Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Cho hệ trục 
\(Oxy\), ta có:
- Vectơ đơn vị của trục hoành là \(\overrightarrow i (1;0).\)
- Vectơ đơn vị của trục tung là \(\overrightarrow j (0;1) .\)
- Với mỗi vectơ\(\overrightarrow u\), ta luôn có: \(\overrightarrow u =x_0.\overrightarrow i+y_0.\overrightarrow j\). Trong đó \(x_0,y_0\) được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u\).
- Cho hai điểm \(A\) và \(B\), khi đó \(\overrightarrow {AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\).
- Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau, tức là:
\(\overrightarrow u(x;y)=\overrightarrow v(x';y') \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x' \\ y=y' \end{matrix}\right.\)
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y')\). Khi đó:
- \(\overrightarrow u\pm\overrightarrow v=(x\pm x';y\pm y')\).
- \(k\overrightarrow u=(kx;ky)\) với \(k \in \mathbb{R}\).
Nhận xét:
- Hai vectơ \(\overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y')\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac x{x'} = \frac y {y'}\). (điều kiện \(x'.y' \neq 0\))
- Nếu điểm \(M\) có tọa độ \((x;y)\) thì vectơ \(\overrightarrow {OM}=(x;y)\) và có độ dài \(OM=\sqrt{x^2+y^2}\).
- Vectơ \(\overrightarrow u =(x;y)\) cũng có độ dài \(|\overrightarrow u|=\sqrt{x^2+y^2}\).
- Cho \(M(x;y);N(x';y')\) thì độ dài đoạn thẳng \(MN=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}\).
Chú ý:
- Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là: \(M(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2)\).
- Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là: \(G(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3)\).
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A(1;2);B(0;1);C(-2;0)\).
a) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
b) Tìm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(G(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3)\).
Suy ra \(G(\frac{1+0-2}3;\frac{2+1+0}3) =(\frac{-1}3;1)\).
b) Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC}\).
Áp dụng công thức tính tọa độ vectơ khi biết hai điểm, ta có: \(\overrightarrow {AB}=(-1;-1)\) và \(\overrightarrow {DC}= (-2-x_D;-y_D)\).
Ta có:\(\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix} -1=-2-x_D \\ -1=-y_D \end{matrix}\right.\)\(\left\{\begin{matrix} x_D=-1 \\ y_D=1 \end{matrix}\right.\).
Vậy \(D(-1;1)\).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(M(1;-3);N(2;0)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\) và tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(MN\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng, ta có:
\(MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\)\(=\sqrt{(2-1)^2+(0+3)^2} =\sqrt{10}\).
Trung điểm \(I\) của có tọa độ thỏa mãn:
\(I(\frac{x_M+x_N}2;\frac{y_M+y_N}2)\). Suy ra \(I(\frac{1+2}2;\frac{-3+0}2) =(\frac32;\frac{-3}2)\).
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A(1;2);B(2-a;0);C(-2;1)\). Tìm \(a\) để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} =(1-a;-2)\) và \(\overrightarrow {AC} =(-3;-1)\).
Để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì: \(\frac{1-a}{-3}= \frac{-3}{-1} \Leftrightarrow a=10\).
Vậy để \(a=10\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
