VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Vectơ Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Đề kiểm tra 45 phút Toán 10 Chương 4 Vectơ sách Kết nối tri thức giúp bạn học tổng hợp lại kiến thức của cả nội dung chương. Cùng nhau luyện tập nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Rủ bạn học

Câu 1: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức P

Cho ba điểm $A,\ \ B,\ \ C$ không thẳng hàng và điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MA} = x\ \overrightarrow{MB} + y\ \overrightarrow{MC}.$ Tính giá trị biểu thức $P = x + y.$
- A.
  $P = 0.$
- B.
  $P = 2.$
- C.
  $P = - \ 2.$
- D.
  $P = 3.$
Do $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên tồn tại các số thực $x,\ y$ sao cho

$\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC},\ \ \forall M$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AM} + x\overrightarrow{MB} + y\overrightarrow{AM} + y\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow (1 - x - y)\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{MB} + y\overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow (x + y - 1)\overrightarrow{MA} = x\overrightarrow{MB} + y\overrightarrow{MC}.$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} = x\overrightarrow{MB} + y\overrightarrow{MC}$ suy ra $x + y - 1 = 1 \Leftrightarrow x + y = 2.$
Câu 2: Thông hiểu
Tính góc giữa hai vectơ

Cho $\overrightarrow{a} = (1; - 2)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 1; - 3)$ . Tính $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ .
- A.
  $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 120^{o}$ .
- B.
  $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 135^{o}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 45^{o}$ .
- D.
  $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 90^{o}$ .
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|} = \frac{1.( - 1) + ( - 2).( - 3)}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{( - 1)^{2} + ( - 3)^{2}}}$

$= \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 45^{o}$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng phương.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ ngược hướng.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng độ dài.
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Ta có $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.
Câu 4: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}\$ không cùng phương, $\overrightarrow{\ x\ } = - 2\ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ }$ . Vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{\ x\ \ }$ là:
- A.
  $2\ \overrightarrow{\ a\ \ } - \overrightarrow{\ b\ }$ .
- B.
  $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ }$ .
- C.
  $4\ \overrightarrow{\ a\ \ } + 2\overrightarrow{\ b\ }$ .
- D.
  $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ }$ .
Ta có:

$- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ } = \frac{1}{2}\left( - 2\ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{\ x\ }$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ }$
Câu 5: Nhận biết
Tìm đẳng thức đúng

Cho 4 điểm bất kỳ $A,\ B,\ C,\ O$ . Đẳng thức nào sau đây là đúng:
- A.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CO}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}$ .
- D.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{BA}$ .
Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CO}$ (quy tắc 3 điểm).
Câu 6: Vận dụng cao
Tìm độ dài bán kính của đường tròn

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} ight|$ là đường tròn cố định có bán kính $R.$ Tính bán kính $R$ theo $a.$
- A.
  $R = \frac{a}{3}.$
- B.
  $R = \frac{a}{9}.$
- C.
  $R = \frac{a}{2}.$
- D.
  $R = \frac{a}{6}.$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Ta có

$2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}$ $= 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) + 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 4\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 3\left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight)+ \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} =\overrightarrow{0}.$

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 3\ \overrightarrow{IG}.$

Khi đó $\overrightarrow{IG} +\overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{AI} +\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{CA}.$ $(*)$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} ight| = \left|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} ight|$ $\Leftrightarrow \left|9\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +4\overrightarrow{IC} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight|$ $\Leftrightarrow 9MI = AB.$

Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $(*)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $R = \frac{AB}{9} = \frac{a}{9}.$
Câu 7: Thông hiểu
Có bao nhiêu vectơ thỏa mãn

Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O.$ Số các vectơ bằng $\overrightarrow{OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
- A.
  $2.$
- B.
  $3.$
- C.
  $4.$
- D.
  $6.$
Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{ED}$ .
Câu 8: Nhận biết
Tính tích vô hướng

Cho hình thoi $ABCD$ có $AC = 8, BD = 5$ . Tính $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{BD}$ .
- A.
  24
- B.
  26
- C.
  28
- D.
  0
Vì $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0$ .
Câu 9: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng

Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{O}.$
- D.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{CD}.$
Hình vẽ minh họa:

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{O}.$

Do đó

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + \left( \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \right)$

$= \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} \right) + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$

$= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD}$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn đẳng thức đúng

Cho ba điểm phân biệt $A,B,C$ . Đẳng thức nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ .
Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$ (Quy tắc 3 điểm).
Câu 11: Nhận biết
Định tọa độ điểm D thỏa mãn đẳng thức

Cho hai điểm $A(1;0)$ và $B(0; - 2)$ . Tọa độ điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{AD} = - 3\overrightarrow{AB}$ là:
- A.
  $(4; - 6)$ .
- B.
  $(2;0)$ .
- C.
  $(0;4)$ .
- D.
  $(4;6)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AD} = - 3\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} - x_{A} = - 3\left( x_{B} - x_{A} \right) \\ y_{D} - y_{A} = - 3\left( y_{B} - y_{A} \right) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} - 1 = - 3(0 - 1) \\ y_{D} - 0 = - 3( - 2 - 0) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 4 \\ y_{D} = 6 \end{matrix} \right.$ .
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho tam giác $ABC$ với $A(3;1),\ B(4;2),\ C(4; - 3)$ . Tìm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 3;4)$ .
- B.
  $D( - 3; - 4)$ .
- C.
  $D(3; - 4)$ .
- D.
  $D(3;4)$ .
Ta có: $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - 3 = 4 - x_{D} \\ 2 - 1 = - 3 - y_{D} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = - 3 \\ y_{D} = - 4 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow D( - 3; - 4)$ .
Câu 13: Nhận biết
Tính góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{a} \right| = 3,$ $\left| \overrightarrow{b} \right| = 2$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 3.$ Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$
- A.
  $\alpha = 30^{o}$ .
- B.
  $\alpha = 45^{o}$ .
- C.
  $\alpha = 60^{o}$ .
- D.
  $\alpha = 120^{o}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$

$\rightarrow \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|} = \frac{- 3}{3.2} = - \frac{1}{2}$

$\rightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 120^{0}$
Câu 14: Thông hiểu
Tìm m để ba điểm thẳng hàng

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho $A(m - 1; - 1),\ B(2;2 - 2m),\ C(m + 3;3)$ . Tìm giá trị $m$ để $A,B,C$ là ba điểm thẳng hàng?
- A.
  $m = 2$ .
- B.
  $m = 0$ .
- C.
  $m = 3$ .
- D.
  $m = 1$ .
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3 - m;3 - 2m)$ , $\overrightarrow{AC} = (4;4)$

Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \frac{3 - m}{4} = \frac{3 - 2m}{4} \Leftrightarrow m = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- B.
  Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- C.
  Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là vectơ $\overrightarrow{0}$ .
Vì vectơ $\overrightarrow{0}$ cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là vectơ $\overrightarrow{0}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Thực hiện phép tính

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ . Khi đó $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} \right| =$
- A.
  $a\sqrt{3}$ .
- B.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
- C.
  $2a$ .
- D.
  $a$ .
Gọi $I$ là trung điểm $BC$ .

Ta có:

$\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} \right| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = 2\left| \overrightarrow{AM} \right| = 2.\frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tính độ dài vectơ

Cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ vuông, cạnh huyền $BC = 12$ . Độ dài vectơ $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$ bằng:
- A.
  $2$ .
- B.
  $8$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $4$ .
Dựng hình bình hành $GBDC$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

Khi đó ta có

$\left| \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} \right|$ $= \left| \overrightarrow{GD} \right| = GD =2GM = \frac{2}{3}AM$ $= \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.12 = 4$
Câu 18: Vận dụng
Phân tích một vectơ theo hai vectơ khác

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = (2;1),\overrightarrow{\ b} = (3;4),\ \overrightarrow{c} = (7;2)$ . Cho biết $\overrightarrow{c} = m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}$ . Khi đó
- A.
  $m = - \frac{22}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- B.
  $m = \frac{1}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- C.
  $m = \frac{22}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- D.
  $m = \frac{22}{5};n = \frac{3}{5}$ .
Ta có: $\overrightarrow{c} =m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7 = 2m + 3n \\2 = m + 4n \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \frac{22}{5} \ = - \frac{3}{5} \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm tọa độ trực tâm H

Cho tam giác $ABC$ có $A(5;\ 3)$ , $B(2;\ - 1)$ , $C( - 1;\ 5)$ . Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ .
- A.
  $H( - 3;\ 2)$ .
- B.
  $H( - 3;\ - 2)$ .
- C.
  $H(3;\ 2)$ .
- D.
  $H(3;\ - 2)$ .
Gọi $H(x;\ y)$ là tọa độ cần tìm.

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AH} = (x - 5;\ y - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 3;\ 6) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0$ $\Leftrightarrow - 3x + 6y - 3 = 0$ $(1)$ .

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BH} = (x - 2;\ y + 1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 6;\ 2) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0$ $\Leftrightarrow - 6x + 2y + 14 = 0$ $(2)$ .

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} - 3x + 6y = 3 \\ - 6x + 2y = - 14 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \end{matrix} \right.$ .

Vậy $H(3;\ 2)$ là tọa độ cần tìm.
Câu 20: Thông hiểu
Xác định câu đúng

Gọi $AN,\ CM$ là các trung tuyến của tam giác $ABC$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} - \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{4}{3}\overrightarrow{CM}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM} \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$

Suy ra $\overrightarrow{AN} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$

Do đó $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$ .
Câu 21: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng

Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC, I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
Hình vẽ minh họa

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}.$

Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}.$

Suy ra $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} \right) = \overrightarrow{0}.$
Câu 22: Nhận biết
Tìm hình vẽ chính xác

Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
- A.
  Hình 1
- B.
  Hình 2
- C.
  Hình 3
- D.
  Hình 4
Vì $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ nên $M$ nằm giữa $N$ và $P$ , đồng thời $MN=3MP$ .
Câu 23: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 24: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Vectơ là một đường thẳng có hướng.
- B.
  Vectơ là một đoạn thẳng.
- C.
  Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
- D.
  Vectơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Câu 25: Nhận biết
Xác định hai vectơ cùng phương

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
- A.
  $- 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b}$ .
- B.
  $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ .
- C.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ .
- D.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ .
Ta có:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = - \left( - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)$

=> Đáp án cần tìm là: $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ ..
Câu 26: Nhận biết
Xác định vectơ đối của vectơ đã cho

Cho tam giác $ABC$ có $M,\ N,\ D$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ AC,\ BC$ . Khi đó, các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{DN}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{ND}$ .
- B.
  $\overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{ND}$ .
- C.
  $\overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{AM}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{BM},\ \overrightarrow{ND}$ .
Hình vẽ minh họa:

Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{DN}$ là: $\overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{MB},\ \overrightarrow{ND}$ .
Câu 27: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Cho hình bình hành $ABCD$ ,với giao điểm hai đường chéo là $I$ . Khi đó:
- A.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0}$ .
Ta có: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 28: Nhận biết
Tìm đẳng thức đúng

Cho hình bình hành $ABGE$ . Đẳng thức nào sau đây đúng.
- A.
  $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{EG}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{BE}$ .
- C.
  $\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{BE}$ .
- D.
  $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{GE}$ .
Ta có:

Hình bình hành $ABGE \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{GE}$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tìm m để hai vecto vuông góc

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a} = (5;m - 7)$ và $\overrightarrow{b} = (m + 1;3)$ với $m\mathbb{\in R}$ . Tìm giá trị của tham số m để $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = - 2$
- C.
  $m = - 13$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 5(m - 1) + 3.(m - 7) = 0 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 thì hai vecto đã cho vuông góc với nhau.
Câu 30: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = ( - 1;1),\overrightarrow{b} = (4; - 2)$ . Xác định tọa độ vecto $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{v} = (6;0)$
- B.
  $\overrightarrow{v} = (3; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{v} = (2;0)$
- D.
  $\overrightarrow{v} = (7; - 3)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = ( - 1;1) \Rightarrow 2\overrightarrow{a} = ( - 2;2) \\ \overrightarrow{b} = (4; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = \left( - 2 + 4;2 + ( - 2) ight) = (2;0)$
Câu 31: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ

Cho $A(2;\ 5),\ B(1;\ 3),\ C(5;\ - 1)$ . Tìm tọa độ điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CK}$ ?
- A.
  $K( - 4;5)$ .
- B.
  $K( - 4;5)$ .
- C.
  $K(4; - 5)$ .
- D.
  $K( - 4; - 5)$ .
Gọi $K(x;y)$ với $x,y\mathbb{\in R}$ .

Khi đó $\overrightarrow{AK} = (x - 2;y - 5)$ , $3\overrightarrow{BC} = (12; - 12)$ , $2\overrightarrow{CK} = (2x - 10;2y + 2)$ .

Theo yêu cầu bài toán ta có:

$\overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CK}$ nên $\left\{ \begin{matrix} x - 2 = 12 + 2x - 10 \\ y - 5 = - 12 + 2y + 2 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 5 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow K( - 4;5)$ .
Câu 32: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ , có trọng tâm $G$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA}$ . Sai||Đúng

c) $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = a\sqrt{3}$ . Đúng||Sai

d) Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = 2\left| \overrightarrow{MC} \right|$ là đường trung trực của đoạn $IC$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ , có trọng tâm $G$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA}$ . Sai||Đúng

c) $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = a\sqrt{3}$ . Đúng||Sai

d) Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = 2\left| \overrightarrow{MC} \right|$ là đường trung trực của đoạn $IC$ . Đúng||Sai

a) Đúng

Theo quy tắc 3 điểm ta luôn có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . Vậy a đúng

b) Sai

Ta có: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . Vậy b sai

c) Đúng

Vẽ hình bình hành $ABDC$ , gọi $H$ là giao điểm $AD$ và $BC$

Suy ra $H$ là trung điểm của cả $AD$ và $BC$ .

Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ . Ta có $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH = \sqrt{AB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $AD = 2AH = a\sqrt{3}$ .

Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = \left| \overrightarrow{AD} \right| = AD = a\sqrt{3}$ . Vậy c đúng

d) Đúng

Gọi $I$ là trung điểm $AB$ , ta có:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = 2\left| \overrightarrow{MC} \right| \Leftrightarrow 2\left| \overrightarrow{MI} \right| = 2\left| \overrightarrow{MC} \right| \Leftrightarrow MI = MC$ .

Điều đó chứng tỏ điểm $M$ cách đều hai điểm $I,\ \ C$ , nên tập hợp các điểm $M$ là đường trung trực của đoạn $IC$ . Vậy d đúng
Câu 33: Thông hiểu
Tính độ dài vectơ

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ , tâm $O$ . Khi đó: $\left| \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{BO} \right| =$
- A.
  $a$ .
- B.
  $\sqrt{2}a$ .
- C.
  $\frac{a}{2}$ .
- D.
  $2a$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\left| \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{BO} \right| = \left| \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} \right| = \left| \overrightarrow{CB} \right| = a$ .
Câu 34: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng.

Cho tam giác ABC có I là trung điểm của AB. Điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ . Chọn mệnh đề đúng.
- A.
  $5\overrightarrow{MI} = - 3\overrightarrow{CI}$
- B.
  $5\overrightarrow{MI} = 3\overrightarrow{CI}$
- C.
  $3\overrightarrow{MI} = 5\overrightarrow{CI}$
- D.
  $3\overrightarrow{MI} = - 5\overrightarrow{CI}$
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}+ 3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow2\overrightarrow{MI} = - 3\overrightarrow{MC}$ $\Leftrightarrow2\overrightarrow{MI} = 3\overrightarrow{IM} - 3\overrightarrow{IC}\Leftrightarrow 5\overrightarrow{MI} =3\overrightarrow{CI}$ .
Câu 35: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tọa độ vecto $\overrightarrow{u} = - 3\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{u} = ( - 3;7)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (3; - 7)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (7; - 3)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = ( - 7;3)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0) \\ \overrightarrow{j} = (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = - 3\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} = ( - 3;7)$ .
Câu 36: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , cạnh $AB = a$ góc $\widehat{ABC} = 60{^\circ}.$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\left| \overrightarrow{BC} \right| = a$ . Đúng||Sai

b) $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3}a$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ bằng $2a$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ , cạnh $AB = a$ góc $\widehat{ABC} = 60{^\circ}.$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\left| \overrightarrow{BC} \right| = a$ . Đúng||Sai

b) $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3}a$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ bằng $2a$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

$\left| \overrightarrow{BC} \right| = AB = a$ .

b) Sai

Tam giác $ABC$ có $BA = BC$ và $\widehat{ABC} = 60^{0}$ nên $ABC$ là tam giác đều.

Suy ra: $\left| \overrightarrow{AC} \right| = AB = a$ .

c) Đúng.

Ta có $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}$ $\Rightarrow \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$

d) Sai

Ta có: $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$ .

Tam giác $ABD$ có $AB = AD = a$ và $\widehat{BAD} = 180{^\circ} - 60{^\circ} = 120^{0}$ , ta có:

$BD^{2} = AB^{2} + AD^{2} - 2AB.AD\cos\widehat{BAD}$

$= a^{2} + a^{2} - 2a.a.cos120^{0} = 3a^{2}$

$\Rightarrow BD = \sqrt{3}a$ .
Câu 37: Thông hiểu
Xác định đẳng thức đúng

Cho lục giác đều $ABCDEF$ và $O$ là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE} = 0.$
- B.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AD}.$
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{EB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF} = 0.$
Hình vẽ minh họa

Ta có $O A BC$ là hình bình hành.

$\Rightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} \Rightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OB}.$

$O$ là trung điểm của $EB \Rightarrow \overrightarrow{EB} = 2\overrightarrow{OB}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{EB} = 2\overrightarrow{OB}.$
Câu 38: Vận dụng
Tìm tộ điểm C

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A(1;2)$ và $B( - 3;1).$ Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc trục tung sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$
- A.
  $C(0;6).$
- B.
  $C(5;0).$
- C.
  $C(3;1).$
- D.
  $C(0; - 6).$
Vì $C \in Oy \Rightarrow C(0;a)$ .

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 4; - 1);\overrightarrow{AC} = ( - 1;a - 2)$

Để tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0 \Leftrightarrow 4 - a + 2 = 0$ $\Leftrightarrow a = 6 \Rightarrow C(0;6)$ .
Câu 39: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Cho đoạn thẳng $AB$ và $M$ là một điểm trên đoạn $AB$ sao cho $MA = \frac{1}{5}AB$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$
- B.
  $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{4}\overrightarrow{MB}$
- C.
  $\overrightarrow{MB} = - 4\overrightarrow{MA}$
- D.
  $\overrightarrow{MB} = - \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$
Hình vẽ minh họa

Ta thấy $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{MB} = - \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$ là sai.
Câu 40: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,\ \ CA = b,\ AB = c$ . Tính $P = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $P = b^{2} - c^{2}$
- B.
  $P = \frac{c^{2} + b^{2}}{2}$
- C.
  $P = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{3}$
- D.
  $P = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2}$
Ta có :

$P = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).\overrightarrow{BC} = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right).\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \right)$

$= \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \right).\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right)$

$= {\overrightarrow{AC}}^{2} - {\overrightarrow{AB}}^{2} = AC^{2} - AB^{2} = b^{2} - c^{2}$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

Chưa làm Đã làm

Tìm bài trong mục này

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Vectơ Kết nối tri thức

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!