VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Xác định tanβ

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ tâm $I$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $SA = a\sqrt{3};\beta = \left( SI;(ABCD) ight)$ . Tính $\tan\beta$ ?
- A.
  $\tan\beta = \sqrt{6}$
- B.
  $\tan\beta = \frac{\sqrt{6}}{6}$
- C.
  $\tan\beta = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\tan\beta = \sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ nên AI là hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng đáy.

Do đó góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SI và AI.

Xét tam giác SAI vuông tại A nên $\widehat{SIA} < 90^{0} \Rightarrow (SI;AI) = \widehat{SIA}$

$\tan\widehat{SIA} = \dfrac{SA}{AI} =\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6}$

Vậy $\tan\beta = \sqrt{6}$
Câu 2: Vận dụng
Tính tanα

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC);SA = a\sqrt{5}$ . Biết đáy $ABC$ của hình chóp là tam giác vuông tại $A$ cạnh $AC = 2a$ . Giả sử $\alpha = \left( SA;(SBC) ight)$ . Khi đó:
- A.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{2}{5}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
- D.
  $\tan\alpha = 2$
Hình vẽ minh họa

Dựng AK vuông góc với BC, AH vuông góc với SK

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AK \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAK) \Rightarrow BC\bot AH$

Mà $SK\bot AH \Rightarrow AH\bot(SBC)$

Khi đó SK là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBC) nên

$\alpha = \left( SA;(SBC) ight) = (SA;SK) = \widehat{ASK}$

Ta có: $AK = \frac{AB.AC}{BC} = \frac{AB.AC}{\sqrt{AB^{2} + AC^{2}}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Khi đó: $\tan\alpha = \dfrac{AK}{SA} =\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5}$
Câu 3: Nhận biết
Hoàn thiện mệnh đề

Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
- A.
  a vuông góc với mặt phẳng (P)
- B.
  a không vuông góc với mặt phẳng (P)
- C.
  a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)
- D.
  a có thể vuông góc với mặt phẳng (P)
"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥c ⊂ (P); b // c$
"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp
$a ⊥ b ⊂ (P); a⊥ c ⊂ (P); b ∩ c ≠ ∅$
$=>a⊥(P)$
=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.
Câu 4: Thông hiểu
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng CM và DM. Tính giá trị của cos α?
- A. $\frac{2}{3}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$
- C. $\frac{1}{3}$
- D. $\frac{1}{6}$
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều. Khi đó:
$CD = a;MC = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Ta có hình vẽ minh họa:
Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMD ta được:
$\begin{matrix} \cos \widehat {CMD} = \dfrac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}} \hfill \\ = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2} - {a^2}}}{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Vận dụng
Tính độ dài đoạn thẳng AD

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài đoạn thẳng AD bằng bao nhiêu?
- A.
  $AD = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- B.
  $AD = \sqrt{a^{2} - b^{2} + c^{2}}$
- C.
  $AD = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$
- D.
  $AD = \sqrt{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ CD\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(BCD)$

=> Tam giác ABD vuông tại B.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot AB \\ CD\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC)$

=> Tam giác BCD vuông tại C.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AD^{2} = AB^{2} + BD^{2} \\ BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\begin{matrix}\Rightarrow AD^{2} = AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} \hfill \\\Rightarrow AD = \sqrt{AB^{2} + BC^{2} + CD^{2}} \hfill \\\Rightarrow AD = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \hfill \\\end{matrix}$
Câu 6: Nhận biết
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau?
- A.
  Có một đường thẳng song song với (P) và vuông góc với (Q).
- B.
  Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b.
- C.
  Có một đường thẳng nằm trong (P) mà hình chiếu vuông góc của nó trên (Q) trùng với giao tuyến của (P) và (Q).
- D.
  Có hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau, lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho a và b đều vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).
Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.
Câu 7: Nhận biết
Tính thể tích V của hình chóp tam giác

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , $SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}$ . Tính chiều cao hình chóp $S.ABC$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $a\sqrt{3}$
- D.
  $2a\sqrt{3}$
Ta có:

$SA\bot(ABC)$ nên SA là chiều cao của hình chóp.

Do tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Ta lại có:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$ . Gọi $D$ là trung điểm cạnh BC. Biết $AA' = 2a$ , khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $C'D$ là:
- A.
  $a\sqrt{17}$ .
- B.
  $\frac{ a }{ \sqrt{ 1 7 } }$ .
- C.
  $2a\sqrt{17}$ .
- D.
  $\frac{2a}{\sqrt{17}}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $D'$ là trung điểm của $B'C'$ , ta có $BDC'D'$ là hình bình hành

$\Rightarrow C'D//BD' \Rightarrow C'D//(A'BD')$ .

Kẻ $B'H \bot BD'$ .

Ta có: $\left. \ \begin{matrix}A'D'\bot B'C' \\A'D'\bot BB' \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow A'D'\bot(BCC'B')\Rightarrow A'D'\bot B'H$ .

$\left. \ \begin{matrix} B'H\bot BD' \\ B'H\bot A'D' \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow B'H\bot(A'BD')$

Suy ra,

$d(A'B,C'D) = d\left( C'D;(A'BD') ight) = d\left( C';(A'BD') ight) = d\left( B';(A'BD') ight) = B'H$

Ta có: $B'D' = \frac{a}{2}; BB'= 2a$ .

Xét $\Delta BB'D'$ vuông tại $B'$ ta có:

$\frac{1}{B'H^{2}} = \frac{1}{BB'^{2}} + \frac{1}{B'D'^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} \Rightarrow BH = \frac{2a}{\sqrt{17}}$
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}\pi rh$
- B.
  $V = \pi rh$
- C.
  $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
- D.
  $V = \pi r^{2}h$
Công thức tính thể tích là: $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Câu 10: Thông hiểu
Tứ giác MNPQ là hình gì?

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Tứ giác không phải hình thang
Hình vẽ minh họa:

Ta có: (MNPQ) // AB; (MNPQ) ∩ (ABC) = MQ

=> MQ // AB

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB; QP // CD

Khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: MN ⊥ MQ (Do AB ⊥ CD)

Hay tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Câu 11: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $a$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $a\sqrt{2}$
Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Câu 12: Thông hiểu
Xác định thể tích khối chóp tứ giác

Cho khối chóp $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ ; đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB = a;AD = a\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ , biết mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60^{0}$ .
- A.
  $V = \sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{3}}{3}a^{3}$
- C.
  $V = a^{3}$
- D.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $S_{ABCD} = a^{2}\sqrt{3}$

Vì $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABCD) = BC \\ BC\bot SB \subset (SBC) \\ BC\bot AB \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SBC);(ABCD) ight) = (SB;AB) = \widehat{SBA}$

Vậy $\widehat{SBA} = 60^{0}$

Xét tam giác vuông SAB có

$\tan60^{0} = \frac{SA}{AB} \Rightarrow SA= AB.\tan60^{0} = a\sqrt{3}$

Vậy $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \frac{1}{3}.a^{2}\sqrt{3}.a\sqrt{3} = a^{3}$
Câu 13: Nhận biết
Tính diện tích tam giác BCD

Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{9\sqrt{2}}{3}$
- C.
  $27$
- D.
  $\frac{27}{2}$
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh $\sqrt{18}$ nên có diện tích là $S_{BCD} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$
Câu 14: Nhận biết
Xác định mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ .
- B.
  Cho hai đường thẳng $a;b$ vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $a$ thì $b\bot(\alpha)$ .
- C.
  Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng kia.
- D.
  Cho hai đường thẳng chéo nhau, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề đúng: “Cho đường thẳng $a\bot(\alpha)$ , mọi mặt phẳng $(\beta)//(\alpha)$ thì $(\beta)\bot a$ ”.

Minh họa bằng hình vẽ:
Câu 15: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{a\sqrt{15}}{3}$ . Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{2\sqrt{5}}{3}a^{3}$
- B.
  $V = 2\sqrt{5}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{2\sqrt{15}}{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{15}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Kẻ $AI\bot BB';AK\bot CC'$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} d(A;BB') = a \Rightarrow AI = a \\ d(A;CC') = 2a \Rightarrow AK = 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi F là trung điểm của BC; $A'M = \frac{a\sqrt{15}}{3}$ khi đó $\Rightarrow AF = \frac{a\sqrt{15}}{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AI\bot BB' \\ AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AIK) \Rightarrow BB'\bot IK$

Vì $C'C//B'B \Rightarrow d(C;BB') = d(K;BB') = IK = a\sqrt{5}$

Vậy tam giác AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK

=> $EF//BB' \Rightarrow EF\bot(AIK) \Rightarrow EF\bot AE$

Lại có $AM\bot(ABC)$ do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AIK) là góc giữa EF và AM và bằng góc $\widehat{AME}$ bằng $\widehat{FAE}$

Ta có: $\cos\widehat{FAE} = \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{15}}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{FAE} = 30^{0}$

Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng (AIK) là tam giác AIK nên ta có:

$S_{AIK} = S_{ABC}.\cos\widehat{FAE}\Rightarrow a^{2} = S_{ABC}.\cos30^{0}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{2}{\sqrt{3}}a^{2}$

Xét tam giác AMF vuông tại A ta có:

$\tan\widehat{AMF} = \dfrac{AF}{AM}\Rightarrow AM = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{3}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}} =a\sqrt{5}$

Vậy $V_{ABC.A'B'C} = a\sqrt{5}.\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Câu 16: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp $S.ABC$ có chiều cao bằng $6$ đáy là tam giác $ABC$ có diện tích bằng $12$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = 12$
- B.
  $V = 24$
- C.
  $V = 36$
- D.
  $V = 32$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 12 \\ h = 6 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp tam giác là $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.12.6 = 24$
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức lượng giác

Cho lăng trụ đứng ABC.A’C’B’ có đáy ABC cân đỉnh A, $\widehat {ABC} = \alpha$ , BC’ tạo đáy góc $\beta$ . Gọi I là trung điểm của AA’, biết $\widehat {BIC} = {90^0}$ . Tính ${\tan ^2}\alpha + {\tan ^2}\beta$
- A. $\frac{1}{2}$
- B. 2
- C. $\sqrt 3$
- D. 1
Ta có: $\tan \beta = \frac{{B{B^\prime }}}{{{B^\prime }{C^\prime }}} \cdot \Delta AHB$ vuông tại H (H là trung điểm của BC)
$\begin{matrix} \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{2AH}}{{BC}} \hfill \\ \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\tan ^2}\beta = \dfrac{{4\left( {A{I^2} + A{H^2}} ight)}}{{B{C^2}}}(*) \hfill \\ \end{matrix}$
Mà tam giác AIH vuông tại A nên $A{I^2} + A{H^2} = I{H^2}$
Tam giác BIC vuông tại I
$\Rightarrow IH = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow B{C^2} = 4I{H^2}$
Thay vào (*) ta được: ${\tan ^2}\alpha + {\tan ^2}\beta = 1$
Câu 18: Vận dụng
Số đo góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính $\alpha$
- A. $30^0$
- B. $60^0$
- C. $55^0$
- D. $45^0$
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra $SN \bot AB \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} ight)$
+ Gọi $h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) \Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}}$
Gọi $I = DM \cap CN,\,J = AB \cap DM$
+ Ta có $\frac{{d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight)}}{{d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)}} = \frac{{{\text{AJ}}}}{{NJ}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)$
+ Ta có
$\Delta CNB = \Delta DMC \Rightarrow \widehat {NCB} = \widehat {MDC}$
$\Rightarrow \widehat {NCB} + \widehat {DMC} = \widehat {MDC} + \widehat {DMC} = 180^\circ - \widehat {MCD} = 90^\circ$
$\Rightarrow DM \bot CN \Rightarrow DM \bot \left( {SNC} ight)$
+ Gọi NH là đường cao $\Delta SNI \Rightarrow NH \bot \left( {SDM} ight)$
$\Rightarrow d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = NH$
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{NI}}{{MB}} = \dfrac{{NJ}}{{MJ}} \hfill \\ \Rightarrow NI = \dfrac{{NJ}}{{MJ}}.MB = \dfrac{{NJ}}{{\sqrt {M{B^2} + B{J^2}} }} \hfill \\ MB = \dfrac{3}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}.1 = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}$
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2 $\Rightarrow SN = \sqrt 3$
$\frac{1}{{N{H^2}}} = \frac{1}{{N{S^2}}} + \frac{1}{{N{I^2}}} \Rightarrow NH = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
$h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{4} = \sqrt 2$
$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$
Câu 19: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ . Thể tích khối chóp là:
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- B.
  $V = \frac{a^{3}}{12}$
- C.
  $V = \frac{a^{3}}{36}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{36}$
Hình vẽ minh họa

$\left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAO} = 45^{0}$

$SO = AO.tan45^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$V = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{12}$
Câu 20: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Tính $(AB;A'C')$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $AB//A'B' \Rightarrow (AB;A'C') = (A'B';A'C') = \widehat{B'A'C'}$

Tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ $\Rightarrow \widehat{B'A'C'} = 45^{0}$

Vậy $(AB;A'C') = 45^{0}$ .
Câu 21: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A$ , các cạnh $AB = AC = a$ , các góc $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90^{0}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ABC)$ và $SH = a\sqrt{2}$ . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ .

Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Hình vẽ minh họa

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AB \Rightarrow (\alpha) \cap (ABC) = Bt//AC$ .

Gọi $(\beta)$ là mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AC$

$\Rightarrow (\beta) \cap (ABC) =Ct'//AB$

Khi đó, $(\alpha) \cap (\beta) = SH$ với $H = Bt \cap Ct'$ là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.

Khi đó: $\Delta SAB,\ \ \Delta SAC$ là hai tam giác vuông bằng nhau có $SB = SC = a\sqrt{3},SA = 2a$ .

Gọi $I$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $B$ của tam giác SAB, ta có $BI\bot SA,CI\bot SA$ .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ là $(IB;IC)$ .

Xét $\Delta IBC$ cân tại $I$ có $IB = IC = \frac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2},BC = a\sqrt{2}$ .

Ta có: $\cos\widehat{BIC} = \frac{IB^{2} +IC^{2} - BC^{2}}{2IB.IC}$ $= \dfrac{\dfrac{3a^{2}}{4} + \dfrac{3a^{2}}{4} -2a^{2}}{2.\dfrac{3a^{2}}{4}} = - \dfrac{1}{3}$ .

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $\frac{1}{3}$ .
Câu 22: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $H$ là trực tâm tam giác $BCD$ và $AH$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $CD\bot BD$
- B.
  $AC = BD$
- C.
  $AB = CD$
- D.
  $AB\bot CD$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$AH\bot(BCD) \Rightarrow AH\bot CD$

H là trực tâm tam giác BCD nên $BH\bot CD$

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AH \\ CD\bot BH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABH) \Rightarrow CD\bot AB$
Câu 23: Vận dụng cao
Tính giá trị cos α

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; SAB là tam giác cân tại S; AD = 3BC = 3AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 3MD. Biết rằng SCM là tam giác đều. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Khi đó cos α nhận giá trị là
- A. $\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$
- B. $\frac{{\sqrt {21} }}{7}$
- C. $\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}$
- D. $\frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Gọi K là trung điểm AB, N là trung điểm của AM, H là trung điểm của CM.
Điểm M thuộc đoạn AD sao cho 3MD = AD = 3a
=> MD = a; AM = 2a
Tam giác SAB cân tại A nên AB ⊥ SK.
Vì HK là đường trung bình của hình thang vuông ABCM nên AB ⊥ HK và $HK = \frac{{3a}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} AB \bot SK \hfill \\ AB \bot HK \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AB \bot SH$ (1)
Tam giác SCM đều nên CM ⊥ SH (2)
Từ (1) và (2) suy ra SH ⊥ (ABCD)
Ta có AN = MN = MD = a nên ABCN là hình vuông, từ đó tam giác CMN vuông cân tại N.
Suy ra $HM = HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $HM \bot HN$
Tam giác SCM đều cạnh bằng $a\sqrt 2$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
Tứ diện HSMN có HS, MN, HN đôi một vuông góc, đặt d = d(H, (SMN)).
Ta có: $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}}$
$= \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{{14}}{{3{a^2}}} \Rightarrow d = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$
Ta lại có:
$SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{K^2} + K{H^2}}$
$= \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{4}} = 2a$
Gọi I là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng (SAD)
Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {BSI} = \alpha$
Do BC // AD => BC //(SAD)
=> $BI = d\left( {B;\left( {SAD} ight)} ight) = d\left( {C;\left( {SAD} ight)} ight) = 2d\left( {H,\left( {SAD} ight)} ight) = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$
Trong tam giác vuông BIS ta có:
$\sin \alpha = \frac{{BI}}{{SB}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {154} }}{{14}}$
Câu 24: Thông hiểu
Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ . Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên cạnh $BC$ là điểm $H$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?
- A.
  $\widehat{SAH}$
- B.
  $\widehat{SBA}$
- C.
  $\widehat{SHA}$
- D.
  $\widehat{ASH}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$BC = (SBC) \cap (ABC)$

Vì $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AS \\ BC\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAH) \Rightarrow BC\bot SH$

Vậy $\left( (SBC);(ABC) ight) = \widehat{SHA}$
Câu 25: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và các góc $\widehat{BAD};\widehat{DAA'};\widehat{A'AB}$ đều bằng $60^{0}$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AA',CD$ lần lượt là $M,N$ . Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $MN$ và $B'C$ . Xác định $\cos\alpha$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{3}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
- D.
  $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} A'D//B'C \\ MN//A'P \\ \end{matrix} ight.$ với P là trung điểm của D’C

Suy ra $(MN,B'C) = (A'P;A'D) = \widehat{DA'P}$

Vì $\widehat{BAD} = \widehat{DAA'} = \widehat{A'AB} = 60^{0}$ và các cạnh của hình hộp bằng a

Do đó $A'D = a;C'D = C'A' = a\sqrt{3}$

$A'P = \frac{A'D^{2} + A'C'^{2}}{2} - \frac{DC'^{2}}{4}$

$\Rightarrow A'P = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP ta có:

$\cos\alpha = \frac{A'D^{2} + A'P^{2} - DP^{2}}{2A'D.A'P} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$
Câu 26: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và $AB = a, BC = b$ , $CD = c$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $AB ⊥ (ACD)$
- B.
  $BC ⊥ (ACD)$
- C.
  $CD ⊥ (ABC)$
- D.
  $AD ⊥ (BCD)$
Đáp án " $AB ⊥ (ACD)$ " sai vì chỉ có $AB ⊥ CD$
Đáp án " $BC ⊥ (ACD)$ " sai vì chỉ có: $BC ⊥ CD$
Đáp án " $CD ⊥ (ABC)$ " đúng vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {CD \bot AB} \\ {CD \bot BC} \end{array}} ight. ⇒CD⊥(ABC)$
Đáp án " $AD ⊥ (BCD)$ " sai vì AD không vuông góc với đường thẳng nào thuộc mặt phẳng (BCD).
Câu 27: Vận dụng
Góc giữa hai đường thẳng SB và AC trong mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, $SA = a\sqrt 3$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?
- A. $\alpha = {69^0}17'$
- B. $\alpha = {72^0}84'$
- C. $\alpha = {84^0}62'$
- D. $\alpha = {27^0}38'$
Hình vẽ minh họa
Lấy M là trung điểm của SD
Góc cần tìm là góc giữa OM và SC
Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD
$\begin{matrix} M{C^2} = \dfrac{{S{C^2} + D{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 2{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác MOC ta có:
$\begin{matrix} \cos \widehat {MOC} = \dfrac{{M{O^2} + O{C^2} - M{C^2}}}{{2.MO.OC}} = - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \hfill \\ \Rightarrow \alpha \approx {69^0}17\prime \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương.
- B.
  Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.
- C.
  Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương.
- D.
  Nếu hình hộp có sau mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương.
Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.
Câu 29: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $M$ là trung điểm của $BC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $AM\bot A'B'$
- B.
  $AM\bot BB'$
- C.
  $AM\bot B'C'$
- D.
  $AM\bot A'C'$
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên $AM\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ BC//B'C' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AM\bot B'C'$
Câu 30: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A;D$ ; $AB = a;AD = DC = a$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ , biết hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60^{0}$ . Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh $SD$ đến mặt phẳng $(SBC)$ ?
- A.
  $\frac{a\sqrt{17}}{5}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{15}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{15}}{20}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{6}}{19}$
Từ I kẻ $IP\bot BC \Rightarrow BC\bot SP$

$\Rightarrow \left( (SBC);(ABCD) ight) = \widehat{SPI} = 60^{0}$

Gọi K là trung điểm của SD.

Gọi $Q = BC \cap AD$ , kẻ $IH\bot SP$

Ta có:

$d\left( K;(SBC) ight) = \frac{1}{2}d\left( D;(SBC) ight)$

$= \frac{1}{4}d\left( I;(SBC) ight) = \frac{1}{4}IH$

Xét tam giác ICQ có $IP = \frac{CD.IQ}{QC} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$

Xét tam giác SIP vuông tại I có $SI = IP.tan60^{0} = \frac{2a\sqrt{3}}{5}$

$\frac{1}{IH^{2}} = \frac{1}{IS^{2}} + \frac{1}{IP^{2}} \Rightarrow IH = \frac{3a^{2}}{5}$

$\Rightarrow IH = \frac{a\sqrt{15}}{5}$

$\Rightarrow d\left( K;(SBC) ight) = \frac{a\sqrt{15}}{20}$
Câu 31: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Trong các khẳng định sai về lăng trụ đều, khẳng định nào là sai?
- A.
  Đáy là đa giác đều
- B.
  Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
- C.
  Các cạnh bên là những đường cao
- D.
  Các mặt bên là những hình vuông.
Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.
Câu 32: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tứ giác

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a,SA\bot(ABCD)$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ , biết $d\left( A;(SBC) ight) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{9}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ $AH\bot SB$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AH \\ SB\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AH\bot(SBC)$

$\Rightarrow d\left( A;(SBC) ight) = AH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{SB^{2}} \Rightarrow SA = a$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{a^{3}}{3}$
Câu 33: Vận dụng cao
Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB’ = a, $\widehat{BAC} = 120^{0}$ . Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{5}}{12}$
- C.
  $\frac{\sqrt{30}}{10}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi E là giao điểm của B’I và BC, H thuộc BC sao cho EA ⊥ AH tại A, K ∈ B’I sao cho KH ⊥ CB tại H.
Ta có: KH ⊥ CB => KH // CC’
=> KH ⊥ (ABC) tại H => KH ⊥ EA mà EA ⊥ AH => EA ⊥ (AKH) => EA ⊥ AK
Góc giữa hai mặt phẳng (AIB’) và (ACB) là $\widehat{KAH}$
Ta có: BC = 2a.cos 30⁰ = $a\sqrt{3}$
Mặt khác AE² = EC² + AC² − 2AC.EC. cos ACE
AE² = 3a² + a² − 2a. $a\sqrt{3}$ .cos 150⁰= 7a²
=> $AE = a\sqrt{7}$
Ta có:
$\cos\widehat{AEC} = \frac{AE^{2} +EC^{2} - AC^{2}}{2.AE.EC} = \frac{9}{2\sqrt{21}}$
$\tan\widehat{AEC} =\sqrt{\frac{1}{cos^{2}\widehat{AEC}} - 1} =\frac{\sqrt{3}}{9}$
Ta có:
$\frac{EH}{EB} =\frac{HK}{BB'}$
$\Rightarrow HK = \frac{BB'.EH}{EB} =\frac{AE.BB'}{2BC.cos\widehat{AEC}} = \frac{7a}{9}$
$\cos\widehat{KAH} = \frac{AH}{AK} =\frac{AH}{\sqrt{AH^{2} + HK^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$
Câu 34: Thông hiểu
Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc vì

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD. Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc vì:
- A.
  AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD)
- B.
  AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)
- C.
  AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) nên SC ⊥ (AHK)
- D.
  AK ⊥ (SBC) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)
"AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD)" sai vì hai điều kiện AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) và AK ⊥ (SCD) (do AK vuông góc với SD và AK ⊥ CD) chưa liên quan đến (SAC).
"AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC); và AK ⊥ (SCD) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đúng
Ta có: AH ⊥(SBC) (vì AH ⊥ SB; AH ⊥ BC) nên AH ⊥ SC (1)
Và AK ⊥ (SCD) (vì AK ⊥ SD; AK ⊥ DC) nên AK ⊥ SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SC ⊥ (AHK)
Từ đó suy ra hai mặt phẳng (AHK) và (SAC) vuông góc.
Vì chưa đủ điều kiện kết luận SC ⊥ (AHK)
=> "AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) nên SC ⊥ (AHK)" và "AK ⊥ (SBC) (do AK ⊥ SD và AK ⊥ CD) nên SC ⊥ (AHK)" đều sai
Câu 35: Nhận biết
Xác định góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
- A.
  (SB, SO)
- B.
  (SB, BD)
- C.
  (SB, SA)
- D.
  (SO, BD)
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Câu 36: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 37: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD

Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
- A.
  $\frac{a}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a}{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Câu 38: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{0}$ và cạnh $AA' = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $12a^{3}$
- B.
  $\frac{14}{3}a^{3}$
- C.
  $24a^{3}$
- D.
  $\frac{7a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}$

Ta có: $AM = \frac{AA'}{tan30^{0}} = 2a\sqrt{3}$

$\Rightarrow BC = 2AM = 4a\sqrt{3}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}.AM.BC = 12a^{3}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 24a^{3}$
Câu 39: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định đã cho

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Trực tâm của tam giác SBC và ABC lần lượt là H và K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A. BC ⊥ (SAH)
- B. SB ⊥ (CHK)
- C. HK ⊥ (SBC)
- D. BC ⊥ (SAB)
Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ SH => BC ⊥ (SAH)
CK ⊥ AB, CK ⊥ SA => CK ⊥ (SAB) => CK ⊥ SB
Mặt khác CH ⊥ SB => SB ⊥ (CHK)
Ta có: BC ⊥ (SAH) => BC ⊥ HK
SB ⊥ (CHK) => SB ⊥ HK
=> HK ⊥ (SBC)
Dùng phương pháp loại trừ ta suy ra: BC ⊥ (SAB) là đáp án sai.
Câu 40: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

65 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 KNTT

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8: Các quy tắc tính xác suất

Chương 9: Đạo hàm