Ba đường conic
Cho hai điểm 
\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\) cố định có khoảng cách \({{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c\) \((c>0)\).
- Đường elip là tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a\) (\(a\) cho trước lớn hơn \(c\)).
- Hai điểm \({{F}_{1}}(-c;0)\,;\,{{F}_{2}}(c;0)\) được gọi là hai tiêu điểm.
- Đoạn \({{F}_{1}}{{F}_{2}}\) được gọi là tiêu cự.
- Phương trình chính tắc của elip
\(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)
Trong đó: \({{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}\) và \(a>b>0\).
Mở rộng:
- Trục lớn: \({{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a\) với hai đỉnh \({{A}_{1}}(-a;0);{{A}_{2}}(a;0)\).
- Trục bé: \({{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b\) với hai đỉnh \({{B}_{1}}(-b;0);{{B}_{2}}(b;0)\).
- Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là \(P(-a;b),Q(a;b),R(a;-b),S(-a;-b)\).
- Bốn đỉnh \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}}\) của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
- Tâm sai của elip: \(e=\frac{c}{a}\) (\(0< e<1\)).
- Với mỗi điểm \(M\) thuộc elip, các đoạn thẳng \(M{{F}_{1}},M{{F}_{2}}\) được gọi là bán kính qua tiêu của điểm \(M\). Trong đó: \(M{{F}_{1}}=a+ex\,;\,M{{F}_{2}}=a-ex\).
- Đường thẳng \({{\Delta }_{1}}:x=-\frac{a}{e}\) gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm \({{F}_{1}}\).
- Đường thẳng \({{\Delta }_{2}}:x=\frac{a}{e}\) gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm \({{F}_{2}}\).
Ví dụ 1: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Hướng dẫn giải
Ta có: \({{a}^{2}}=25\,,\,{{b}^{2}}=9\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{25-9}=4\).
Vậy elip có hai tiêu điểm là \({{F}_{1}}(-4;0)\,,\,{{F}_{2}}(4;0)\).
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm là \({{F}_{1}}(-4;0)\) và đi qua điểm \(M(0;2)\).
Hướng dẫn giải
Elip có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) (\(a>b>0\)).
Vì \({{F}_{1}}(-4;0)\) là một tiêu điểm nên \(c=4\).
Vì \(M(0;2)\) thuộc elip nên \(\frac{{{0}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{2}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\). Suy ra \(b=2\).
Ta có: \(a=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5}\).
Vậy elip có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x}^{2}}}{20}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\).
2. Hypebol
Cho hai điểm \({{F}_{1}},{{F}_{2}}\) cố định có khoảng cách \({{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c\) (\(c>0\)).
- Đường elip là tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(\left| M{{F}_{1}}-M{{F}_{2}} \right|=2a\) (\(a\) cho trước nhỏ hơn \(c\)).
- Hai điểm \({{F}_{1}}(-c;0)\,;\,{{F}_{2}}(c;0)\) được gọi là hai tiêu điểm.
- Đoạn \({{F}_{1}}{{F}_{2}}\) được gọi là tiêu cự.
- Phương trình chính tắc của hypebol
\(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)
Trong đó: \({{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) và \(a>0;b>0\).
Mở rộng:
- Trục thực: \({{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a\) với hai điểm \({{A}_{1}}(-a;0);{{A}_{2}}(a;0)\).
- Trục ảo: \({{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b\) với hai điểm \({{B}_{1}}(0;-b);{{B}_{2}}(0;b)\).
- Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là \(P(-a;b),Q(a;b),R(a;-b),S(-a;-b)\).
- Hai đường thẳng \(PR\) và \(QS\) có phương trình lần lượt là \(y=-\frac{b}{a}x\,;\,y=\frac{b}{a}x\) được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol.
- Tâm sai của elip: \(e=\frac{c}{a}\) (\(e>1\)).
- Với mỗi điểm \(M\) thuộc hypebol, các đoạn thẳng \(M{{F}_{1}},M{{F}_{2}}\) được gọi là bán kính qua tiêu của điểm \(M\). Trong đó: \(M{{F}_{1}}=\left| a+ex \right|\,;\,M{{F}_{2}}=\left| a-ex \right|\).
- Đường thẳng \({{\Delta }_{1}}:x=-\frac{a}{e}\) gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm \({{F}_{1}}\).
- Đường thẳng \({{\Delta }_{2}}:x=\frac{a}{e}\) gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm \({{F}_{2}}\).
Ví dụ 1: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{25}=1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
Hướng dẫn giải
Ta có: \({{a}^{2}}=16\,;\,{{b}^{2}}=25\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{41}\).
Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({{F}_{1}}(-\sqrt{41};0)\,;\,{{F}_{2}}(\sqrt{41};0)\).
Tiêu cự \(2c=2\sqrt{41}\).
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường Hypebol có một tiêu điểm \({{F}_{2}}(5;0)\) và đi qua điểm \(A(3;0)\).
Hướng dẫn giải
Hypebol có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) \((a>0\,;\,b>0)\).
Vì \(A(3;0)\) thuộc hypebol nên \(\frac{{{3}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{0}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\). Suy ra \(a=3\).
Vì \({{F}_{2}}(5;0)\) là tiêu điểm của hypebol nên \(c=5\).
Ta có: \({{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}=16\).
Vậy hypebol có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x}^{2}}}{9}-\frac{{{y}^{2}}}{16}=1\).
3. Parabol
Cho một điểm \(F\) cố định và một đường thẳng \(\Delta\) cố định không đi qua \(F\).
- Đường parabol là tập hợp các điểm \(M\) cách đều \(F\) và \(\Delta\).
- Điểm \(F\) được gọi là tiêu điểm, đường thẳng \(\Delta\) được gọi là đường chuẩn.
- Phương trình chính tắc của parabol
\({{y}^{2}}=2px\) (\(p>0\))
Trong đó:
- Tiêu điểm là \(F\left( \frac{p}{2};0 \right)\).
- Phương trình đường chuẩn \(\Delta\) là \(x=-\frac{p}{2}\).
Mở rộng
- Khoảng cách \(FH=p\) được gọi là tham số tiêu của parabol.
- Tâm sai \(e=1\).
- Với mỗi điểm \(M\) thuộc parabol, đoạn thẳng \(MF\) được gọi là bán kính qua tiêu của điểm \(M\). Trong đó: \(MF=x+\frac{p}{2}\).
Ví dụ 1: Cho parabol có phương trình chính tắc \({{y}^{2}}=2x\). Tìm tiêu điểm \(F\) và đường chuẩn \(\Delta\) của parabol.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(2p=2\Leftrightarrow p=1\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( \frac{1}{2};0 \right)\) và đường chuẩn \(\Delta\) là \(x=-\frac{1}{2}\).
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của parabol biết:
a. Parabol có tiêu điểm là \(F(3;0)\);
b. Parabol đi qua điểm \(M(2;-1)\).
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình chính tắc của parabol là: \({{y}^{2}}=2px\) (\(p>0\)).
a. Vì parabol có tiêu điểm \(F(3;0)\) nên \(\frac{p}{2}=3\Leftrightarrow p=6\).
Vậy phương trình chính tắc của parabol là \({{y}^{2}}=12x\).
b. Vì parabol đi qua \(M(2;-1)\) nên \({{(-1)}^{2}}=2p.2\Leftrightarrow p=\frac{1}{4}\).
Vậy phương trình chính tắc của parabol là \({{y}^{2}}=\frac{1}{2}x\)
