Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
- Một hoán vị của một tập hợp có
\(n\) phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự \(n\) phần tử đó (với \(n\) là một số tự nhiên, \(n\ge 1\)). - Số các hoán vị của tập hợp có \(n\) phần tử, kí hiệu là \(P_n\), được tính bằng công thức:
\({{P}_{n}}=n!\)
- Quy ước: \(0!=1\)
Để tính \(n!\), ta ấn phím theo trình tự sau:
Ấn số \(n\), ấn phím 
và ấn phím 
rồi ấn dấu \(=\).
Ví dụ: Tính \(8!\)
Ta ấn lần lượt như hình vẽ:
Kết quả: \(8!=40320\).
Ví dụ 1: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Hướng dẫn giải
Số cách sắp xếp 5 người vào 5 chỗ chính là số các hoán vị của tập hợp có 5 phần tử.
Ta có: \({{P}_{5}}=5!=120\) (cách).
Vậy có 120 cách sắp xếp 5 người vào băng ghế 5 chỗ.
Ví dụ 2: Từ các chữ số \(1;2;3;4\) có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?
Hướng dẫn giải
Gọi số có bốn chữ số khác nhau là: \(\overline{ABCD}\).
Từ các chữ số ban đầu, lập các số có dạng \(\overline{ABCD}\) chính là việc sắp xếp 4 chữ số vào 4 vị trí \(A,B,C,D\).
Số các hoán vị của tập hợp có 4 phần tử là: \({{P}_{4}}=4!=24\) (cách).
Vậy từ các chữ số \(1;2;3;4\) có thể lập được 24 số có bốn chữ số khác nhau.
2. Chỉnh hợp
- Một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) là một cách sắp xếp có thứ tự \(k\) phần tử từ một tập hợp \(n\) phần tử (với \(k, n\) là các số tự nhiên, \(1\le k\le n\)).
- Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\), kí hiệu là \(A_{n}^{k}\), được tính bằng công thức:
\(A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}\,\,(1\le k\le n)\)
Chú ý:
- Hoán vị sắp xếp hết tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một phần nhỏ và sắp xếp chúng.
- Mỗi hoán vị của \(n\) phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập \(n\) của \(n\) phần tử đó. Hay \({{P}_{n}}=A_{n}^{n}\).
Để tính \(A_{n}^{k}\), ta ấn các phím theo trình tự sau:
Ấn số \(n\), ấn phím 
, ấn số \(k\), rồi ấn dấu \(=\).
Ví dụ: Tính \(A_{3}^{2}\).
Ta ấn lần lượt như hình vẽ:
Kết quả: \(A_{3}^{2}=6\).
Ví dụ 1: Có 10 học sinh đủ điều kiện làm ban cán sự của lớp. Cần chọn ra 3 người để làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh để sắp xếp vào 3 vai trò lớp trưởng, lớp phó, bí thư là một chỉnh hợp chập 3 của 10.
Vậy số cách chọn là \(A_{10}^{3}=720\) (cách).
Ví dụ 2: Cho tập \(A=\{1;2;3;4;5\}\). Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập \(A\).
Hướng dẫn giải
Gọi số có ba chữ số đôi một khác nhau là: \(\overline{ABC}\).
Mỗi cách chọn 3 số từ 5 số của tập \(A\) rồi sắp xếp vào 3 vị trí \(A,B,C\) là một chỉnh hợp chập 3 của 5.
Vậy số cách chọn là \(A_{5}^{3}=60\) (cách).
Vậy có 60 số số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập \(A\).
3. Tổ hợp
- Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là một cách chọn \(k\) phần tử từ tập hợp \(n\) phần tử (với \(k,n\) là các số tự nhiên, \(0\le k\le n\)).
- Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\), kí hiệu là \(C_{n}^{k}\), được tính bằng công thức:
\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,\,(0\le k\le n)\)
Chú ý:
- \(C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{n!}\).
- Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một phần nhỏ trong tập lớn, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.
Để tính \(C_{n}^{k}\), ta ấn các phím theo trình tự sau:
Ấn số \(n\), ấn phím 
, ấn số \(k\) rồi ấn dấu \(=\).
Ví dụ: Tính \(C_{5}^{3}\).
Ta ấn lần lượt như hình vẽ:
Kết quả: \(C_{5}^{3}=10\)
Ví dụ 1: Có 10 học sinh hạnh kiểm tốt. Cần chọn ra 3 người để bầu làm ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 10.
Vậy số cách chọn là \(C_{10}^{3}=120\) (cách).
Ví dụ 2: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Cần chọn ra 3 bạn trong đó có cả 2 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Hướng dẫn giải
Số cách chọn 2 nam từ 5 nam là \(C_{5}^{2}=10\) (cách).
Số cách chọn 1 nữ từ 3 nữ là \(C_{3}^{1}=3\) (cách).
Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn 2 nam và 1 nữ từ nhóm là: \(10.3=30\) (cách).
4. Ứng dụng của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm
Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp liên quan mật thiết đến nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, sắp xếp, vì vậy 3 công thức \({{P}_{n}},A_{n}^{k},C_{n}^{k}\) sẽ được dùng rất nhiều.
Ví dụ: Trên bàn có 12 quyển sách, trong đó có 5 quyển sách toán, 4 quyển sách lý, 3 quyển sách hóa.
a. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả sách lên giá sách. Biết trên giá sách các vị trí được đánh số từ 1 đến 12?
b. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quyển sách (gồm cả 3 môn)?
c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quyển sách (gồm cả 3 môn) để xếp vào 3 vị trí 1,2,3?
Hướng dẫn giải
a. Xếp 12 quyển sách vào 12 vị trí được đánh số là hoán vị của 12 phần tử.
Ta có: \({{P}_{12}}=12!=479001600\) (cách).
b. Chọn ra 3 quyển sách gồm cả 3 môn,suy ra: 1 quyển sách toán, 1 quyển sách lý, 1 quyển quyển hóa.
Chọn 1 quyển sách toán từ 5 quyển sách toán có \(C_{5}^{1}=5\) (cách).
Chọn 1 quyển sách lý từ 4 quyển sách lý có \(C_{4}^{1}=4\) (cách).
Chọn 1 quyển sách hóa từ 3 quyển sách hóa có \(C_{3}^{1}=3\) (cách).
Sắp xếp 3 quyển sách vừa chọn vào 3 vị trí 1,2,3 có \(3!=6\) (cách) (chính là hoán vị của 3 phần tử).
Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn ra 3 quyển sách (gồm cả 3 môn) để xếp vào 3 vị trí 1,2,3 là: \(5.4.3.6=360\) (cách).
