Hai đường thẳng song song CTST
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b (hay a và b đồng phẳng). Có các khả năng sau xảy ra:
|
Vị trí tương đối |
Số điểm chung |
Kí hiệu |
Minh họa |
|
Trùng nhau |
2 |
|
 |
|
Cắt nhau |
1 |
 \(a \cap b = M\) |
 |
|
Song song |
0 |
|
 |
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.
Hình vẽ minh họa
Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Chú ý:
- Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chung không đồng phẳng.
- Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó. Kí hiệu là \(mp(a, b)\).
2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
Định lí 1
Trong không gian qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Định lí 2
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Điểm \(M\) thuộc cạnh \(SA\), điểm \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\).
1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).
2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBC)\) và \((SAD)\).
3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((SAC)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) \hfill \\
AB \subset \left( {SAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right) \hfill \\
AB//CD \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow Sx = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(Sx // AB //CD\).
2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBC)\) và \((SAD)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
M \in SA \subset \left( {SAD} \right) \hfill \\
M \in \left( {MBC} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)
Lại có: \(\left\{ \begin{gathered}
M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) \hfill \\
BC \subset \left( {SBC} \right);AD \subset \left( {SAD} \right) \hfill \\
BC//AD \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow My \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\) với \(My // BC // AD\).
3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((SAC)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
M \in SA \subset \left( {SAC} \right) \hfill \\
M \in \left( {MEF} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow M \in \left( {MEF} \right) \cap \left( {SAC} \right)\)
Xét tam giác ABC có: EF là đường trung bình của tam giác \(=> EF // AC\).
Do \(\left\{ \begin{gathered}
M \in \left( {MEF} \right) \cap \left( {SAC} \right) \hfill \\
EF \subset \left( {MEF} \right);AC \subset \left( {SAC} \right) \hfill \\
EF//AC \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow Mt \in \left( {MEF} \right) \cap \left( {SAC} \right)\) với \(Mt // EF // AC\).
Định lí 3
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABC\). Lấy điểm I thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(IA = 2IS\), các điểm \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(SB, SC\). Lấy điểm \(H\) đối xứng với \(I\) qua \(M\), \(K\) đối xứng với \(I\) qua \(N\).
a) Chứng minh \(HK // BC\)
b) Chứng minh \(BH // SA\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác \(IHK\) có \(MN\) là đường trung bình \(=> MN // BC (1)\)
Xét tam giác \(SBC\) có \(MN\) là đường trung bình \(=> MN // BC (2)\)
Từ (1) và (2) \(=> HK // BC\) (đpcm).
b) Tứ giác \(SIBH\) có hai đường chéo \(SB\) và \(IH\) cắt nhau tại \(M\) là trung điểm của mỗi đường
=> \(SIBH\) là hình bình hành
\(=> SI // BH => SA // BH\) (đpcm).
