Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Hàm số, Đồ thị và ứng dụng

Bất phương trình: vô nghiệm khi và chỉ khi

Xét

Với thì (*) loại giá trị .

Với thì bất phương trình (*) bất phương trình vô nghiệm, nhận giá trị .

Xét

Vậy thì bất phương trình (*) vô nghiệm.

+ Có a = 3; b =  − 2; c = 4.

+ Trục đối xứng của parabol là .

Tam thức bậc 2 là biểu thức f(x) có dạng  ax²+ bx + c (a≠0).

f(x) = 3x² − 5 là tam thức bậc 2 với a = 3, b = 0, c =  − 5.

Điều kiện: .

.

Đặt , .

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Trên khoảng (0;2) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Ta có 9 − x² ≥ 0 ⇔ (3−x)(3+x) ≥ 0 ⇔  − 3 ≤ x ≤ 3.

Hàm số xác định khi và chỉ khi

. Vậy x ∈ [ − 3; 3] ∖ {2}.

Đặt . Phương trình đã cho trở thành:

Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên.

Ta có

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng .

Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 

Đặt . Ta có hệ phương trình:

Với t =  − x ta được

Với t = x − 1 ta được

Vậy phương trình có 2 nghiệm x =  − 2 và .

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp ánx ∈ [1; 2] .

 Nhận xét: Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh .

Chỉ có hàm số thỏa mãn tọa độ đỉnh này khi thay vào.

Tập xác định

Với

Hàm số đã cho là hàm số lẻ khi đó:

Vậy

VD

1

Hàm số có tập xác định khi và chỉ khi

Xét thì , loại giá trị

Xét ta có:

Vậy

Đặt t = x²    (t≥0).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t² − 2t + 3 − m = 0. (*)

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm không âm.

Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi Δ′ < 0 ⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.

Phương trình (*) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi .

Do đó, phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi m ≥  − 2.

Hàm số xác định khi

 ⇔ x² − 3x + 2 ≠ x² − 7 ⇔ 9 ≠ 3x ⇔ x ≠ 3.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ ∖ {3}.

Hàm số y = ax² + bx + c với a > 0 đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

ĐK:

.

Đặt , (t≥0)Phương trình thành .

t = 1 ⇒ x² − 2x − 1 = 0

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là .

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 4 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy a > 0

Điều kiện:

Vậy phương trình đã cho có tất cả 1 nghiệm.

Điều kiện

Phương trình tương đương:

Do

Vậy phương trình vô nghiệm.

Trên khoảng (−3;−1) và (1;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

Hàm số đồng biến trên khoảng (−3;−1) và (1;3).

* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f(x) = 3x² + 2x − 5 là tam thức bậc hai.

Hoành độ đỉnh của (P) là .

Suy ra tung độ đỉnh y =  − 4m − 2. Do đó tọa độ đỉnh của (P) là I(1;−4m−2).

Theo giả thiết, đỉnh I thuộc đường thẳng y = 3x − 1 nên  − 4m − 2 = 3.1 − 1 ⇔ m =  − 1.

 Nhận xét: . 

Do đó vô lí. 

Vậy .

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

 Ta có: .

Với x ≤ 0 ta có: xác định với mọi x ≠ 1 nên xác định với mọi x ≤ 0.

Với x > 0 ta có: xác định với mọi x ≥  − 2 nên xác định với mọi x > 0.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

ĐK: x ≥ 0.

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0. Khi đó phương trình tương đương với

Đặt

Suy ra . Phương trình trở thành:

5t = 2(t²−1) + 4 ⇔ 2t² − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 2 (thỏa mãn) hoặc (loại)
Với t = 2 ta có (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là .

Tổng các nghiệm của phương trình bằng 3.

Hàm số có dạng y = ax + b, nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;  0;  1;  2}. Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Tập xác định của hàm số

Ta có:

Ta vẽ đồ thị y = 2x + 3 với

Ta có bảng sau:

Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) = 2x + 3 với là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = - 2x - 3 với là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm C(-2; 1) và D(-3; 3).

Kết hợp 2 đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| là phần đồ thị nét liền nằm trên trục Ox.

+ Phương trình  ⇔ |f(x)| = m + 1.

+ Đồ thị hàm số y = |f(x)| có dạng:

+ Dựa vào đồ thị, để phương trình |f(x)| = m + 1 có hai nghiệm phân biệt thì:

.

Ta có hàm số có

=> Hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng

 Nhận xét: Từ hình vẽ suy ra đỉnh .

Thay tọa độ đỉnh vào các hàm số ở các đáp án, chỉ có hàm số thỏa mãn.

Ta có:

Vậy tập nghiệm phương trình là:

ĐKXĐ: .

Thay x = 1 vào , ta được: .

Vậy phương trình vô nghiệm.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ (2;3).

Ta thấy các điểm nằm trên đồ thị của hàm số là: ; ; .

Vậy điểm không thuộc đồ thị hàm số đã cho là: .