Đề kiểm tra 45 phút Chương 6 Hàm số, Đồ thị và ứng dụng

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Kết hợp với điều kiện ra được: thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm

Hàm số y = ax² + bx + c với a > 0 đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

 Thay tọa độ vào ta được thỏa mãn. Suy ra điểm này thuộc đồ thị hàm số .

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x² − 2x + 2m + 3 trên đoạn [2 ; 5]:

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2 ; 5] của hàm số y = x² − 2x + 2m + 3 bằng 2m + 3.

Theo giả thiết 2m + 3 =  − 3 ⇔ m =  − 3.

Hàm số bậc hai y = x² – 3x + 2 có tập xác định là ℝ. Khẳng định "Tập xác định của hàm số là D = (0; +∞)." sai.

Xét điểm M(1; 0): thay x = 1; y = 0 vào hàm số ta có: 0 = 1² – 3. 1 + 2 = 0 là mệnh đề đúng. Vậy M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số. Khẳng định "Điểm M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số." đúng.

Hàm số y = x² – 3x + 2 có a = 1 > 0, b = ‒3 nên hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng . Khẳng định "Hàm số đồng biến trên ℝ." sai.

Hàm số y = x² – 3x + 2 có a = 1 > 0 nên đồ thị hàm số có bề lõm quay lên trên. Khẳng định "Đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống dưới." sai.

ĐKXĐ: x ≥  − 3

Phương trình

Đặt , (t≥0) phương trình trở thành  − 27t² − 3t + 3x² + 31x + 80 = 0(1)

Có Δ_t = (18x+93)² suy ra

Vô nghiệm vì với x ≥  − 3 thì

hoặc x =  − 2

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x =  − 2, tích các nghiệm của phương trình là 1.(−2) =  − 2.

Để bất phương trình vô nghiệm thì .

.

Ta có:

Khẳng định sai là: 

Ta có:

Đồ thị  (C)của hàm số y = x² − 6|x| + 5 gồm hai phần

Phần đồ thị (C₁): là phần đồ thị của hàm số y₁ = x² − 6x + 5 nằm bên phải trục tung

Phần đồ thị  (C₂): là phần đồ thị của hàm số y₂ = x² + 6x + 5 có được bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị (C₁) qua trục tung

Ta có đồ thị  (C) như hình vẽ

Vậy đồ thị  (C) có trục đối xứng có phương trình x = 0.

Xét f(x) = x² − 4x + 5.

TXĐ: D = ℝ.

Tọa độ đỉnh I(2; 1).

Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞).

Ta có:

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và

Do đó phương trình (*) có có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Mặt khác suy ra có 980 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Từ đồ thị ta có:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x = – 1 và x = 3

=> f(x) có 2 nghiệm phân biệt là x = –1; x = 3 ta loại các đáp án

Ta lại có: f(x) nhận giá trị dương trên các khoảng (– ∞; –1) và (3; + ∞); f(x) nhận giá trị âm trên khoảng (–1; 3) ta loại đáp án 

Vậy bảng biến thiên đúng là

ĐK: x ∈ [5; 7]

Đặt t = x − 6 , t ∈ [ − 1; 1].

Phương trình trở thành .

Ta có VT(*) ≤ 4, VP(*) ≥ 4 nên (*) ⇔ VT(*) = VP(*) = 4 ⇔ t = 0 ⇒ x = 6(TM).

Vậy phương trình có một nghiệm.

Ta có :

Với mọi x₁, x₂ ∈ (1;+∞) và x₁ < x₂. Ta có

Suy ra đồng biến trên (1;+∞).

Xét đáp án , ta có và có a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;0).

Quan sát đồ thị ta thấy có bề lõm quay lên trên suy ra a > 0

Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ nằm phía trên trục hoành nên .

Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ mà suy ra .

Kết luận: .

 Nhận xét: . 

Do đó vô lí. 

Vậy .

Điều kiện xác định: 4x² − 4x + 1 ≥ 0 ⇔ (2x−1)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x ∈ ℝ).

Do đó tập xác định D = ℝ.

Hàm số xác đinh khi và chỉ khi .

Ta có:

Từ yêu cầu bài toán

Suy ra

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định của hàm số là:

=> Tập xác định của hàm số là:

 Ta có: .

Vậy .

 Điều kiện: .

Ta có: .

Loại . Do đó .

Ta có (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1: Khi x = 0 thì y = 1 ⇒ c = 1.

(P)có giá trị nhỏ nhất bằng khi nên:

⇔ .

Vậy (P): y = x² − x + 1.

Tam thức  có hai nghiệm phân biệt

a = 2 > 0 nên f(x) dương với mọi x thuộc hai nửa khoảng

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

 Ta có: .

 Điều kiện .

Ta có: .

Loại . Do đó .

Ta có đáp án  có:

Vậy x = 1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số .

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [2; 3].

ĐKXĐ: x ≥ 1 .

Chia cả hai vế cho ta có

Đặt

Phương trình trở thành  − 3t² + 2t = m (*)

Xét hàm số y =  − 3t² + 2t trên [0; 1) , ta có ,

Bảng biến thiên

Phương trình ban đầu có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm t∈ [0; 1)

⇔ đồ thị hàm số y =  − 3t² + 2t trên [0; 1) cắt đường thẳng

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi .

Ta thấy 2x² − 3x + 2 > 0,  ∀x ∈ ℝ nên |2x²−3x+2| = 2x² − 3x + 2.

Do đó phương trình đã cho tương đương với 4x² + 5x + 2 − 5m = 0. (*)

Khi đó để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (*) có nghiệm duy nhất .

Điều kiện xác định:

.

Vậy tập xác định của hàm số là .

*x² − x − 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

* − x² − x − 1 = 0vô nghiệm, a =  − 1 < 0 nên  − x² − x − 1 < 0, ∀x ∈ ℝ

*2x² + x = 0 có 2 nghiệm phân biệt

*x² + x + 1 = 0 vô nghiệm, a = 1 > 0 nên x² + x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ thỏa ycbt.

Đặt . Ta có hệ phương trình:

Với .

Với .

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Ta có : f(x₁) − f(x₂) = (x₁²−4x₁+5) − (x₂²−4x₂+5) = (x₁²−x₂²) − 4(x₁−x₂) = (x₁−x₂)(x₁+x₂−4).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−∞;2) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra .

Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞;2).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (2;+∞) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra .

Vậy hàm số đồng biến trên (2;+∞).

Điều kiện: .

.

Đặt , .

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Ta có: f(x) = x² − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án f(x) > 0,  ∀x ∈ ℝ.

Ta có 9 − x² ≥ 0 ⇔ (3−x)(3+x) ≥ 0 ⇔  − 3 ≤ x ≤ 3.

Hàm số xác định khi và chỉ khi

. Vậy x ∈ [ − 3; 3] ∖ {2}.

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

 Ta có: và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là .

Do đó, .