Giá trị lượng giác của góc lượng giác KNTT

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Giá trị lượng giác của góc lượng giác bao gồm định nghĩa, tính chất và các công thức lượng giác và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Góc lượng giác

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Khi đó tia \(Om\) quay theo chiều dương đúng nửa vòng ta nói tia \(Om\) quay góc \({180^0}\), quay đúng 1 vòng ta nói nó quay được góc \({360^0}\); quay theo chiều âm 1 vòng ta nói nó quay góc \(- {360^0}\); quay theo chiều âm hai vòng ta nói nó quay được góc \(- {2.360^0} = - {720^0}\); …

Khi tia \(Om\) quay được một góc \({\alpha ^0}\) ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo là \({\alpha ^0}\). Số đo của góc lượng giác có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) được kí hiệu là \(sd\left( {Ou,Ov} \right)\)

	\(sd\left( {Ou,Ov} \right) = {360^0}\)
	\(sd\left( {Ou,Ov} \right) = {720^0}\)
	\(sd\left( {Ou,Ov} \right) = - {180^0}\)
	\(sd\left( {Ou,Ov} \right) = - {540^0}\)

Chú ý: Cho hai tia \(Ou,Ov\) thì có vô số góc lượng giác tia đầu \(Ou\) và tia cuối \(Ov\). Số đo của các góc lượng giác này khác nhau một bội số nguyên của \({360^0}\).

Ví dụ: Cho góc hình học \(AOM\) có số đo \({45^0}\). Xác định số đo góc của các góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right)\) và \(\left( {OM,OA} \right)\)?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Các góc lượng giác có tia đầu \(OA\), tia cuối \(OM\) có số đo là

\(sd\left( {OA,OM} \right) = {45^0} + k{.360^0};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Các góc lượng giác có tia đầu \(OM\), tia cuối \(OA\) có số đo là

\(sd\left( {OM,OA} \right) = - {45^0} + k{.360^0};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Hệ thức Chasles

2. Đơn vị đo góc và đo độ dài cung tròn

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc bằng \(\frac{1}{{180}}\) góc bẹt.

Đơn vị radian: Cho đường tròn \(\left( O \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R\) và một cung \(AB\) .

Ta nói cung tròn \(AB\) có số đo bằng 1 radian nếu độ dài của nó đùng bằng bán kính R.

Khi đó ta cũng nói góc  có số đo bằng 1 radian và viết: \(\widehat {AOB} = 1rad\)

Ví dụ: a) Đổi từ độ sang radian các số đo: \({360^0}; - {450^0}\)

b) Đổi từ radian sang độ các số đo sau: \(3\pi ;\frac{{ - 11\pi }}{5}\)

Hướng dẫn giải

a) Đổi từ độ sang radian các số đo:

\({360^0} = 360.\frac{\pi }{{180}} = 2\pi\)

\(- {450^0} = - 450.\frac{\pi }{{180}} = - \frac{\pi }{4}\)

b) Đổi từ radian sang độ các số đo sau:

\(3\pi = 3\pi .{\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {540^0}\)

\(\frac{{ - 11\pi }}{5} = \frac{{ - 11\pi }}{5}.{\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = - {396^0}\)

b) Độ dài cung tròn

Ví dụ: Bánh xe của người đi xe đáp quay được 12 vòng trong 6 giây.

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là \(600mm\).

Hướng dẫn giải

a) 1 giây bánh xe quay được: \(\frac{{12}}{6} = 2\) vòng

Góc mà bánh xe quay được trong giây là \({2.360^0} = {720^0} = 4\pi \left( {rad} \right)\)

b) Ta có: 1 phút = 60 giây 

Trong 1 phút bánh xe quay được \(60.2 = 120\) vòng

Chu vi bánh xe đạp là \(600\pi .120 = 72000\pi \left( {mm} \right) = 72\pi \left( m \right)\)

Quãng đường mà người đi xe đạp đi được trong phút là:

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a) Đường tròn lượng giác

Ví dụ: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M và điểm N lần lượt biểu diễn các góc lượng giác \({120^0};\frac{{3\pi }}{4}\).

Hướng dẫn giải

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo  bằng \({120^0}\) được xác định trong hình vẽ:

Điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{{3\pi }}{4}\) được xác định trong hình:

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giả sử điểm \(A\left( {x;y} \right)\) là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\alpha\) (như hình vẽ):

• Hoành độ \(x = \cos \alpha\)
• Tung độ \(y = \sin \alpha\)
• \(\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\left( {x \ne 0} \right)\) hay \(\tan \alpha\) xác định khi \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
• \(\cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\left( {y \ne 0} \right)\) hay \(\cot \alpha\) xác định khi \(\alpha \ne k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chú ý: Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn A trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(- \frac{\pi }{4}\)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\cos \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\sin \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\tan \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right) = \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right)}}{{\cos \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right)}} = \dfrac{{ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = - 1\)

\(\cot \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right) = \dfrac{{\cos \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right)}}{{\sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right)}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = - 1\)

Ví dụ: Cho góc \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Xét dấu biểu thức: \(A = \cos \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(B = \sin \left( {\alpha + \frac{{2\pi }}{5}} \right)\)?

Hướng dẫn giải

\(A = \cos \left( {\alpha + \pi } \right)\)

Ta có:

 \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \pi < \alpha + \pi < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \left( {\alpha + \pi } \right) < 0\)

\(B = \sin \left( {\alpha + \frac{{2\pi }}{5}} \right)\)

\(0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{2\pi }}{5} < \alpha + \frac{{2\pi }}{5} < \frac{{9\pi }}{{10}} \Rightarrow \sin \left( {\alpha + \frac{{2\pi }}{5}} \right) > 0\)

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

a) Các công thức lượng giác cơ bản

Ví dụ: Rút gọn biểu thức \(D = \tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(D = \tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}\)

\(= \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}\)

\(= \frac{{\sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {{\cos }^2}x}}{{\cos x\left( {1 + \sin x} \right)}}\)

\(= \frac{{\sin x + {{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\cos x\left( {1 + \sin x} \right)}}\)

\(= \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x\left( {1 + \sin x} \right)}} = \frac{1}{{\cos x}}\)

b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Ví dụ: Biểu thức lượng giác \({\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \sin \left( {10\pi + x} \right)} \right]^2} + {\left[ {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {8\pi - x} \right)} \right]^2}\) có giá trị bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\)

\(\sin \left( {10\pi + x} \right) = \sin x\)

\(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) = \cos \left( {2\pi - \frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = - \sin x\)

\(\cos \left( {8\pi - x} \right) = \cos x\)

Khi đó

\({\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \sin \left( {10\pi + x} \right)} \right]^2} + {\left[ {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {8\pi - x} \right)} \right]^2}\)

\(= {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2} + {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2}\)

\(= \cos {x^2} + 2\sin x\cos x + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x + {\sin ^2}x = 2\)