Cấp số nhân CTST
Cấp số nhân là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số 
\(q\) không đổi, nghĩa là:
\({u_{n + 1}} = {u_n}.q;\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.
Ví dụ: Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{.3^{2n}}\) dãy là một cấp số nhân.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{.3}^{2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{.3}^{2n}}}} = - 9;\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội \(q = - 9\).
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Nếu một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức:
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \geqslant 2\)
Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết \(\left\{ \begin{gathered}
{u_1} + {u_5} = 51 \hfill \\
{u_2} + {u_6} = 102 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{gathered}
{u_1} + {u_5} = 51 \hfill \\
{u_2} + {u_6} = 102 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} + {u_1}.{q^4} = 51 \hfill \\
{u_1}q + {u_1}.{q^5} = 102 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51 \hfill \\
{u_1}q.\left( {1 + {q^4}} \right) = 102 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
q = 2 \hfill \\
{u_1} = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Vậy cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công bội \(q = 2\).
Tính chất
Ba số hạng \({u_{n - 1}},{u_n},{u_{n + 1}}\) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi \({u_n}^2 = {u_{n - 1}}.{u_{n + 1}}\) với \(n \geqslant 1\).
Ví dụ: Tìm các số dương \(m\) và \(n\) sao cho các số \(m,m + 2n,2m + n\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và các số \({\left( {n + 1} \right)^2},mn + 5,{\left( {m + 1} \right)^2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Hướng dẫn giải
Theo tính chất cấp số cộng ta có:
\(m + \left( {2m + n} \right) = 2\left( {m + 2n} \right)\left( * \right)\)
Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\({\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {m + 1} \right)^2} = {\left( {mn + 5} \right)^2}\left( {**} \right)\)
Từ (*) khai triển rút gọn ta được \(m = 5n\) thay vào (**) ta được:
\({\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {3n + 1} \right)^2} = {\left( {3{n^2} + 5} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left( {n + 1} \right)\left( {3n + 1} \right) = 3{n^2} + 5 \hfill \\
\left( {n + 1} \right)\left( {3n + 1} \right) = - 3{n^2} - 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
n = 1 \Rightarrow m = 3 \hfill \\
6{n^2} + 4n + 6 = 0\left( {VN} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Vậy \(m = 3,n = 1\)
3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó:
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Ví dụ: Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng các số hạng là 889.
Hướng dẫn giải
Theo đề bài ta có:
\(\left\{ \begin{gathered}
{S_n} = 889 \hfill \\
{u_n} = 448 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}} = 889 \hfill \\
{u_1}.{q^n} = 448 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1}.{q^n} = 889\left( {q - 1} \right)\left( * \right) \hfill \\
{u_1}.{q^n} = 448\left( {**} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Thay (**) vào (*) ta được:
\(448q - 7 = 889q - 889 \Leftrightarrow q = 2\)
