VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 2: Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu
Tổng dãy số chia hết cho bao nhiêu

Với mọi số nguyên dương $n$ thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho
- A.
  3
- B.
  2
- C.
  4
- D.
  7
Với $n = 1$ $\Rightarrow {S_1} = {1^3} + 2.1 = 3$ chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh $S_n$ chia hết cho 3 với mọi $n$ .
Giả sử khẳng định đúng với $n=k$ tức là ${S_k} = {k^3} + 2k$ chia hết cho 3, ta chứng minh ${S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight)$ cũng chia hết cho 3.
Ta có:
$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} ight)^3} + 2\left( {k + 1} ight) \hfill \\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 \hfill \\ = \left( {{k^3} + 2k} ight) + 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \left( {{k^3} + 2k} ight) \vdots 3 \hfill \\ 3\left( {{k^2} + k + 1} ight) \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow {S_{k + 1}} \vdots 3 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy với mọi số nguyên dương thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho 3.
Câu 2: Nhận biết
Dãy nào là cấp số nhân

Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
- A.
  $128; - 64;32; - 16;8;...$
- B.
  $\sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};...$
- C.
  $5;6;7;8;...$
- D.
  $15;5;1;\frac{1}{5};...$
Ta có:

Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân

$\Leftrightarrow u_{n} = q.u_{n - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}} = ... = q;\left( u_{n} eq 0 ight)$

Gọi $q$ là công bội.

Xét đáp án $128; - 64;32; - 16;8;...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = - \frac{1}{2} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}}$

Xét đáp án $\sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} eq 2 = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Xét đáp án $5;6;7;8;...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{6}{5} eq \frac{7}{6} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Xét đáp án $15;5;1;\frac{1}{5};...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{3} eq \frac{1}{5} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm kết luận đúng

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn trên?
- A.
  $\left( u_{n} ight):u_{n} = n^{3}$ .
- B.
  $\left( v_{n} ight):v_{n} = - n^{2} + 2$ .
- C.
  $\left( k_{n} ight):k_{n} = n^{2} -6n$ .
- D.
  $\left( a_{n} ight):a_{n} = ( - 4)^{n}$ .
Ta có:

$\left( v_{n} ight):v_{n} = - n^{2} + 2 \leq 2$ .

Vậy đây là dãy số bị chặn trên.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.$ . Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:
- A.
  $u_{n} = 5 - 2n$
- B.
  $u_{n} = 2 + n$
- C.
  $u_{n} = 3n + 2$
- D.
  $u_{n} = - 3n + 1$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) - \left( u_{1} + 5d ight) = 7 \\ \left( u_{1} + 3d ight) + \left( u_{1} + 7d ight) = - 14 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} - 2d = 7 \\ 2u_{1} + 10d = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = 3 + (n - 1)( - 2) = 5 - 2n$
Câu 5: Vận dụng
Số hạng đầu tiên và công sai của CSC

Xác định số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng (u_n) có u₉ = 5u₂ và u₁₃= 2u₆ + 5.
- A. u₁ = 3 và d = 4
- B. u₁ = 3 và d = 5
- C. u₁ = 4 và d = 5
- D. u₁ = 4 và d = 3
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} ight)} \\ {{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} ight) + 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4{u_1} - 3d = 0} \\ {{u_1} - 2d = - 5} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {d = 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Thông hiểu
Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;d = 3$ . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
- A.
  Thứ 15
- B.
  Thứ 20
- C.
  Thứ 35
- D.
  Thứ 36
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\overset{n \mapsto u_{n} = 100}{ightarrow}100 = u_{1} + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow 100 = 3n - 8$

$\Leftrightarrow n = 36$
Câu 7: Vận dụng
Dãy số có bị chặn?

Xét tính bị chặn của dãy số $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 2)}$ , ta thu được kết quả?
- A.
  Dãy số bị chặn.
- B.
  Dãy số không bị chặn.
- C.
  Dãy số bị chặn trên.
- D.
  Dãy số bị chặn dưới.
Ta có $0 < u_{n} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1$

Dãy (u_n) bị chặn.
Câu 8: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}$ . Giá trị $u_{21}$ là
- A.
  $\frac{11}{243}$ .
- B.
  $\frac{10}{243}$ .
- C.
  $\frac{21}{443}$ .
- D.
  $\frac{19}{443}$ .
Ta có: $u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}$ .
Câu 9: Vận dụng
Mệnh đề đúng?

Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2} + 1}{4},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  (u_n) là dãy số tăng.
- B.
  (u_n) là dãy số giảm.
- C.
  (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.
- D.
  (u_n) là dãy số không đổi.
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh u_n + 1 − u_n < 0 bằng quy nạp toán học.

Từ giả thiết suy ra u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Ta có $u_{2} - u_{1} = \frac{5}{4} - 2 = \frac{- 3}{4} < 0.$

Giả sử: u_k + 1 − u_k < 0, ∀k ≥ 1

Xét hiệu $u_{k + 2} - u_{k + 1} = \frac{u_{k + 1}^{2} + 1}{4} - \frac{u_{k}^{2} + 1}{4}$

$= \frac{1}{4}\left( u_{k + 1} + u_{k} ight)\left( u_{k + 1} - u_{k} ight) < 0$

Theo nguyên lí quy nạp suy ra u_n + 1 − u_n < 0, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) là dãy số giảm.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;\ \ u_{4} = - 54$ . Tính $u_{8}$ .
- A.
  $u_{8} = 4374$ .
- B.
  $u_{8} = 13122$ .
- C.
  $u_{8} = - 13122$ .
- D.
  $u_{8} = - 4374$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = - 54 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{1}.q^{3} = - 54 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q^{3} = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = - 2 \\q = 3 \\\end{matrix} ight.$

Vậy $u_{8} = u_{1}.q^{7} = - 2.3^{7} = - 4374$ .
Câu 11: Vận dụng
Tìm n

Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là $u_{n}$ có giá trị là bao nhiêu?
- A.
  $u_{n} = 57$
- B.
  $u_{n} = 61$
- C.
  $u_{n} = 65$
- D.
  $u_{n} = 69$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;d = 4 \\ S_{m} = 561 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1;d = 4 \.u_{1} + \dfrac{n(n - 1)}{2}.d = 561 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow n + \frac{n^{2} - n}{2}.4 = 561$

$\Leftrightarrow 2n^{2} - n - 561 = 0$

$\Leftrightarrow n = 17$

$\Rightarrow u_{n} = u_{17} = u_{1} + 16d = 1 + 16.4 = 65$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2 và u₂ = -8. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. ${S_6} = 130$
- B. ${u_5} = 256$
- C. ${S_5} = 516$
- D. $q = - 4$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {{u_2} = - 8 = {u_1}.q = 2q} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 2} \\ {q = - 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_5} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} ight)}^5}}}{{1 + 4}} = 410} \\ {{S_6} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^6}}}{{1 - q}} = 2.\dfrac{{1 - {{\left( { - 4} ight)}^6}}}{{1 + 4}} = - 1638} \\ {{u_5} = {u_1}{q^4} = 2.{{\left( { - 4} ight)}^4} = 512} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Thông hiểu

Hãy xác định tính đúng sai của mỗi ý a), b), c), d)

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}$ là một dãy số giảm. Sai||Đúng

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ . Đúng||Sai

c) Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 5 - 2020n$ . Sai||Đúng

d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}$ là một dãy số giảm. Sai||Đúng

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ . Đúng||Sai

c) Cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight)$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 5 - 2020n$ . Sai||Đúng

d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

a) Xét dãy số đã cho ta có:

$u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$ nên dãy số $\left( u_{n} ight)$ không tăng không giảm.

b) $T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}"$ đúng bằng chứng minh quy nạp.

c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng $u_{1} = - 2020$

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

$u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)$

$\Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n$

d) Từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: $S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $1; - 3; - 6; - 9; - 12$ .
- B.
  $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ .
- C.
  $1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .
- D.
  $1; - 2; - 4; - 6; - 8$ .
Ta có dãy số $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là một cấp số cộng có công sai $d = - 4$ .
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho một cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 5;q = \frac{1}{3}$ . Hỏi $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
- A.
  $9$
- B.
  $10$
- C.
  $11$
- D.
  $12$
Ta có: $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow \frac{5}{59049} = 5.\left( \frac{1}{3} ight)^{n - 1} \Rightarrow n = 11$

Vậy số $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.
Câu 16: Nhận biết
Tìm vị trí của số hạng?

Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{2n + 1}{n +2}$ . Số $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ mấy của dãy?
- A.
  300
- B.
  212
- C.
  250
- D.
  249
Ta có $u_{n} = \frac{167}{84}\Leftrightarrow \frac{2n + 1}{n + 2} = \frac{167}{84} \Leftrightarrow84(2 + 1) = 167(n + 2) \Leftrightarrow n = 250$
Vậy $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ 250 của dãy số (u_n)
Câu 17: Vận dụng cao
Mệnh đề đúng?

Cho dãy số (u_n) biết u_n = a sin(n)+b cos(n). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) không bị chặn
- B.
  Dãy số (u_n) bị chặn
- C.
  Dãy số (u_n) bị chặn dưới
- D.
  Dãy số (u_n) bị chặn trên
Xét |u_n| = |a sin(n)+b cos(n)| ≤ |a| + |b| ⇒ − (|a|+|b|) ≤ u_n ≤ |a| + |b|

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.
Câu 18: Thông hiểu
Cấp số nhân có bao nhiêu số hạng

Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
- A.
  $18$
- B.
  $17$
- C.
  $16$
- D.
  $9$
Ta có:

$u_{n} = 32805$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 32805$

$\Rightarrow 3^{n - 1} = 6561$

$\Rightarrow n = 9$

Vậy $u_{9}$ là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Câu 19: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) $k ∈ \mathbb{ Q}$
(b) $n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.$
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$
- B.
  Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- C.
  Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- D.
  Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì $\mathbb{Q}$ là tập con thực sự của $\mathbb{N^*}$ nên tồn tại số nguyên dương không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn $k \in \mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì số nguyên âm không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Câu 20: Nhận biết
Xác định dãy số là cấp số nhân

Trong các dãy số $\left( u_{n} ight)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ , dãy nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}}$
- B.
  $u_{n} = \frac{1}{3^{n}} - 1$
- C.
  $u_{n} = n + \frac{1}{3}$
- D.
  $u_{n} = n^{2} - \frac{1}{3}$
Dãy $u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}} = 9.\left( \frac{1}{3} ight)^{n}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
Câu 21: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho cấp số cộng ${u_1} = - 3;d = 4$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A. ${u_5} = 15$
- B. ${u_5} = 8$
- C. ${u_5} = 5$
- D. ${u_5} = 2$
Ta có: ${u_3} = {u_1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5$
Câu 22: Nhận biết
Số hạng tổng quát của CSC

Cho cấp số cộng (u_n) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; …. Tìm số hạng tổng quát u_n của cấp số cộng.
- A. ${u_n} = 5n + 1$
- B. ${u_n} = 5n - 1$
- C. ${u_n} = 4n + 1$
- D. ${u_n} = 4n - 1$
Các số 5; 9; 13; 17; …. theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (u_n) nên:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {d = {u_2} - {u_1} = 4} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = 5 + 4\left( {n - 1} ight) = 4n + 1 \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = 4n + 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Nhận biết
Tìm cấp số nhân

Dãy số nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = 7 - 3^{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{7}{3n}$
- C.
  $u_{n} = 7.2^{n + 1}$
- D.
  $u_{n} = 7 - 3n$
Theo bài ra ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}}$ (loại)

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}$ (loại)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2$ (thỏa mãn)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n}$ (loại)
Câu 24: Thông hiểu
Số hạng thứ mấy?

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 1}$ , biết $u_{k} = \frac{2}{13}$ . Hỏi u_k là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
- A.
  Thứ năm
- B.
  Thứ sáu
- C.
  Thứ ba
- D.
  Thứ tư
Ta có:

$u_{k} = \frac{k - 1}{k^{2} + 1} \Rightarrow \frac{k - 1}{k^{2} + 1} = \frac{2}{13} \Rightarrow k = 5$ (do k∈ℕ^*)
Câu 25: Nhận biết
Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu và công sai lần lượt là $- 2;3$ . Số hạng thứ $10$ bằng:
- A.
  $u_{10} = 25$
- B.
  $u_{10} = 31$
- C.
  $u_{10} = 22$
- D.
  $u_{10} = 28$
Ta có: $u_{1} = - 2;d = 3$

$\Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9d = 25$
Câu 26: Nhận biết
Xác định cấp số cộng

Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $2;8;32$
- B.
  $3;7;11;16$
- C.
  $\left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n$
- D.
  $\left( v_{n} ight):v_{n} = n^{3}$
Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n}$

$= \left\lbrack 4 + 3(n + 1) ightbrack - (4 + 3n)$

$= 3$

=> Dãy số $\left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n$ là cấp số cộng.
Câu 27: Vận dụng
Tính số tế bào được tạo thành

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có $10^{22}$ tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
- A.
  $64.10^{22}$
- B.
  $32.10^{22}$
- C.
  $128.10^{22}$
- D.
  $16.10^{22}$
Ban đầu có $10^{22}$ tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với $u_{1} = 10^{22}$ và công bội $q = 2$ .

Theo bài ra ta có:

Cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 2 giờ có 6 lần phân chia tế bào.

Ta có: $u_{7}$ là số tế bào nhận được sau 2 giờ.

Vậy số tế bào nhận được sau 2 giờ là $u_{7} = u_{1}.q^{6} = 10^{22}.2^{6} = 64.10^{22}$
Câu 28: Nhận biết
Tính giá trị đại diện của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q eq 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
- B.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n - 1} ight)}{1 - q}$ .
- C.
  $S_{n} = u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)$ .
- D.
  $S_{n} = \frac{u_{1}(1 - q)}{1 - q^{n}}$ .
Theo công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của CSN ta được $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
Câu 29: Thông hiểu
Tính số hạng thứ n

Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 12; $\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243$ . Tính ${u_9}$
- A. ${u_9} = \frac{2}{{2187}}$
- B. ${u_9} = \frac{4}{{6563}}$
- C. ${u_9} = \frac{3}{{3210}}$
- D. ${u_9} = \frac{4}{{2187}}$
Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n)
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_3} = {u_1}.{q^2}} \\ {{u_8} = {u_1}.{q^7}} \end{array}} ight. \Rightarrow \dfrac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^2}}}{{{u_1}.{q^7}}} = \dfrac{1}{{{q^5}}} \hfill \\ \Rightarrow q = d\frac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow {u_9} = {u_1}.{q^8} = 12.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^8} = \dfrac{4}{{2187}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 30: Vận dụng cao
Tìm vị trí số hạng đã biết

Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1; 8; 22; 43; … Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng 7; 14; 21; …, 7n. Số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho?
- A. 100
- B. 101
- C. 102
- D. 103
Theo đề bài ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_1} = 7} \\ {{u_3} - {u_2} = 14} \\ {{u_4} - {u_3} = 21} \\ \begin{gathered} ..... \hfill \\ {u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.$
Cộng các vế của các phương trình của hệ ta được:
${u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} ight) = \frac{{7.n\left( {n - 1} ight)}}{2}\left( * ight)$
Đặt ${u_n} = 35351$
Từ (*) suy ra:
$\begin{matrix} 35351 - 1 = \dfrac{{7n\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 101 \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số
Câu 31: Thông hiểu
Dãy số bị chặn?

Trong các dãy (u_n) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?
- A.
  $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2}$
- B.
  $u_{n} = \frac{3n^{2} - 1}{n - 5}$
- C.
  u_n = − n² − n + 1
- D.
  u_n = n³
Ta có:

n² − n + 1 < n² + 2n + 2 (do n > 0)

Suy ra $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2} < 1$ , với mọi n.
Câu 32: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Từ độ cao $5 5 , 8 m$ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 68,2

Đáp án là:

Từ độ cao $5 5 , 8 m$ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 68,2

Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:

Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là $d_{1} = 55,8(m)$ .

Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là $d_{2}= 55,8 + 2.\frac{55,8}{10}( m )$ .

Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là $d_{3} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}}(m)$ .

Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là $d_{4} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + 2.\frac{55,8}{10^{3}}(m)$ .

Thời điểm chạm đất lần thứ $n,\ \ (n > 1)$ là

$d_{n} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}}(m)$ .

Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là:

$d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...(m)$ .

Vì $2.\frac{55,8}{10}$ , $2.\frac{55,8}{10^{2}}$ , $2.\frac{55,8}{10^{3}}$ , …, $2.\frac{55,8}{10^{n - 1}}$ ,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội $q = \frac{1}{10}$ , nên ta có:

$2.\dfrac{55,8}{10} + 2.\dfrac{55,8}{10^{2}}+ ... + 2.\dfrac{55,8}{10^{n - 1}} + ...$ $= \dfrac{2.\dfrac{55,8}{10}}{1 -\dfrac{1}{10}} = 12,4$ .

Vậy $d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...$

$= 55,8 + 12,4 = 68,2\ (m)$
Câu 33: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 4$ . Giá trị nhỏ nhất của $u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}$ bằng:
- A.
  -8.
- B.
  -24.
- C.
  -20.
- D.
  -6.
Ta gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.

Khi đó:

$u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}$

$= 4(4 + d) + (4 + d)(4 + 2d) + 4(4 + 2d)$

$= 2d^{2} + 24d + 48 = 2(d + 6)^{2} - 24\geq - 24$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}$ là -24 đạt được khi khi $d = - 6$ .
Câu 34: Nhận biết
Xác định số hạng đầu và công bội

Dãy số $u_{n} = 2^{n}$ là cấp số nhân với
- A.
  $u_{1} = 3;q = 1$
- B.
  $u_{1} = 1;q =2$
- C.
  $u_{1} = 4;q = 2$
- D.
  $u_{1} = 2;q = 2$
Cấp số nhân $1;2;4;8;16;32;...$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 1 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 2 \\\end{matrix} ight.$
Câu 35: Thông hiểu
Tính tổng 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $u_{2} + u_{23} = 60$ . Tính tổng $S_{24}$ của $24$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
- A.
  $S_{24} = 60$
- B.
  $S_{24} = 120$
- C.
  $S_{24} = 720$
- D.
  $S_{24} = 1440$
Ta có:
$u_{2} + u_{23} = 60$
$\Leftrightarrow \left( u_{1} + d ight)+ \left( u_{1} + 22d ight) = 60$
$\Leftrightarrow 2u_{1} + 23d =60$
Khi đó:
$\Rightarrow S_{24} = \frac{24}{2}\left(u_{1} + u_{24} ight)$
$\Rightarrow S_{24} = 12.\left\lbracku_{1} + \left( u_{1} + 23d ight) ightbrack$
$\Rightarrow S_{24} = 12.60 =720$
Câu 36: Nhận biết
Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Dãy số có các số hạng cho bởi $- 1;1; - 1;1;...$ có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 1$
- B.
  $u_{n} = - 1$
- C.
  $u_{n} = ( - 1)^{n}$
- D.
  $u_{n} = ( - 1)^{n +1}$
Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án $u_{n} = 1$ và $u_{n} = - 1$
Ta có: $u_{1} = - 1$ ở các đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n}$ và $u_{n} = ( - 1)^{n + 1}$
Xét đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1$
Xét đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1$
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là $u_{n} = ( - 1)^{n}$
Câu 37: Nhận biết
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{3}=15$ và $d=-2$ . Tìm $u_{n}$
- A.
  $u_{n}=-2n+21$
- B.
  $u_{n}=-\frac{3}{2}n+12$
- C.
  $u_{n}=-3n-17$
- D.
  $u_{n}=\frac{3}{2}n^{2}-4$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_3} = 15 \hfill \\ \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = 19 \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ = 19 + \left( {n - 1} ight).\left( { - 2} ight) \hfill \\ = 21 - 2n \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 2n + 21 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 38: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Dãy số nào là dãy số tăng?
- A.
  $u_{n} = n^{2}$
- B.
  $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{u_{n}}}$
- C.
  $u_{n} = 3 - 2n$
- D.
  $u_{n} = - 2n^{2} + 3n + 1$
Xét $u_{n} = n^{2}$ ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy $u_{n} = n^{2}$ là dãy số tăng.
Câu 39: Thông hiểu
Xác định số hạng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
- A.
  $720$
- B.
  $81$
- C.
  $64$
- D.
  $56$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{k} = 16 \\ u_{k + 1} = 36 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \frac{u_{k + 1}}{u_{k}} = \frac{9}{4}$

$u_{k + 2} = u_{k + 1}.q = 81$
Câu 40: Thông hiểu
Mênh đề đúng?

Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số (u_n) tăng.
- B.
  Dãy (u_n) giảm.
- C.
  Dãy (u_n) không tăng, không giảm.
- D.
  Dãy số (u_n) là dãy hữu hạn.
Ta có $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}$

Xét tỉ số:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}$

$= \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}$

$= 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

32 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2