Luyện tập Dấu của tam thức bậc hai (Trung bình)

ĐKXĐ: x² + 2(1−m)x + 2m² + 3 > 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² + 2(1−m)x + 2m² + 3

Ta có

(Vì tam thức bậc hai f(m) =  − m² − 2m − 2 có a_m =  − 1 < 0,  Δ′_m =  − 1 < 0 )

Suy ra với mọi m ta có x² + 2(1−m)x + 2m² + 3 > 0,  ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

ĐKXĐ:

+) Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² − 2(m+1)x + m² + 1

Ta có a_f = 2 > 0,  Δ_f′ = ... =  − (m−1)² ≤ 0

Suy ra với mọi m ta có f(x) = 2x² − 2(m+1)x + m² + 1 ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ(1)

+) Xét tam thức bậc hai g(x) = m²x² − 2mx + m² + 2

Với m = 0 ta có g(x) = 2 > 0, xét với m ≠ 0 ta có:

a_g = m² > 0,  Δ_g′ =  − m²(m²+1) < 0.

Suy ra với mọi m ta có g(x) = m²x² − 2mx + m² + 2 > 0,  ∀x ∈ ℝ (2)

Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì và m²x² − 2mx + m² + 2 ≠ 0 đúng với mọi giá trị của x.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Yêu cầu bài toán

.

Bất phương trình

Vì x² ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ nên bất phương trình

Phương trình và

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−3 ; −2) ∪ [ − 1 ; 1].

Kết hợp với x ∈ ℤ ta được x = {−1 ; 0 ; 1}.

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm.

Ta có:x² − 2(m−1)x + m² − 2m = 0

 ⇔ x² − 2mx + m² + 2x − 2m = 0

Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu (1)

Với m ∈ (0 ; 2) suy ra .

Theo bài ra, ta có |x₂| > |x₁| ⇔ |x₂|² > |x₁|² ⇔ x₂² − x₁² > 0

 ⇔ (x₂−x₁)(x₂+x₁) > 0

 ⇔ (m−2−m)(m−2+m) > 0 ⇔ m < 1

Kết hợp điều kiện (1), ta được 0 < m < 1.

Đặt f(x) = x² − (m−1)x + m + 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi:

Theo Viet, ta có .

Yêu cầu bài toán

.

Kết hợp điều kiện ta được m ∈ (−∞;−2) ∪ (−2;−1).

Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 − 3x − x² > 0.

Phương trình

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 4 − 3x − x² > 0 ⇔ x ∈ (− 4; 1).

Vậy tập xác định của hàm số là D = (− 4;1).

Ta có

.

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ 1; 3 ].

Chọn Ta có:

Dựa vào bảng xét dấu thì ta thấy không có giá trị x nào để f(x) < 0.

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

Điều kiện: Bất phương trình:

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy

Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x=1) thỏa mãn yêu cầu.

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 5 − 4x − x² ≥ 0 ⇔ x ∈ [− 5; 1].

Vậy giá trị nguyên dương lớn nhất của xđể hàm số xác định là x = 1.

Xét hoặc m = 2

• Khi thì bất phương trình trở thành nên không có nghiệm đúng với mọi x.

• Khi m = 2 thì bất phương trình trở thành  − 1 ≤ 0 nên có nghiệm đúng với mọi x.

• Khi thì yêu cầu bài toán

 ⇔ (2m²−3m−2)x² + 2(m−2)x − 1 ≤ 0  ∀x ∈ ℝ

Kết hợp hai trường hợp ta được là giá trị cần tìm.

Hàm số xác định khi và chỉ khi

 ⇔ x² + x − 20 ≥ 0

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x² + x − 20 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (4 ;  + ∞].

Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞ ; −5) ∪ (4 ;  + ∞].

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án Dương với mọi .

Hàm số xác định khi và chỉ khi

Phương trình x² + 2x + 3 = 0 ⇔ x ∈ ⌀ và

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

Vậy tập xác định của hàm số là

Xét phương trình x² + 2(m+2)x − 2m − 1 = 0, có Δ′_x = (m+2)² + 2m + 1.

Yêu cầu bài toán ⇔  Δ′_x ≥ 0 ⇔ m² + 4m + 4 + 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m² + 6m + 5 ≥ 0

là giá trị cần tìm.