Dấu của tam thức bậc hai
- Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng
\(f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0)\), \(a,b,c\) được gọi là các hệ số. - Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(a{{x}^{2}}+bx+c\).
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0)\). Ta có:
- Nếu \(\Delta <0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\).
- Nếu \(\Delta =0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\ne -\frac{b}{2a}\) và \(f\left( -\frac{b}{2a} \right)=0\).
- Nếu \(\Delta >0\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}}({{x}_{1}}<{{x}_{2}})\). Khi đó: \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right)\); \(f(x)\) trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right).\)
(Trong định lý trên, có thể thay \(\Delta\) bằng \(\Delta '\)).
Ví dụ:
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a. \({{x}^{2}}+x+2\);
b. \(2{{x}^{2}}+x-3\).
Hướng dẫn giải
a. \(f(x)={{x}^{2}}+x+2\) có \(\Delta =-7<0\) và \(a=1>0\) nên \(f(x)>0\,\,\forall x\in R\).
b. \(g(x)=2{{x}^{2}}+x-3\) có \(\Delta =25>0, a=2>0\). \(g(x)\) có hai nghiệm phân biệt \({x}_{1}=1,{x}_{2}=-\frac{3}{2}\).
Bảng xét dấu:
Suy ra \(g(x)>0\,\,\forall x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)\cup \left( \frac{3}{2};+\infty \right)\) và \(g(x)<0\,\,\forall x\in \left( -\frac{3}{2};1 \right).\)
2. Bất phương trình bậc hai
Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình có một trong các dạng sau:
\(a{x^2} + bx + c > 0{\mkern 1mu} {\rm{ }};{\mkern 1mu} a{x^2} + bx + c \ge 0{\mkern 1mu} ;\)\({\mkern 1mu} a{x^2} + bx + c < 0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} a{x^2} + bx + c \le 0\) với \(a\neq0\).
- Nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn là các giá trị \(x\) mà khi thay vào bất phương trình thì ta được bất đẳng thức đúng.
- Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình.
Nhận xét:
- Để giải bất phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c>0\,\)(tương tự với các bất phương trình còn lại) thì ta cần xét dấu của tam thức \(a{{x}^{2}}+bx+c\), từ đó suy ra tập nghiệm.
- Cho tam thức bậc hai \(f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\) \((a\neq0)\). Đặt \(\Delta = {b^2} - 4ac\), khi đó:
- \(f(x) \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta \le 0}\\
{a > 0}
\end{array}} \right.\); \(f(x) > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta < 0}\\
{a > 0}
\end{array}} \right.\).
- \(f(x) \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta \le 0}\\
{a < 0}
\end{array}} \right.\); \(f(x) < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta < 0}\\
{a < 0}
\end{array}} \right.\).
Ví dụ 1: Giải bất phương trình \(6{{x}^{2}}+7x-5>0\).
Xét \(f(x)=6{{x}^{2}}+7x-5\). Ta có: \(\Delta =169>0\) và \(a=6>0\). \(f(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=-\frac{5}{3}\) và \({{x}_{2}}=\frac{1}{2}\).
Bảng xét dấu:
Suy ra bất phương trình \(6{{x}^{2}}+7x-5>0\) có nghiệm khi \(x\in \left( -\infty ;-\frac{5}{3} \right)\cup \left( \frac{1}{2};+\infty \right)\).
Ví dụ 2: Tìm \(m\) để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\): \(2{{x}^{2}}+(m-2)x+4-m\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(f(x)=2{{x}^{2}}+(m-2)x+4-m\).
Ta có:\(f(x)>0\) \(\forall x\in R\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta <0 \\a>0 \\\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{(m-2)}^{2}}-4.2.(4-m)<0 \\2>0 \\\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow {(m - 2)^2} - 8(4 - m) < 0\)\(\Leftrightarrow {m^2} + 4m - 28 < 0\)\(\Leftrightarrow - 2 - 4\sqrt 2 < m < - 2 + 4\sqrt 2\)
Vậy để tam thức bậc hai dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì \(- 2 - 4\sqrt 2 < m < - 2 + 4\sqrt 2\).
