Lôgarit Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Lôgarit bao gồm định nghĩa, tính chất và các công thức tính lôgarit. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Khái niêm lôgarit
Định nghĩa: Cho 
\(a \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\};M \in {\mathbb{R}^ + }\). Số thực \(\alpha\) để \({a^\alpha } = M\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(M\) và kí hiệu là \({\log _a}M\).
\(\alpha = {\log _a}M \Leftrightarrow {a^\alpha } = M\)
Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0. Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1.
Tính chất: Với \(0 < a \ne 1;M > 0\) và \(\alpha \in \mathbb{R}\) ta có:
- \({\log _a}1 = 0;{\log _a}a = 1\)
- \({a^{{{\log }_a}M}} = M;{\log _a}{a^\alpha } = \alpha\)
Ví dụ: Tính:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \({\log _2}\frac{1}{{64}} = {\log _2}{2^{ - 6}} = - 6\)
b) \({\log _3}{9^{\frac{1}{5}}} = {\log _3}{\left( {{3^2}} \right)^{\frac{1}{5}}} = {\log _3}{3^{\frac{2}{5}}} = \frac{2}{5}\)
2. Tính chất của lôgarit
a) Quy tắc tính lôgarit
Với \(a \in {\mathbb{R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\}\) và \(M,N \in {\mathbb{R}^ + };\alpha \in \mathbb{R}\) ta có:
- \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}\left( M \right) + {\log _a}\left( N \right)\)
- \({\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}\left( M \right) - {\log _a}\left( N \right)\)
- \({\log _a}\left( {{M^\alpha }} \right) = \alpha {\log _a}\left( M \right)\)
Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau:
|
a) |
b) |
|
c) |
d) |
Hướng dẫn giải
a) \({\log _3}45 + {\log _3}\frac{1}{5} = {\log _3}\left( {45.\frac{1}{5}} \right)\)\(= {\log _3}\left( 9 \right) = {\log _3}{3^2} = 2\)
b) \({\log _4}48 - {\log _4}3 = {\log _4}\frac{{48}}{3}\)\(= {\log _4}16 = {\log _4}{4^2} = 2\)
c) \({\log _2}\frac{{16}}{3} + 2{\log _2}\sqrt 6 = {\log _2}\frac{{16}}{3} + {\log _2}{\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\)
\(= {\log _2}\left( {\frac{{16}}{3}.6} \right) = {\log _2}32 = {\log _2}{2^5} = 5\)
d) \(\frac{1}{3}{\log _3}\frac{9}{7} + {\log _3}\sqrt[3]{7}\)\(= \frac{1}{3}\left( {{{\log }_3}9 - {{\log }_3}7} \right) + {\log _3}{7^{\frac{1}{3}}}\)
\(= \frac{1}{3}{\log _3}9 - \frac{1}{3}{\log _3}7 + \frac{1}{3}{\log _3}7 = \frac{1}{3}{\log _3}9\)\(= \frac{1}{3}{\log _3}{3^2} = \frac{2}{3}\)
Công thức mở rộng
Với \(a \in {\mathbb{R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\},x,y > 0\) ta có:
| \({\log _a}\left( {\frac{1}{y}} \right) = - {\log _a}y\) |
\({\log _a}\left( {\frac{x}{y}} \right) = - {\log _a}\left( {\frac{y}{x}} \right)\) |
| \({\log _a}{x^\beta } = \beta {\log _a}x\) |
\({\log _a}{x^2} = 2{\log _a}\left| x \right|\) |
| \({\log _{{m^\alpha }}}x = \frac{1}{\alpha }{\log _m}x\) |
\({\log _{{m^\alpha }}}{x^\beta } = \frac{\beta }{\alpha }{\log _m}x\) |
b) Đổi cơ số của lôgarit
Với các cơ số lôgarit a và b bất kì (\(\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\) và M là số thực dương tùy ý ta luôn có:
\({\log _a}M = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}\)
Ví dụ: Thực hiện các phép tính:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(C = {\log _3}5.{\log _5}7.{\log _7}9\)
\(C = {\log _3}5.\frac{{{{\log }_3}7}}{{{{\log }_3}5}}.\frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}\)
\(C = {\log _3}9 = {\log _3}{3^2} = 2\)
b) \(D = {\log _2}\frac{1}{{25}}.{\log _3}\frac{1}{{32}}.{\log _5}\frac{1}{{27}}\)
\(D = \left( { - 2} \right).{\log _2}5.\left( { - 5} \right).{\log _3}2.\left( { - 3} \right).{\log _5}3\)
\(D = \left( { - 30} \right).{\log _2}5.{\log _3}2.{\log _5}3\)
\(D = \left( { - 30} \right).{\log _2}5.\frac{{{{\log }_2}2}}{{{{\log }_2}3}}.\frac{{{{\log }_2}3}}{{{{\log }_2}5}}\)\(D = - 30\)
3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
- Lôgarit cơ số 10 của một số dương M được gọi là lôgarit thập phân của M, kí hiệu là \(\log M\)(đọc là lốc của M).
- Lôgarit cơ số e của một số dương M được gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiệu là \(\ln M\) (đọc là lôgarit Nêpe của M) với \(e = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \approx 2,7183\)
Ví dụ: Cho \(x;y > 0\) thỏa mãn \({x^2} + 4{y^2} = 6xy\). Chứng minh rằng: \(2\log \left( {x + 2y} \right) = 1 + \log x + \log y\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({x^2} + 4{y^2} = 6xy \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} = 10xy\)
\(\Rightarrow 2\log \left( {x + 2y} \right) = \log {\left( {x + 2y} \right)^2}\)
\(= \log \left( {10xy} \right) = \log 10 + \log x + \log y\)
\(= 1 + \log x + \log y\)
