Giới hạn của hàm số CTST
Cho điểm 
\({x_0}\) thuộc khoảng \(K\) và hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\).
Ta nói hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số \(L\) khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\), kí hiệu là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) hay \(f\left( x \right) \to L\) khi \(x \to {x_0}\).
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
Định lí 1: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = Q\). Ta có:
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = P + Q\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = P.Q\) |
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = P - Q\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{P}{Q},Q \ne 0\) |
Định lí 2: Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\left\{ \begin{gathered}
P \geqslant 0 \hfill \\
\lim \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt P \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Định lí 3: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| P \right|\).
Chú ý:
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\) với c là hằng số
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^n} = x_0^n;\forall n \in \mathbb{N^*}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {c.f\left( x \right)} \right] = c.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) nếu \(c \in \mathbb{R},\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \in \mathbb{R}\)
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
|
a) |
b) |
|
c) |
d) |
Hướng dẫn giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2 - 3x} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{\left( { - 6 + 1} \right)\left( {2 + 6} \right)}}{{ - 2 + 1}} = 40\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4 + x} - 2}}{{4x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {4 + x} - 2} \right)\left( {\sqrt {4 + x} + 2} \right)}}{{4x\left( {\sqrt {4 + x} + 2} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4 + x - 4}}{{4x\left( {\sqrt {4 + x} + 2} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{4\left( {\sqrt {4 + x} + 2} \right)}} = \frac{1}{{16}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 2} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}} = - 8\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{x - 1}}} \right| = \left| {\frac{{\left( { - 3 + 1} \right)\left( {2 + 3} \right)}}{{ - 3 - 1}}} \right| = \frac{5}{2}\)
3. Giới hạn một phía
Giới hạn phải: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {{x_0},b} \right)\).
Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).
Giới hạn trái: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a,{x_0}} \right)\).
Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n}\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L\).
Chú ý:
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\)
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right)\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\)
Ví dụ: Tính giới hạn:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} }}{{x - 2}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }} = + \infty\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 2}}{{x + 2}} = 1\)
4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a, + \infty } \right)\) có giới hạn L khi \({x_n} \to + \infty\) nếu với mọi dãy số \(\left( {{x_n}} \right):{x_n} > a\) và \({x_n} \to + \infty\) thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( { - \infty ,b} \right)\) có giới hạn L khi \({x_n} \to - \infty\) nếu với mọi dãy số \(\left( {{x_n}} \right):{x_n} < b\) và \({x_n} \to - \infty\) thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).
Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L\)
Chú ý:
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\)
- Với k là một số nguyên dương ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\)
Ví dụ: Tính giới hạn:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 1}}{{2{x^3} + 5}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3}\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {2 + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)}}} = \sqrt {\dfrac{1}{2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {\left( {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right)}} = - \dfrac{1}{2}\)
5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
Giới hạn phải: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {{x_0},b} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x \to {x_0}\) về bên phải với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = + \infty\).
Giới hạn trái: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a,{x_0}} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x \to {x_0}\) về bên trái với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n}\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = + \infty\).
Chú ý:
- Các giới hạn một bên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = - \infty\) cũng được định nghĩa tương tự.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty ;\left( {a \in \mathbb{R}} \right)\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ,\left( {\forall k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ + \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n}}} \\
{ - \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n + 1}}}
\end{array}} \right.\left( {n \in \mathbb{R}} \right)\)
Quy tắc tính giới hạn vô cực
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \ne 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \pm \infty\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right)\) được tính theo quy tắc sau đây:
| \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\) |
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right)\) |
| \(P > 0\) |
\(+ \infty\) |
\(+ \infty\) |
| \(- \infty\) |
\(- \infty\) |
|
| \(P < 0\) |
\(+ \infty\) |
\(- \infty\) |
| \(- \infty\) |
\(+ \infty\) |
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
|
a) |
b) |
|
c) |
d) |
Hướng dẫn giải
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2{x^3} + 2x\sqrt x - x + 1} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{2}{{x\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4}}{{\sqrt {{x^3} - 4x + 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {{x^3}\left( {1 - \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{3}{{{x^3}}}} \right)} }} = 0\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{3}{2}} \left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = \frac{{15}}{4} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{3}{2}} \frac{1}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = + \infty \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{3}{2}} \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = + \infty\)
d) Ta có: \(\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {\frac{{x\sqrt {5x + 2} }}{{\sqrt {x + 11} }}} \right) = \frac{{4\sqrt {22} }}{{15}} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = + \infty \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x\sqrt {5x + 2} }}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}\sqrt {x + 11} }} = + \infty\)
