Đạo hàm CTST
a) Định nghĩa đạo hàm
Hàm số 
\(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a,b} \right)\), được gọi là có đạo hàm tại \({x_0} \in \left( {a,b} \right)\).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0}\). Ta kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) (hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\)) tức là:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
b) Cách tính đạo hàm
Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0} \in \left( {a,b} \right)\) ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tính \(f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)
- Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x \in \left( {a,b} \right),x \ne {x_0}\)
- Bước 3: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = x + \sqrt {x - 1}\) tại \({x_0} = 2\).
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\)
Tại điểm \({x_0} = 2\) có \({y_0} = 2 + \sqrt {2 - 1} = 3\)
Với \(1 \leqslant x \ne 2\), ta có:
\(\frac{{y - {y_0}}}{{x - {x_0}}} = \frac{{x + \sqrt {x - 1} - 3}}{{x - 2}}\)
\(= \frac{{\left( {x - 2} \right) + \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}}{{x - 2}} = 1 + \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}}\)
Do đó:
\(y'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {1 + \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}}} \right)\)
\(= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}} \right]\)
\(= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}\)
\(= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + 1}}\)\(= 1 + \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}\)
Chú ý: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\). Nếu hàm số này có đạo hàm tại điểm \(x \in \left( {a,b} \right)\) thì ta nói đó có đạo hàm trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\), kí hiệu \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a,b} \right)\), có đạo hàm tại \({x_0} \in \left( {a,b} \right)\).
- Đại lượng \(\Delta x = x - {x_0}\) được gọi là số gia của biến tại \({x_0}\). Đại lượng \(\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó \(x = {x_0} + \Delta x\) và
\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\)
- Tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ \({x_0}\) đến \({x_0} + \Delta x\); còn \(f'\left( {{x_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm \(x_0\).
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^3} - 1\) tại \({x_0} = 1\) bằng định nghĩa.
Hướng dẫn giải
Xét số gia \(\Delta x\) của biến số tại điểm \({x_0} = 1\)
Ta có:
\(\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\)\(= 3{\left( {1 + \Delta x} \right)^3} - 1 - \left( {{{3.1}^3} - 1} \right)\)
\(= 9\Delta x + 9{\left( {\Delta x} \right)^2} + 3{\left( {\Delta x} \right)^3}\)
\(\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{9\Delta x + 9{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 3{{\left( {\Delta x} \right)}^3}}}{{\Delta x}}\)\(= 9 + 9\Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2}\)
Ta thấy:
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {9 + 9\Delta x + 3{{\left( {\Delta x} \right)}^2}} \right] = 9\)
c) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Nếu hàm số \(s = f\left( t \right)\) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại điểm \({t_0}\).
- Nếu hàm số \(T = f\left( t \right)\) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì \(f'\left( {{t_0}} \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \({t_0}\).
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x_0\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) của \(\left( C \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).
Ví dụ: Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}\). Viết phương trình tiếp tuyến của của đồ thị hàm số (C):
a) Tại điểm M thuộc \(\left( C \right)\) có hoành độ \({x_0} = 2\).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình \(y = - x\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y' = f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\)
a) Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm M có hệ số góc là:
\(y - f\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right)\)
\(\Leftrightarrow y - 2 = \left( { - 1} \right).\left( {x - 2} \right)\)
\(\Leftrightarrow y = - x + 4\)
b) Gọi d là tiếp tuyến cần tìm của \(\left( C \right)\) và \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là tiếp điểm của \(\left( C \right)\) và d.
Vì đường thẳng d song song với đường thẳng có phương trình \(y = - x\) nên
\(f'\left( {{x_0}} \right) = - 1 \Rightarrow - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = - 1\)
\(\Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
{x_0} - 1 = 1 \hfill \\
{x_0} - 1 = - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
{x_0} = 2 \hfill \\
{x_0} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Với \({x_0} = 2\) phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {2;2} \right)\) có hệ số góc \(f'\left( 2 \right) = 1\) là:
\(y - f\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right)\)
\(\Leftrightarrow y - 2 = \left( { - 1} \right).\left( {x - 2} \right)\)
\(\Leftrightarrow y = - x + 4\)
Với \({x_0} = 0\) phương trình tiếp tuyến tại điểm \({M_0}\left( {0;0} \right)\) có hệ số góc \(f'\left( 0 \right) = - 1\) là:
\(\begin{matrix}
y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow y - 0 = - \left( {x - 0} \right) \hfill \\
\Leftrightarrow y = - x\left( {ktm} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
Vậy tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = - x\) là: \(y = - x + 4\)
3. Số e
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e\) với \(e = 2,718281828...\)
Mở rộng
| \(\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\) |
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\) |
|
