Nhị thức Newton
\({{(a+b)}^{4}}=C_{4}^{0}{{a}^{4}}+C_{4}^{1}{{a}^{3}}b+C_{4}^{2}{{a}^{2}}{{b}^{2}}+C_{4}^{3}a{{b}^{3}}+C_{4}^{4}{{b}^{4}}\) \(={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}\)
Ví dụ: Khai triển \({{(x+2y)}^{4}}\).
Hướng dẫn giải
Thay \(a=x\,;\,b=2y\) vào công thức trên:
\({{(x+2y)}^{4}}={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}.2y+6{{x}^{2}}{{(2y)}^{2}}+4x{{(2y)}^{3}}+{{(2y)}^{4}}\)
\(={{x}^{4}}+8{{x}^{3}}y+24{{x}^{2}}{{y}^{2}}+32x{{y}^{3}}+16{{y}^{4}}.\)
2. Khai triển \({{(a+b)}^{5}}\)
\({{(a+b)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}b+C_{5}^{2}{{a}^{3}}{{b}^{2}}+C_{5}^{3}{{a}^{2}}{{b}^{3}}+C_{5}^{4}a{{b}^{4}}+C_{5}^{5}{{b}^{5}}\)
\(={{a}^{5}}+5{{a}^{4}}b+10{{a}^{3}}{{b}^{2}}+10{{a}^{2}}{{b}^{3}}+5a{{b}^{4}}+{{b}^{5}}\)
Ví dụ: Khai triển \({{(2-3x)}^{5}}\).
Hướng dẫn giải
Thay \(a=2\,;\,b=-3x\) vào công thức trên:
\({{(2-3x)}^{5}}\)\(=C_{5}^{0}{{2}^{5}}+C_{5}^{1}{{2}^{4}}(-3x)+C_{5}^{2}{{2}^{3}}{{(-3x)}^{2}}+C_{5}^{3}{{2}^{2}}{{(-3x)}^{3}}+C_{5}^{4}2{{(-3x)}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-3x)}^{5}}\)
\(=32-240x+720{{x}^{2}}-1080{{x}^{3}}+810{{x}^{4}}-243{{x}^{5}}.\)
3. Mở rộng \({{(a+b)}^{n}}\)
\({{(a+b)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+...+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}\)
Chú ý: Số hạng thứ \((k+1)\) trong khai triển của \({{(a+b)}^{n}}\) là \({{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\).
Ví dụ: Tìm hệ số của \(x^8\) trong khai triển \({{(x+2)}^{10}}\).
Hướng dẫn giải
Số hạng thứ \((k+1)\) trong khai triển \({{(x+2)}^{10}}\) là \({{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}=C_{10}^{k}{{x}^{10-k}}{{2}^{k}}\) (1)
Ta có: \({{x}^{8}}={{x}^{10-k}}\Leftrightarrow k=2\).
Thay \(k=2\) vào (1), ta có số hạng chứa \(x^8\) là: \(C_{10}^{2}{{2}^{2}}{{x}^{8}}=4C_{10}^{2}{{x}^{8}}\).
Vậy hệ số của \(x^8\) trong khai triển \({{(x+2)}^{10}}\) là: \(4C_{10}^{2}\).
