Luyện tập Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất (Trung bình)

Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là .

Gọi là biến cố: “ Thí sinh đó được 6 điểm”

Tìm : Để được 6 điểm, thí sinh đó phải làm đúng 30 câu và làm sai 20 câu.

Công đoạn 1: Chọn 30 câu từ 50 câu để làm câu đúng. Có cách.

Công đoạn 2: Chọn phương án đúng của mỗi câu từ 30 câu đã chọn. Có cách.

Công đoạn 3: Chọn một phương án sai trong ba phương án sai của mỗi câu từ 20 còn lại. Có cách.

Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố là .

Vậy xác suất để học sinh đó được 6 điểm là:.

Số phần tử không gian mẫu là: .

Gọi là biến cố “Có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì”.

Ta xét các trường hợp sau:

Nếu lá thứ nhất bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.

Nếu lá thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.

Nếu lá thứ ba bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.

Không thể có trường hợp hai lá thư bỏ đúng và một lá thư bỏ sai.

Cả ba lá thư đều được bỏ đúng có duy nhất cách.

.

Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: .

Cách 2:

Gọi là biến cố “Không có lá thư nào được bỏ đúng phong bì”.

.

Số phần tử của không gian mẫu .

Gọi là biến cố “ đoàn viên được chọn có nam và nữ”.

Số phần tử của là .

Vậy xác xuất của biến cố là: .

Số phần tử của không gian mẫu là: .

Gọi là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của ”.

Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau:

Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có cách.

Bước 2: Chọn đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia chiếc kẹo cho đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất cái, có cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần.

Số phần tử của biến cố là: .

Xác suất của biến cố là: .

Số phần tử không gian mẫu là .

Giả sử tam giác cần lập là vuông tại .

Chọn đỉnh của tam giác có cách.

Để tam giác vuông tại thì cung có số đo là , hay là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đó có cách chọn .

Gọi là biến cố " đỉnh được chọn là đỉnh của một tam giác vuông"

Số phần tử của là .

Xác suất cần tìm là .

Để có một ô hình chữ nhật ta cần chọn 2 đường dọc trong tổng số 101 đường dọc, và hai đường ngang trong tổng số 101 đường ngang. Vậy có tất cả: ô hình chữ nhật.

Ta gọi phần mặt phẳng nằm giữa hai đường dọc hoặc hai đường ngang là một dải.

Một hình vuông bất kì chính là giao của hai dải có cùng độ rộng (một dải dọc, một dải ngang)

Số dải có độ rộng là:

Vậy có tất cả: hình vuông.

Xác suất cần tìm là:

Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi là biến cố lấy ít nhất 1 bi xanh.

Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ, có (cách).

Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ, có (cách).

Suy ra .

Xác suất cần tìm là .

Ta có: Số phần tử của không gian mẫu .

Gọi là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ là bi xanh”.

- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có cách chọn.

- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có cách chọn.

.

Vậy .

Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi là biến cố Xuân là một trong ba người được chọn.

Có cách chọn Xuân trong nhóm 15 người.

Có cách chọn 2 người trong 14 người còn lại.

Suy ra .

Xác suất cần tìm là .

Ta có số phần từ của không gian mẫu là .

Gọi : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".

Khi đó .

Vậy xác suất cần tính là .

Chọn 5 câu trong tổng số 30 câu nên ta có không gian mẫu .

Gọi A là biến cố “Lấy ra được một đề thi “Tốt””.

TH1: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 1 câu dễ, 2 câu trung bình (cách).

TH2: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 2 câu dễ, 1 câu trung bình (cách).

TH3: 5 câu lấy ra có 3 câu khó, 1 câu dễ, 1 câu trung bình (cách).

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: .

Xác suất của biến cố A là: .

Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi là biến cố lấy được đúng 1 bi đỏ.

Chọn 1 bi đỏ, 1 bi xanh, 1 bi vàng, có (cách).

Chọn 1 bi đỏ, 2 bi xanh, có (cách).

Chọn 1 bi đỏ,2 bi vàng, có (cách).

Suy ra .

Xác suất cần tìm là .

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm ” .

Gọi A là biến cố:” 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”

Đa giác có 20 đỉnh sẽ có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo qua tâm sẽ có 1 hình chữ nhật nên số HCN là:

.

Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là .

Số cách lấy được 3 quyển lý là .

Số cách lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa là .

Số cách lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa là .

Số cách lấy 3 quyển sách mà không có sách toán là .

Suy ra số cách lấy 3 quyển sách mà có ít nhất 1 quyển sách toán là 74 cách.

Suy ra xác suất cần tìm là .

Tại mọi ô đang đứng, ông vua có khả năng lựa chọn để bước sang ô bên cạnh.

Do đó không gian mẫu .

Gọi là biến cố “sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát”. Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giá

Chia hai trường hợp:

+ Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.

+ Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.

Do số phần tử của biến cố A là .

Vậy xác suất .

Chọn ngẫu nhiên người trong người có cách chọn.

Hai người được chọn đều là nữ có cách.

Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là: .

Số phần tử không gian mẫu là .

Gọi là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.

là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.

+ Bộ ba số dạng , với : có bộ ba số.

+ Bộ ba số có dạng , với : có bộ ba số.

+ Tương tự mỗi bộ ba số dạng , , , , , , đều có bộ.

.

.

* Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đã cho có cách.

Suy ra .

* Gọi là biến cố "lấy được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác".

Các trường hợp ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác là:

(thỏa mãn: hiệu hai cạnh bé hơn cạnh còn lại, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).

Do đó Vậy sác xuất cần tìm là .