Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép tính lũy thừa CTST

Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo
Tải về
Lớp: Lớp 11
Môn: Toán
Bộ sách: Chân trời sáng tạo
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Với số nguyên dương n, số thực a ≠ 0, lũy thừa của a với số mũ -n xác định bởi {a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).

Ví dụ:

{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ - 2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{{25}}}} = \dfrac{{25}}{4}\({\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ - 2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{{25}}}} = \dfrac{{25}}{4}\)

{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^{ - 4}} = \dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^4}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{{{3^4}}}}} = \dfrac{{{3^4}}}{{{1^4}}} = 81\({\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^{ - 4}} = \dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^4}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{{{3^4}}}}} = \dfrac{{{3^4}}}{{{1^4}}} = 81\)

{\left( { - 55} \right)^0} = 1\({\left( { - 55} \right)^0} = 1\)

Chú ý: a) Với {a^0} = 1\({a^0} = 1\) với mọi a \in \mathbb{R},a \ne 0\(a \in \mathbb{R},a \ne 0\).

b) {0^0}\({0^0}\) và {0^{ - n}},\left( {n > 0} \right)\({0^{ - n}},\left( {n > 0} \right)\) không có nghĩa.

2. Căn bậc n

Cho số nguyên dương n, (n ≥ 2) và số thực b bất kì. Nếu có số thực a sao cho: {a^n} = b\({a^n} = b\)

thì a được gọi là một căn bậc n của b.

Cho n là số nguyên dương (n ≥ 2), b là một số thực bất kì. Khi đó:

- Nếu n là số chẵn thì:

  • b < 0 không tồn tại căn bậc n của b.
  • b = 0 có một căn bậc n của b là 0.
  • b > 0 có hai căn bậc n của b đối nhau, kí hiệu giá trị dương \sqrt[n]{b}\(\sqrt[n]{b}\) và giá trị âm -\sqrt[n]{b}\(-\sqrt[n]{b}\).

- Nếu n là số lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là \sqrt[n]{b}\(\sqrt[n]{b}\).

Chú ý:

  • Nếu n chẵn thì căn thức \sqrt[n]{b}\(\sqrt[n]{b}\) có nghĩa khi chỉ khi b \geqslant 0\(b \geqslant 0\).
  • Nếu n lẻ thì căn thức \sqrt[n]{b}\(\sqrt[n]{b}\) luôn có nghĩa với mọi số thực b.

Tính chất

Với điều kiện các căn thức đều có nghĩa ta có:

\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\) \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\)
{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\) \sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)
\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{gathered} a{\text{ khi }}n = 2k + 1 \hfill \\ \left| a \right|{\text{ khi }}n = 2k \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{gathered} a{\text{ khi }}n = 2k + 1 \hfill \\ \left| a \right|{\text{ khi }}n = 2k \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

 

Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức:

a) \sqrt[3]{{0,001}}\(\sqrt[3]{{0,001}}\)

b) \sqrt[5]{{ - 32}}\(\sqrt[5]{{ - 32}}\)

c) \sqrt[4]{{\frac{{81}}{{16}}}}\(\sqrt[4]{{\frac{{81}}{{16}}}}\)

d) - \sqrt[6]{{{{100}^3}}}\(- \sqrt[6]{{{{100}^3}}}\)

e) \sqrt[4]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^4}}}\(\sqrt[4]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^4}}}\)

f) \sqrt[5]{{{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^5}}}\(\sqrt[5]{{{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^5}}}\)

Hướng dẫn giải

a) \sqrt[3]{{0,001}} = \sqrt[3]{{{{10}^{ - 3}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^{ - 1}}} \right)}^3}}} = {10^{ - 1}} = 0,1\(\sqrt[3]{{0,001}} = \sqrt[3]{{{{10}^{ - 3}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^{ - 1}}} \right)}^3}}} = {10^{ - 1}} = 0,1\)

b) \sqrt[5]{{ - 32}} = \sqrt[5]{{{{\left( { - 2} \right)}^5}}} = - 2\(\sqrt[5]{{ - 32}} = \sqrt[5]{{{{\left( { - 2} \right)}^5}}} = - 2\)

c) \sqrt[4]{{\frac{{81}}{{16}}}} = \sqrt[4]{{\frac{{{3^4}}}{{{2^4}}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^4}}} = \frac{3}{2}\(\sqrt[4]{{\frac{{81}}{{16}}}} = \sqrt[4]{{\frac{{{3^4}}}{{{2^4}}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^4}}} = \frac{3}{2}\)

d) - \sqrt[6]{{{{100}^3}}} = - \sqrt[6]{{{{\left( {{{10}^2}} \right)}^3}}} = - \sqrt[6]{{{{10}^6}}} = - {10^1} = - 10\(- \sqrt[6]{{{{100}^3}}} = - \sqrt[6]{{{{\left( {{{10}^2}} \right)}^3}}} = - \sqrt[6]{{{{10}^6}}} = - {10^1} = - 10\)

e) \sqrt[4]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^4}}} = \left| {\sqrt 3 - 2} \right| = 2 - \sqrt 3\(\sqrt[4]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^4}}} = \left| {\sqrt 3 - 2} \right| = 2 - \sqrt 3\)

f) \sqrt[5]{{{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^5}}} = 2 - \sqrt 5\(\sqrt[5]{{{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^5}}} = 2 - \sqrt 5\)

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ r = \frac{m}{n},\left( {m,n \in \mathbb{Z},n > 0} \right)\(r = \frac{m}{n},\left( {m,n \in \mathbb{Z},n > 0} \right)\)

Lũy thừa a với số mũ r, kí hiệu là {a^r}\({a^r}\) được xác định bởi: {a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

Ví dụ: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức.

a) {8^{ - \frac{2}{3}}}\({8^{ - \frac{2}{3}}}\)

b) {32^{ - \frac{2}{5}}}\({32^{ - \frac{2}{5}}}\)

c) {81^{1,25}}\({81^{1,25}}\)

d) {1000^{ - \frac{2}{3}}}\({1000^{ - \frac{2}{3}}}\)

e) {\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}}\({\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}}\)

Hướng dẫn giải

a) {8^{ - \frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{8^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^3}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^{ - 2}}} \right)}^3}}} = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\({8^{ - \frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{8^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^3}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^{ - 2}}} \right)}^3}}} = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\)

b) {32^{ - \frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{32}^{ - 2}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {{2^5}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {{2^{ - 2}}} \right)}^5}}} = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\({32^{ - \frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{32}^{ - 2}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {{2^5}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {{2^{ - 2}}} \right)}^5}}} = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\)

c) {81^{1,25}} = {81^{\frac{5}{4}}} = \sqrt[4]{{{{81}^5}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {{3^4}} \right)}^5}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {{3^5}} \right)}^4}}} = {3^5} = 243\({81^{1,25}} = {81^{\frac{5}{4}}} = \sqrt[4]{{{{81}^5}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {{3^4}} \right)}^5}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {{3^5}} \right)}^4}}} = {3^5} = 243\)

d) {1000^{ - \frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{1000}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^3}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^{ - 2}}} \right)}^3}}} = {10^{ - 2}} = 0,01\({1000^{ - \frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{1000}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^3}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^{ - 2}}} \right)}^3}}} = {10^{ - 2}} = 0,01\)

e) {\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)}^{ - 1}}}} = \sqrt[4]{{{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4}} \right]}^{ - 1}}}}\({\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)}^{ - 1}}}} = \sqrt[4]{{{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4}} \right]}^{ - 1}}}}\)= \sqrt[4]{{{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{ - 1}}} \right]}^4}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 1}} = \frac{3}{2}\(= \sqrt[4]{{{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{ - 1}}} \right]}^4}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 1}} = \frac{3}{2}\)

4. Lũy thừa với số mũ thực

Giới hạn của dãy số \left( {{a^{{r_n}}}} \right)\(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) được gọi là lũy thừa của số thực dương a với số mũ \beta\(\beta\), kí hiệu là {a^\beta }\({a^\beta }\) ta có: 

{a^\beta } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}};\left( {\beta = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}} \right)\({a^\beta } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}};\left( {\beta = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}} \right)\)

{1^\beta } = 1;\left( {\forall \beta \in \mathbb{R}} \right)\({1^\beta } = 1;\left( {\forall \beta \in \mathbb{R}} \right)\)

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Với a,b \in \mathbb{R^+},\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\(a,b \in \mathbb{R^+},\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) ta có:

{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\({a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\) {\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\({\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\)
\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\(\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\) {\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\)
{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\({\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\)

 

Ví dụ: Cho a và b là hai số dương, a \ne b\(a \ne b\). Rút gọn biểu thức:

M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\(M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}\(\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}\)

Khi đó:

M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\(M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\)

M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\(M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\)

M = \frac{{a - b - {a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\(M = \frac{{a - b - {a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\)

M = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\(M = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\)

M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}.\frac{1}{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}\(M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}.\frac{1}{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}\)

M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}.\frac{1}{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}\(M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}.\frac{1}{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}\)

M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}}\(M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}}\)

Câu trắc nghiệm mã số: 395313,395310,395287
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
23 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Xem thêm
🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm