VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 KNTT Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Nhận biết
Mệnh đề nào là mệnh đề sai?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $a$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $a\sqrt{2}$
Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Câu 2: Thông hiểu
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$ . Gọi $D$ là trung điểm cạnh BC. Biết $AA' = 2a$ , khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $C'D$ là:
- A.
  $a\sqrt{17}$ .
- B.
  $\frac{ a }{ \sqrt{ 1 7 } }$ .
- C.
  $2a\sqrt{17}$ .
- D.
  $\frac{2a}{\sqrt{17}}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $D'$ là trung điểm của $B'C'$ , ta có $BDC'D'$ là hình bình hành

$\Rightarrow C'D//BD' \Rightarrow C'D//(A'BD')$ .

Kẻ $B'H \bot BD'$ .

Ta có: $\left. \ \begin{matrix}A'D'\bot B'C' \\A'D'\bot BB' \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow A'D'\bot(BCC'B')\Rightarrow A'D'\bot B'H$ .

$\left. \ \begin{matrix} B'H\bot BD' \\ B'H\bot A'D' \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow B'H\bot(A'BD')$

Suy ra,

$d(A'B,C'D) = d\left( C'D;(A'BD') ight) = d\left( C';(A'BD') ight) = d\left( B';(A'BD') ight) = B'H$

Ta có: $B'D' = \frac{a}{2}; BB'= 2a$ .

Xét $\Delta BB'D'$ vuông tại $B'$ ta có:

$\frac{1}{B'H^{2}} = \frac{1}{BB'^{2}} + \frac{1}{B'D'^{2}} = \frac{1}{4a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} \Rightarrow BH = \frac{2a}{\sqrt{17}}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng $(A'BC)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{0}$ và cạnh $AA' = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $\frac{2}{3}a^{3}$
- B.
  $\frac{14}{3}a^{3}$
- C.
  $\frac{5}{3}a^{3}$
- D.
  $\frac{8a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}$

Ta có: $AM = \frac{AA'}{tan60^{0}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow BC = 2AM = \frac{4a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2a.\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\frac{4a\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{3}a^{3}$
Câu 4: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  AH ⊥ SC
- B.
  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc ASC
- C.
  BC ⊥ (SAB)
- D.
  Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy $\widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }$ (vì tam giác SBC vuông tại B)
Câu 5: Vận dụng
Hoàn thành mệnh đề

Cho tứ diện ABCD. Nếu $AB ⊥CD, AC ⊥ BD$ và $BC ⊥ AD$ thì:
- A.
  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} e \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$
- B.
  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \;\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} e \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$
- C.
  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \;\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$
- D.
  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} e \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} e \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CB} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } ight) = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Vận dụng
Tính tan của góc giữa SA và mặt phẳng (SBM)

Cho hình chóp S.ABCD có $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ và $SA = a\sqrt 3$ . Đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB = a,\,AD = a\sqrt 3$ . Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị $\tan \alpha$ bằng:
- A. $\frac{2}{{\sqrt {15} }}$
- B. $\frac{4}{{\sqrt {15} }}$
- C. $\frac{2}{{\sqrt {13} }}$
- D. $\frac{4}{{\sqrt {13} }}$
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.
Ta có $\left\{ \begin{gathered} BM \bot AK \hfill \\ BM \bot SA\left( {V\`i \,SA \bot \left( {ABCD} ight)} ight) \hfill \\ AK,SA \subset \left( {SAK} ight) \hfill \\ AK \cap SA = \left\{ A ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BM \bot \left( {SAK} ight)$
Mà $AI \subset \left( {SAK} ight) \Rightarrow BM \bot AI$
Ta có $\left\{ \begin{gathered} AI \bot BM \hfill \\ AI \bot SK \hfill \\ BM,SK \subset \left( {SBM} ight) \hfill \\ BM \cap SK = \left\{ K ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AI \bot \left( {SBM} ight)$
Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc $\widehat {ASK}$ .
Ta có $\left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ AK \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SA \bot AK$
Có
$\begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMD}} - {S_{\Delta BMC}} \hfill \\ = {a^2}\sqrt 3 - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ BM = \sqrt {B{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Ta có
$\begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = \dfrac{1}{2}AK.BM \hfill \\ \Rightarrow AK = \dfrac{{2{S_{\Delta ABM}}}}{{BM}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{a\dfrac{{\sqrt {13} }}{2}}} = a\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \hfill \\ \end{matrix}$
Xét tam giác vuông SAK có $\tan \widehat {ASK} = \frac{{AK}}{{SA}} = \frac{{a\frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu (P) ⊥ (Q) và (R) ⊥ (Q) thì (P) / / (R).
- B.
  Nếu (P) // (Q) và (R) ⊥ (P) thì (R) // (Q).
- C.
  Nếu (P) ⊥ (Q) và (R) // (Q) thì (P) ⊥ (R).
- D.
  Nếu (P) // (Q) và (R) // (Q) thì (P) ⊥ (R).
Vì một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Câu 8: Vận dụng
Tính cosin góc giữa mặt phẳng (ABD) và (BCD)

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại A, AB = 6, AC = 8. Tam giác BCD có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh C bằng 8. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cosin góc giữa mặt phẳng (ABD) và (BCD) bằng:
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{17}}$
- B.
  $\frac{3}{\sqrt{17}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{34}}$
- D.
  $\frac{4}{\sqrt{34}}$
Hình vẽ minh họa:

Kẻ AH ⊥ BC tại H, CK ⊥ BD tại K, HI ⊥ BD tại I.

Theo giả thiết suy ra CK = 8.

Vì (ABC) ⊥ (BCD) AH ⊥ BC nên AH ⊥ (BCD).

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BD\bot HI \\ BD\bot AH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD\bot(AHI)$

=> Góc AIH là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Xét tam giác ABC vuông tại A

$\begin{matrix}\Rightarrow \dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{AB^{2}} + \dfrac{1}{AC^{2}} \hfill \hfill\\\Rightarrow \dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{6^{2}} + \dfrac{1}{8^{2}} =\dfrac{25}{576} \\\Rightarrow AH = \dfrac{24}{5} \\BH \cdot BC = AB^{2} \hfill\\\Rightarrow \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}} = \dfrac{6^{2}}{6^{2} +8^{2}} = \dfrac{9}{25} \hfill\\\end{matrix}$

Xét tam giác AHI vuông tại H

=> $\tan\widehat{AIH} = \frac{AH}{HI} =\dfrac{\dfrac{24}{9}}{\dfrac{72}{25}} = \dfrac{9}{25}.8 =\frac{72}{25}$

$\begin{matrix}cos^{2}\widehat{AIH} = \dfrac{1}{1 + tan^{2}\widehat{AIH}} = \dfrac{9}{34}\hfill\\\Rightarrow \cos\widehat{AIH} = \dfrac{3}{\sqrt{34}} \hfill\\\end{matrix}$
Câu 9: Vận dụng
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, SB. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A. (IJK) // (SAC)
- B. $\widehat {\left( {SC;BD} ight)} = {60^0}$
- C. BD ⊥ (IJK)
- D. BD ⊥ (SAC)
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác SBC ta có: $\frac{{BK}}{{BS}} = \frac{{BJ}}{{BC}} = \frac{1}{2}$
=> KJ // SC (*)
Xét tam giác SAB ta có: $\frac{{BI}}{{BA}} = \frac{{BK}}{{BS}} = \frac{1}{2}$
=> KI // SA (**)
Từ (*) và (**) => (IJK) // (SAC) (1)
Vì ABCD là hình vuông => BD ⊥ AC
Mà SA ⊥ BD => BD ⊥ (SAC)
Kết hợp với (1) => BD ⊥ (IJK)
=> $\widehat {\left( {SC;BD} ight)} = {90^0}$
Câu 10: Vận dụng cao
Giá trị lớn nhất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nội tiếp mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{{\sqrt {17} }}{2}$ . Gọi I; J là trung điểm BC, CD và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (C’IJ). Giá trị lớn nhất của $\sin \alpha$ là
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{{ - 3}}{5}$
- C. $\frac{4}{5}$
- D. $\frac{{ - 4}}{5}$
Đặt $CD = a\,,\,CB = b\,,CC' = c\,\,\,\left( {a,b,c > 0} ight).$
$AC{'^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 17.$
Gọi K là hình chiếu của A lên (C’IJ)
$\left( {\widehat {AC',\left( {C;{\text{IJ}}} ight)}} ight) = \left( {\widehat {AC',AK}} ight) = \alpha$
Ta có $\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{AC'}} = \frac{{3d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight)}}{{\sqrt {17} }}$
Trong (ABCD) kẻ tại E
$\left\{ \begin{gathered} IJ \bot CE \hfill \\ IJ \bot CC\prime \hfill \\ CE \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ \,CC' \subset \left( {CEC'} ight) \hfill \\ CE \cap CC' = C \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow IJ \bot \left( {CEC'} ight) \Rightarrow \left( {C'IJ} ight) \bot \left( {CEC'} ight)$
Trong (CEC’) kẻ $CH \bot C'E$ tại H
Suy ra $d\left( {C,\left( {C'{\text{IJ}}} ight)} ight) = CH = h$
Do đó $\sin \alpha = \frac{{3h}}{{\sqrt {17} }}$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + 4\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{{a^2} + {b^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \frac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{{16}}{{17 - {c^2}}} = \dfrac{{17 - {c^2} + {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16\left( {17 - {c^2} + {c^2}} ight)}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{h^2}}} \geqslant \dfrac{{17 - {c^2}}}{{17{c^2}}} + \dfrac{{16{c^2}}}{{17\left( {17 - {c^2}} ight)}} + 1 \geqslant 2.\dfrac{4}{{17}} + 1 = \dfrac{{25}}{{17}} \Leftrightarrow h \leqslant \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}. \hfill \\ \Rightarrow \sin \alpha \leqslant \dfrac{3}{5}. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy đạt giá trị lớn nhất là $\frac{3}{5}$
Dấu xảy ra khi: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = {b^2} = \frac{{34}}{5} \hfill \\ {c^2} = \frac{{17}}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = b = \sqrt {\frac{{34}}{5}} \hfill \\ c = \sqrt {\frac{{17}}{5}} \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Câu 11: Vận dụng cao
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = a\sqrt{5};d(C;BB') = a\sqrt{5};d(A;BB') = a;d(A;CC') = 2a$ . Thể tích của khối lăng trụ là:
- A.
  $V = a^{3}\sqrt{5}$
- B.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{5}}{3}$
- C.
  $V = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB’ và CC’, H là hình chiếu vuông góc của C lên BB’

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AJ\bot BB' \\ AK\bot CC' \Rightarrow AK\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BB'\bot(AJK)$

$\Rightarrow BB'\bot JK \Rightarrow JK//CH \Rightarrow JK = CH = a\sqrt{5}$

Xét tam giác AJK có: $JK^{2} = AJ^{2} + AK^{2} = 5a^{2}$

Vậy tam giác AJK vuông tại A

Gọi F là trung điểm của JK khi đó ta có: $AF = JF = FK = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Gọi N là trung điểm của BC, xét tam giác ANF có:

$\cos\widehat{ANF} = \dfrac{AF}{AN} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ANF} = 60^{0}$

( $AN = AM = a\sqrt{5}$ vì $AN//AM;AN = AM$ )

$\Rightarrow S_{AJK} = \frac{1}{2}AJ.AK = \frac{1}{2}.a.2a = a^{2}$

Lại có: $S_{AJK} = S_{ABC}.\cos60^{0}\Rightarrow S_{ABC} = \frac{S_{AJK}}{\cos60^{0}} = 2a^{2}$

Xét tam giác AMA;’ vuông tại M ta có:

$\widehat{MAA'} = \widehat{AMF} = 30^{0}$

Hay $AM = A'M.\tan30^{0} =\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

$V = AM.S_{ABC} = \frac{a\sqrt{15}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là hình tam giác vuông tại A, $SA\bot(ABC)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $(SBC)\bot(SAB)$
- B.
  $(ABC)\bot(SBC)$
- C.
  $(SAC)\bot(SBC)$
- D.
  $(SAC)\bot(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AC\bot AB \\ AC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SAB)$

$\left\{ \begin{matrix} AC\bot(SAB) \\ AC \subset (SAC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (SAC)\bot(SAB)$
Câu 13: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
- A.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
- B.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C.
  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
- D.
  Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Mệnh đề đúng: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia”.
Câu 14: Thông hiểu
Tính độ dài SA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\bot(ABCD)$ . Biết diện tích tam giác SBD bằng $a^{2}$ . Khi đó SA bằng:
- A.
  $SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $SA =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- D.
  $SA = \frac{a}{2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy.

Khi đó $BD\bot(SAC) \Rightarrow BD\bot SO \Rightarrow S_{SBD} = \frac{1}{2}.SO.BD = a^{2}$

$\Rightarrow SO = \frac{2a^{2}}{a\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow SA = \sqrt{SO^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
Câu 15: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn thẳng MN

Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
- A.
  $MN =\frac{a\sqrt{6}}{3}$
- B.
  $MN =\frac{a\sqrt{10}}{2}$
- C.
  $MN =\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $MN =\frac{3a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Gọi P là trung điểm của AB => PN, PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác ABD.
=> $\left\{ \begin{matrix}PN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2} \\PM = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{3a}{2} \\\end{matrix} ight.$
Ta có: $AC\bot BD \Rightarrow PN\botPM$
=> $MN = \sqrt{PN^{2} + PM^{2}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9a^{2}}{4}} =\frac{a\sqrt{10}}{2}$
Câu 16: Vận dụng cao
Tổng khoảng cách d

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $\sqrt{3}$ . Gọi I là tâm của đáy ABC, d’ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d’’ là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d’ + d’’.
- A.
  $\frac{4\sqrt{22}}{33}$
- B.
  $\frac{8\sqrt{22}}{33}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{22}}{33}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{33}$
Gọi I là tâm của đáy ABC
=> $d' = 3d'' \Rightarrow d= 4d'' = 4IK$
Xét tam giác ABC đều cạnh a có tâm I
=> $AM = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\left\{ \begin{matrix}AI = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\IM = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \\\end{matrix} ight.$
Xét tam giác SAI vuông tại I
$SI^{2} = SA^{2} - AI^{2} = 3^{2} -\frac{1}{3} = \frac{8}{3}$
$\Rightarrow SI =\frac{2\sqrt{6}}{3}$
Xét ∆SIM vuông tại I có:
$\frac{1}{IK^{2}} = \frac{1}{SI^{2}} +\frac{1}{IM^{2}} = \frac{8}{99}$
$\Rightarrow IK = \frac{2\sqrt{22}}{33}\Rightarrow d = \frac{8\sqrt{22}}{33}$
Câu 17: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $SA\bot(ABCD);AB = a;SA = AD = a\sqrt{3}$ . Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?

a) $BC\bot(SAB)$ Đúng||Sai

b) $(SAD)\bot(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\widehat{\left( (SCD);(ABCD) ight)} = \widehat{SCA}$ Sai||Đúng

d) $\widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = 30^{0}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ BC\bot AB \\ SA\bigcap AB = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CD\bot SA\left( do\ SA\bot(ABCD) ight) \\ CD\bot AD \\ SA\bigcap AD = \left\{ A ight\} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow CD\bot(SAD)$ mà $CD \subset (SCD)$

$\Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$

c) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ AD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ SD\bot CD \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc $\widehat{SDA}$ .

d) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SC \cap (SAD) = \left\{ S ight\} \\ CD\bot(SAD) \equiv \left\{ D ight\} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)

Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc $\widehat{CSD}$ trong tam giác vuông SCD.

Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:

$\tan\widehat{SCD} = \sqrt{6} \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAD) ight)} = \widehat{SCD} eq 30^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a và $I = AC \cap BD$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C'D', AA'. Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi đường thẳng IN và mặt phẳng (ACM). Tính $\sin \varphi$ .
- A. $\frac{{\sqrt 3 }}{9}$
- B. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$
- C. $\frac{{5\sqrt 3 }}{9}$
- D. $\frac{{\sqrt 3 }}{{24}}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm N lên mặt phẳng (ACM).
Khi đó: $NH = h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = IN.\sin \varphi$
Ta có: $h = d\left( {N,\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{1}{2}d\left( {A',\left( {ACM} ight)} ight) = \frac{{3{V_{A'ACM}}}}{{2{S_{ACM}}}}$
Xét tam giác ACM có: $CM = \frac{{\sqrt 5 }}{2}a$
$\begin{matrix} A{M^2} = \dfrac{{A{{D'}^2} + A{{C'}^2}}}{2} - \dfrac{{C'{{D'}^2}}}{4} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 a} ight)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} ight)}^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{9}{4}{a^2} \Rightarrow AM = \dfrac{3}{2}a \hfill \\ \Rightarrow {S_{ACM}} = \sqrt {p\left( {p - AC} ight)\left( {p - CM} ight)\left( {p - AM} ight)} = \dfrac{3}{4}{a^2} \hfill \\ \left( {p = \dfrac{{AC + CM + AM}}{2}} ight) \hfill \\ {V_{A'ACM}} = {V_{M.A'AC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D'.A'AC}} = \dfrac{1}{6}{V_{ACD.A'C'D'}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{{\text{lp}}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow h = IN = \dfrac{a}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $\sin \varphi = \frac{h}{{IN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$
Câu 19: Nhận biết
Xác định góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Hãy tính số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $C'A'$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: Tam giác $ABC$ là tam giác đều suy ra $\widehat{BAC} = 60^{0}$

Lại có $AC//A'C'$

$\Rightarrow (AB;A'C') = (AB;CA) = \widehat{BAC} = 60^{0}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tính thể tích khối chóp tam giác đều

Một hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng $45^{0}$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ đã cho.
- A.
  $V = \frac{a^{3}}{8}$
- B.
  $V = \frac{3a^{3}}{8}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{12}$
- D.
  $V = \frac{a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC thì $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ SA\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM)$

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là $\alpha = \widehat{ASM} = 45^{0}$

Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và $SA = AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{8}$
Câu 21: Nhận biết
Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
- A.
  SC và BC
- B.
  SC và DC
- C.
  SC và SA
- D.
  SC và AC
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ là:
- A.
  $V = \frac{1}{3}\pi rh$
- B.
  $V = \pi rh$
- C.
  $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
- D.
  $V = \pi r^{2}h$
Công thức tính thể tích là: $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Câu 23: Nhận biết
Xác định thể tích khối chóp

Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng $5a^{2}$ , chiều cao bằng $a$ . Thể tích khối chóp đã cho là:
- A.
  $V = \frac{5}{6}a^{3}$
- B.
  $V = \frac{5}{2}a^{3}$
- C.
  $V = 5a^{3}$
- D.
  $V = \frac{5}{3}a^{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} B = 5a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{5}{3}a^{3}$
Câu 24: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai?

Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  Góc gữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
- B.
  Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R)).
- C.
  Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R).
- D.
  Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.

Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.

Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.
Câu 25: Thông hiểu
Xác định thể tích khối lập phương

Cho hình lập phương như hình vẽ:

Biết $AC' = a\sqrt{3}$ . Xác định thể tích của khối lập phương đã cho.
- A.
  $V = 6\sqrt{3}a^{3}$
- B.
  $V = a^{3}$
- C.
  $V = 5\sqrt{3}a^{3}$
- D.
  $V = \frac{8\sqrt{3}}{3}a^{3}$
Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là a; (x > 0)

Xét tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ ta có:

$A'C'^{2} = A'B'^{2} + B'C'^{2} = x^{2} + x^{2} = 2x^{2}$

$\Rightarrow A'C' = \sqrt{2}x$

Xét tam giác A’AC’ vuông tại A’ ta có:

$AC'^{2} = A'A^{2} + A'C'^{2}$

$\Leftrightarrow 3a^{2} = x^{2} + 2x^{2} \Leftrightarrow x = a$

Vậy thể tích khối lập phương là $V = a^{3}$
Câu 26: Thông hiểu
Số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB.
- A. 30⁰
- B. 45⁰
- C. 60⁰
- D. 90⁰
Hình vẽ minh họa:
$\begin{matrix} \overrightarrow {SC} \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CS} .(\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} ) \hfill \\ = \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB} \hfill \\ = CS.CA.\cos \widehat {SCA} - CS.CB.\cos \widehat {SCB} \hfill \\ = CS.CA.\dfrac{{S{C^2} + C{A^2} - S{A^2}}}{{2SC.CA}} \hfill \\ - CS.CB.\dfrac{{S{C^2} + C{B^2} - S{B^2}}}{{2SC.CB}} \hfill \\ = \frac{{S{C^2} + C{A^2} - S{A^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2} + C{B^2} - S{B^2}}}{2} = 0 \hfill \\ ({\text{Do }}SA = SB{\text{ v\`a }}CA = CB) \Rightarrow SC \bot AB \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Thông hiểu
Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{6}$
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BA ⊥ (ADD’A’)
Do đó góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là góc $\widehat{BD'A}$
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a
Khi đó $AB = a;AD' =a\sqrt{2}$
=> $\tan\widehat{BD'A} =\frac{AB}{AD'} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy tan góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ADD’A’) là $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 28: Vận dụng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
- A.
  $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{7}}{4}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
$d\left( A';(AB'C') ight) =A'H = \frac{AA'.A'I}{\sqrt{AA'^{2} +A'I^{2}}}$
$=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}ight)^{2}}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vậy khoảng cách cần tìm là $\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Câu 29: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng BA' và CD

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai đường thẳng $BA'$ và $CD$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//CD \Rightarrow (BA',CD) = (BA',AB)$

Vì $ABB'A'$ là hình vuông nên $(BA',AB) = \widehat{ABA'} = 45^{0}$
Câu 30: Thông hiểu
Kéo ghép đáp án đúng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$
Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Ghép nối các đáp án với nhau.

$(AB,B'C')$ || $90^{0}$

$(AC,B'C')$ || $45^{0}$

$(A'C',B'C)$ || $60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB//A'B'$ mà $(A'B',B'C') = 90^{0} \Rightarrow (AB,B'C') = 90^{0}$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $(AC;BC) = 45^{0}$

Ta có: $BC//B'C'$ nên $(AC,B'C') = 45^{0}$

Ta có: $A'C'//AC$ và tam giác $AVB'$ là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó $(A'C',B'C) = (AC,B'C) = 60^{0}$
Câu 31: Nhận biết
Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $2;3;5$ bằng:
- A.
  $42$
- B.
  $30$
- C.
  $60$
- D.
  $15$
Thể tích cần tìm là: $V = 2.3.5 = 30$
Câu 32: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác

Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ . Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ $1 : 2$ ?
- A.
  $V = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{2}$
- B.
  $V = \frac{\sqrt{6}a^{3}}{18}$
- C.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{6}$
- D.
  $V = \frac{\sqrt{2}a^{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra $SH\bot(ABC)$

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

Hay $AM = \frac{1}{2}SA$

$\Rightarrow SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}$

$= \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}$

Vậy $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Câu 33: Nhận biết
Xác định khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Gọi trung điểm các cạnh $SC;SD$ lần lượt là $M,N$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $MN\bot AC$
- B.
  $MN\bot BD$
- C.
  $MN\bot AB$
- D.
  $MN\bot BC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD => $MN//CD$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN//CD \\ BC\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\bot BC$
Câu 34: Thông hiểu
Tính giá trị cos α

Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.
- A. $\frac{3}{5}$
- B. $\frac{1}{5}$
- C. $- \frac{1}{5}$
- D. $- \frac{3}{5}$
Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)$
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên $AK \bot BD$
Và CBD cân tại C nên $CK \bot DB$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.$
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có $DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3$ nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight)$ mà $HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK$
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc $\widehat {AKC}$ suy ra $\widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}$
Ta có: $t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Vậy $\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính thể tích hình chóp

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ cạnh bằng $2a$ , cạnh bên $SB = a\sqrt{5}$ . Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ ?
- A.
  $V = 4\sqrt{5}a^{3}$
- B.
  $V = 4\sqrt{3}a^{3}$
- C.
  $V = \frac{4\sqrt{5}a^{3}}{3}$
- D.
  $V = \frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD

Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên $SO\bot CA$

Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên $SO\bot BD$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S_{ABCD} = 4a^{2} \\ SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{5a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy thể tích hình chóp là: $V = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}.4a^{2}}{3} = \frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Câu 36: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
- A. $90^0$
- B. $30^0$
- C. $60^0$
- D. $45^0$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BD \bot SO} \\ {BD \bot AO} \end{array}} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot OM$
Do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(MBD) \cap (ABCD) = BD} \\ {OM \subset (MBD)} \\ {OM \bot BD} \\ {OC \subset (ABCD)} \\ {OC \bot BD} \end{array}} ight.$
$\Rightarrow \widehat {\left( {MBD),(ABCD)} ight)} = (\widehat {OM,OC}) = \widehat {MOC}$
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra $OM = MC = \frac{{CS}}{2} = \frac{a}{2}$
=> Tam giác MOC cân tại M.
=> $OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
Khi đó $\cos \widehat {MOC} = \frac{{OC}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOC} = {45^{^0}}$
Vậy $\widehat {\left( {\left( {MDB} ight);\left( {ABCD} ight)} ight)} = {45^0}$
Câu 37: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- B.
  Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- C.
  Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
- D.
  Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

Mệnh đề “Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Vậy mệnh đề đúng là: “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.”
Câu 38: Nhận biết
Chỉ ra mệnh đề sai

Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước.
- C.
  Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- D.
  Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”

Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 39: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng?

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
- B.
  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
- C.
  Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.
- D.
  Các mệnh đề trên đều sai.
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Câu 40: Thông hiểu
Tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $(A'BD)$ ?
- A.
  $AC$
- B.
  $B'D'$
- C.
  $A'C'$
- D.
  $AC'$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AB = AD = AA' = a$ nên $A$ cách đều các điểm $B,D,A'$

$BC' = DC' = C'A' = a\sqrt{2}$ nên $C'$ cách đều các điểm $B,D,A'$

Do đó A; C’ cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'BD$

$\Rightarrow AC'\bot(A'BD)$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

17 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 KNTT
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Chương 9: Đạo hàm

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4 - Đề 2

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 KNTT tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 6