Đề kiểm tra 45 phút Chương 8 Đại số tổ hợp

Từ 9 chữ số có thể lập được các số nếu như không có chữ số nào được lặp lại ta hiểu đó là số có 9 chữ số khác nhau.

Do đó sẽ có 9! số thỏa mãn.

Để tìm số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau ta đi tìm các số mà 1 và 7 đứng cạnh nhau.

Coi 1 và 7 là 1 số thì ta sẽ có và .

Đưa được về bài toán tìm số có 8 chữ số khác nhau.

Do đó số các số tìm được là 8! số.

Do 1 và 7 có 2 vị trí nên ta có 2.8! số.

Vậy số có 9 chữ số khác nhau không có 1 và 7 đứng cạnh là: số.

Ta có: .

Hệ số của số hạng chứa là: .

Giả thiết suy ra

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:

Do số cần tìm chia hết cho 5 => => e có 2 cách chọn.

a có 9 cách chọn

b, c, d có 10 cách chọn

=> Số các số tạo thành là: 2.9.10.10.10 = 18 000 số.

Vì chữ số đứng đầu chẵn nên có cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên có 4 cách chọn. Các số còn lại có cách chọn

Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.

+) Xếp bạn vào chỗ ngồi có cách.

+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có cách. Xem An và Dũng là phần tử cùng với bạn còn lại là phần tử xếp vào chỗ. Suy ra số cách xếp bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau là. cách.

Vậy số cách xếp bạn vào ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là.

.

 Gọi số cần lập có dạng: .

D: có 5 cách chọn (1,3,5,7)

A: có 8 cách chọn (khác D và khác 0)

B: có 8 cách chọn (khác D và khác 0)

C: có 7 cách chọn (khác A,B,D)

Vậy có 5.8.8.7 = 2240 (số) có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ.

Ta có

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là .

Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là tổ hợp chập 3 của 7 phần từ.

=> Số tập hợp con là:  tập hợp

Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. . Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.

Số cách xếp tất cả là. .

Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là: , khi đó:

có cách chọn

có cách chọn

có cách chọn

Vậy có: số.

Ta có:

Ta có:

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số

Do và nên

TH1:

Chọn ba số trong dãy xếp vào ba vị trí ta có: cách.

=> Trong trường hợp này có số được tạo thành.

TH2:

=> Trong trường hợp này có số được tạo thành.

Vậy có tất cả 210 + 5 = 215 số được tạo thành thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn 4 Toán, 2 Văn, 2 Lí có cách.

Chọn 4 Toán, 1 Văn, 3 Lí có cách.

Chọn 5 Toán, 2 Văn, 1 Lí có cách.

Chọn 5 Toán, 1 Văn, 2 Lí có cách.

Chọn 6 Toán, 1 Văn, 1 Lí có cách.

Tổng lại ta được 181440 cách thỏa mãn.

Điều kiện xác định:

Ta có:

Vật tổng các nghiệm phương trình là:

Ta có .

Hệ số của bằng

.

Vậy .

Có thể lập được số nguyên dương n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau.

Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.

Vậy có số cần tìm.

 Chọn 3 học sinh từ 34 học sinh rồi xếp vào 3 vai trò lớp trưởng, lớp phó, bí thư có cách.

Điều kiện và .

(Vì ).

Khi đó ta có khai triển: .

Số hạng tổng quát của khai triển là .

Hệ số của số hạng chứa ứng với thỏa mãn: .

Vậy hệ số của số hạng chứa là: .

Điều kiện:

Số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A là tổ hợp chập 3 của n phần tử 

=> Số tam giác là: (tam giác)

Số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A là tổ hợp chập n phần tử

=> Số đoạn thẳng là:

Theo bài ra ta có: 

Số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A.

Vậy n = 8.

Áp dụng quy tắc cộng ta có số khả năng xảy ra là: 5 + 4 = 9 khả năng.

Để chọn được một học sinh đi dự ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Học sinh ở lớp 11A: có 31 cách

Trường hợp 2: Học sinh ở lớp 12B: có 22 cách

Vậy có cách.

Số hạng tổng quát của khái triển

Số của số hạng chứa : . Hệ số của số hạng chứa .

Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng .

Trường hợp 1: C bằng 0. Suy ra có 1 cách chọn.

Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.

Vị trí B: có 10 cách chọn.

Suy ra có: 1.9.10 = 90 (số).

Trường hợp 2: C khác 0. Suy ra C có 4 cách chọn (2, 4, 6, 8).

Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.

Ví trí B: Có 10 cách chọn.

Suy ra có: 4.9.10 = 360 (số).

Vậy, áp dụng quy tắc cộng, có 90 + 360 = 450 (số).

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là cách.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: .

Mỗi chữ số có 6 cách chọn.

Mà số cần lập gồm 4 chữ số nên theo quy tắc nhân có thể lập được số.

Chọn hai chữ cái cho phần đầu có (mỗi chữ số có 26 cách chọn)

Còn 4 chữ số cho phần đuôi có (mỗi chữ số có 10 cách chọn)

Vậy có thể tạo được

Từ giả thiết ta suy ra .

Mặt khác: nên ta có:

Suy ra: .

Số hạng tổng quát trong khai triển là: .

Hệ số của là với thỏa mãn: .

Vậy hệ số của là .

Để tạo ra một tam giác ta lấy 3 điểm không thẳng hàng

Ta xét cách lấy ba điểm thẳng hàng thì có 3 trường hợp là: 3 điểm thuộc đoạn AB, 3 điểm thuộc đoạn AC, điểm thuộc đoạn BC. Trên mỗi đoạn thẳng có 11 điểm nên số cách lấy 3 điểm trên mỗi đoạn là:

Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 30 điểm là:

Vậy số tam giác được tạo ra từ 30 điểm đã cho là: tam giác.

 Điều kiện: .

Thay vào phương trình, ta được (đúng). Do đó là nghiệm của phương trình.

 Ta có: .

Hệ số của là 10.

Số hạng tổng quát là: .

Số hạng chứa trong khai triển là: nên hệ số là 45.

Ta có:

Hệ số của x³ trong khai triển là:

=> Hệ số của trong khai triển bằng: 3 + 10 = 13

Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.

Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là : .

Vậy tổng các số có 5 chữ số là : .

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm là

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm

Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là

Theo giả thiết ta có:

Vậy .

Ta có:

 Điều kiện: .

Ta có:

Vậy .

Trên kệ có tất cả 14 quyển sách khác nhau, số cách sắp xếp 14 quyển sách đó là 14!.

Ta có: