Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Hàm số, Đồ thị và ứng dụng

Gọi Avà Blà hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình và cổng có chiều rộng d = 5 mét nên:

AB = 5  và .

Vậy chiều cao của cổng làmét.

Parabol y =  − x² + 2x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng  ⇔ x = 1.

Đường thẳng (d) tạo với trục hoành và trục tung một tam giác OAB là tam giác vuông cân ⇔ đường thẳng (d) tạo với chiều dương trục hoành bằng 45^∘ hoặc 135^∘⇔ hệ số góc tạo của (d) bằng 1 hoặc

.

Thử lại: m = 5 thì d không đi qua O.

Vậy có duy nhất một giá trị m = 5 nguyên dương thỏa ycbt.

 Ta có: .

Vậy .

Phương trình hoành độ giao điểm: x² − 4x + m = 0. (*)

Để (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B thì (*) có hai nghiệm phân biệt  ⇔ Δ = 4 − m > 0 ⇔ m < 4.

Theo giả thiết

TH1:

TH2: : không thỏa mãn (*).

Do đó (P) Chọn A.

 Xét , ta có: .

Xét , điều kiện là . Kết hợp với điều kiện , ta được: .

Vậy .

 Vì hàm số bậc hai có đỉnh nên:

và .

Suy ra .

* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f(x) = 3x² + 2x − 5 là tam thức bậc hai.

Đặt t = x²    (t≥0).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t² − 2t + 3 − m = 0. (*)

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm không âm.

Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi Δ′ < 0 ⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.

Phương trình (*) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi .

Do đó, phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi m ≥  − 2.

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Kết hợp với điều kiện ra được: thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm

Ta có: .

Thử lần lượt từng phương án với chú ý về điều kiện ta được:

f(0) = 2.0 + 1 = 1 ≠  − 3, đồ thị không đi qua điểm (0; −3).

f(3) =  − 3 ≠ 7, đồ thị không đi qua điểm (3; 7).

f(2) = 2.2 + 1 = 5 ≠  − 3, đồ thị không đi qua điểm (2; −3).

f(0) = 2.0 + 1 = 1, đồ thị đi qua điểm (0; 1).

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) có thể là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

Điều kiện xác định: 4x² − 4x + 1 ≥ 0 ⇔ (2x−1)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x ∈ ℝ).

Do đó tập xác định D = ℝ.

Ta có: . 

Thử lại thấy không thỏa mãn.

Vậy .

Phương trình Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = 2018 − m (có phương song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt 2018 − m = 2 ⇔ m = 2016.

ĐK:

.

Đặt , (t≥0)Phương trình thành .

t = 1 ⇒ x² − 2x − 1 = 0

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là .

ĐK x ≥ 3.

.

Vậy phương trình có một nghiệm.

Đặt

 ⇒ t² = x² − x + 1 ⇒ (2x−1)² = 4x² − 4x + 1 = 4t² − 3

Vì nên

Phương trình (1) trở thành 4t² − 3 + m = t ⇔  − 4t² + t + 3 = m.

Xét hàm số y =  − 4t² + t − 3 với

Ta có

Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình có nghiệm

⇔ đồ thị hàm số y =  − 4t² + t − 3 trên cắt đường thẳng .

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi .

Xét

+) (không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

+) (không thỏa mãn)

Xét

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp ánx ∈ [1; 2] .

Điều kiện:

Vậy phương trình đã cho có tất cả 1 nghiệm.

Gọi A và B là hai giao điểm cuả (P) với trục Ox có hoành độ lần lượt là  − 1 và 2. Suy ra A(−1;0), B(2;0).

Gọi C là giao điểm của (P) với trục Oy có tung độ bằng  − 2. Suy ra C(0;−2).

Theo giả thiết, (P) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

.

Vậy (P) : y = x² − x − 2.

Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 − 3x − x² > 0.

Phương trình

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 4 − 3x − x² > 0 ⇔ x ∈ (− 4; 1).

Vậy tập xác định của hàm số là D = (− 4;1).

Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6, thay vào ta có .

x² + 11 = 36 ⇔ x =  ± 5.

Vậy phương trình có nghiệm là x =  ± 5.

Tổng các nghiệm của phương trình là 0.

Đặt t = x² − 3x + 3, ta có: .

Do đó điều kiện cho ẩn phụ t là .

Khi đó phương trình trở thành:

⇔

⇔  ⇔ t = 1(thỏa mãn) ⇒ x² − 3x + 3 = 1⇔ .

Vì (P) có trục đối xứng x =  − 3 nên .

Vậy .

Vì (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 nên điểm A(2;0) thuộc (P). Thay vào (P), ta được 0 = 4a + 6 − 2 ⇔ a =  − 1.

Vậy (P) : y =  − x² + 3x − 2.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì ta phải có khi đó:

.

Các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng là

Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .

 Điều kiện: .

Ta có: . Loại .

Vậy .

Ta có: f(x) = x² − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án f(x) > 0,  ∀x ∈ ℝ.

Từ giả thiết hàm số đồng biến nên loại đáp án có đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Mặt khác cho x = 0 vào nên chọn đáp án đồ thị hàm số đi qua điểm .

Dựa vào bảng xét dấu, .

Mà x ∈ ℤ⇒ x ∈ {0;1;2;3;4} (5 giá trị).

Xét phương trình x² + 2(m+2)x − 2m − 1 = 0, có Δ′_x = (m+2)² + 2m + 1.

Yêu cầu bài toán ⇔  Δ′_x ≥ 0 ⇔ m² + 4m + 4 + 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m² + 6m + 5 ≥ 0

là giá trị cần tìm.

Đặt . Khi đó ta có phương trình: . (1)

Với thì (Loại)

Với để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:

TH1: (1) vô nghiệm .

TH2: (1) có 2 nghiệm âm

Kết hợp 2 trường hợp, ta được .

 Xét biếu thức có và nghiệm là

Ta có bảng xét dấu như sau:

Ta có (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1: Khi x = 0 thì y = 1 ⇒ c = 1.

(P)có giá trị nhỏ nhất bằng khi nên:

⇔ .

Vậy (P): y = x² − x + 1.

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;−1) và (0;1).

Hàm số đồng biến trong các khoảng: (−1;0) và (1;+∞).

Đáp án sai là Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).

 Điều kiện xác định: . Suy ra .