Đề kiểm tra 45 phút Chương 8 Đại số tổ hợp

Gọi số cần tìm có dạng . Vì chia hết cho 10 suy ra .

TH1. Với , ta có

+ Nếu suy ra , do đó có 2 số cần tìm.

+ Nếu suy ra và , do đó có 14 số cần tìm.

TH2. Với suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn

C.

Suy ra có số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.

Gọi số cần tìm có dạng: .

Chọn : có 1 cách

Chọn : có 9 cách

Chọn : có cách

Theo quy tắc nhân, có (số).

Điều kiện:

Ta có:

Vậy kết luận đúng là: n là số nguyên tố.

Ta có .

Nên .

Số hạng tổng quát của khai triển là: .

Khi thì số hạng không chứa là .

Gọi số cần tìm là

Trường hợp 1: a = 1.

Chọn b: 7 cách.

Chọn c: 6 cách.

Chọn d: 5 cách.

Chọn e: 4 cách.

⇒ Theo Quy tắc nhân có: 7.6.5.4 840 = số.

Trường hợp 2: b =1.

Chọn a: 6 cách.

Chọn c: 6 cách.

Chọn d: 5 cách.

Chọn e: 4 cách.

⇒ Theo quy tắc nhân có: 6.6.5.4 720 = số.

Trường hợp 3: c =1.

Chọn a: 6 cách.

Chọn b: 6 cách.

Chọn d: 5 cách.

Chọn e: 4 cách.

⇒ Theo quy tắc nhân có: số.

⇒ Theo quy tắc cộng có tất cả số

Mỗi cách phân công bạn An, Bình, Công vào chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của phần tử. Vậy có cách.

Số cách chọn một quyển sách là 8 cách.

Số cách chọn một cái bút là 10 cách. 

=> Bạn học sinh có số cách chọn 1 quyển sách và 1 chiếc bút là 8 . 10 = 80 cách. 

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy một chiếc bút là:

cách.

Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là tổ hợp chập 3 của 7 phần từ.

=> Số tập hợp con là:  tập hợp

+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là.

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. .

Vậy số cách lập cần tìm là. .

Ta có:

Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.

Từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn đường.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6 = 24 (cách).

Gọi số cần lập có dạng

Bước 1: Xếp chữ số 0 vào trong 5 vị trí từ đến , có 5 cách xếp.

Bước 2: Xếp chữ số 1 vào trong 5 vị trí còn lại (bỏ 1 vị trí chữ số 0 đã chọn), có 5 cách xếp.

Bước 3: Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} để xếp vào 4 vị trí còn lại, có 8.7.6.5 cách.

⇒ Theo quy tắc nhân có số thỏa yêu cầu.

Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng với , , sao cho nên , , . Suy ra số các số có dạng là .

Ta có:

Cho ta được:

Vậy tổng hệ số trong khai triển đã cho bằng -1.

Cách 1: Số có chữ số là từ đến nên có số.

Cách 2:

Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là: , khi đó:

có cách chọn

có cách chọn

có cách chọn

Vậy có: số.

Số cách lập số tự nhiên có chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của phần tử, do đó có .

Trong 6 chữ số đã cho không có chữ số 0, số có 3 chữ số không yêu cầu khác nhau nên mỗi chữ số đều có 6 cách chọn, do đó số các số thỏa mãn 6³ = 216.

Chọn 3 nam trong 10 nam có cách.

Chọn 3 nữ trong 6 nữ có cách.

Ghép 3 nam và 3 nữ để thành 3 cặp có 3! cách.

Theo quy tắc nhân có: cách chọn.

 Ta có: .

Số hạng cần tìm là: .

Ta có:

(vì là số nguyên dương).

Số hạng tổng quát trong khai triển là: .

Cho .

Vậy số hạng chứa trong khai triển là .

Chọn có: 9 cách.

Chọn có: 9 cách.

Chọn có: 1 cách.

Theo quy tắc nhân có: số.

Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là học sinh.

Số cách chọn học sinh bất kì trong học sinh là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là. cách.

Vậy có cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Số hạng chứa trong khai triển là

Số hạng chứa trong khai triển là

Số hạng chứa trong khai triển là

Do đó tổng các số hạng chứa trong khai triển đã cho là:

Vậy hệ số cần tìm là .

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:

Số hạng không chứa x khi và chỉ khi

Vậy số hạng không chứa x là: .

Đa giác đều có 2020 đỉnh có 1010 đường chéo qua tâm, cứ hai đường chéo qua tâm cho ta một hình chữ nhật. Vậy số cách chọn ra 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật là .

 Ta có: .

Xét khai triển

Đạo hàm hai vế của ta được:

Trong công thức ta cho ta được:

.

Khi đó, .

Do đó số hạng không chứa trong khai triển nếu hay .

Suy ra số hạng cần tìm là .

 Gọi số cần lập có dạng .

A: có 4 cách chọn.

B: có 4 cách chọn.

C: có 4 cách chọn.

Vậy có 4.4.4 = 64 (số) tự nhiên có 3 chữ số.

 Điều kiện: .

Ta có:

Vậy .

Ta có:

Để xếp 8 học sinh đã cho thành hàng dọc sao cho các học sinh nam đứng liền nhau ta coi 5 nam là một đối tượng, đối tượng này cộng với 3 học sinh nữ thành 4 đối tượng xếp thành hàng dọc; ta thực hiện hai bước:

Bước 1: Xếp vị trí cho 4 đối tượng có 4! cách

Bước 2: Xếp chỗ cho 5 nam vào 5 vị trí có 5! cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: cách.

 Khai triển bậc (n-5) có 6 số hạng. Suy ra (n-5) = 5. Vậy n = 10.

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức .

.

chứa .

Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức bằng: .

Công thức số hạng thứ của khai triển là:

.

Số hạng không chứa ứng với (thỏa mãn).

Suy ra .

Số cách sắp xếp học sinh thành một hàng dọc là .

Giả sử số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .

- Chọn a có 4 cách: a ∈ {2;4;6;8}.

- Chọn b có 5 cách: b ∈ {0;2;4;6;8}.

Vậy có tất cả: 4.5 = 20 số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn.

Chọn được 1 viên bi trắng + 1 viên bi xanh ta có: 5.7 = 35 cách chọn.

Chọn được 1 viên bi trắng + 1 viên bi vàng ta có: 5.9 = 45 cách chọn.

Chọn được 1 viên bi xanh + 1 viên bi vàng ta có: 7.9 = 63 cách chọn.

Vậy số cách chọn được hai viên bi khác màu là 35 + 45 + 63 = 143 cách chọn.

Vì chia hết cho 5 nên chỉ có thể là 5 có 1 cách chọn d.

Có 6 cách , 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.

Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.

Trường hợp 1: An và Bình không có mặt trong tổ công tác:

Chọn 6 bạn trong 12 bạn (14 người loại An và Bình) có cách.

Trường hợp 2: An có trong tổ công tác, Bình không có trong tổ công tác:

Chọn An có 1 cách, Chọn 5 bạn trong 12 người còn lại có cách

Trường hợp 3: Bình có trong tổ công tác, An không có trong tổ công tác có cách.

Trong 1 tổ 6 người có 6 cách chọn ra 1 tổ trưởng

Như vậy có tất cả số cách là: cách