Dãy số CTST
a) Định nghĩa dãy số vô hạn
Hàm số 
\(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (dãy số), nghĩa là:
\(\begin{matrix}
u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R} \hfill \\
{\text{ n}} \mapsto {u_n} = u\left( n \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
- Kí hiệu là \(u = u\left( n \right)\) (hoặc có thể viết là \(u = {u_n}\)).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển là \({u_1};{u_2};{u_3};...;{u_n};....\)
Chú ý:
- Gọi số hạng đầu là \({u_1} = u\left( 1 \right)\) và \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
- Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*};{u_n} = c\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số không đổi.
b) Định nghĩa dãy số hữu hạn
- Hàm số \(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) hữu hạn được viết dưới dạng khai triển là \({u_1};{u_2};{u_3};...;{u_m}\)
- Gọi số hạng đầu là \({u_1}\) và \({u_m}\) là số hạng thứ cuối của dãy số.
Ví dụ: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: \(\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 1 \hfill \\
{u_2} = 2 \hfill \\
{u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} + 3{u_n} + 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.\). Tìm số hạng \(u_8\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
{u_3} = 2{u_2} + 3{u_1} + 5 = 12 \hfill \\
{u_4} = 2{u_3} + 3{u_2} + 5 = 35 \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
{u_5} = 2{u_4} + 3{u_3} + 5 = 111 \hfill \\
{u_6} = 2{u_5} + 3{u_4} + 5 = 332 \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
{u_7} = 2{u_6} + 3{u_5} + 5 = 1002 \hfill \\
{u_8} = 2{u_7} + 3{u_6} + 5 = 3005 \hfill \\
\end{matrix}\)
2. Cách xác định dãy số
Có các cách xác định dãy số như sau:
Cách 1: Liệt kê các số hạng.
Cách 2: Công thức số hạng tổng quát \({u_n} = f(n)\), tức là tính mỗi số hạng theo \(n\).
Cách 3: Công thức truy hồi tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = a} \\
{{u_{n + 1}} = g\left( {{u_n}} \right)}
\end{array}} \right.\) tính mỗi số hạng đứng trước nó.
Cách 4: Dựa vào mô tả dãy số.
Ví dụ: Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tổng quát của \({u_n}\) theo \(n\) của dãy số \(\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 3 \hfill \\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({u_2} = {u_1} + 2 = 3 + 2 = 5\)
\({u_3} = {u_2} + 2 = 5 + 2 = 7\)
\({u_4} = {u_4} + 2 = 7 + 2 = 9\)
\({u_5} = {u_4} + 2 = 9 + 2 = 11\)
Từ các số hạng đầu tiên ta dự đoán số hạng tổng quát \({u_n}\) có dạng \({u_n} = 2n + 1,\forall n \geqslant 1\left( * \right)\)
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.
Với \(n = 1,{u_1} = 2.1 + 2 = 3\) đúng. Vậy (*) đúng với \(n = 1\).
Giả sử (*) đúng với \(n=k\) có nghĩa ta có \({u_k} = 2.k + 1\left( {**} \right)\)
Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) có nghĩa ta phải chứng minh:
\({u_{k + 1}} = 2\left( {k + 1} \right) + 1 = 2k + 3\)
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (**) ta có:
\({u_{k + 1}} = {u_k} + 2 = 2.k + 1 + 2 = 2k + 3\)
Vậy (*) đúng khi . Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương \(n\).
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là dãy tăng nếu như \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\({u_{n + 1}} > {u_n}\)
Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là dãy giảm, nếu như \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\({u_{n + 1}} < {u_n}\)
Ví dụ: Xét tính tăng giảm của các dãy số được xác định bởi:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \({u_n} = 2{n^3} - 5n + 1\)
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) mỗi ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {2{{\left( {n + 1} \right)}^3} - 5\left( {n + 1} \right) + 1} \right] - \left( {2{n^3} - 5n + 1} \right)\)
\(= 2{n^3} + 6{n^2} + 6n + 2 - 5n - 5 - 1 - 2{n^3} + 5n - 1\)
\(= 6{n^2} + 6n - 3 = 6{n^2} + 3n + \left( {3n - 3} \right) > 0\) (đúng) do \(n \geqslant 1\)
Vì thế dãy số đã cho là dãy số tăng.
b) \({u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}\)
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) mỗi ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{n}{{{n^2} + 1}}\)
\(= \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) - n\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}}\)
\(= \frac{{{n^3} + n + {n^2} + 1 - \left( {{n^3} + 2{n^2} + 2n} \right)}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}}\)
\(= \frac{{ - {n^2} - n - 1}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\)
Vì \(\left\{ \begin{gathered}
- {n^2} - n + 1 < 0 \hfill \\
\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right) > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.,\left( {\forall n \geqslant 1} \right)\)
Vậy dãy số đã cho là một dãy số giảm.
4. Dãy số bị chặn
Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là bị chặn trên, nếu như tồn tại hằng số \(T\) sao cho:
\({u_n} \leqslant T;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được gọi là bị chặn dưới, nếu như tồn tại hằng số \(D\) sao cho:
\({u_n} \geqslant D,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại các số \(T,D\) sao cho:
\(D \leqslant {u_n} \leqslant T;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} - 3}}\) là một dãy số bị chặn.
Hướng dẫn giải
Ta có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} - 3}} = \frac{1}{2} + \frac{5}{{2\left( {2{n^2} - 3} \right)}}\left( * \right)\)
Dễ thấy \(\forall n \geqslant 1\) ta có:
\(- 1 \leqslant \frac{1}{{2{n^2} - 3}} \leqslant \frac{1}{5}\)
Do đó từ (*) suy ra: \(- 2 \leqslant {u_n} \leqslant 1;\left( {\forall n \geqslant 1} \right)\)
Từ đó suy ra là một dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
