Tích vô hướng của hai vectơ
- Cho hai vectơ
\(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) khác \(\overrightarrow 0\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u;\overrightarrow {AC}=\overrightarrow v .\) - Khi đó, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) chính là góc \(\widehat {BAC}\).
- Kí hiệu: \((\overrightarrow u;\overrightarrow v)=\widehat {BAC} .\)
Chú ý:
- Nếu \((\overrightarrow u;\overrightarrow v)=90^{\circ}\) thì ta nói hai vectơ này vuông góc với nhau. Kí hiệu: \(\overrightarrow u\perp \overrightarrow v .\)
- Vectơ \(\overrightarrow 0\) vuông góc với mọi vectơ.
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow u.\overrightarrow v\), được xác định bởi công thức:
\(\overrightarrow u.\overrightarrow v=|\overrightarrow u|.|\overrightarrow v|.\cos (\overrightarrow u;\overrightarrow v)\)
Chú ý:
- \(\overrightarrow u\perp \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow u.\overrightarrow v=0 .\)
- \(\overrightarrow u.\overrightarrow u\) còn được viết là \(\overrightarrow {u}^2\), còn gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow u\). Ta có: \(\overrightarrow u^2=|\overrightarrow u|^2 .\)
3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u =(x;y)\) và \(\overrightarrow v =(x';y')\) được tính theo công thức:
\(\overrightarrow u.\overrightarrow v=x.x'+y.y'\)
Nhận xét:
- Ta có: \(\overrightarrow u\perp \overrightarrow v\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u.\overrightarrow v=x.x'+y.y'=0 .\)
- Bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow u(x;y)\) là \(\overrightarrow u^2=x^2+y^2 .\)
- \(\cos(\overrightarrow u;\overrightarrow v)=\frac{\overrightarrow u.\overrightarrow v}{|\overrightarrow u|.|\overrightarrow v|}\)\(=\frac{x.x'+y.y'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}} .\)
Tính chất của tích vô hướng:
Với ba vectơ \(\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w\) và mọi số thực \(k\), ta có:
- \(\overrightarrow u.\overrightarrow v=\overrightarrow v.\overrightarrow u\)
- \(\overrightarrow u(\overrightarrow v+\overrightarrow w)=\overrightarrow u.\overrightarrow v+\overrightarrow u.\overrightarrow w\)
- \((k\overrightarrow u).\overrightarrow v=k(\overrightarrow u.\overrightarrow v)=\overrightarrow u.(k\overrightarrow v)\)
Ví dụ 1: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(1\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}\) và \(\overrightarrow {AB}. \overrightarrow {BC}\).
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC}\) là góc \(\widehat {BAC}=60^{\circ}\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=AB.AC.\cos A =1.1.\cos 60^{\circ} =\frac12 .\)
Nhận xét: Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BC}\) là góc \(120^{\circ}\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB}. \overrightarrow {BC}=AB.BC.\cos 120^{\circ} =-\frac12 .\)
Ví dụ 2: Cho ba vectơ \(\overrightarrow u(1;2);\overrightarrow v(-3;4);\overrightarrow w(0;1) .\)
a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u.\overrightarrow v\);
b) Tính \(\overrightarrow u(\overrightarrow v+\overrightarrow w) .\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow u.\overrightarrow v=1.2-3.4=-10 .\)
b) Ta có: \(\overrightarrow v+\overrightarrow w=(-3+0;4+1)=(-3;5)\).
Ta có: \(\overrightarrow u(\overrightarrow v+\overrightarrow w) =1.(-3)+2.5=7 .\)
Ví dụ 3: Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u(2;-3)\) và \(\overrightarrow v(5;3)\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\cos(\overrightarrow u;\overrightarrow v)= \frac{x.x'+y.y'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}}\)\(=\frac{2.5-3.3}{\sqrt{2^2+(-3)^2}.\sqrt{5^2+3^2}} =\frac1{\sqrt{442}} .\)
Do đó \((\overrightarrow u;\overrightarrow v)\approx 87,27^{\circ} .\)
Ví dụ 4: Cho ba điểm \(A(1;1);B(0;2);C(2;2)\). Chứng minh ba điểm này lập thành một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB}=(-1;1);\overrightarrow {AC}=(1;1) .\)
Xét tích vô hướng \(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=-1.1+1.1=0 .\)Suy ra \(AB\perp AC\).
Vậy ba điểm \(A,B,C\) lập thành một tam giác vuông.
