Cấp số cộng CTST
Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số 
\(d\) không đổi, nghĩa là:
\({u_{n + 1}} = {u_n} + d;\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó (nếu có):
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - 3n + 1\)
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + n + 1\)
Hướng dẫn giải
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = - 3n + 1\)
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ { - 3\left( {n + 1} \right) + 1} \right] - \left( { - 3n + 1} \right) = - 3\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai d = -3 và số hạng đầu \({u_1} = - 3.1 + 1 = - 2\).
b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + n + 1\)
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right) + 1} \right] - \left( {{n^2} + n + 1} \right)\)
\(= 2n + 2\) phụ thuộc vào \(n\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát của nó được xác định bởi công thức:
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,\left( {\forall n \geqslant 2} \right)\)
Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng biết \(\left\{ \begin{gathered}
{u_3} - {u_7} = - 8 \hfill \\
{u_2}.{u_7} = 75 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{gathered}
{u_3} - {u_7} = - 8 \hfill \\
{u_2}.{u_7} = 75 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} + 2d - \left( {{u_1} + 6d} \right) = - 8 \hfill \\
\left( {{u_1} + d} \right).\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
- 4d = - 8 \hfill \\
\left( {{u_1} + d} \right).\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
d = 2 \hfill \\
\left( {{u_1} + 2} \right).\left( {{u_1} + 12} \right) = 75\left( * \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow {u_1}^2 + 14{u_1} - 51 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
{u_1} = 3 \hfill \\
{u_1} = - 17 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Vậy \(\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 3 \hfill \\
d = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = - 17 \hfill \\
d = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Tính chất
Ba số hạng \({u_{n - 1}},{u_n},{u_{n + 1}}\) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}\) với \(n \geqslant 1\).
Ví dụ: Xác định \(m\) để ba số \(10 - 3m,2{m^2} + 3,7 - 4m\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn giải
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
\(\frac{{\left( {10 - 3m} \right) + \left( {7 - 4m} \right)}}{2} = 2{m^2} + 3\)
\(\Leftrightarrow \left( {10 - 3m} \right) + \left( {7 - 4m} \right) = 2\left( {2{m^2} + 3} \right)\)
\(\Leftrightarrow 17 - 7m = 4{m^2} + 6\)
\(\Leftrightarrow 4{m^2} + 7m - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 1} \\
{m = - \dfrac{{11}}{4}}
\end{array}} \right.\)
3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai \(d\). Đặt \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) khi đó:
\(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
Ví dụ: Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ \(n\) của cấp số công: \(\left\{ \begin{gathered}
{S_{12}} = 34 \hfill \\
{S_{18}} = 45 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{gathered}
{S_{12}} = 34 \hfill \\
{S_{18}} = 45 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{12\left( {2{u_1} + 11d} \right)}}{2} = 34 \hfill \\
\frac{{18\left( {2{u_1} + 17d} \right)}}{2} = 45 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
6{u_1} + 33d = 17 \hfill \\
2{u_1} + 17d = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} = \frac{{32}}{9} \hfill \\
d = - \frac{1}{9} \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
