VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 2: Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Dãy số bị chặn?

Trong các dãy (u_n) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?
- A.
  $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2}$
- B.
  $u_{n} = \frac{3n^{2} - 1}{n - 5}$
- C.
  u_n = − n² − n + 1
- D.
  u_n = n³
Ta có:

n² − n + 1 < n² + 2n + 2 (do n > 0)

Suy ra $u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2} < 1$ , với mọi n.
Câu 2: Nhận biết
Xác định cấp số nhân

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A. 1; 2; 3; 4; 5
- B. 1; 2; 4; 8; 16
- C. 1; -1; 1; -1; 1
- D. 1; -2; 4; -8; 16
Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1
Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2
Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1
Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2
Câu 3: Thông hiểu
Tính số tiền để khoan giếng sâu 20m

Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?
- A.
  200000 đồng
- B.
  255000 đồng
- C.
  285000 đồng
- D.
  315000 đồng
Theo bài ra ta có:
Giá các mét khoan lập thành một cấp số cộng với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000.
=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 8000} \\ {d = 500} \end{array}} ight.$
=> Số tiền phải trả khi khoan giếng sâu 20m là:
$\begin{matrix} {S_{20}} = \dfrac{{20.\left( {2{u_1} + 19.d} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{20}} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} ight) = 255000 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy muốn khoan 20 mét thì mất 255000 đồng.
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho $\left( u_{n} ight)$ là cấp số cộng biết $u_{3} + u_{13} = 80$ . Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng
- A.
  $800$ .
- B.
  $600$ .
- C.
  $570$ .
- D.
  $630$ .
Ta có:

$u_{3} + u_{13} = 80$

$\Leftrightarrow (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 12d) = 80$

$\Leftrightarrow 2u_{1} + 14d = 80$

Vậy $S_{15} = \frac{15}{2}\left( 2u_{1} + 14d ight) = \frac{15}{2}.80 = 600$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm b

Tìm b > 0 để các số $\frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
- A.
  b = −1
- B.
  b = 1
- C.
  b = 2
- D.
  b = −2
Ta có:
Các số $\frac{1}{\sqrt{2} };\sqrt{b};\sqrt{2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
$\Rightarrow {\left( {\sqrt b } ight)^2} = \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} ight).\left( {\sqrt 2 } ight)$
$\Rightarrow b = 1$ (Vì b > 0)
Câu 6: Thông hiểu
Số nguyên dương nhỏ nhất?

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $\sqrt{u_{n} - 1} \geq 2039190$ là?
- A.
  n = 2017
- B.
  n = 2019
- C.
  n = 2020
- D.
  n = 2018
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{3} \\ \end{matrix} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{3} \\ \end{matrix} \\ \ldots \\ \end{matrix} \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3} \\ \end{matrix} ight.$

= > u_n = 1 + 1³ + 2³ + … + (n−1)³

Ta lại có 1³ + 2³ + … + (n−1)³

$= (1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1)^{2} = \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}$

Suy ra $u_{n} = 1 + \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}$

Theo giả thiết ta có $\sqrt{u_{n} - 1} \geq2039190 \Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{2} \geq 2039190$

$\Leftrightarrow n(n - 1) \geq 4078380 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}n \geq 2020 \ \leq - 2019 \\\end{matrix} ight.$

Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.
Câu 7: Thông hiểu
Số hạng tổng quát?

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 1 + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
- B.
  $u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(n + 2)}{6}$
- C.
  $u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(2n - 1)}{6}$
- D.
  $u_{n} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{2} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{2} \\ \cdots \\ u_{n} = u_{n - 1} + (n - 1)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được

$u_{n} = 1 + 1^{2} + 2^{2} + \ldots + (n - 1)^{2} = 1 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$
Câu 8: Nhận biết
Tìm công sai của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ biết $u_{n} = 3 - 5n$ . Tìm công sai của cấp số cộng?
- A.
  $d = 3$
- B.
  $d = - 5$
- C.
  $d = - 3$
- D.
  $d = 5$
Theo giả thiết ta có:

$u_{n + 1} = - 2 - 5n$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1$

Vậy $d = - 5$
Câu 9: Nhận biết
Chọn câu đúng?

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

(I) k ∈ A

(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k

Lúc đó, ta có:
- A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A
- B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A
- C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A
- D. Mọi số nguyên đều thuộc A
(I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.

(II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.
Câu 10: Thông hiểu
Tìm số hạng thứ 2018?

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $u_{1} = \sqrt{2}$ và $u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}}$ với mọi n ≥ 1. Số hạng u₂₀₁₈ là
- A.
  $u_{2018} = \sqrt{2}cos\frac{\pi}{2^{2017}}$
- B.
  $u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}$
- C.
  $u_{2018} = \sqrt{2}cos\frac{\pi}{2^{2018}}$
- D.
  u₂₀₁₈ = 2.
Ta có $u_{1} = \sqrt{2} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{2^{2}};$

$u_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2cos\frac{\pi}{8} = 2cos\frac{\pi}{2^{3}}$

Dự đoán $u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}}$

Áp dụng theo quy nạp ta có: $u_{1} = 2cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$ , công thức (1) đúng với n = 1.

Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có $u_{k} = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}$

Ta có $u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}}$

$= \sqrt{2\left( 1 + \cos\frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}$

$= \sqrt{4\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}$

$= 2cos\frac{\pi}{2^{k + 2}}$

(vì $0 < \frac{\pi}{2^{k + 2}} < \frac{\pi}{2}$ với mọi k ≥ 1 ).

Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy $u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ . Suy ra $u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}$
Câu 11: Vận dụng
Tính số đo hai góc nhọn của tam giác vuông

Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là:
- A.
  $45^{0}$ và $45^{0}$
- B.
  $25^{0}$ và $65^{0}$
- C.
  $20^{0}$ và $70^{0}$
- D.
  $30^{0}$ và $60^{0}$
Ba góc A, B, C của một tam giác vuông theo thứ tự đó $(A < B < C)$ lập thành một cấp số cộng nên
$\left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\C + A = 2B \\A + B + C = 180^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\C + A = 2B \\3B = 180^{0} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}C = 90^{0} \\A = 30^{0} \\B = 60^{0} \\\end{matrix} ight.$
Câu 12: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Đáp án: 77

Đáp án là:

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Đáp án: 77

Ta thấy:

Ban đầu bóng cao 63m nên chạm đất lần 1 bóng di chuyển quãng đường $S_{1} = 63(m)$ .

Từ lúc chạm đất lần một đến chạm đất lần hai bóng di chuyển được quãng đường là $S_{2} = 2S_{1}.\frac{1}{10} = 2.63.\frac{1}{10} = \frac{63}{5}$ (do độ cao lần hai bằng $\frac{1}{10}$ độ cao ban đầu).

Từ lúc chạm đất lần hai đến chạm đất lần ba bóng di chuyển được quãng đường là $S_{3} = S_{2}\frac{1}{10}$ (do độ cao lần ba bằng $\frac{1}{10}$ độ cao lần hai)...

Cứ tiếp tục như vậy kéo dài ra vô tận thì ta có được tổng quãng đường mà bóng cao su đã di chuyển là

$S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ...$

$= S_{1} + S_{2} + S_{2}.\frac{1}{10} + S_{2}.\left( \frac{1}{10} ight)^{2} + ...$

$= S_{1} + S_{2}\dfrac{1}{1 -\dfrac{1}{10}}$

$= 63 + \frac{63}{5}.\frac{10}{9} = 77\ (m)$ .

Vậy quãng đường di chuyển của bóng là $77m$ .
Câu 13: Nhận biết
Xác định dãy số là cấp số nhân

Trong các dãy số $\left( u_{n} ight)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ , dãy nào là cấp số nhân?
- A.
  $u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}}$
- B.
  $u_{n} = \frac{1}{3^{n}} - 1$
- C.
  $u_{n} = n + \frac{1}{3}$
- D.
  $u_{n} = n^{2} - \frac{1}{3}$
Dãy $u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}} = 9.\left( \frac{1}{3} ight)^{n}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$
Câu 14: Nhận biết
Dãy nào không phải là cấp số nhân

Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $1;2;4;8;...$
- B.
  $3;3^{2};3^{3};3^{4};...$
- C.
  $4;2;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...$
- D.
  $\frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};...$
Xét đáp án $\frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};...$ có $\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\pi} eq \frac{1}{\pi^{2}} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

=> Dãy số $\frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};...$ không phải là cấp số nhân.
Câu 15: Vận dụng cao
Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n

Cho phương trình: $x^{3} +3x^{2}-(24+m)x-26-n=0$ . Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ lập thành một cấp số cộng.
- A.
  $3m = n$
- B.
  $m = 3n$
- C.
  $m = n$
- D.
  $m + n = 0$
Vì ba nghiệm ${x_1};{x_2};{x_3}$ phân biệt lập thành một cấp số cộng nên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = x_0 - d} \\ {{x_2} = x_0} \\ {{x_3} = x_0 + d} \end{array}} ight.;\left( {d e 0} ight)$
Theo giả thiết ta có:
$\begin{matrix} {x^3} + 3{x^2} - (24 + m)x - 26 - n \hfill \\ = \left( {x - {x_1}} ight).\left( {x - {x_2}} ight).\left( {x - {x_3}} ight) \hfill \\ = \left( {x - {x_0} + d} ight)\left( {x - {x_0}} ight)\left( {x - {x_0} - d} ight) \hfill \\ = {x^3} - 3{x_0}{x^2} + \left( {3{x_0}^2 - {d^2}} ight)x - {x_0}^3 + {x_0}.{d^2};\left( {\forall x} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} - 3{x_0} = 3 \hfill \\ 24 + m = 3{x_0}^2 - {d^2} \hfill \\ \end{gathered} \\ { - 26 - n = - {x_0}^3 + {x_0}.{d^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = - 1} \\ {m - n} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 16: Thông hiểu
Tìm x

Tìm x để ba số $1 + x;9 + x;33 + x$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = 3$
- C.
  $x = 7$
- D.
  $x = 3;x = 7$
Ta có:

Ba số $1 + x;9 + x;33 + x$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

$\Rightarrow (9 + x)^{2} = (1 + x).(33 + x)$

$\Rightarrow 81 + 18x + x^{2} = x^{2} + 34x + 33$

$\Rightarrow 16x = 48$

$\Rightarrow x = 3$
Câu 17: Nhận biết
Tìm công sai d

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $u_{n} = - 1;u_{n + 1} = 8$ . Tính công sai $d$ của cấp số cộng đó:
- A.
  $d = - 9$
- B.
  $d = 7$
- C.
  $d = - 7$
- D.
  $d = 9$
Ta có:

$d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - ( - 1) = 9$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu $u_{1} = - 5$ và công sai $d = 3$ . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
- A.
  15.
- B.
  20.
- C.
  35
- D.
  36.
Ta có:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$

$\Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 2;u_{2} = - 8$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{6} = 130$
- B.
  $u_{5} = 256$
- C.
  $S_{5} = 256$
- D.
  $q = - 4$
Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm số hạng u11?

Cho dãy số (u_n) được xác định như sau $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 0 \\ u_{n + 1} = \frac{n}{n + 1}\left( u_{n} + 1 ight) \\ \end{matrix} ight.$ . Số hạng u₁₁là?
- A.
  $u_{11} = \frac{11}{2}$
- B.
  u₁₁ = 4
- C.
  $u_{11} = \frac{9}{2}$
- D.
  u₁₁ = 5
Ta có:

$\begin{matrix} u_{2} & = \frac{1}{2}\left( u_{1} + 1 ight) = \frac{1}{2}; & u_{3} = \frac{2}{3}\left( u_{2} + 1 ight) = 1; & u_{4} = \frac{3}{4}\left( u_{3} + 1 ight) = \frac{3}{2}; \\ u_{5} & = \frac{4}{5}\left( u_{4} + 1 ight) = 2; & u_{6} = \frac{5}{6}\left( u_{5} + 1 ight) = \frac{5}{2}; & u_{7} = \frac{6}{7}\left( u_{6} + 1 ight) = 3 \\ u_{8} & = \frac{7}{8}\left( u_{7} + 1 ight) = \frac{7}{2}; & u_{9} = \frac{8}{9}\left( u_{8} + 1 ight) = 4; & u_{10} = \frac{1}{2}\left( u_{9} + 1 ight) = \frac{9}{2}; \\ u_{11} & = \frac{10}{11}\left( u_{10} + 1 ight) = 5 & & \\ \end{matrix}$
Câu 21: Thông hiểu
Tìm công sai d

Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.
- A.
  $d = 2$
- B.
  $d = - 3$
- C.
  $d = 4$
- D.
  $d = 5$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{6} = 17 \\ u_{2} + u_{4} = 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 5d = 17 \\ 2u_{1} + 6d = 14 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 16 \\ d = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 22: Nhận biết
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{3}=15$ và $d=-2$ . Tìm $u_{n}$
- A.
  $u_{n}=-2n+21$
- B.
  $u_{n}=-\frac{3}{2}n+12$
- C.
  $u_{n}=-3n-17$
- D.
  $u_{n}=\frac{3}{2}n^{2}-4$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_3} = 15 \hfill \\ \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = 19 \hfill \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight).d \hfill \\ = 19 + \left( {n - 1} ight).\left( { - 2} ight) \hfill \\ = 21 - 2n \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 2n + 21 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 23: Vận dụng
Đếm số phát biểu đúng?

Cho dãy số (u_n) có u₁ = 1 và $u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1) (u_n) là dãy số tăng.

(2) (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

(3) (u_n) là dãy số bị chặn trên.
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Ta có $\forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0}$ nên dãy số tăng.

Vậy phát biểu (1) đúng.

Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u₁.

Vậy phát biểu (2) đúng.

Ta lại có $u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}$

Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

$u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}$

Mặt khác $\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)$

$\Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

$\Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.
Câu 24: Thông hiểu
Tìm x và y để dãy số lập thành cấp số cộng

Với giá trị nào của x và y thì các số -7; x; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?
- A.
  x = 1; y = 21
- B.
  x = 2; y = 20
- C.
  x = 3; y = -19
- D.
  x = 4; y = 18
Ta có:
Các số -7; x; 11 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
=> $- 7 + 11 = 2.x \Rightarrow x = 2$
Tương tự các số 2; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
=> $2 + y = 2.11 \Rightarrow y = 20$
Vậy x = 2; y = 20
Câu 25: Vận dụng
Xác định số hạng thứ n của cấp số cộng

Cho dãy số ${u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{n}$ . Số hạng thứ 10 của dãy số đó là:
- A. 51,2
- B. 51,3
- C. 51,1
- D. 102,3
Ta có: ${u_{10}} = \frac{{{2^{10 - 1}} + 1}}{{10}} = 51,3$
Câu 26: Nhận biết
Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là $\frac{1}{2}$ và công bội $\frac{1}{4}$ . Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?
- A.
  $4096$
- B.
  $2048$
- C.
  $1024$
- D.
  $512$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.$
Câu 27: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho một cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 5;q = \frac{1}{3}$ . Hỏi $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
- A.
  $9$
- B.
  $10$
- C.
  $11$
- D.
  $12$
Ta có: $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow \frac{5}{59049} = 5.\left( \frac{1}{3} ight)^{n - 1} \Rightarrow n = 11$

Vậy số $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.
Câu 28: Nhận biết
Tìm ba số hạng đầu tiên của dãy số

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi $u_{n} = \frac{n^{2} + 3n + 7}{n + 1}$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy là:
- A.
  $\frac{6}{4};\frac{5}{4};\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2};\frac{1}{5};\frac{1}{7}$
- D.
  $1;\frac{3}{5};\frac{7}{6}$
Ba số hạng đầu tiên của dãy là $\frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4}$
Câu 29: Vận dụng cao
Dãy nào bị chặn?

Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn?
- A.
  Dãy (a_n), với $a_{n} = \sqrt{n^{3} + n},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$
- B.
  Dãy (b_n), với $b_{n} = n^{2} + \frac{1}{2}n,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$
- C.
  Dãy (c_n), với c_n = (−2)ⁿ + 3, ∀n ∈ ℕ^*
- D.
  Dãy (d_n), với $d_{n} = \frac{3n}{n^{3} + 2},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$
Xét dãy (a_n) có $a_{n} = \sqrt{n^{3} + n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số (a_n) bị chặn dưới.

Xét dãy (b_n) có $b_{n} = n^{2} + \frac{1}{2n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số (b_n) bị chặn dưới.

Xét dãy (c_n) có c_n = (−2)ⁿ + 3, ∀n ∈ ℕ^* nên dãy số (c_n) không bị chặn.

Xét dãy (d_n) có $d_{n} = \frac{3n}{n^{2} + 2},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Ta có

$n^3-3n+2=(n-1)^2 (n+2)≥0,∀n∈N^*$

$⇒n^3+2≥3n⇒0<3n/(n^2+2)≤1$

$⇒(d_n )$ bị chặn.
Câu 30: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

b) Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1}$ có số hạng thứ 3 là: $u_{3} = \frac{17}{58}$ . Đúng||Sai

c) Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = 9 - 2n$ là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

d) Tổng $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

b) Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1}$ có số hạng thứ 3 là: $u_{3} = \frac{17}{58}$ . Đúng||Sai

c) Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = 9 - 2n$ là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

d) Tổng $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3}$ . Đúng||Sai

Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

Số hạng thứ ba của dãy số $\left( u_{n} ight)$ là: $u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}$ .

Xét $u_{n} = 9 - 2n$ ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N}$ suy ra $\left( u_{n} ight)$ là dãy số giảm

Lại có $n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9$ suy ra $\left( u_{n} ight)$ là dãy số bị chặn trên.

Suy ra phát biểu “Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ được xác định bởi công thức $u_{n} = 9 - 2n$ là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

Ta có: $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ...$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ có số hạng đầu và công bội lần lượt là: $u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}$
Câu 31: Vận dụng
Mệnh đề đúng?

Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2} + 1}{4},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  (u_n) là dãy số tăng.
- B.
  (u_n) là dãy số giảm.
- C.
  (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.
- D.
  (u_n) là dãy số không đổi.
Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh u_n + 1 − u_n < 0 bằng quy nạp toán học.

Từ giả thiết suy ra u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Ta có $u_{2} - u_{1} = \frac{5}{4} - 2 = \frac{- 3}{4} < 0.$

Giả sử: u_k + 1 − u_k < 0, ∀k ≥ 1

Xét hiệu $u_{k + 2} - u_{k + 1} = \frac{u_{k + 1}^{2} + 1}{4} - \frac{u_{k}^{2} + 1}{4}$

$= \frac{1}{4}\left( u_{k + 1} + u_{k} ight)\left( u_{k + 1} - u_{k} ight) < 0$

Theo nguyên lí quy nạp suy ra u_n + 1 − u_n < 0, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) là dãy số giảm.
Câu 32: Thông hiểu
Tính số hạng thứ n

Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 12; $\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243$ . Tính ${u_9}$
- A. ${u_9} = \frac{2}{{2187}}$
- B. ${u_9} = \frac{4}{{6563}}$
- C. ${u_9} = \frac{3}{{3210}}$
- D. ${u_9} = \frac{4}{{2187}}$
Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n)
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_3} = {u_1}.{q^2}} \\ {{u_8} = {u_1}.{q^7}} \end{array}} ight. \Rightarrow \dfrac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^2}}}{{{u_1}.{q^7}}} = \dfrac{1}{{{q^5}}} \hfill \\ \Rightarrow q = d\frac{1}{3} \hfill \\ \Rightarrow {u_9} = {u_1}.{q^8} = 12.{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)^8} = \dfrac{4}{{2187}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 33: Thông hiểu
Cấp số nhân có bao nhiêu số hạng

Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?
- A.
  $18$
- B.
  $17$
- C.
  $16$
- D.
  $9$
Ta có:

$u_{n} = 32805$

$\Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 32805$

$\Rightarrow 3^{n - 1} = 6561$

$\Rightarrow n = 9$

Vậy $u_{9}$ là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.
Câu 34: Nhận biết
Tính giá trị đại diện của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q eq 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
- B.
  $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n - 1} ight)}{1 - q}$ .
- C.
  $S_{n} = u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)$ .
- D.
  $S_{n} = \frac{u_{1}(1 - q)}{1 - q^{n}}$ .
Theo công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của CSN ta được $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
Câu 35: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu $u_{1} = - \frac{1}{2},$ công sai $d = \frac{1}{2}.$ Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số cộng là:
- A.
  $- \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1.$
- B.
  $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}.$
- C.
  $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};2;\frac{5}{2}.$
- D.
  $- \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}.$
Ta dùng công thức tổng quát $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - \frac{1}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = - 1 + \frac{n}{2}$ , hoặc $u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n} + \frac{1}{2}$ để tính các số hạng của một cấp số cộng.

Ta có $u_{1} = - \dfrac{1}{2};\ \ d =\dfrac{1}{2}\overset{ightarrow}{}\left\{ \begin{matrix}u_{1} = - \dfrac{1}{2} \\u_{2} = u_{1} + d = 0 \\u_{3} - u_{2} + d = \dfrac{1}{2} \\u_{4} = u_{3} + d = 1 \\u_{5} = u_{4} + d = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Câu 36: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho dãy số $(u_{n})$ , với ${u_n} = {( - 1)^n}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Dãy số $u_{n}$ là dãy số tăng.
- B.
  Dãy số $u_{n}$ là dãy số giảm.
- C.
  Dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn.
- D.
  Dãy số $u_{n}$ là dãy số không bị chặn.
Ta có: ${u_n} = {( - 1)^n}$ là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm.
Tập giá trị của dãy số ${u_n} = {( - 1)^n}$ là {-1; 1}
$\Rightarrow - 1 \leqslant {u_n} \leqslant 1$
Vậy dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn.
Câu 37: Thông hiểu
Tìm công thức của số hạng?

Cho dãy số (u_n) với $\left\{ \begin{matrix} u_{n} = - 2 \\ u_{n + 1} = - 2 - \frac{1}{u_{n}} \\ \end{matrix} ight.$ . Công thức số hạng tổng quát của dãy số là?
- A.
  $u_{n} = - \frac{n - 1}{n}$
- B.
  $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$
- C.
  $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$
- D.
  $u_{n} = - \frac{n}{n + 1}$
Ta có $u_{1} = - \frac{3}{2};u_{2} = - \frac{4}{3};u_{3} = - \frac{5}{4};\ldots$ suy ra được $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$ .
Câu 38: Vận dụng

Ghi nội dung lời giải bài toán vào chỗ trống

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $log_{3}\left( 2u_{5} - 63 ight) = 2log_{4}\left( u_{n} - 8n + 8 ight);\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn $\frac{u_{n}.S_{2n}}{u_{2n}.S_{n}} < \frac{148}{75}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $log_{3}\left( 2u_{5} - 63 ight) = 2log_{4}\left( u_{n} - 8n + 8 ight);\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn $\frac{u_{n}.S_{2n}}{u_{2n}.S_{n}} < \frac{148}{75}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 39: Nhận biết
Tìm u3?

Cho dãy số (u_n) có u₁ = 7; u_n + 1 = 2u_n + 3. Khi đó u₃ bằng?
- A.
  17
- B.
  77
- C.
  37
- D.
  9
Ta có u₃ = 2u₂ + 3 = 2 ⋅ (2u₁+3) + 3 = 4u₁ + 9 − 4 ⋅ 7 + 9 = 37.
Câu 40: Nhận biết
Dãy số nào không phải cấp số cộng

Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
- A.
  $u_{n} = - 4n + 9$
- B.
  $u_{n} = - 2n + 19$
- C.
  $u_{n} = - 2n - 21$
- D.
  $u_{n} = - 2^{n} + 15$
Ta có: $u_{n} = - 2^{n} + 15$ không có dạng $an + b$ nên không phải là cấp số cộng.

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

39 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Đang tìm đối thủ...