VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Vectơ Kết nối tri thức

Mô tả thêm:

Đề kiểm tra 45 phút Toán 10 Chương 4 Vectơ sách Kết nối tri thức giúp bạn học tổng hợp lại kiến thức của cả nội dung chương. Cùng nhau luyện tập nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ và $AC = 2a,\ \ BD = a$ .

a) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 0$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = a\sqrt{5}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ và $AC = 2a,\ \ BD = a$ .

a) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 0$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = a\sqrt{5}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) ĐÚNG. Ta có theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$ .

b) SAI. Ta có: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$ .

c) SAI. Ta có: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .

d) ĐÚNG. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ .

$\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = 2\left| \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \right| = 2\left| 2\overrightarrow{OM} \right| = 4OM$

$= 4.\frac{1}{2}CD = 2\sqrt{OD^{2} + OC^{2}} = 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = a\sqrt{5}$ .
Câu 2: Nhận biết
Tìm đẳng thức sai

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?
- A.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{2AO}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$ .
- D.
  $\overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{BO}$ .
Ta có: $\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {OB}$ .

Vậy đẳng thức sai là: $\overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{BO}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Định điều kiện cần và đủ theo yêu cầu

Cho ba điểm $O,\ A,\ B$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right).\overrightarrow{AB} = 0$ là:
- A.
  tam giác $OAB$ đều.
- B.
  tam giác $OAB$ cân tại $O.$
- C.
  tam giác $OAB$ vuông tại $O.$
- D.
  tam giác $OAB$ vuông cân tại $O.$
Ta có :

$\left( \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} \right).\overrightarrow{AB} = 0$ $\Leftrightarrow\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right).\left(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) = 0$

$\Leftrightarrow{\overrightarrow{OB}}^{2} - {\overrightarrow{OA}}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow OB^{2} - OA^{2} = 0 \Leftrightarrow OB = OA$
Câu 4: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Cho hình chữ nhật $ABCD$ , gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ , phát biểu nào là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OB}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{OD}$

Vậy: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tính tích vô hướng giữa hai vectơ

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 60^{o}$ , $\ AB = a$ . Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$ .
- A.
  $3a^{2}$ .
- B.
  $- 3a^{2}$ .
- C.
  $3a$ .
- D.
  $0$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} =AC.BC.\cos150^{o}$ $= a\sqrt{3}.2a.\left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -3a^{2}$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ .
- A.
  $OA = OB$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BO}$ .
- D.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}$ .
Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB là: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}$
Câu 7: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ u

Cho $\overrightarrow{a} = (0,1)$ , $\overrightarrow{b} = ( - 1;2)$ , $\overrightarrow{c} = ( - 3; - 2)$ . Tọa độ của $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{c}$ :
- A.
  $(10; - 15)$ .
- B.
  $(15;10)$ .
- C.
  $(10;15)$ .
- D.
  $( - 10;15)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{u} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{c}$

$= \left(3.0 + 2.( - 1) - 4.( - 3);3.1 + 2.2 - 4.( - 2) \right) =(10;15)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm E

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho $B(5; - 4),C(3;7)$ . Tọa độ của điểm $E$ đối xứng với $C$ qua $B$ là
- A.
  $E(1;18)$ .
- B.
  $E(7;15)$ .
- C.
  $E(7; - 1)$ .
- D.
  $E(7; - 15)$ .
Ta có: $E$ đối xứng với $C$ qua $B \Rightarrow B$ là trung điểm đoạn thẳng $EC$

Do đó, ta có: $\left\{ \begin{matrix} 5 = \frac{x_{E} + 3}{2} \\ - 4 = \frac{y_{E} + 7}{2} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = 7 \\ y_{E} = - 15 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow E(7; - 15)$ .
Câu 9: Nhận biết
Chọn đẳng thức đúng

Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có

Đáp án “ $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ ”. Sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ .

Đáp án “ $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ ”. Sai do $\ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right) - \left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \right) = 2\overrightarrow{CD} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{CD}$ .

Đáp án “ $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ ”. Sai do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}$ .

Đáp án “ $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ ”. Đúng do $:$

$\ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$

$= 2\overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \right) = 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{BC}$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $A(1;2), B(-1;3), C(-2;1)$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng phương.
- B.
  $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
- C.
  $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ ngược hướng.
Biểu diễn các điểm trên hệ trục tọa độ như sau:
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {OA} = \left( {1,2} ight) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( { - 2 + 1,1 - 3} ight) = \left( { - 1, - 2} ight) = - 1.\left( {1,2} ight) = - 1.\overrightarrow {OA} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}$ cùng phương, ngược hướng.
Câu 11: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức P

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Tính $P = \overrightarrow{AC}.\left( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA} \right)$ ?
- A.
  $P = - 1$
- B.
  $P = 3a^{2}$
- C.
  $P = - 3a^{2}$
- D.
  $P = 2a^{2}$
Từ giả thiết suy ra $AC = a\sqrt{2}$

Ta có:

$P = \overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA} \right)$ $=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CA}$ $= -\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD} -{\overrightarrow{AC}}^{2}$

$= - CA.CD\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD} \right) - AC^{2}$ $= -a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} - \left( a\sqrt{2} \right)^{2} = -3a^{2}$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm điểm Q để MNPQ là hình bình hành

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ các điểm $M( - 3;1),N(1;4),P(5;3)$ . Xác định tọa độ điểm Q sao cho tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành?
- A.
  $Q( - 1;0)$
- B.
  $Q(1;0)$
- C.
  $Q(0; - 1)$
- D.
  $Q(0;1)$
Gọi tọa độ điểm $Q(x;y)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MQ} = (x + 3;y - 1) \\ \overrightarrow{NP} = (4; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Vì MNPQ là hình bình hành nên

$\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 = 4 \\ y - 1 = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm Q cần tìm là $Q(1;0)$ .
Câu 13: Nhận biết
Xác định hai vectơ cùng phương

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
- A.
  $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ .
- B.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ .
- C.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \sqrt{2}\overrightarrow{b}$ và $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$ .
- D.
  $- 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + 100\overrightarrow{b}$ .
Ta có:

$- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} \right)$

Vậy đáp án cần tìm là: ” $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ .”
Câu 14: Nhận biết
Chọn kết quả đúng

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a} = (2; - 5)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 5;2)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 20$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 10$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 10$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 20$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 5) + ( - 5).2 = - 20$
Câu 15: Thông hiểu
Xác định tọa độ vectơ

Cho $\overrightarrow{a} = ( - 4,\ \ 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3,\ \ - 2)$ . Tọa độ $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{c} = (1;\ \ - 3)$ .
- B.
  $\overrightarrow{c} = (2;5)$ .
- C.
  $\overrightarrow{c} = ( - 7; - 1)$ .
- D.
  $\overrightarrow{c} = ( - 10; - 3)$ .
Ta có: $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = \left( - 4 - 2.( - 3);1 - 2.(- 2) \right) = (2;5)$ .
Câu 16: Vận dụng
Có bao nhiêu điểm thỏa mãn

Cho $\overrightarrow{AB} eq \overrightarrow{0}$ và một điểm $C.$ Có bao nhiêu điểm $D$ thỏa mãn $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CD} ight|\ ?$
- A.
  $0.$
- B.
  $1.$
- C.
  $2.$
- D.
  Vô số.
Ta có $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CD} ight| \Leftrightarrow AB = CD$ . Suy ra tập hợp các điểm $D$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm $C,$ bán kính $AB$ .
Câu 17: Nhận biết
Tìm tọa độ của vectơ thỏa mãn

Cho $\overrightarrow{a} = (2; - 4),\ \overrightarrow{b} = ( - 5;3).$ Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.$
- A.
  $\overrightarrow{u} = (7; - 7).$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (9; - 11).$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (9; - 5).$
- D.
  $\overrightarrow{u} = ( - 1;5).$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 8) \\ - \overrightarrow{b} = (5; - 3) \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (4 + 5; - 8 - 3) = (9; - 11).$
Câu 18: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm $BC.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM}.$
Xét đáp án $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}.$ Ta có $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ (theo quy tắc ba điểm).

Chọn đáp án này.
Câu 19: Vận dụng
Tìm vectơ thỏa mãn

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = (4;1)$ . Tìm vectơ $\overrightarrow{d}$ biết $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{d} = 4$ và $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{d} = - 2$ .
- A.
  $\overrightarrow{d} = \left( \frac{5}{7};\frac{6}{7} ight).$
- B.
  $\overrightarrow{d} = \left( - \frac{5}{7};\frac{6}{7} ight).$
- C.
  $\overrightarrow{d} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{6}{7} ight).$
- D.
  $\overrightarrow{d} = \left( - \frac{5}{7}; - \frac{6}{7} ight).$
Gọi $\overrightarrow{d} = (x;y)$ .

Ta có: $\overrightarrow{d}.\overrightarrow{a} = 4 \Leftrightarrow - 2x + 3y = 4$ và $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{d} = - 2 \Leftrightarrow 4x + y = - 2$

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} - 2x + 3y = 4 \\ 4x + y = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \frac{5}{7} \\ y = \frac{6}{7} \\ \end{matrix} ight.$ nên $\overrightarrow d=\left(\mathbf{-}\frac{5}{7};\frac{6}{7}ight).$
Câu 20: Thông hiểu
Xác định câu đúng

Cho $3$ điểm $A$ , $B$ , $C$ không thẳng hàng, $M$ là điểm bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\forall M,\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$ .
- B.
  $\exists M,\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}$ .
- C.
  $\forall M,\overrightarrow{MA} \neq \overrightarrow{MB} \neq \overrightarrow{MC}$ .
- D.
  $\exists M,\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$ .
Ta có $3$ điểm $A$ , $B$ , $C$ không thẳng hàng, $M$ là điểm bất kỳ.

Suy ra $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$ không cùng phương $\Rightarrow \forall M,\overrightarrow{MA} \neq \overrightarrow{MB} \neq \overrightarrow{MC}$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Tính tổng x + y

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , $M$ là một điểm thay đổi trên $(O)$ . Gọi $x,y$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} ight|$ . Tính tổng $x;y$ .
- A.
  $a\sqrt{3}$
- B.
  $\frac{4a}{\sqrt{3}}$
- C.
  $\frac{a}{\sqrt{2}}$
- D.
  $2a\sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa

Dựng hình bình hành DBCA. Ta có:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} ight|$

$= \left| \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{MD} - \overrightarrow{DC} ight|$

$= \left| \overrightarrow{MD} ight| = MD$

Gọi E là giao điểm khác C của DC với (O). Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$\left\{ \begin{matrix} MD \geq DO - OM = DO - OE = DE \\ MD \leq DO + OM = DO + OE = DC \\ \end{matrix} ight.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng E và M trùng C.

Vậy $x + y = DE + DC$

$= DC - CE + DC$

$= 2DC - 2OC = 2.\frac{a\sqrt{3}}{2} - 2.\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$
Câu 22: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 23: Thông hiểu
Tính biểu thức vectơ

Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{BD}$
- C.
  $\overrightarrow{AC}$
- D.
  $\overrightarrow{DC}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AD} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight) - \left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 24: Vận dụng
Phân tích một vectơ theo hai vectơ khác

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = (2;1),\overrightarrow{\ b} = (3;4),\ \overrightarrow{c} = (7;2)$ . Cho biết $\overrightarrow{c} = m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}$ . Khi đó
- A.
  $m = - \frac{22}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- B.
  $m = \frac{1}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- C.
  $m = \frac{22}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- D.
  $m = \frac{22}{5};n = \frac{3}{5}$ .
Ta có: $\overrightarrow{c} =m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7 = 2m + 3n \\2 = m + 4n \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \frac{22}{5} \ = - \frac{3}{5} \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 25: Thông hiểu
Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?
- A.
  $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ .
- B.
  $\overrightarrow{u} = \frac{3}{5}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ .
- C.
  $\overrightarrow{u} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - 9\overrightarrow{b}$ .
- D.
  $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .
Ta có $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} = - \frac{1}{6}\left( 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b} ight) = - \frac{1}{6}\overrightarrow{u}$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là cùng phương.

Chọn đáp án $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .
Câu 26: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là đúng?

Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} = ( - 5;0),\ \overrightarrow{b} = ( - 4;0)$ cùng hướng.
- B.
  $\overrightarrow{c} = (7;3)$ là vectơ đối của $\overrightarrow{d} = ( - 7;3).$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (4;2),\ \overrightarrow{v} = (8;3)$ cùng phương.
- D.
  $\overrightarrow{a} = (6;3),\ \overrightarrow{b} = (2;1)$ ngược hướng.
Ta có $\overrightarrow{a} = \frac{5}{4}\overrightarrow{b}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ cùng hướng.
Câu 27: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là $- 10$ .
- B.
  Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $\sqrt{5}$ .
- C.
  Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $5$ .
- D.
  Góc giữa hai vectơ là $90^{0}$ .
Ta có $\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{5}$ nên “Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $\sqrt{5}$ » đúng.

$\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2}} = 5$ nên “Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $5$ » đúng.

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 3) + ( - 1).4 = - 10 \neq 0$ nên “Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là $- 10$ » đúng, “Góc giữa hai vectơ là $90^{o}$ » sai.
Câu 28: Nhận biết
Xác định vectơ đối

Cho hình bình hành $ABCD$ . Các vectơ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{AD}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{CB}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}$ .
Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{AD}$ là $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{CB}$ .
Câu 29: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất biểu thức

Cho tam giác ABC đều cạnh $a$ . Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với $BC$ , lấy điểm $M \in \Delta$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $\left| \overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{MB} ight|$ khi $M$ di động trên $\Delta$ .
- A.
  $\frac{a}{2}$
- B.
  $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\frac{a\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Kẻ hình bình hành ACBD. Gọi I là trung điểm BD, khi đó, ta có

Ta có:

$\left| \overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{CA} + 2\left( \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IM} ight) ight|$

$= \left| \overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{IB} - 2\overrightarrow{IM} ight| = \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DB} - 2\overrightarrow{IM} ight|$

$= \left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CA} - 2\overrightarrow{IM} ight|$

$= 2\left| \overrightarrow{IM} ight| \geq 2IH = 2.\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng với điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng $\Delta$ .
Câu 30: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho $ABC$ là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ .
- C.
  $\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} \right)$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ .
Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$ : Do $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =AB.AC.\cos60^{o} \neq 0$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ : $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} > 0 \\- \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} < 0\end{matrix} \right\}$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \neq -\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ nên loại.

Phương án $\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} \right)$ : Do $\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} \right)$ không cùng phương nên loại.

Phương án $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ : $AB = AC = BC = a$ , $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = \frac{a^{2}}{2}$ nên chọn.
Câu 31: Nhận biết
Tìm phương án thích hợp

Cho $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}\ \ \neq \overrightarrow{0}$ , $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}\$ đối nhau. Mệnh đề dưới đây sai là:
- A.
  $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}\$ ngược hướng.
- B.
  $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}\$ cùng độ dài.
- C.
  $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}\$ cùng hướng.
- D.
  $\overrightarrow{a}\ \ + \ \ \overrightarrow{b}\ = \overrightarrow{0}$ .
Ta có: $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}\$ đối nhau nên chúng có cùng độ dài, ngược hướng và có tổng bằng $\overrightarrow{0}$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tính tổng vectơ

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$
- A.
  3
- B.
  4
- C.
  5
- D.
  6.
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight| = \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC$
Tam giác ABC vuông tại A ta có:
$\begin{matrix} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \hfill \\ \Rightarrow AC = 4 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC = 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ .
- A.
  $OA = OB$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BO}$ .
- D.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}$ .
Điểm $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ khi và chỉ khi $OA = OB;\ \ \ \overrightarrow{OA}$ và ngược hướng.

Vậy $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 34: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$ .

a) $\overrightarrow{ND} = \overrightarrow{BA}$ . Sai||Đúng

b) $DO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Đúng||Sai

c) $\left| \overrightarrow{MD} \right| = MD = \frac{a\sqrt{5}}{2}$ . Đúng||Sai

d) $\left| \overrightarrow{MN} \right| = MN = \frac{a\sqrt{15}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$ .

a) $\overrightarrow{ND} = \overrightarrow{BA}$ . Sai||Đúng

b) $DO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Đúng||Sai

c) $\left| \overrightarrow{MD} \right| = MD = \frac{a\sqrt{5}}{2}$ . Đúng||Sai

d) $\left| \overrightarrow{MN} \right| = MN = \frac{a\sqrt{15}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Sai

$\overrightarrow{ND} = \overrightarrow{AB}$

b) Đúng

$DO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

c) Đúng

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $MAD$ ta có

$DM^{2} = AM^{2} + AD^{2} = \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + a^{2} = \frac{5a^{2}}{4}$

$\Rightarrow DM = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $\left| \overrightarrow{MD} \right| = MD = \frac{a\sqrt{5}}{2}$ .

d) Sai

Qua N kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt $AB$ tại $P$ .

Khi đó tứ giác $ADNP$ là hình vuông và $PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$ .

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $NPM$ ta có

$MN^{2} = NP^{2} + PM^{2}$ $= a^{2} + \left( \frac{3a}{2} \right)^{2} = \frac{13a^{2}}{4}$

$\Rightarrow DM = \frac{a\sqrt{13}}{2}$

Suy ra $\left| \overrightarrow{MN} \right| = MN = \frac{a\sqrt{13}}{2}$ .
Câu 35: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Vectơ là một đoạn thẳng:
- A.
  Có hướng.
- B.
  Có hướng dương, hướng âm.
- C.
  Có hai đầu mút.
- D.
  Thỏa cả ba tính chất trên.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Câu 36: Thông hiểu
Tính tổng tọa độ vectơ

Cho 6 điểm $A,B,C,D,E,F$ . Tổng vectơ: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{DB}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DF}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EB}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DF}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF}$

$= \left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} \right) + \left( \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FD} \right) + \left( \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} \right)$

$= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EB}$ .
Câu 37: Thông hiểu
Chọn đẳng thức đúng

Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$ và đường cao $AH$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH}.$
- B.
  $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
Hình vẽ minh họa

Do $\Delta ABC$ cân tại $A$ , $AH$ là đường cao nên $H$ là trung điểm $BC$ .

Xét các đáp án:

Đáp án $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH}.$ Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AH}.$

Đáp án $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}.$ Ta có $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{HA} \neq \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}.$ Ta có $\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$ ( $H$ là trung điểm $BC$ ).

Đáp án $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$ Do $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng hướng nên $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AC}.$
Câu 38: Thông hiểu
Tìm cặp vectơ cùng hướng

Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\ \ AC$ của tam giác đều $ABC$ . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
- A.
  $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{CB}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}.$
- C.
  $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}.$
Cặp vectơ nào sau đây cùng hướng là: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}.$
Câu 39: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Cho tam giác $ABC,$ điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $3\ AM = AB$ và $N$ là trung điểm của $AC.$ Tính $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $2\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}.$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = 2\ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.$

Suy ra $\overrightarrow{MN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Câu 40: Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ \ \ I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}.$ Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}.$ Suy ra $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} ight) = \overrightarrow{0}.$

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

Chưa làm Đã làm

Tìm bài trong mục này

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Vectơ Kết nối tri thức

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!