VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB$ và $AC = CB$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $BC\bot(SAC)$
- B.
  $SB\bot AB$
- C.
  $SA\bot(ABC)$
- D.
  $AB\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AB.

Xét tam giác SAB có SA = SB => $SI\bot AB(*)$

Xét tam giác CAB có: $AC = CB$ => $CI\bot AB(**)$

Từ (1) và (2) suy ra $AB\bot(SIC) \Rightarrow AB\bot SC$ .
Câu 2: Thông hiểu
Số đo góc (MN; SC) bằng:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN; SC) bằng:
- A.
  30⁰
- B.
  45⁰
- C.
  60⁰
- D.
  90⁰
Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình vuông cạnh a

=> $AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AC^{2} = 2a^{2} = SA^{2} + SC^{2}$

=> Tam giác SAC vuông tại S

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA

=> $\overrightarrow{NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}$ . Khi đó $\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} = 0$

=> $MN\bot SC \Rightarrow (MN;SC) = 90^{0}$
Câu 3: Nhận biết
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC

Cho hình chóp S.ABC có AB = AC, $\widehat {SAB} = \widehat {SAC}$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
- A. 45⁰
- B. 60⁰
- C. 30⁰
- D. 90⁰
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AS} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AS} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AS} \hfill \\ = AC.AS.\cos \widehat {SAC} - AB.AS.\cos \widehat {SAB} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Vì $AB = AC,\widehat {SAB} = \widehat {SAC}$
=> Góc giữa hai đường thẳng SA, BC là: 90⁰
Câu 4: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 5: Vận dụng
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị $\cos \varphi$ bằng:
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}$
- B. $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$
- D. $\frac{{\sqrt 2 }}{6}$
Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=> $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } ight) = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} \hfill \\ = CB.CM.\cos \widehat {BCM} - CB.CA.\cos \widehat {ACB} \hfill \\ = a.\dfrac{a}{2}.\cos {60^o} - a.a.\cos {60^o} = - \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } ight|.\left| {\overrightarrow {AM} } ight|}} = \dfrac{{\dfrac{{ - {a^2}}}{4}}}{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{6}$

=> $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight)} ight| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC

Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh bằng 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.
- A.
  $2\sqrt{3}$
- B.
  1
- C.
  4
- D.
  3
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.

Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.

=> d(AA’, BC) = $\frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $1cm$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{6}cm^{3}$
- B.
  $V = \frac{1}{6}cm^{3}$
- C.
  $V = 1cm^{3}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa

Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là $S.ABCD$

Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và $SA = SB = SC = SD = 1cm$

Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì $SH\bot(ABCD)$ nên SH là chiều cao của khối chóp $S.ABCD$ .

Tính SH

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}(cm)$

Nhận thấy $AC^{2} = SA^{2} + SC^{2}$ nên tam giác SAC vuông tại S

$\Rightarrow SH = \frac{AC}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(cm)$

Diện tích đáy của khối chóp là $S_{ABCD} = 1^{2} = 1\left( cm^{2} ight)$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V = \frac{1}{3}.S_{ABCD}.SH = \frac{1}{3}.1.\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}\left( cm^{3} ight)$
Câu 8: Vận dụng
Thiết diện tạo bởi (α) là hình gì

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy lớn AB; cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi Q là điểm trên cạnh SA và Q ≠ A, Q ≠ S; M là điểm trên đoạn AD và M ≠ A. Mặt phẳng (α) qua QM và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho là
- A.
  tam giác
- B.
  hình thang cân
- C.
  hình thang vuông
- D.
  hình bình hành
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot AD \\ AB\bot SA \\ \end{matrix} ight.$ => AB ⊥ (SAD)

Mà (α) ⊥ (SAD) suy ra AB// (α).

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P.

Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN // P Q).

Vì AB ⊥ (SAD) suy ra MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ QM.

Do đó thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại Q và M
Câu 9: Nhận biết
Tìm tất cả các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
- A.
  4 mặt phẳng
- B.
  5 mặt phẳng
- C.
  1 mặt phẳng
- D.
  2 mặt phẳng
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Câu 10: Nhận biết
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Khoảng cách từ $A'$ đến mp $(ABCD)$ bằng:
- A.
  $\frac{a}{2}.$
- B.
  $a.$
- C.
  $2a.$
- D.
  $3a.$
Hình vẽ minh họa

Ta có $A'A\bot(ABCD)$ nên $d\left( A',(ABCD) ight) = A'A = a$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích khối chóp $S.BCD$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{3}$
- B.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{4}$
- C.
  $\frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
- D.
  $\frac{3a^{3}\sqrt{6}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

$\Rightarrow \left( SA;(ABCD) ight) = \widehat{SAO} = 60^{0}$

ABCD là hình vuông nên $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông SOA ta có:

$SO = AO.\tan\widehat{SDO} =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\tan60^{0} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow S_{BCD} = \frac{a^{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.BCD} = \frac{1}{3}.SO.S_{BCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
Câu 12: Thông hiểu
Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{6}$
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BA ⊥ (ADD’A’)
Do đó góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là góc $\widehat{BD'A}$
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a
Khi đó $AB = a;AD' =a\sqrt{2}$
=> $\tan\widehat{BD'A} =\frac{AB}{AD'} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 13: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- B.
  Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- C.
  Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
- D.
  Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

Mệnh đề “Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Vậy mệnh đề đúng là: “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.”
Câu 14: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại hai đỉnh $\widehat{A};\widehat{D}$ . Biết rằng $AD = CD = a$ , $AB = 2a;SA\bot(ABCD)$ . Chọn kết luận đúng dưới đây?
- A.
  $BC\bot(SAC)$
- B.
  $CB\bot(SAB)$
- C.
  $DB\bot(SAC)$
- D.
  $CD\bot(ACS)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại C nên $BC\bot AC$ mà $BC\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight)$

$\Rightarrow BC\bot(SAC)$
Câu 15: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  AC ⊥ (SCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  AC ⊥ (SBC)
- D.
  AC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$
Câu 16: Thông hiểu
Tính thể tích hình hộp chữ nhật

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, đường chéo $BD = 2a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $30^{0}$ . Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{9}a^{3}$
- C.
  $V = 2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi góc giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\alpha$ và $O = AC \cap BD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD$

$\Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}$

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên $AB = AD = a\sqrt{2}$

Ta có: $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a$

Xét tam giác AOA’ có $AA' = AO.tan30^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$
Câu 17: Thông hiểu
Góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)
- A. $60^0$
- B. $90^0$
- C. $45^0$
- D. $30^0$
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có $AO \bot BD$ (1).
Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $BB' \bot \left( {ABCD} ight)$
$\Rightarrow BB' \bot AO$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $AO \bot \left( {BDD'B'} ight)$ tại O
Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).
Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là $\widehat {AB'O}$
Xét tam giác vuông AB’O có $\sin \widehat {AB'O} = \frac{{AO}}{{AB'}} = \frac{1}{2}$
Vậy $\widehat {\left( {AB',\left( {BDD'B'} ight)} ight)} = 30^\circ$
Câu 18: Thông hiểu
Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên $SA=\frac{a\sqrt{15}}{2}$ và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
- A.
  $d=\frac{a\sqrt{285}}{19}$
- B.
  $d=\frac{\sqrt{285}}{38}$
- C.
  $d=\frac{a\sqrt{285}}{38}$
- D.
  $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AO \cap \left( {SBC} ight) = C} \\ {AC = 2OC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {SA \bot \left( {ABCD} ight) \Rightarrow SA \bot BC} \\ {AB \bot BC} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Từ A kẻ $AH \bot SB$ => $AH \bot \left( {SBC} ight)$
$\begin{matrix} \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) \hfill \\ \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} ight)} ight) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt {285} }}{{19}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu
Tính số đo góc

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $AB =a;SA\bot(ABC);SA = a$ . Tính số đo góc giữa $SB$ và $(SAC)$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm AC. Tam giác ABC vuông cân tại B nên $BI\bot AC$
Có $BI\bot SA$ do $SA\bot(ABC)$ suy ra $BI\bot(SAC)$
Do vậy SI là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC). Khi đó
$\left( SB;(SAC) ight) = (SB;SI) =\widehat{BSI}$
Xét tam giác SBI vuông tại I (do $BI\bot(SAC) \Rightarrow BI\bot SI$ )
$SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} =a\sqrt{2}$
$SI = \sqrt{SA^{2} + AI^{2}} =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
$\cos S = \frac{SI}{SB} =\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \widehat{BSI} = 30^{0}$
Vậy $\left( SB;(SAC) ight) =30^{0}$
Câu 20: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng $9;4$ . Thể tích khối chóp bằng:
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 18$
- C.
  $V = 24$
- D.
  $V = 12$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 9 \\ h = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.9.4 = 12$
Câu 21: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  SO ⊥ (ABCD)
- B.
  AC ⊥ (SBD)
- C.
  BD ⊥ (SAC)
- D.
  BC ⊥ (SAB)
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => SO ⊥ (ABCD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => AC ⊥ (SBD)
Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Câu 22: Thông hiểu
Xác định kết luận sai

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $SAB$ . Xác định kết luận sai?
- A.
  $SA\bot BC$
- B.
  $AH\bot BC$
- C.
  $AH\bot AC$
- D.
  $AH\bot SC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) ightarrow SA\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB(gt) \\ BC\bot SA;\left( do\ \ SA\bot(ABC) ight) \\ AB \cap SA = A \\ AB;SA \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} AH\bot SB \\ AH\bot BC;\left( do\ \ BC\bot(SAB) ight) \\ SB \cap BC = B \\ AB;BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot BC \Rightarrow AH\bot BC$
Câu 23: Nhận biết
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là $3x^{2};2x$ . Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
- A.
  $x^{3}$
- B.
  $6x^{3}$
- C.
  $3x^{3}$
- D.
  $2x^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 3x^{2} \\ h = 2x \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: $V = B.h = 3x^{2}.2x = 6x^{3}$
Câu 24: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mênh đề nào đúng?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
- B.
  Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- C.
  Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).
- D.
  Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d của (α) và (β) nếu có sẽ vuông góc với (γ).
Mệnh đề: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.” Sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.” sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Mệnh đề: “Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).” Sai vì ít nhất nếu cả A và B đều thuộc giao tuyến của (α) và (β) thì AB trùng với (α) ⋂ (β).
Câu 25: Vận dụng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60⁰. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
- A.
  $d =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- B.
  $d = 2a$
- C.
  $d = a\sqrt{2}$
- D.
  $d =\frac{2a\sqrt{15}}{5}$
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc 60⁰
$\widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} =\widehat{(SC;AC)} = 60^{0} = \widehat{SCA}$
$SA = AC.tan\widehat{SCA} =a\sqrt{6}$
Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a
Xét tam giác ACB ta có:
$CM = a = \frac{1}{2}AB$
=> Tam giác ACB vuông tại C
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật
=> AC // BE
=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))
Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:
$d\left( A;(SBE) ight) = AK =\frac{SA.AE}{\sqrt{SA^{2} + AE^{2}}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 26: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu (P) ⊥ (Q) và (R) ⊥ (Q) thì (P) / / (R).
- B.
  Nếu (P) // (Q) và (R) ⊥ (P) thì (R) // (Q).
- C.
  Nếu (P) ⊥ (Q) và (R) // (Q) thì (P) ⊥ (R).
- D.
  Nếu (P) // (Q) và (R) // (Q) thì (P) ⊥ (R).
Vì một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Câu 27: Thông hiểu
Xác định khẳng định sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  CH ⊥ KA
- B.
  SB ⊥ CH
- C.
  SA ⊥ CH
- D.
  SB ⊥ KA
Hình vẽ minh họa:

Vì HA = HB, tam giác ABC cân => CH ⊥ AB

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CH

Mà CH ⊥ AB => CH ⊥ (SAB)

Mặt khác AK thuộc mặt phẳng (SAB

=> CH ⊥ SA, CH ⊥ SB, CH ⊥ AK

Và AK ⊥ SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Câu 28: Thông hiểu
Tính cosμ

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ ; cạnh $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Gọi $\mu$ là góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABC)$ . Xác định $\cos\mu$ ?
- A.
  $\cos\mu = \frac{\sqrt{21}}{7}$
- B.
  $\cos\mu = \frac{\sqrt{5}}{10}$
- C.
  $\cos\mu = \frac{\sqrt{7}}{14}$
- D.
  $\cos\mu = \frac{\sqrt{5}}{7}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AC => HM // SA và $HM = \frac{1}{2}.SA = a$

Mà $SA\bot(ABCD) \Rightarrow HM\bot(ABC)$

$\Rightarrow \left( BM;(ABC) ight) = (BM,BH) = \widehat{MBH}$

Ta có: $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow BM = \sqrt{BH^{2} + MH^{2}}$ $= \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$

Trong tam giác BMH có:

$\cos\mu = \cos\widehat{MBH} =\dfrac{BH}{BM} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{7}}{2}} =\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
Câu 29: Vận dụng
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BM và AC.
- A. $\frac{{\sqrt 6 }}{6}$
- B. $\frac{{\sqrt 6 }}{4}$
- C. $\frac{{\sqrt 6 }}{{12}}$
- D. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó $SH \bot \left( {ABCD} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {HM} - \overrightarrow {HB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {HS} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {HC} - \overrightarrow {HB} \hfill \\ \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {HC} \hfill \\ HC \bot HB,HC \bot SH \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = H{C^2} = \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên $BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Khi đó: $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} } ight) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} }}{{AC.BM}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }} > 0$
Câu 30: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng $4a$ ?
- A.
  $V = 16a^{3}$
- B.
  $V = 64a^{3}$
- C.
  $V = 32a^{3}$
- D.
  $V = 8a^{3}$
Ta có: $V = (4a)^{3} = 64a^{3}$
Câu 31: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
- A.
  Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương
- B.
  Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương
- C.
  Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương
- D.
  Nếu hình hộp có sáu mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương
Mệnh đề đúng: "Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương"
Câu 32: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng MN

Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
- A.
  $MN =\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- B.
  $MN =\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- C.
  $MN =\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $MN =\frac{3a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi P là trung điểm của AB => PN, PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác ABD.
=> $\left\{ \begin{matrix}PN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2} \\PM = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{3a}{2} \\\end{matrix} ight.$
Ta có: $AC\bot BD \Rightarrow PN\botPM$
=> $MN = \sqrt{PN^{2} + PM^{2}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9a^{2}}{4}} =\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Câu 33: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác, đáy là tam giác đều cạnh $2a$ , cạnh bên bằng $3a$ .
- A.
  $6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $3\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $2\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $\sqrt{2}a^{3}$
Hình vẽ minh họa

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a nên diện tích là $\frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AA' = 3a$ (vì lăng trụ là lăng trụ đứng)

Vậy thể tích hình lăng trụ là: $V = \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}.3a = 3\sqrt{3}a^{3}$
Câu 34: Vận dụng cao
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a², $AB = a\sqrt{2}$ , BC = 2a. Gọi M là trung điểm của DC. Hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng:
- A.
  $\frac{4a\sqrt{10}}{15}$
- B.
  $\frac{3a\sqrt{10}}{5}$
- C.
  $\frac{2a\sqrt{10}}{5}$
- D.
  $\frac{3a\sqrt{10}}{15}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi H = AM ∩ BD
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}(SBD)\bot(ABC) \\(SAM)\bot(ABC) \\(SBD)\ \cap \ (SAM) = SH \\\end{matrix} ight.$
=> SH ⊥ (ABC)
Vì AB song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có:
$\frac{HB}{HD} = \frac{AB}{DM} =2$
$\Rightarrow \frac{d\left( B;(SAM)ight)}{d\left( D;(SAM) ight)} = 2$
=> d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM))
Kẻ DK ⊥ AM tại K.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}DK\bot AM \\DK\bot SH \\\end{matrix} ight.$ => DK ⊥ (SAM) tại K => d(D; (SAM)) = DK
=> d(B; (SAM)) = 2DK
Vì M là trung điểm của DC và ABCD là hình bình hành có diện tích 2a² nên ta có:
$S_{ADM} = \frac{1}{2}S_{ADC} =\frac{1}{4}S_{ABDC} = \frac{2a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}$
Lại có $CD = AB = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}DM = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\AD = BC = 2a \\\end{matrix} ight.$
Khi đó
$S_{ADM} =\frac{1}{2}AM.DM.sin\widehat{D}$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{2} =\frac{1}{2}.2a.sin\widehat{D}$
$\Rightarrow \sin\widehat{D} =\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{D} = 45^{0}$
Do vậy xét trong tam giác ADM ta có:
$\begin{matrix}AM^{2} = AD^{2} + DM^{2} - 2AD.DM.cos45^{0} \hfill\\AM^{2} = 4a^{2} + \dfrac{a}{2}^{2} -2.2a.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2} \hfill\\AM^{2} = \dfrac{5a^{2}}{2} \hfill\\\end{matrix}$
$AM = \frac{a\sqrt{10}}{2}$
Lại có $S_{ADM} =\frac{1}{2}DK.AM$
$\Rightarrow DK = \frac{2S_{ADM}}{AM} =\frac{2a}{\sqrt{10}} = \frac{a\sqrt{10}}{5}$
Từ đó $d\left( B;(SAM) ight) = 2.DK =\frac{2a\sqrt{10}}{5}$
Câu 35: Vận dụng
Tính thể tích tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$ lần lượt là $J;Q;K$ . Tính thể tích tứ diện $AJQK$ , biết $AB = 6cm;AC = 7cm;AD = 4cm$ .
- A.
  $V = 7cm^{3}$
- B.
  $V = 14cm^{3}$
- C.
  $V =\frac{28}{3}cm^{3}$
- D.
  $V =\frac{7}{2}cm^{3}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $V_{ABCD} =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = \frac{1}{2}.6.7.4 = 28\left( cm^{3}ight)$
Nhận thấy $S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} =\frac{1}{4}S_{BCD}$
$V_{JQK} = \frac{1}{4}V_{ABCD} = 7\left(cm^{3} ight)$
Câu 36: Vận dụng cao
Xác định thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = 2a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 3\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác $A'B_{1}C_{1}$ có các cạnh:

$A'B_{1} = a;A'C_{1} = a\sqrt{3};B_{1}C_{1} = 2a$

Suy ra tam giác $A'B_{1}C_{1}$ vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

$A'M = \frac{2a\sqrt{3}}{3};A'H = a$

$\Rightarrow MH = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{MA'H} = 30^{0} \Rightarrow \widehat{MA'A} = 60^{0}$

$\Rightarrow AA' = \frac{A'M}{\cos\widehat{MA'A}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{A'B_{1}C_{1}.ABC} = AA'.S_{A'B_{1}C_{1}} = 2a^{3}$
Câu 37: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a, $SA \bot \left( {ABCD} ight);SA = a\sqrt 2$ . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 90⁰
- D. 60⁰
Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a, $\widehat {MAB} = {90^0}$
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và $CM = \frac{1}{2}AD = a$
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot AC} \\ {CD \bot SA} \\ {SA \cap AC = A} \\ {SA;AC \subset \left( {SAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} ight)$ mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot CD} \\ {AH \bot SC} \\ {CD \cap SC = C} \\ {CD;SC \subset \left( {SCD} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} ight)\left( 1 ight)$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AD \bot SA} \\ {AD \bot AB} \\ {SA \cap AB = A} \\ {SA;AB \subset \left( {SAB} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight)\left( 2 ight)$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$
Xét tam giác SAC vuông tại A có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 2a$
Xét tam giác SAC vuông tại A và $SA = AC = a\sqrt 2$ nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và $AH = \frac{1}{2}SC = a$
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: $\cos \widehat {HAD} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {DAH} = {60^0}$
Vậy $\left( {\widehat {\left( {SCD} ight);\left( {SAB} ight)}} ight) = {60^0}$
Câu 38: Nhận biết
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , biết $\Delta SAD$ đều. Tính $\cos(BC;SA)$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $1$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (AD;SA) = 60^{0}$

$\Rightarrow \cos(BC;SA) = \frac{1}{2}$ .
Câu 39: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, $AD = a\sqrt{3}$ chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và $SH = \frac{a}{2}$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SC. Gọi α là góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \frac{4}{3}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{3}{4}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{2}{3}$
- D.
  $\tan\alpha = 1$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: MN // SB

=> $\left( MN,(ABCD) ight) = \left( SB;(ABCD) ight)$

Do SH ⊥ (ABCD)

$\begin{matrix} \Rightarrow \left( MN,(ABCD) ight) = \left( SB;(ABCD) ight) \\ = (SB;HB) = \widehat{SBH} \\ \end{matrix}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2a \\BH = \dfrac{BD}{3} = \dfrac{2a}{3} \\\end{matrix} ight.$

=> $\tan\widehat{SBH} = \frac{SH}{BH} = \frac{3}{4}$
Câu 40: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AB;BC$ lần lượt là $M;N$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $(MN;CD) = 30^{0}$
- B.
  $(MN;CD) = 60^{0}$
- C.
  $(MN;CD) = 45^{0}$
- D.
  $(MN;CD) = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: $MN;NP;MP$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC;BCD;ABD$ .

Do đó:

$MN//AC;MN = \frac{1}{2}AC$

$NP//CD;NP = \frac{1}{2}CD$

Vì $ABCD$ là tứ diện đều $\Rightarrow AC = CD = AD$

$\Rightarrow MN = NP = MP$ nên tam giác $MNP$ là tam giác đều.

$\Rightarrow (MN;CD) = (MN;NP) = \widehat{MNP} = 60^{0}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

17 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4