Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Hàm số, Đồ thị và ứng dụng

Phương trình .

Vậy S = {2}.

Vì (P) có đỉnh nên ta có

. Vậy (P) : y = 3x² + 3x − 2.

Bất phương trình bậc hai một ẩn là: 

Nhìn vào đồ thị hàm số ta có:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm M(1; 0), N(3; 0) ⇒ MN = 2 . Suy ra Đồ thị hàm số cắt trục hoành theo một dây cung có độ dài bằng 2là đúng.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [2; 3].

Parabol có đỉnh

(*)

Parabol đi qua điểm suy ra

(**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình

Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).

Phương trình .

Phương trình đã cho có hai nghiệm  ⇔ (*)có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng đồ thị hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Xét hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên . Ta có

+ TH1: Nếu thì hàm số đồng biến trên nên m ≤ 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: Nếu :

Ta có bảng biến thiên

Đồ thị hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Vì  − m² + 8m − 28 =  − (m−4)² − 12 < 0,  ∀m nên

(thỏa mãn m > 1).

Vậy là giá trị cần tìm.

Gọi: A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 với trục hoành và trục tung

Suy ra A(2m−1; 0); B(0; 1−2m).

Theo giả thiết thì tam giác có diện tích bằng là tam giác OAB vuông tại O.

Do đó:

 ⇔ OA.OB = 25 ⇔ |2m−1|.|1−2m| = 25

 ⇔ |2m−1|.|2m−1| = 25

 ⇔ (2m−1)² = 25

.

 Xét biếu thức có và nghiệm là

Ta có bảng xét dấu như sau:

 Để thì .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

mx = x² − x + 1 ⇔ x² − (m+1)x + 1 = 0

Vì hoành độ giao điểm x_A, x_B là hai nghiệm của phương trình nên ta có tọa độ trung điểm I là

.

Hệ số bề lõm hướng xuống.

Ta có và y(1) = 3. Do đó chọn .

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên dương.

 Nhận xét: . 

Do đó vô lí. 

Vậy .

Điều kiện xác định của phương trình là x ≥  − 3.

Phương trình tương đương với .

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Ta có:

ĐKXĐ: 60 − 24x − 5x² ≥ 0

Đặt , (t≥0)pt trở thành

Vậy pt ban đầu có hai nghiệm .

Vì (P) có đỉnh I(2;−1) nên ta có . (1)

Gọi A là giao điểm của (P) với Oy tại điểm có tung độ bằng  − 3. Suy ra A(0;−3).

Theo giả thiết, A(0;−3) thuộc (P) nên a.0 + b.0 + c =  − 3 ⇔ c =  − 3. (2)

Từ (1) và (2), ta có .

Vậy .

Hàm số xác định  ⇔ x − 1 ≥ 0  ⇔ x ≥ 1.

Ta có:

Khẳng định sai là: 

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng(2;+∞).

Điều kiện

Phương trình tương đương:

Do

Vậy phương trình vô nghiệm.

Hàm số có dạng y = ax + b, nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;  0;  1;  2}. Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Đặt . Phương trình trở thành:

t³ − 2t + 4 = 0 ⇔ (t+2)(t²−2t+2) = 0 ⇔ t =  − 2

Ta được

.

Tổng các nghiệm của phương trình là  − 5.

Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) có thể là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

Điều kiện xác định: .

Với thay vào phương trình thỏa mãn. Vậy phương trình có một nghiệm.

Ta có

.

Tổng các bình phương của các nghiệm của phương trình là .

+ Phương trình  ⇔ |f(x)| = m + 1.

+ Đồ thị hàm số y = |f(x)| có dạng:

+ Dựa vào đồ thị, để phương trình |f(x)| = m + 1 có hai nghiệm phân biệt thì:

.

 Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

Hàm số y = (2m−1)x + 7 đồng biến trên ℝ khi 2m − 1 > 0 hay .

• Xét m² − 4 = 0 ⇔ m =  ± 2

Với m =  − 2, bất phương trình trở thành : không thỏa mãn.

Với m = 2, bất phương trình trở thành 1 < 0: vô nghiệm. Do đó m = 2 thỏa mãn.

• Xét m ≠  ± 2. Yêu cầu bài toán

 ⇔ (m²−4)x² + (m−2)x + 1 ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ

Kết hợp hai trường hợp, ta được hoặc m ≥ 2.

Từ giả thiết điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành) nên y_A > 0 ta có y_A = mx + 2m − 3 = m.1 + 2m − 3 = 3m − 3 > 0 ⇔ m > 1.

 Để biểu thức là tam thức bậc hai ta có:

 Thay tọa độ vào hàm số ta được: . Do đó điểm này không thuộc đồ thị hàm số.

Ta có

Phương trình có nghiệm là và .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là .

Hàm số có các hệ số

Vì nên đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống dưới, ta loại hai hình vẽ:

Đồ thị có toạ độ đỉnh tung độ hay . Do đó ta loại hình vẽ

Quan sát đồ thị ta thấy có bề lõm quay lên trên suy ra a > 0

Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ nằm phía trên trục hoành nên .

Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ mà suy ra .

Kết luận: .

 Điều kiện xác định: .

Vậy .