VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 2: Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đẳng thức sai

Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?
- A.
  $u_{1}.u_{15} =u_{2}.u_{14}$
- B.
  $u_{1}.u_{15} =u_{5}.u_{11}$
- C.
  $u_{1}.u_{15} = u_{6}.u_{9}$
- D.
  $u_{1}.u_{15} =u_{12}.u_{4}$
Ta có: $u_{1}.u_{15} = u_{1}.u_{1}.q^{14}= \left( u_{1}.q^{a - 1} ight).\left( u_{1}.q^{b - 1} ight) =u_{a}.u_{b}$
Với $a + b = 16$
Đáp án sai $u_{1}.u_{15} =u_{6}.u_{9}$
Câu 2: Vận dụng
Xác định cấp số nhân

Một cấp số nhân có $5$ số hạng, công bội q bằng $\frac{1}{4}$ số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu bằng $24$ . Xác định cấp số nhân?
- A.
  $u_{1} = 8;q = 3$
- B.
  $u_{1} = - 2;q = 2$
- C.
  $u_{1} = - 12;q = 2$
- D.
  $u_{1} = 12;q = - 3$
Theo bài ra ta có:

$u_{1} + u_{2} = u_{1} + u_{1}.q = 24$

$\Rightarrow u_{1} + \frac{1}{4}{u_{1}}^{2} = 24$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{1} = - 12;q = - 3 \\ u_{1} = 8;q = 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm số số hạng của dãy số

Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$ , công bội q = 2. Biết ${S_n} = 765$ . Tìm n?
- A. n = 7
- B. n = 6
- C. n = 8
- D. n = 9
Ta có:
$\begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{3\left( {1 - {2^n}} ight)}}{{1 - 2}} = 765 \hfill \\ \Rightarrow n = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $8u_{3} - u_{7} +8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}$ . Tính $\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}$

Đáp án: 64

Đáp án là:

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $8u_{3} - u_{7} +8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}$ . Tính $\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}$

Đáp án: 64

Giả sử cấp số nhân có công bội là $q$ , khi đó theo bài ra ta có:

$8u_{3} - u_{7} + 8u_{5} = u_{6} + u_{8} - 8u_{4}$

$\Leftrightarrow 8\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$

$\Leftrightarrow 8\left( u_{3} + u_{3}q + u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}$

$\Leftrightarrow 8u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)$

$\Leftrightarrow 8u_{3} = u_{6}$ do $1 + q + q^{2} > 0$

$\Leftrightarrow 8u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 8 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\frac{u_{8} + u_{9} +u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q +u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}$ $= \frac{u_{8}\left( 1 + q +q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} =\frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 64$
Câu 5: Vận dụng
Tìm n

Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là $u_{n}$ có giá trị là bao nhiêu?
- A.
  $u_{n} = 57$
- B.
  $u_{n} = 61$
- C.
  $u_{n} = 65$
- D.
  $u_{n} = 69$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;d = 4 \\ S_{m} = 561 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1;d = 4 \.u_{1} + \dfrac{n(n - 1)}{2}.d = 561 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow n + \frac{n^{2} - n}{2}.4 = 561$

$\Leftrightarrow 2n^{2} - n - 561 = 0$

$\Leftrightarrow n = 17$

$\Rightarrow u_{n} = u_{17} = u_{1} + 16d = 1 + 16.4 = 65$
Câu 6: Vận dụng
Xét tính tăng giảm?

Xét tính tăng, giảm của dãy số $u_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2^{n},}$ ta được kết quả?
- A.
  Dãy số (u_n) tăng.
- B.
  Dãy số (u_n) giảm.
- C.
  Dãy số (u_n) không tăng, không giảm.
- D.
  Dãy số (u_n) khi tăng khi giảm.
Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3^{n + 1}- 1}{2^{n + 1}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}}$

$= \frac{3^{n + 1} - 1 -{2.3}^{n} + 2}{2^{n + 1}} = \frac{3^{n} + 1}{2^{n + 1}} >0$

⇒ dãy (u_n) là dãy số tăng.
Câu 7: Vận dụng cao
Mệnh đề đúng?

Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- D.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
Ta xét dãy số này bị chặn bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Với n = 1 ta có − 2 ≤ u₁ ≤ 1 (đúng).

Giả sử mệnh đề trên đúng với n = k ≥ 1. Tức là − 2 ≤ u_k ≤ 1

$\Rightarrow - 1 \leq \frac{1}{2}u_{k} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq \frac{1}{2}u_{k} - 1 \leq - \frac{1}{2} \Rightarrow - 2 \leq u_{k + 1} \leq 1$

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được − 2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn.
Câu 8: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (U_n) có u₁ = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u₁₀
- A. ${u_{10}} = - {2.3^9}$
- B. ${u_{10}} = 25$
- C. ${u_{10}} = 28$
- D. ${u_{10}} = - 29$
Ta có: ${u_{10}} = {u_1} + \left( {10 - 1} ight)d = {u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25$
Câu 9: Thông hiểu
Tính tổng 50 số nguyên dương đầu tiên

Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:
- A.
  $S_{50} = 7650$
- B.
  $S_{50} = 7500$
- C.
  $S_{50} = 3900$
- D.
  $S_{50} = 3825$
Ta có:

Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng $3n;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ nên chúng lập thành cấp số cộng $u_{n} = n$

$ightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{50} = 150 \\ \end{matrix} ight.$

$S_{n} = \frac{n}{2}.\left( u_{1} + u_{n} ight) = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}$

$\Rightarrow S_{50} = \frac{50}{2}.\left( u_{1} + u_{50} ight) = 3825$
Câu 10: Thông hiểu
Số hạng tổng quát có dạng?

Cho dãy số có các số hạng đầu là 0,1; 0,001;0,0001; ... Số hạng tổng quát của dãy số có dạng?
- A. $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}$
- B. $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n-1 chữ số 0}}$
- C. $u_n=\frac{1}{10^{n-1}}$
- D. $u_n=\frac{1}{10^{n+1}}$
Ta có:

Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0;

Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0;

Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0;

Suy ra có chữ số 0.

Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: $u_n=\underbrace{0,00...01}_{\text{n chữ số 0}}$
Câu 11: Thông hiểu
Số hạng tổng quát

Cho dãy số (u_n) với $\ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n + 1}\text{.~} \\ \end{matrix} ight.$

Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?
- A.
  u_n = 2 − n
- B.
  Không xác định
- C.
  u_n = 1 − n
- D.
  u_n = − n với mọi n
Ta có u_n + 1 = u_n + (−1)^2n + 1 = u_n − 1

u₁ = 1; u₂ = u₁ − 1; u₃ = u₂ − 1; …; u_n = u_n − 1 − 1

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:

u_n = 1 − (n−1) = 2 − n.
Câu 12: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (U_n) có ${u_1} = 4;{u_2} = 1$ . Giá trị của ${u_{10}}$ bằng:
- A. ${u_{10}} = 31$
- B. ${u_{10}} = - 23$
- C. ${u_{10}} = - 20$
- D. ${u_{10}} = 15$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_1} = 4;{u_2} = 1 \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 1 - 4 = - 3 \hfill \\ \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} ight) = - 23 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Nhận biết
Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng

Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng $u_{1} = 5;u_{2} = 9$ .
- A.
  $230$
- B.
  $410$
- C.
  $275$
- D.
  $41$
Theo bài ra ta có:

$d = u_{2} - u_{1} = 4$

$\Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Với $n \in \mathbb{N}^{*}$ , cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi hệ thức truy hồi $u_{1} = 2$ , $u_{n + 1} = 2u_{n} + 3$ . Giá trị của số hạng thứ $4$ bằng
- A.
  $37$ .
- B.
  $17$ .
- C.
  $7$ .
- D.
  $77$ .
Ta có:

$u_{2} = 2u_{1} + 3 = 2.2 + 3 = 7$ ,

$u_{3} = 2u_{2} + 3 = 2.7 + 3 = 17$ ,

$u_{4} = 2u_{3} + 3 = 2.17 + 3 = 37$ .
Câu 15: Thông hiểu
Mênh đề đúng?

Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) tăng.
- B.
  Dãy (u_n) giảm.
- C.
  Dãy (u_n) không tăng, không giảm.
- D.
  Dãy số (u_n) là dãy hữu hạn.
Ta có $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}$

Xét tỉ số:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}$

$= \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}$

$= 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.
Câu 16: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có tổng n số hạng đầu tiên là $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}}$ . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.
- A.
  $u_{5} = \frac{2}{3^{4}}$
- B.
  $u_{5} = \frac{2}{3^{5}}$
- C.
  $u_{5} = 3^{5}$
- D.
  $u_{5} = \frac{5}{3^{5}}$
$S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}} = 3.\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack$

Mặt khác

$\Rightarrow S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 -q^{n}}{1 - q} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3(1 - q) \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{5} = u_{1}.q^{4} = \frac{2}{3^{4}}$
Câu 17: Nhận biết
Cấp số nhân

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  1, 3, 5, 7, 9
- B.
  -1, -3, 1, 3, 5
- C.
  1, 2, 4, 16, 256
- D.
  1, 2, 4, 8, 16
Dãy số 1, 2, 4, 8, 16 tuân theo quy luật $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 2$
=> Dãy số đó là cấp số nhân
Câu 18: Nhận biết
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu và công sai lần lượt là $- 2;3$ . Số hạng thứ $10$ bằng:
- A.
  $u_{10} = 25$
- B.
  $u_{10} = 31$
- C.
  $u_{10} = 22$
- D.
  $u_{10} = 28$
Ta có: $u_{1} = - 2;d = 3$

$\Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9d = 25$
Câu 19: Nhận biết
Dãy số nào không phải cấp số nhân

Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số nhân?
- A.
  $2;4;8;16;...$
- B.
  $1; - 1;1; - 1;...$
- C.
  $1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};...$
- D.
  $a;a^{3};a^{5};a^{7};...,(a eq 0)$
Xét đáp án $1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};...$ có $\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = 4 eq \frac{9}{4} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

=> Dãy số $1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};...$ không phải là cấp số nhân.
Câu 20: Vận dụng
Tính tổng số tiền lương người lao động nhận được

Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với các công nhân tuyển dụng, công ty X, đề xuất phương án trả lương như sau: Người lao động sẽ nhận 7 triệu ở quý đầu tiên (một quý là ba tháng), và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 500.000 đồng mỗi quý. Như vậy sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động đã nhận được là bao nhiêu?
- A.
  $137,5$ triệu đồng
- B.
  $670$ triệu đồng
- C.
  $570$ triệu đồng
- D.
  $610$ triệu đồng
Ta có:

Số tiền nhận được hàng quý là một cấp số cộng hữu hạn với số hạng đầu tiên là: $u_{1} = 7$ (triệu), công sai là 0,5 (triệu).

Trong 10 năm sẽ có 40 quý nên cấp số cộng trên có 40 phần tử.

Từ đó ta có

$S_{40} = \frac{40}{2}.\left( 2u_{1} + 39d ight) = 670$ (triệu đồng)
Câu 21: Nhận biết
Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Cho dãy số có các số hạng đầu là $- 2;0;2;4;6;...$ . Số hạng tổng quát của dãu số này là đẳng thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = - 2n$
- B.
  $u_{n} = n - 2$
- C.
  $u_{n} = - 2(n + 1)$
- D.
  $u_{n} = 2n - 4$
Ta có: $u_{1} = - 2$ loại các đáp án $u_{n} = n - 2$ và $u_{n} = - 2(n + 1)$ . Ta kiểm tra $u_{2} = 0$

Xét đáp án $u_{n} = - 2n$ có $u_{2} = - 4 eq 0$

Xét đáp án $u_{n} = 2n - 4$ có $u_{2} = 2.2 - 4 = 0$ là đáp án đúng.
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án chưa thích hợp

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $1; 2;3;4;5$ .
- B.
  $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ .
- C.
  $1; - 1; 1;- 1;1$ .
- D.
  $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ .
Dãy $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$ .

Dãy $1; - 1; 1; - 1;1$ là cấp số nhân với công bội $q = - 1$ .

Dãy $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = - 2$ .

Dãy $1;2;3; 4;5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$ .
Câu 23: Thông hiểu
Xác định cấp số cộng

Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
- A. $\left( {{U_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \geqslant 1} \end{array}} ight.$
- B. $\left( {{U_n}} ight):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \geqslant 1} \end{array}} ight.$
- C. $\left( {{U_n}} ight):1;3;6;10;15;...$
- D. $\left( {{U_n}} ight): - 1;1; - 1;1; - 1;....$
Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện ${u_{n + 1}} - {u_1} = 2$ với $n \geqslant 1$ là cấp số cộng.
Câu 24: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1}$ là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra $u_{30} < u_{15}$ . Sai||Đúng
c) Dãy số $6;a; - 2;b$ cấp số cộng khi $a = 2;b = 5$ . Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng $2$ và $189$ . Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là $96$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{2n -1}{n + 1}$ là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra $u_{30} < u_{15}$ . Sai||Đúng
c) Dãy số $6;a; - 2;b$ cấp số cộng khi $a = 2;b = 5$ . Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng $2$ và $189$ . Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là $96$ . Đúng||Sai

a) Ta có:
$u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} = 2 -\frac{3}{n + 1}$
$u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{n +2}$
Suy ra:
$u_{n + 1} - u_{n} = 2 - \frac{3}{n + 2}- 2 + \frac{3}{n + 1}$
$= 3\left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n +2} ight) > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên $u_{30} > u_{15}$
c) Ta có: $6;a; - 2;b$ là một cấp số cộng
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 4 \\a + b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \left\{ \begin{matrix}2a = 6 + ( - 2) \\2.( - 2) = a + b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.$
d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\left( S_{n} ight) = 189 \\n = 6;q = 2 \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 -2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3$
$\Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{5} =96$
Câu 25: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}$ . Giá trị $u_{21}$ là
- A.
  $\frac{11}{243}$ .
- B.
  $\frac{10}{243}$ .
- C.
  $\frac{21}{443}$ .
- D.
  $\frac{19}{443}$ .
Ta có: $u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}$ .
Câu 26: Nhận biết
Chọn đáp án sai

Khẳng định nào dưới đây sai?
- A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) là ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ với công bội q và số hạng đầu u₁
- B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d$ với công sai d và số hạng đầu u₁
- C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + nd$ với công sai d và số hạng đầu u₁
- D. Nếu dãy số (u_n) là một cấp số cộng thì ${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + {u_{n + 2}}}}{2};\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} ight)$
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d$ với công sai d và số hạng đầu u₁
Câu 27: Nhận biết
Tìm 3 số hạng để dãy số lập thành CSC

Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.
- A. 7; 12; 17
- B. 6; 10; 14
- C. 8; 13; 18
- D. 6; 12; 18
Khi viết xen giữa 2 và 22 ba số hạng ta được một cấp số cộng có 5 số hạng có:
u₁ = 2; u₅ = 22. Ta cần tìm u₂; u₃; u₄
Ta có:
$\begin{matrix} {u_5} = {u_1} + 4d \Rightarrow d = \dfrac{{{u_5} - {u_1}}}{4} = \dfrac{{22 - 2}}{4} = 5 \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 7} \\ {{u_3} = {u_1} + 2d = 12} \\ {{u_4} = {u_1} + 3d = 17} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 28: Vận dụng
Dãy tăng hay giảm?

Xét tính tăng giảm của dãy số $u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1}$ , ta thu được kết quả
- A.
  Dãy số (u_n) tăng
- B.
  Dãy số (u_n) giảm
- C.
  Dãy số (u_n) không tăng, không giảm
- D.
  Dãy số (u_n) khi tăng, khi giảm
Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(n + 1) + \sqrt{(n + 1)^{2} - 1}} - \frac{1}{n + \sqrt{n^{2} - 1}} < 0$

Vậy dãy (u_n) là dãy số giảm.
Câu 29: Nhận biết
Viết 5 số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = - \frac{1}{2}$ công sai $d = \frac{1}{2}$ . Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
- A. $- \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1$
- B. $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}$
- C. $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}$
- D. $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Nhận biết
Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng

Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi $u_{1} = - 5;d = 3$ .
- A.
  $14506$
- B.
  $14350$
- C.
  $14600$
- D.
  $14500$
Theo bài ra ta có:

$S_{100} = \frac{\left( 2u_{1} + 99d ight).100}{2} = 14350$
Câu 31: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 4$ . Giá trị nhỏ nhất của $u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}$ bằng:
- A.
  -8.
- B.
  -24.
- C.
  -20.
- D.
  -6.
Ta gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.

Khi đó:

$u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}$

$= 4(4 + d) + (4 + d)(4 + 2d) + 4(4 + 2d)$

$= 2d^{2} + 24d + 48 = 2(d + 6)^{2} - 24\geq - 24$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}$ là -24 đạt được khi khi $d = - 6$ .
Câu 32: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành $10$ hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có $1$ khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

Đáp án: 55

Đáp án là:

Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành $10$ hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có $1$ khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

Đáp án: 55

Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có: $u_{1} = 1;d = 1;n = 10$ .

Khi đó, tổng số khúc gỗ là:

$S_{10} = \frac{n\left( 2u_{1} + (n - 1)d ight)}{2}$

$= \frac{10\left( 2.1 + (10 - 1)1 ight)}{2} = 55$ (khúc gỗ).
Câu 33: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Từ hình vuông có cạnh bằng $1$ , người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông mới (hình vẽ).Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Gọi $S_{n}$ là diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n $\left( n \in \left\{ 1;2;3;... ight\} ight)$ . Tính tổng $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{n} + ...$ ?

Đáp án: 5/4 (kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Từ hình vuông có cạnh bằng $1$ , người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông mới (hình vẽ).Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Gọi $S_{n}$ là diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n $\left( n \in \left\{ 1;2;3;... ight\} ight)$ . Tính tổng $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{n} + ...$ ?

Đáp án: 5/4 (kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Giả sử cạnh hình vuông bằng a.

Ta có cạnh của hình vuông được tạo ở bước 1 là $\frac{a\sqrt{5}}{3} \Rightarrow S_{1} = \frac{5a^{2}}{9}$

Tương tự như trên, ta có:

$S_{2} = \left( \frac{5}{9} ight)^{2}a^{2}$ , $S_{3} = \left( \frac{5}{9} ight)^{3}a^{2}$ ,…, $S_{n} = \left( \frac{5}{9} ight)^{n}a^{2}$

Nên $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{n} + ...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{5}{9}a^{2} \\ q = \frac{5}{9} \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{5}{9}a^{2}}{1 - \dfrac{5}{9}} =\dfrac{5}{4}a^{2}$ .

Với a = 1 suy ra $S = \frac{5}{4}$ .
Câu 34: Thông hiểu
Tìm vị trí của số hạng đã cho

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;q = - \frac{1}{10}$ . Số $\frac{1}{10^{103}}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
- A.
  Số hạng thứ 103
- B.
  Số hạng thứ 104
- C.
  Số hạng thứ 105
- D.
  Số hạng thứ 102
Ta có:

$u_{n} = \frac{1}{10^{103}}$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = \frac{1}{10^{103}}$

$\Rightarrow ( - 1)\left( - \frac{1}{10} ight)^{n - 1} = 6561$

Mà n là số chẵn và $n - 1 = 103$

$\Rightarrow n = 104$
Câu 35: Thông hiểu
Tìm công bội và số hạng đầu tiên của CSN

Cho cấp số nhân (u_n) có ${u_2} = \frac{1}{4};{u_5} = 16$ . Tìm công bội q và số hạng đầu u₁.
- A. $q = \frac{1}{2};{u_1} = \frac{1}{2}$
- B. $q = - \frac{1}{2};{u_1} = 2$
- C. $q = 4;{u_1} = - \frac{1}{2}$
- D. $q = 4;{u_1} = \frac{1}{{16}}$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = \dfrac{1}{4}} \\ {{u_5} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}.q = \dfrac{1}{4}} \\ {{u_1}.{q^4} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q^3} = 64} \\ {{u_1}.{q^4} = 16} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 4} \\ {{u_1} = \dfrac{1}{{16}}} \end{array}} ight.$
Câu 36: Thông hiểu
Dãy số bị chặn trên

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \cos n + \sin n$ . Dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  $\sqrt{2}$
- D.
  Không bị chặn trên.
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = \cos n + \sin n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sin \dfrac{\pi }{4}\sin n + \cos \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Với mọi n ta có:
$\begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \leqslant {u_n} = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên bởi $\sqrt{2}$
Câu 37: Nhận biết
Tính tổng các giá trị của m

Biết ba số $m;2;m + 3$ lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
- A.
  $S = 3$
- B.
  $S = - 3$
- C.
  $S = 4$
- D.
  $S = - 4$
Để ba số $m;2;m + 3$ lập thành một cấp số nhân thì $m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các giá trị của m là $S = - 3$
Câu 38: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = 2n + 5$ . Số $19$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?
- A.
  $12$
- B.
  $19$
- C.
  $5$
- D.
  $7$
Ta có

$u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19$

$\Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7$ .

Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.
Câu 39: Nhận biết
Tìm ba số hạng đầu tiên của dãy số

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $u_{n} = \frac{n^{2} + 3n + 7}{n + 1}$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy là:
- A.
  $\frac{6}{4};\frac{5}{4};\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2};\frac{1}{5};\frac{1}{7}$
- D.
  $1;\frac{3}{5};\frac{7}{6}$
Ba số hạng đầu tiên của dãy là $\frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4}$
Câu 40: Vận dụng cao
Tìm vị trí số hạng đã biết

Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1; 8; 22; 43; … Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng 7; 14; 21; …, 7n. Số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho?
- A. 100
- B. 101
- C. 102
- D. 103
Theo đề bài ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_1} = 7} \\ {{u_3} - {u_2} = 14} \\ {{u_4} - {u_3} = 21} \\ \begin{gathered} ..... \hfill \\ {u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.$
Cộng các vế của các phương trình của hệ ta được:
${u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} ight) = \frac{{7.n\left( {n - 1} ight)}}{2}\left( * ight)$
Đặt ${u_n} = 35351$
Từ (*) suy ra:
$\begin{matrix} 35351 - 1 = \dfrac{{7n\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 101 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

46 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian

Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm

Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương 7: Đạo hàm

Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 9: Xác suất