VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi giữa HK2 Toán 11 Chân trời sáng tạo năm học 2023 – 2024 (Đề 2)

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với Đề thi giữa học kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo - có đáp án nha!

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Tìm x để hàm số có nghĩa

Tìm tập xác định của hàm số $y=\log_{\frac{1}{2}}\left( x^{2} - 3x + 2ight)$ ?
- A.
  $( - \infty;1) \cup (2; + \infty)$
- B.
  $(1;2)$
- C.
  $(2; + \infty)$
- D.
  $( - \infty;1)$
Điều kiện xác định $x^{2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 1 \\ x > 2 \\ \end{matrix} ight.$

=> Tập xác định của hàm số là $D = ( - \infty;1) \cup (2; + \infty)$ .
Câu 2: Nhận biết
Biến đổi biểu thức theo x và y

Với các số $a, b, c$ là các số thực dương tùy ý khác 1 và $\log_{a}c = x;\log_{b}c =y$ . Khi đó giá trị của $\log_{a}(ab)$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
- B.
  $\frac{xy}{x + y}$
- C.
  $\frac{1}{xy}$
- D.
  $x + y$
Với $a, b, c$ là các số thực dương tùy ý khác 1 ta có:

$\log_{c}a = \frac{1}{x};\log_{c}b =\frac{1}{y}$

Khi đó ta có: $\log_{c}(ab) = \log_{c}a +\log_{c}b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
Câu 3: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\log_{\frac{1}{2}}x + \log_{\frac{1}{2}}y -\log_{\frac{1}{2}}\left( x + y^{2} ight) \leq 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P_{\min}$ của biểu thức $P = x + 3y$ .
- A.
  $P_{\min} = \frac{17}{2}$
- B.
  $P_{\min} = 9$
- C.
  $P_{\min} = 8$
- D.
  $P_{\min} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Theo bài ta có:

$\log_{\frac{1}{2}}x + \log_{\frac{1}{2}}y- \log_{\frac{1}{2}}\left( x + y^{2} ight) \leq 0$

$\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \leqslant {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} ight)$

$\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {xy} ight) \leqslant {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} ight)$

$\Leftrightarrow xy \geq x + y^{2}$

$\Leftrightarrow x(y - 1) \geq y^{2} > 0$

Mà $x > 0 \Rightarrow y - 1 > 0 \Rightarrow y > 1$

=> $x \geq \frac{y^{2}}{y - 1}$ . Khi đó ta có:

$P = x + 3y \geq \frac{y^{2}}{y - 1} + 3y;\ (y > 1)$

Xét hàm số $f(y) = \frac{y^{2}}{y - 1} + 3y;\ (y > 1)$ ta có:

$f'(y) = \frac{2y(y - 1) - y^{2}}{(y - 1)^{2}} + 3$

$= \frac{y^{2} - 2y + 3y^{2} - 6y + 3}{(y - 1)^{2}} = \frac{4y^{2} - 8y + 3}{(y - 1)^{2}}$

$f'(y) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = \frac{3}{2} \\ y = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy

$\underset{y > 1}{\min f(y)} = f\left( \frac{3}{2} ight) = 9 \Rightarrow P \geq 9 \Rightarrow P_{\min} = 9$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tính tan góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $BC = AA' = a\sqrt{2}$ . Tính $\tan\left( BC';(ABB'A') ight)$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác ABC vuông cân tại A và có $BC = a\sqrt{2} \Rightarrow AC = AB = a$

Tam giác $ABA'$ vuông tại A suy ra $A'B = a\sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} C'A'\bot A'B' \\ C'A'\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'A'\bot(ABB'A')$

Suy ra BA’ là hình chiếu của BC’ lên mặt phẳng $(ABB'A')$

=> $\left( BC';(ABB'A') ight) = (BC';BA')$

Tam giác A’BC’ vuông tại A’ => $\tan\widehat{A'BC'} = \frac{A'C'}{A'B} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \tan\left( BC';(ABB'A') ight) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 5: Thông hiểu
Tính góc giữa AB và CD

Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều. Khi đó $(AB;CD)$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: I là trung điểm của AB.

Vì $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều nên $\left\{ \begin{matrix} CI\bot AB \\ DI\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(CID) \Rightarrow AB\bot CD$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Đơn giản biểu thức $N = \frac{\sqrt[3]{a^{5}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{4}.\sqrt[7]{a^{- 2}}};(a > 0)$ ta được $N = a^{\frac{m}{n}};\left( m,n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  $3m^{2} - 2n = 2$
- B.
  $m^{2} + n^{2} = 43$
- C.
  $2m^{2} + n = 15$
- D.
  $m^{2} + n^{2} = 25$
Ta có:

$N = \frac{\sqrt[3]{a^{5}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{4}.\sqrt[7]{a^{- 2}}} = \frac{a^{\frac{5}{3}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{4}.a^{\frac{- 2}{7}}}$

$= \frac{a^{\frac{5}{3} + \frac{7}{3}}}{a^{4 - \frac{2}{7}}} = \frac{a^{4}}{a^{\frac{26}{7}}} = a^{4 - \frac{26}{7}} = a^{\frac{2}{7}}$

$\Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{7} \Rightarrow 2m^{2} + n = 15$
Câu 7: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây sai?
- A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
- B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
- C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Mệnh đề “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”
Là sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đồng phẳng.
Câu 8: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AB;BC$ lần lượt là $M;N$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $(MN;CD) = 30^{0}$
- B.
  $(MN;CD) = 60^{0}$
- C.
  $(MN;CD) = 45^{0}$
- D.
  $(MN;CD) = 90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có: $MN;NP;MP$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC;BCD;ABD$ .

Do đó:

$MN//AC;MN = \frac{1}{2}AC$

$NP//CD;NP = \frac{1}{2}CD$

Vì $ABCD$ là tứ diện đều $\Rightarrow AC = CD = AD$

$\Rightarrow MN = NP = MP$ nên tam giác $MNP$ là tam giác đều.

$\Rightarrow (MN;CD) = (MN;NP) = \widehat{MNP} = 60^{0}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tính đạo hàm của hàm số $y = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021)$ tại điểm $x = 0$ ?
- A.
  $f'(0) = 0$
- B.
  $f'(0) = 2021!$
- C.
  $f'(0) = 2021$
- D.
  $f'(0) = - 2021!$
Ta có:

$f'(0) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack (x - 1)(x - 2)(x - 3)...(x - 2021) ightbrack$

$= ( - 1)( - 2).....( - 2021) = - 2021!$

Vậy $f'(0) = - 2021!$
Câu 10: Nhận biết
Rút gọn biểu thức E

Đơn giản biểu thức $E = a^{\sqrt{2}}.\left( \frac{1}{a} ight)^{\sqrt{2} - 1}$ với $a > 0$ được kết quả là:
- A.
  $E = a^{\sqrt{2}}$
- B.
  $E = a^{2\sqrt{2} - 1}$
- C.
  $E = a^{1 - \sqrt{2}}$
- D.
  $E = a$
Ta có:

$E = a^{\sqrt{2}}.\left( \frac{1}{a} ight)^{\sqrt{2} - 1} = a^{\sqrt{2}}.a^{- \sqrt{2} + 1} = a^{\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1} = a$
Câu 11: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số

Xác định công thức đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ ?
- A.
  $y' = \frac{2}{(x + 1)^{2}}$
- B.
  $y' = \frac{3}{(x + 1)(2x - 1)}$
- C.
  $y' = \frac{3}{(x + 1)^{2}}$
- D.
  $y' = \frac{- 1}{(x + 1)^{2}}$
Ta có: $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{(2x - 1)'(x + 1) - (x + 1)'(2x - 1)}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{3}{(x + 1)^{2}}$
Câu 12: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại x₀ là $f'(x)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{xightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}}$
- B.
  $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x}$
- C.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{hightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h}$
- D.
  $f'\left( x_{0} ight) = \lim_{xightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left( x_{0}ight)}{x - x_{0}}$
Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:
Đáp án sai là: $f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}$
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}}$ đúng theo định nghĩa
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x}$ đúng vì
Đặt $x = x_{0} + h$ => $\left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.$
Đáp án $f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h}$ đúng vì
Đặt $x = x_{0} + \Delta x$ => $\left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.$
Câu 13: Thông hiểu
Biểu diễn m theo a, b, c

Biết $\log_{2}m =6\log_{4}a - 4\log_{2}\sqrt{b} - \log_{\frac{1}{2}}c$ . Biểu diễn $m$ theo $a,b,c$ ?
- A.
  $m = \frac{a^{3}.c}{b^{2}}$
- B.
  $m = \frac{a^{3}}{b^{2}.c}$
- C.
  $m = \frac{a^{3}.b^{2}}{c}$
- D.
  $m = \frac{b^{2}.c}{a^{3}}$
Ta có:

$\log_{2}m = 6\log_{4}a - 4\log_{2}\sqrt{b}- \log_{\frac{1}{2}}c$

$\Leftrightarrow \log_{2}m = \log_{2}a^{3}- \log_{2}b^{2} + \log_{2}c$

$\Leftrightarrow \log_{2}m =\log_{2}\frac{a^{3}.c}{b^{2}} \Leftrightarrow m =\frac{a^{3}.c}{b^{2}}$
Câu 14: Thông hiểu
Tìm mệnh đề sai

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , tam giác $SBA$ đều và cạnh $SC = a\sqrt{2}$ . Gọi trung điểm các cạnh $AB,CD$ lần lượt là $H,K$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $BC\bot(SAB)$
- B.
  $SH\bot(ABCD)$
- C.
  $AB\bot(SAD)$
- D.
  $CD\bot(SHK)$
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác SAB đều cạnh bằng a nên $AB = SB = a$

Mặt khác tam giác SBC có $SB^{2} + BC^{2} = SC^{2} = 2a^{2}$

Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B hay $BC\bot SB$

Từ $BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot SH$

Tam giác ABS đều mà H là trung điểm của AB nên $SH\bot AB$

$\Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Tam giác ABS đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot HK \\ AB\bot SH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(SHK) \Rightarrow CD\bot(SHK)$
Câu 15: Nhận biết
Giải phương trình

Tìm nghiệm phương trình $\log_{5}(2x - 1) = \log_{5}3$ ?
- A.
  $x = 25$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = 12$
- D.
  $x = 4$
Điều kiện $x > \frac{1}{2}$

Ta có:

$\log_{5}(2x - 1) = \log_{5}3$

$\Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .
Câu 16: Nhận biết
Giải bất phương trình

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\left( \frac{1}{3} ight)^{x + 2} \geq 9$ ?
- A.
  $( - \infty; - 4brack$
- B.
  $\lbrack - 4; + \infty)$
- C.
  $\lbrack 0; + \infty)$
- D.
  $( - \infty;4brack$
Ta có:

$\left( \frac{1}{3} ight)^{x + 2} \geq 9 \Leftrightarrow \left( 3^{- 1} ight)^{x + 2} \geq 3^{2}$

$\Leftrightarrow 3^{- x - 2} \geq 3^{2} \Leftrightarrow - x - 2 \geq 2 \Leftrightarrow x \leq - 4$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \in ( - \infty; - 4brack$
Câu 17: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a;AD = 2a\sqrt{2};AA' = a\sqrt{3}$ (như hình vẽ)

Tính góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left( A'C;(ABCD) ight) = (A'C;AC) = \widehat{ACA'}$

Lại có: $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{a^{2} + 8a^{2}} = 3a$

Xét tam giác $A'CA$ vuông tại A ta có:

$\Rightarrow \tan\widehat{ACA'} = \frac{AA}{AC} = \frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \widehat{ACA'} = 30^{0}$

$\Rightarrow \left( A'C;(ABCD) ight) = \widehat{ACA'} = 30^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm hàm số nghịch biến trên tập số thực

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = \left( \frac{2}{e} ight)^{x}$
- B.
  $y =\log_{\frac{1}{2}}x$
- C.
  $y = \log_{\frac{\pi}{4}}\left( 2x^{2}+ 1 ight)$
- D.
  $y = \left( \frac{\pi}{3} ight)^{x}$
Hàm số $y = \left( \frac{2}{e} ight)^{x}$ là hàm số mũ có cơ số bằng $\frac{2}{e} \in (0;1)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y = \left( \frac{\pi}{3} ight)^{x}$ là hàm số mũ có cơ số $\frac{\pi}{3} > 1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}}x$ chỉ xác định trên $(0; + \infty)$ .

Hàm số $y = log_{\frac{\pi}{4}}\left( 2x^{2} + 1 ight)$ có $y' =\dfrac{4x}{\left( 2x^{2} + 1 ight)\ln\dfrac{\pi}{4}}$ nên nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .
Câu 19: Thông hiểu

Điền kết quả vào ô trống

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 7;(t > 0)$ ; trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

Kết quả: 10(m)

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $S(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t + 7;(t > 0)$ ; trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

Kết quả: 10(m)

Vận tốc của chuyển động là $v(t) = S'(t) = 3t^{2} - 6t + 5$

Dễ thấy $v(t) = 3t^{2} - 6t + 5 = 3(t - 1)^{2} + 2 \geq 2$ với mọi t.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $t = 1$

Khi đó quãng đường vật đi được là: $S(1) = 1^{3} - 3.1^{2} + 5.1 + 7 = 10m$
Câu 20: Thông hiểu
Biến đổi biểu thức B

Kết quả nào dưới đây đúng khi đơn giản biểu thức $B = \sqrt[6]{x\sqrt[4]{x^{5}\sqrt{x^{3}}}};(x > 0)$ ?
- A.
  $B = x^{\frac{15}{16}}$
- B.
  $B = x^{\frac{7}{16}}$
- C.
  $B = x^{\frac{5}{42}}$
- D.
  $B = x^{\frac{47}{48}}$
Ta có:

$B = \sqrt[6]{x\sqrt[4]{x^{5}\sqrt{x^{3}}}} = \sqrt[6]{x\sqrt[4]{x^{5}.x^{\frac{3}{2}}}} = \sqrt[6]{x\sqrt[4]{x^{\frac{13}{2}}}}$

$= \sqrt[6]{x.x^{\frac{13}{8}}} = \sqrt[6]{x^{\frac{21}{8}}} = x^{\frac{21}{48}} = x^{\frac{7}{16}}$
Câu 21: Thông hiểu
Tính đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số $y = f(x) = \ln\left( \cos x ight)$ . Tính giá trị $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight)$ ?
- A.
  $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = 0$
- B.
  $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - 1$
- C.
  $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = 1$
- D.
  $f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = \sqrt{2}$
Ta có:

$f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \cos x ight) ightbrack'$

$= \frac{\left( \cos x ight)'}{\cos x} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x$

$\Rightarrow f'\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \tan\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - 1$
Câu 22: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức T

Cho ba số thực dương x, y, z thwo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương $a,(a eq 1)$ thì $log_{a}x;log_{\sqrt{a}}y;log_{\sqrt[3]{a}}z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức $T = \frac{1959x}{y} + \frac{2019y}{z} + \frac{60z}{x}$ ?
- A.
  $\frac{2019}{2}$
- B.
  $60$
- C.
  $2019$
- D.
  $4038$
Theo đề bài ta có:

$\left\{ \begin{matrix}xz = y^{2} \\\log_{a}x + \log_{\sqrt[3]{a}}z = 2\log_{\sqrt{a}}y \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} xz = y^{2} \\ xz^{3} = y^{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = y = z$

Do đó: $T = \frac{1959x}{y} +\frac{2019y}{z} + \frac{60z}{x}$ $= 1959 + 2019 + 60 = 4038$
Câu 23: Thông hiểu
Tìm nghiệm của phương trình

Cho phương trình $(2,4)^{3x + 1} = \left( \frac{5}{12} ight)^{x - 9}$ . Xác định nghiệm của phương trình đã cho?
- A.
  $x = 2$
- B.
  $x = - 2$
- C.
  $x = 5$
- D.
  $x = - 5$
Ta có:

$(2,4)^{3x + 1} = \left( \frac{5}{12} ight)^{x - 9} \Leftrightarrow \left( \frac{12}{5} ight)^{3x + 1} = \left( \frac{12}{5} ight)^{- x + 9}$

$\Leftrightarrow 3x + 1 = - x + 9 \Leftrightarrow x = 2(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Câu 24: Thông hiểu
Tìm kết quả đúng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và cạnh $SB$ vuông góc với mặt đáy. Biết rằng $AB = a;SB = a\sqrt{2}$ và $\alpha = \left( SC;(SAB) ight)$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{1}{2}$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\tan\alpha = \sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AC\bot AB \\ AC\bot SB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SAB)$

Suy ra hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAB) là SA

$\Rightarrow \alpha = \left( SC;(SAB) ight) = (SC;SA) = \widehat{ASC}$

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $AC = AB = a$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác SAB ta có:

$SA = \sqrt{SB^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{3}$

Tam giác SAC vuông tại A nên $\tan\widehat{ASC} = \frac{AC}{SA} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Câu 25: Nhận biết
Xác định khẳng định đúng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Xác định khẳng định đúng dưới đây?
- A.
  $AC\bot(SBC)$
- B.
  $BC\bot(SAC)$
- C.
  $BC\bot(SAB)$
- D.
  $AB\bot(SBC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC;SA \subset (SAB)$

Mà $BC\bot AB$ (vì đáy là tam giác vuông tại B); $AB \subset (SAB)$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$
Câu 26: Thông hiểu
Xác định hàm số tương ứng

Cho hình vẽ:

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
- A.
  $y = \left( \sqrt{2} ight)^{x}$
- B.
  $y = \left( \sqrt{3} ight)^{x}$
- C.
  $y = \left( \frac{1}{3} ight)^{x}$
- D.
  $y = \left( \frac{1}{2} ight)^{x}$
Đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số đã cho nghịch biến nên loại hai hàm số $y = \left( \sqrt{2} ight)^{x};y = \left( \sqrt{3} ight)^{x}$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $( - 1;3)$ nên hàm số $y = \left( \frac{1}{3} ight)^{x}$ thỏa mãn.
Câu 27: Vận dụng
Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC cân với cạnh huyền $AB = 4\sqrt 2$ , cạnh bên $SC \bot \left( {ABC} ight)$ và $SC = 2$ . Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. Tính góc giữa hai đường thẳng SM và CN.
- A. ${30^o}$
- B. ${45^o}$
- C. ${90^o}$
- D. ${60^o}$
Đặt $\overrightarrow {CA} = \overrightarrow x ;\overrightarrow {CB} = \overrightarrow y ;\overrightarrow {CS} = \overrightarrow z$
Do tam giác vuông cân ABC tại C có $AB = 4\sqrt 2$ suy ra:
$CA = CB = 4;CN = 2\sqrt 2 ;SM = 2\sqrt 2$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } ight) \hfill \\ \overrightarrow {SM} = \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CM} = - \overrightarrow z + \dfrac{1}{2}\overrightarrow x \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } ight)\left( {\overrightarrow x - 2\overrightarrow z } ight)$
Mặt khác: $\left\{ \begin{gathered} {\overrightarrow x ^2} = {\overrightarrow y ^2} = 16 \hfill \\ {\overrightarrow z ^2} = 4 \hfill \\ \overrightarrow x .\overrightarrow y = \overrightarrow y .\overrightarrow z = \overrightarrow z .\overrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow x }^2} - 2\overrightarrow x .\overrightarrow z + \overrightarrow y .\overrightarrow x - 2\overrightarrow y .\overrightarrow z } ight) = 4$
Gọi $\alpha$ góc giữa hai véctơ $\overrightarrow {SM}$ và $\overrightarrow {CN}$
Theo công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} = \left| {\overrightarrow {CN} } ight|.\left| {\overrightarrow {SM} } ight|.{\text{cos}}\alpha \hfill \\ \Rightarrow {\text{cos}}\alpha = \dfrac{{\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {SM} }}{{\left| {\overrightarrow {CN} } ight|.\left| {\overrightarrow {SM} } ight|}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \alpha = {60^o} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng ${60^o}$
Câu 28: Vận dụng
Chọn kết luận đúng

Cho đồ thị của ba hàm số $y = m^{x};y = n^{x};y = \log_{t}x$ như hình vẽ:
Chọn kết luận đúng về mối quan hệ giữa $m,n,t$ ?
- A.
  $m < t < n$
- B.
  $n < m < t$
- C.
  $n < t < m$
- D.
  $m < n = t$
Quan sát đồ thị ta thấy
Hàm số $y = \log_{t}x$ là hàm số đồng biến nên $t > 1$
Hàm số $y = n^{x}$ là hàm số đồng biến nên $n > 1$
Hàm số $y = m^{x}$ là hàm nghịch biến nên $0 < m < 1$
Vậy ta có: $0 < m < n,t <1$
Xét hàm số $y =\log_{t}x$ ta có $log_{t}2 = 1 \Rightarrow t <2$
Xét hàm số $y = n^{x}$ ta có $n^{1} > 2 \Rightarrow n > 2$
Vậy $m < t < n$ .
Câu 29: Vận dụng cao
Tính tổng của a và b

Giả sử $a,b$ là các số thực sao cho $x^{3} + y^{3} = a.10^{3z} + b.10^{2z}$ đúng với mọi các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\log(x + y) = z$ và $\log\left( x^{2} + y^{2} ight) = z + 1$ . Tính giá trị của $a + b$ bằng:
- A.
  $\frac{31}{2}$
- B.
  $\frac{29}{2}$
- C.
  $- \frac{31}{2}$
- D.
  $\frac{- 25}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \log(x + y) = z \\ \log\left( x^{2} + y^{2} ight) = z + 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 10^{z} \\ x^{2} + y^{2} = 10^{z + 1} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow xy = \frac{10^{2x} - 10.10^{z}}{2}$

Khi đó:

$x^{3} + y^{3} = (x + y)\left( x^{2} + y^{2} - xy ight)$

$= 10^{z}\left( 10.10^{z} - \frac{10^{2x} - 10.10^{z}}{2} ight)$

$= 15.10^{2z} - \frac{1}{2}.10^{3z}$

Vậy $a = 15;b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = \frac{29}{2}$
Câu 30: Vận dụng
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = \frac{x + 2}{x + 5m}$ có đạo hàm dương trên $( - \infty; - 10)$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $5$
Tập xác định $D = ( - \infty;5m) \cup ( - 5m; + \infty)$

Ta có:

$y' = \frac{5m - 2}{(x + 5m)^{2}}$

Theo yêu cầu của đề bài

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5m - 2 > 0 \\ - 10 \leq - 5m \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \frac{2}{5} \leq m \leq 2$

Vì $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2 ight\}$

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 31: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức P

Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn $log_{9}a^{4} + log_{3}b = 8$ và $log_{3}a + log_{\sqrt[3]{3}}b = 9$ . Giá trị của biểu thức $P = ab + 1$ là:
- A.
  $82$
- B.
  $27$
- C.
  $243$
- D.
  $244$
Theo điều kiện ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\log_{9}a^{4} + \log_{3}b = 8 \\\log_{3}a + \log_{\sqrt[3]{3}}b = 9 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2\log_{9}a + \log_{3}b = 8 \\\log_{3}a + 3\log_{3}b = 9 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\log_{9}a = 3 \\\log_{3}b = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 27 \\b = 9 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow P = ab + 1 = 244$
Câu 32: Nhận biết
Viết phương trình tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = \frac{1}{x}$ tại điểm -1.
- A.
  $x + y + 2 = 0$
- B.
  $y = x + 2$
- C.
  $y = x - 2$
- D.
  $y = - x + 2$
Ta tính được $k = y'( - 1) = -1$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = - 1 \\\end{matrix} ight.$
Suy ra phương trình tiếp tuyến
$y + 1 = - 1(x + 1)$
$\Rightarrow y = - x + 2$
Câu 33: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Biết $a \in \mathbb{R}^{+}$ , khi đó $\sqrt[4]{a}$ bằng:
- A.
  $a^{\frac{1}{4}}$
- B.
  $a^{4}$
- C.
  $\frac{1}{a^{4}}$
- D.
  $a^{- 4}$
Ta có: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$
Câu 34: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Cho hai đường thẳng $a,b$ và mặt phẳng $(Q)$ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
- A.
  Nếu $a//(Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
- B.
  Nếu $a \subset (Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
- C.
  Nếu $a\bot(Q),b\bot a$ thì $b//(Q)$ hoặc $b \subset (Q)$ .
- D.
  Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .
Mệnh đề: “Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).
Câu 35: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Xác định hàm số nghịch biến trên tập số thực trong các hàm số sau?
- A.
  $y = 2000^{x}$
- B.
  $y = \left( \frac{2001}{2000} ight)^{x}$
- C.
  $y = \log_{2000}x$
- D.
  $y = \left( \frac{2000}{2001} ight)^{x}$
Hàm số $y = a^{x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0 < a < 1$ .
Câu 36: Nhận biết
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Tính $(AB;A'C')$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $AB//A'B' \Rightarrow (AB;A'C') = (A'B';A'C') = \widehat{B'A'C'}$

Tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ $\Rightarrow \widehat{B'A'C'} = 45^{0}$

Vậy $(AB;A'C') = 45^{0}$ .
Câu 37: Thông hiểu
Tìm tổng tất cả các nghiệm phương trình

Cho phương trình $\log_{2}(x - 3) + \log_{2}(x - 1) = 3$ . Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho.
- A.
  $4$
- B.
  $5$
- C.
  $6$
- D.
  $2$
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x - 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 3 \\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x > 3$

Phương trình đã cho tương đương:

$\Leftrightarrow \log_{2}\left\lbrack (x -3)(x - 1) ightbrack = \log_{2}8$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4x + 3 = 8 \Leftrightarrow x^{2} - 4x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1(ktm) \\ x = 5(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 5.
Câu 38: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Một người gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6%/ tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền thì số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào sau đây? (Biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lại mỗi tháng tính theo số tiền thực tế trong tài khoản của tháng đó?
- A.
  228 triệu đồng
- B.
  224 triệu đồng
- C.
  222 triệu đồng
- D.
  220 triệu đồng
Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 1 là: $200.1,006 - 0,5$ (triệu đồng)

Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 2 là:

$(200.1,006 - 0,5).1,006 - 0,5 = 200.(1,006)^{2} - 0,5(1 + 1,006)$ (triệu đồng)

Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 3 là:

$200.(1,006)^{3} - 0,5\left\lbrack 1 + 1,006 + (1,006)^{2} ightbrack$ (triệu đồng)

Cứ tiếp tục quá trình thì số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 36 là:

$200.(1,006)^{3} - 0,5\left\lbrack 1 + 1,006 + (1,006)^{2} + ... + (1,006)^{35} ightbrack$

$= 200.(1,006)^{36} - 0,5.\frac{1 - (1,006)^{36}}{1 - 1,006} = 228,035$ (triệu đồng).
Câu 39: Nhận biết
Xác định đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{\ln x}{x}$ ?
- A.
  $y' = - x$
- B.
  $y' = \frac{1 + \ln x}{x^{2}}$
- C.
  $y' = - \frac{1}{x^{3}}$
- D.
  $y' = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$
Ta có:

$y' = \left( \frac{\ln x}{x}ight)' = \frac{\left( \ln x ight)'.x - x'\ln x}{x^{2}} =\frac{1 - \ln x}{x^{2}}$
Câu 40: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Cho các số thực a và b thỏa mãn $0 < a < 1 < b$ . Tìm khẳng định đúng?
- A.
  $\log_{a}b < 0$
- B.
  $\ln a > \ln b$
- C.
  $(0,5)^{a} < (0,5)^{b}$
- D.
  $2^{a} > 2^{b}$
Xét tính đúng sai của từng đáp án như sau

Ta có $\log_{a}b < \log_{a}1 = 0$ (vì $0 < a < 1;b > 1$ ) => $\log_{a}b < 0$ => Đáp án $\log_{a}b < 0$ đúng

Vì $a < b \Rightarrow \ln a < \ln b$

=> Đáp án $\ln a > \ln b$ sai

Vì $\left\{ \begin{matrix} 0 < 0,5 < 1 \\ a < b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (0,5)^{a} > (0,5)^{b}$ => Đáp án $(0,5)^{a} < (0,5)^{b}$ Sai

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2 > 1 \\ a < b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2^{a} < 2^{b}$ => Đáp án $2^{a} > 2^{b}$ sai.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi giữa HK2 Toán 11 Chân trời sáng tạo năm học 2023 – 2024 (Đề 2) Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

19 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề thi giữa HK2 Toán 11 Chân trời sáng tạo năm học 2023 – 2024 (Đề 2)

Thời gian còn lại 90:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi giữa HK2 Toán 11 Chân trời sáng tạo năm học 2023 – 2024 (Đề 2)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7