Phương trình lượng giác cơ bản CTST
a) Định nghĩa phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Chú ý: Để chỉ sự tương đương của các phương trình ta dùng kí hiệu "
\(\Leftrightarrow\)"
Nhận xét: Nếu phương trình f(x) = 0 tương đương với phương trình g(x) = 0 thì ta viết \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0\)
b) Các phép biến đổi tương đương
a) Cộng hoặc trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)\)
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).h\left( x \right) = g\left( x \right).h\left( x \right)\) với \(h\left( x \right) \ne 0\)
2. Phương trình sinx = a
Cho phương trình \(\sin x = a\) (1)
+ Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu \(\left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a\)
\((1) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \beta + k2\pi } \\
{x = \pi - \beta + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \(\beta = \arcsin a\)
|
Một số phương trình đặc biệt
|
Mở rộng phương trình
|
|
|
\(\begin{matrix}
\sin f(x) = \sin g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi } \\
{f(x) = \pi - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(\sin \left( {\frac{x}{3} - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)
\(\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{3} - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin t,\left( {\sin t = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi }{3} = t + k2\pi } \\
{\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi }{3} = \pi - t + k2\pi }
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2t + k4\pi } \\
{x = \dfrac{\pi }{3} - 2t + k4\pi }
\end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
3x - \dfrac{{3\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{6} - x + k2\pi \hfill \\
3x - \dfrac{{3\pi }}{4} = \pi - \dfrac{\pi }{6} + x + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \dfrac{{11\pi }}{{48}} + \dfrac{{k\pi }}{2} \hfill \\
x = \dfrac{{19\pi }}{{24}} + k\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
3. Phương trình cosx = a
Cho phương trình \(\cos x = a\) (2)
+ Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu \(\left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {0,\pi } \right],\cos \beta = a\)
\((2) \Rightarrow \cos x = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \beta + k2\pi } \\
{x = - \beta + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \(\beta = \arccos a\)
|
Một số phương trình đặc biệt
|
Mở rộng phương trình ta có |
|
|
\(\begin{matrix}
\cos f(x) = \cos g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi } \\
{f(x) = - g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Tìm nghiệm các phương trình sau:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(\cos \left( { - x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow - x + \frac{\pi }{3} = k2\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} - k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\cos \left( {2x + {{25}^0}} \right) = \cos {135^0}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
2x + {25^0} = {135^0} + k{.360^0} \hfill \\
2x + {25^0} = - {135^0} + k{.360^0} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = {55^0} + k{.180^0} \hfill \\
x = - 80 + k{.180^0} \hfill \\
\end{gathered} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
4. Phương trình tanx = a
Cho phương trình \(\tan x = a\) (3)
+ Với \(\forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\tan \beta = a\)
\(\begin{matrix}
(3) \Leftrightarrow \tan x = \tan \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\beta = \arctan a \hfill \\
\end{matrix}\)
|
Một số phương trình đặc biệt |
Mở rộng phương trình
|
|
|
\(\begin{matrix}
\tan f(x) = \tan g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Giải phương trình \(\tan \left( {2x - 1} \right) = \tan \left( { - x + \frac{\pi }{3}} \right)\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\tan \left( {2x - 1} \right) = \tan \left( { - x + \frac{\pi }{3}} \right)\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow 2x - 1 = - x + \dfrac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\
\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
5. Phương trình cotx = a
Cho phương trình \(\cot x = a\) (4)
+ Với \(\forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {0;\pi } \right),\cot \beta = a\)
\(\begin{matrix}
(4) \Leftrightarrow \cot x = \cot \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\beta = \operatorname{arccot} a \hfill \\
\end{matrix}\)
|
Một số phương trình đặc biệt |
Mở rộng phương trình |
|
|
\(\begin{matrix}
\cot f(x) = \cot g(x) \hfill \\
\Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\end{matrix}\) |
Ví dụ: Tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(\cot \left( { - x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = 0\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\cot \left( { - x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = 0\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow - x + \dfrac{{3\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} - k\pi \hfill \\
\end{matrix}\)
Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] \Rightarrow k = \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}; - \frac{{3\pi }}{4}\)
