Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Chú ý: 

• Phương trình đường tròn còn có thể được viết dưới dạng khai triển:

\(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\)

• Trong đó: \(c=a^2+b^2-R^2\).
• Điều kiện để một phương trình dạng khai triển là một phương trình đường tròn là:\(a^2+b^2-c>0\).
• Từ phương trình dạng khai triển suy ra: Tâm \(I(a;b)\), bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}\).

 

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn:

a. \((C_1):(x-2)^2+(y+3)^2=25\);

b. \((C_2):x^2+y^2-4x+6y+1=0\).

Hướng dẫn giải

a. Ta có: Tâm \(I(2;-3)\) và bán kính \(R=\sqrt{25}=5\).

b. Nhận xét: \(-2a=-4;-2b=6;c=1\) nên suy ra \(a=2;b=-3;c=1\). Do đó tâm \(I(2;-3)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}\)\(=\sqrt{2^2+(-3)^2-1}=2\sqrt3\).

 

Ví dụ 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là một phương trình đường tròn?

a. \(\,{x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 14 = 0\,\);

b. \(\,{x^2} + {y^2} +2x + 4y - 1 = 0\,\).

Hướng dẫn giải

a. Nhận xét: \(-2a=-6;-2b=4,c=14\)\(\Rightarrow a=3;b=-2;c=14\).

Ta có: \(a^2+b^2-c=3^2+(-2)^2-14=-1<0\). Suy ra phương trình này không phải là phương trình đường tròn.

b. Nhận xét: \(-2a=2;-2b=4;c=-1\)\(\Rightarrow a=-1;b=-2;c=-1\). 

Ta có: \(a^2+b^2-c\)\(=(-1)^2+(-2)^2-(-1)=6>0\). Suy ra phương trình này là một phương trình đường tròn.

 

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn \((C)\) trong mỗi trường hợp sau:

a. Có tâm \(I(1;2)\) và \(R=8\);

b. Có tâm \(I(3;2)\) và đi qua điểm \(A(1;1)\).

Hướng dẫn giải

a. Phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R=8\) là:

\((x-1)^2+(y-2)^2=8^2\)\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=64\).

b. Vì \(A\in(C)\) nên \(R=IA= \sqrt{(1-3)^2+(1-2)^2}=\sqrt5\).

Phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3;2)\) và bán kính \(R=\sqrt5\) là:

\((x-3)^2+(y-2)^2=5\).

 

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

 

Ví dụ: Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \(x^2+y^2-6x+2y+6=0\) và điểm \(A(1;-1)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của \((C)\) tại điểm \(A\).

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường tròn \((C)\): \(x^2+y^2-6x+2y+6=0\), suy ra \(-2a=-6;-2b=2 \Rightarrow a=3;b=-1\).

Do đó tâm \(I(3;-1)\).

Đường tiếp tuyến \(\Delta\) tại \(A (1;-1)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AI}= (2;0)\). Do đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) là:

\((a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=0\)

\(\Leftrightarrow 2(x-1)+0[y--(1)]=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(x-1=0\).