Đường thẳng và mặt phẳng song song Kết nối tri thức
Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Đường thẳng song song với mặt phẳng bao gồm định nghĩa, điều kiện và tính chất để đường thẳng song song với mặt phẳng. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Nếu d và (P) không có điểm chung thì ta nói d song song với (P) hay (P) song song với d. Kí hiệu là 
\(d//(P)\) hay \((P)//d\).
Nếu d và (P) có một điểm chung duy nhất M thì ta nói d và (P) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu là: \(d \cap \left( P \right) = \left\{ M \right\}\) hoặc \(d \cap \left( P \right) = M\).
Nếu d và (P) có nhiều hơn một điểm chung thì ta nói d nằm trong (P) hay (P) chứa d và kí hiệu là \(d \subset \left( P \right)\) hoặc \(\left( P \right) \supset d\).
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, ABEF không đồng phẳng. Lấy các điểm \(M \in AC;N \in BF\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{1}{3}\). Chứng minh rằng \(MN//\left( {CDEF} \right)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Dựng \(O = DM \cap AB\) mà \(AB//CD\)
Theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AO}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AB\)
Hay O là trung điểm của AB.
Dựng \(O' = EN \cap AB\) mà \(AB//EF\)
Theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{BO}}{{EF}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BO' = \frac{1}{2}AB\)
Hay O’ là trung điểm của AB.
Từ hai điều trên ta có: \(O \equiv O'\)
Suy ra \(\frac{{OM}}{{MD}} = \frac{1}{2} = \frac{{ON}}{{NE}}\)
\(\Rightarrow MN//DE \Rightarrow MN//\left( {CDEF} \right)\)
2. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng d nằm trong (P) thì a song song với (P).
 |
\(\left\{ \begin{gathered}
d \in \left( P \right) \hfill \\
a \notin \left( P \right) \hfill \\
d//a \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow a//\left( P \right)\) |
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến d thì d song song với a.
 |
\(\left\{ \begin{gathered}
d \in \left( P \right) \hfill \\
a \in \left( Q \right) \hfill \\
\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow a//d\) |
Ví dụ: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Xác định giao tuyến hai mặt phẳng \((DBC)\) và \((DMN)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN là đường trung bình tam giác ABC suy ra MN // BC
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
MN//BC \hfill \\
MN \subset \left( {DMN} \right) \hfill \\
BC \subset \left( {BDC} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left( {DMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = \Delta\)
Với \(\Delta\) đi qua điểm D và \(\Delta //BC\)
Ví dụ: Cho tứ diện \(ABCD\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(AC\). Mặt phẳng \((α)\) đi qua \(M\) và song song với \(AB\) và \(AD\). Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((α)\) và thiết diện.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có:
nên giao tuyến của \((α)\) và (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.
nên giao tuyến của \((α)\) và (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.
Vậy thiết diện là tam giác MNP.
