Luyện tập Hàm số bậc hai (Khó)

Đặt t = x²    (t≥0).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t² − 2t + 3 − m = 0. (*)

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm không âm.

Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi Δ′ < 0 ⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.

Phương trình (*) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi .

Do đó, phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi m ≥  − 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x² − 4x + 3 = mx + 3

.

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,  B khi và chỉ khi 4 + m ≠ 0 ⇔ m ≠  − 4.

Với .

Với .

Gọi H là hình chiếu của B lên OA. Suy ra BH = |x_B| = |4+m|.

Theo giả thiết bài toán, ta có

.

Hàm số y = ax² + bx + c(a≠0) đạt giá trị lớn nhất bằng tại nên ta có và điểm thuộc đồ thị

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình y = 0. Theo giả thiết: x₁³ + x₂³ = 9

.

Từ đó ta có hệ

Trục đối xứng của parabol y = ax² + bx + c là đường thẳng .

Trục đối xứng của parabol y =  − x² + 5x + 3 là đường thẳng .

Parabol y =  − x² + 2x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng  ⇔ x = 1.

Ta có . Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

Giữ nguyên đồ thị y = f(x) phía trên trục hoành.

Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình vẽ.

Phương trình |f(x)| = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = |f(x)| và đường thẳng y = m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt  ⇔ 0 < m < 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

mx = x² − x + 1 ⇔ x² − (m+1)x + 1 = 0

Vì hoành độ giao điểm x_A, x_B là hai nghiệm của phương trình nên ta có tọa độ trung điểm I là

.

Phương trình Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = 2018 − m (có phương song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt 2018 − m = 2 ⇔ m = 2016.

Trục đối xứng của (P) có dạng:

.

Vậy (P) có phương trình: .

Ta có

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng .

Ta có (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1: Khi x = 0 thì y = 1 ⇒ c = 1.

(P)có giá trị nhỏ nhất bằng khi nên:

⇔ .

Vậy (P): y = x² − x + 1.

Gọi Avà Blà hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình và cổng có chiều rộng d = 5 mét nên:

AB = 5  và .

Vậy chiều cao của cổng làmét.

TH1:; phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất nên loại m = 0

TH2: m ≠ 0

Để mx² − 2(m+2)x + m − 1 = 0với m ∈ [ − 7; 7]có hai nghiệm phân biệt thì

đồng thời m ∈ [ − 7; 7].

Vậy m = {1; 2;3;4;5;6;7}→ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm x = 1, ta chỉ có phương trình .

Đỉnh Parabol là .

Do đó chỉ có đáp án y = 2x² + 4x + 5 thỏa mãn.

Ta có x² − 5x + 7 + 2m = 0 ⇔ x² − 5x + 7 =  − 2m. (*)

Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) : x² − 5x + 7 và đường thẳng y =  − 2m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x² − 5x + 7 trên [1; 5] như sau:

Dựa vào bảng biến ta thấy x ∈ [1; 5] thì .

Do đo để phương trình (*) có nghiệm

Xét phương trình:  − (m+1)x + m + 2 = x² + x − 2 ⇔ x² + x(m+2) − m − 4 = 0

Để đường thẳng d cắt Parabol(P) tại hai điểm phân biệt cùng phía với trục tung vậy điều kiện là

Vậy trong nửa khoảng[ − 10;  − 4) có 6 giá trị nguyên m.