Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp

- Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần lập thỏa mãn yêu cầu bài toán là (a, b ∈ {1;3;5;7;9})

+ a: có 5 cách chọn

+ b: có 5 cách chọn.

Dó đó có: 5 x 5 = 25 cách lập số có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ.

Số hạng tổng quát theo thứ tự giảm dần số mũ x là:

Số hạng chứa ứng với

Số hạng cần tìm là .

Hệ số của trong khai triển là: .

Chọn một học sinh để làm việc thứ nhất, có n cách chọn.

Chọn một học sinh để làm việc thứ hai có n − 1 cách chọn.

Chọn một học sinh để làm việc thứ ba có n − 2 cách chọn.

Do đó có n(n−1)(n−2) = 210 cách chọn.

Mỗi số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập từ các số , , , , là một hoán vị của phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là (số).

Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.

Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là : .

Vậy tổng các số có 5 chữ số là : .

Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là. . Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là . Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là.

Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là. .

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng:

Do số tự nhiên được tạo thành là chữ số chẵn nên

Trường hợp 1: d = 0 ta có: d có 1 cách chọn

a có 6 cách chọn

b có 7 cách chọn

c có 7 cách chọn

=> Số các số được tạo thành là: 6.7.7.1 = 294 số

Trướng hợp 2: => d có 4 cách chọn

a có 6 cách chọn

b có 7 cách chọn

c có 7 cách chọn

=> Số các số tạo thành là: 4.6.7.7=1176 số

=> Có tất cả 294 + 1176 = 1470 số tự nhiên chẵn có 4 chữ số được tạo thành.

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số

Do và nên

TH1:

Chọn ba số trong dãy xếp vào ba vị trí ta có: cách.

=> Trong trường hợp này có số được tạo thành.

TH2:

=> Trong trường hợp này có số được tạo thành.

Vậy có tất cả 210 + 5 = 215 số được tạo thành thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:

Số hạng không chứa x khi và chỉ khi

Vậy số hạng không chứa x là: .

Xếp 8 người thành hàng ngang có cách.

Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là. cách.

Ta có

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là .

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn một quyển Toán và một quyển Hóa là: 5 . 7 = 35 cách chọn.

Số tập con gồm phần tử của chính là số tổ hợp chập của phần tử, nghĩa là bằng .

Ta có:

Chọn một bàn trong 20 bàn để xếp hai thí sinh A và B vào bàn đó có: cách.

Xếp 38 thí sinh còn lại vào các vị trí còn lại có: 38! cách.

Vậy có cách xếp

Từ giả thiết ta suy ra .

Mặt khác: nên ta có:

Suy ra: .

Số hạng tổng quát trong khai triển là: .

Hệ số của là với thỏa mãn: .

Vậy hệ số của là .

Trường hợp 1: n gồm một chữ số.

Vì n < 200 và n là số chẵn nên có 2 số thỏa mãn là 4; 8

Trường hợp 2: n gồm hai chữ số.

Gọi n có dạng thỏa mãn n < 200 và để n là số chẵn ta có

b có 2 lựa chọn là {4; 8}

a có 5 lựa chọn.

Có

Trường hợp 3: n gồm ba chữ số. Vì n < 200 nên gọi n có dạng   và để n là số chẵn ta có

c có 2 lựa chọn là {4; 8}

b có 5 lựa chọn. Có

Vậy có số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là. .

Gọi số cần tìm có dạng

Số cách sắp xếp số 1; 2 vào 5 vị trí ta có: cách

3 vị trí còn lại có cách

Vậy số cần thành lập là: số.