng (P)
- C.
  a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)
- D.
  a có thể vuông góc với mặt phẳng (P)
"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥c ⊂ (P); b // c$
"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥ c ⊂ (P); b ∩ c ≠ ∅$
$=>a⊥(P)$
=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.
Câu 33: Nhận biết
Tìm mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý trong mỗi mặt phẳng.
- B.
  Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
- C.
  Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
- D.
  Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Mệnh đề đúng: “Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.”

NB

0
Câu 34: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
- A.
  a vuông góc với (P).
- B.
  a song song với (P).
- C.
  a nằm trên (P).
- D.
  a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Câu 35: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a, $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 60⁰
Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a, $\widehat {MAB} = {90^0}$
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và $CM = \frac{1}{2}AD = a$
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AC} \\ {CD \bot SA} \\ {SA \cap AC = A} \\ {SA;AC \subset \left( {SAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$ mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot CD} \\ {AH \bot SC} \\ {CD \cap SC = C} \\ {CD;SC \subset \left( {SCD} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight)\left( 1 ight)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD \bot SA} \\ {AD \bot AB} \\ {SA \cap AB = A} \\ {SA;AB \subset \left( {SAB} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight)\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Xét tam giác SAC vuông tại A có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a$
Xét tam giác SAC vuông tại A và $SA = AC = a\sqrt 2$ nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và $AH = \frac{1}{2}SC = a$
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: $\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {DAH} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SCD} ight);\left( {SAB} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 36: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
- A.
  $d =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $d = 2a$
- C.
  $d = a\sqrt{2}$
- D.
  $d =\frac{2a\sqrt{15}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc 60⁰
$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} =\widehat{(SC;AC)} = 60^{0} = \widehat{SCA}$
$SA = AC.tan\widehat{SCA} =a\sqrt{6}$
Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a
Xét tam giác ACB ta có:
$CM = a = \frac{1}{2}AB$
=> Tam giác ACB vuông tại C
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật
=> AC // BE
=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))
Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:
$d\left( A;(SBE) ight) = AK =\frac{SA.AE}{\sqrt{SA^{2} + AE^{2}}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  d(BI, SC) = IH
- B.
  d(AB, SC) = BH
- C.
  d(SB, AC) = AB
- D.
  d(SA, BC) = AB
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AB\bot SA \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight.$ => d(SA, BC) = AB
Câu 38: Vận dụng
Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $4a;SO\bot(ABC)$ . Gọi $I$ là trung điểm cạnh $CD$ , $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $I$ trên $SI$ . Biết $OH = a\sqrt{2}$ . Khi đó, cosin góc tạo bởi đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SO\bot(ABCD) \\ CD \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SO\bot CD;OI\bot CD$

$\Rightarrow CD\bot(SOI)$

$OH \subset (SOI) \Rightarrow OH\bot CD;OH\bot SI$

$\Rightarrow OH\bot(SIO) \Rightarrow \left( SO;(SCD) ight) = \widehat{OSI}$

$OI = 2a;OH = a\sqrt{2}$ suy ra tam giác OHI vuông cân tại H

$\Rightarrow \widehat{HIO} = 45^{0} \Rightarrow \widehat{OSI} = 45^{0}$

$SD = \sqrt{SO^{2} + OD^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2}} = a$

$\Rightarrow SD = SC = CD = a$

Suy ra tam giác SCD đều $\Rightarrow \widehat{SDC} = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos\left( SO;(SCD) ight) = \cos\widehat{OSI} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 39: Thông hiểu
Tìm kết luận sai

Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Kết luận nào sai?
- A.
  $AB\bot OC$
- B.
  $OH\bot(ABC)$
- C.
  $OH\bot BC$
- D.
  $OH\bot OA$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OA\bot OC \\ OB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot(OAB) \Rightarrow OC\bot AB$ đúng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AH \\ BC\bot OA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(OAH) \Rightarrow BC\bot OH$ đúng

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot CH \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(OCH) \Rightarrow AB\bot OH$

Mà $BC\bot OH \Rightarrow OH\bot(ABC)$ đúng

Vậy $OH\bot OA$ hay tam giác HOA vuông tại H sai
Câu 40: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của $BD'$ . Diện tích thiết diện tạo thành bằng:
- A.
  $\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ . Ta có: $EB = ED'$ nên $E$ thuộc mặt phẳng trung trực của $BD'$ .

Gọi $F;G;H;I;K$ lần lượt là trung điểm của $CD;CC';B'C';A'B';AA'$

Chứng minh tương tự ta có các điểm trên đều thuộc mặt phẳng trung trực của $BD'$

Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của $BD'$ là hình lục giác đều $EFGHIK$ có cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy diện tích thiết diện là: $S = 6.\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

60 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm