Khoảng cách trong không gian CTST

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

Nhận xét:

a) Lấy điểm N tùy ý trên đường thẳng a ta luôn có \(d\left( {M,a} \right) \leqslant MN\).

b) Lấy điểm N tùy ý trên mặt phẳng \((P)\) ta luôn có \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) \leqslant MN\).

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60⁰, biết tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).

b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Kẻ SH vuông góc với BC tại H thì \(SH ⊥ (ABC)\) suy ra \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

b) Kẻ HK vuông góc với AC tại K, HQ vuông góc với SK tại Q thì \(d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = HQ\)

Ta có: \(AB = \frac{a}{2},HK = \frac{a}{4}\) và tam giác SHK vuông tại H, đường cao HQ nên \(HQ = \frac{{SH.HK}}{{SK}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}\)

Lại có H là trung điểm của BC nên \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)

c) Dựng hình bình hành ABMC, chứng minh được ABMC là hình chữ nhật.

Khi đó \(AB//(SCM)\) và mặt phẳng (SMC) chứa SC nên \(d(AB, SC)= d(AB,( SCM)\)\(= d(B,(SCM))=2d(H; (SCM))\)

Kẻ HN vuông góc với CM tại N, HE vuông góc với SN tại N thì \(HE ⊥(SCM)\) suy ra \(d(H; (SCM)= HE\)

Ta có: \(HN = \frac{{BM}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) tam giác SHN vuông tại H, đường cao HE nên \(HE = \frac{{SH.HN}}{{SN}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\)

Vậy \(d\left( {AB,BC} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

Chú ý:

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp

Thể tích	Phát biểu	Minh họa	Công thức
Khối hộp chữ nhật	Bằng diện tích đáy nhân với chiều cao		\(V = a.b.c\)
Khối chóp	Bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao		\(V = \frac{1}{3}.S.h\)
Khối lăng trụ	Bằng diện tích đáy nhân với chiều cao		\(V = S.h\)
Khối chóp cụt đều			\(V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)\)

Ví dụ: Một hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có ba kích thước là \(2cm, 3cm, 6 cm\). Tính thể tích của khối tứ diện ACB’D’.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{matrix} {V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} = {V_{BA{B^\prime }C}} + {V_{DAC{D^\prime }}} + {V_{A{B^\prime }A{D^\prime }}} + {V_{{C^\prime }{B^\prime }C{D^\prime }}} + {V_{AC{B^\prime }{D^\prime }}} \hfill \\ = 4{V_{BA{B^\prime }{C^\prime }}} + {V_{AC{B^\prime }{D^\prime }}} \hfill \\ \Rightarrow {V_{AC{B^\prime }D}} = {V_{ABCD{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} - 4{V_{BA{B^\prime }C}} \hfill \\ = {V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} - 4 \cdot \dfrac{1}{6}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} \hfill \\ = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{3}.2.3.6 = 12\left( {c{m^3}} \right) \hfill \\ \end{matrix}\)

Chú ý: Khối lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy là khối lăng trụ đứng. Chiều dài cạnh bên a của khối lăng trụ đứng bằng chiều cao h và ta có công thức \(V = S.a\)

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp cụt tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có đường cao \(HH’ = 3a\). Biết \(AB=2a, A’B’=a\). Tính thể tích hình chóp cụt ABC.A’B’C’.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Áp dụng công thức \(V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)\)

Với \(\left\{ \begin{gathered} S = {a^2}.\sqrt 3 \hfill \\ S' = \frac{{{a^2}.\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ h = 3a \hfill \\ \end{gathered} \right.\), khi đó:

\(V = \frac{1}{3}.3a.\left( {{a^2}\sqrt 3 + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \sqrt {{a^2}\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} } \right)\)

\(= \frac{{7{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)