VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 4: Quan hệ song song trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 50 câu
Số điểm tối đa: 50 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Thông hiểu
Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng và các mặt hình chóp

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M \in SB$ ; ( $M eq B;M eq S$ ). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng $(MAD)$ với các mặt của hình chóp là:
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình thang
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (MAD) \cap (SBC) = Mx//AD//BC$

Trong mặt phẳng $(SBC)$ giả sử $SC \cap Mx = N$

Do đó $ADMN$ là giao tuyến của mặt phẳng $(MAD)$ với các mặt của hình chóp.

Vì $\left\{ \begin{matrix} AD//MN \\ MN < AD \\ \end{matrix} ight.$ nên $ADMN$ là hình thang.
Câu 2: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A.
  OO’ // (ABCD)
- B.
  OO’ // (ABEF)
- C.
  OO’ // (BDF)
- D.
  OO’ / /(ADF)
Hình vẽ minh họa
Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF
Mà DF ⊂ (ADF)
=> OO' // (ADF)
Câu 3: Vận dụng
Phát biểu nào sau đây là đúng

Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng.
- A.
  Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’.
- B.
  Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB.
- C.
  (ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau.
- D.
  Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’.
Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì
Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:
A chung
C chung
=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC
Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:
Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).
Câu 4: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
- B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
- D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng có thể song song với nhau (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).
Vậy mệnh đề sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."
Câu 5: Vận dụng
Tính diện tích thiết diện

Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{x^{2}\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC$

$\Rightarrow AN \cap MC = G$

Ta có: $(CDG) \cap AB = M$

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$

Tam giác ABD đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow MH\bot CD$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD$

Ta có: $MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm các cặp cạnh cắt nhau

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 7: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G,$ $K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAD,$ $SCD$ . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $AB$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng $GK$ và $AC$ có một điểm chung. Sai||Đúng

c) Đường thẳng $GK$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ . Đúng||Sai

d) Mặt phẳng chứa đường thẳng $GK$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$ cắt các cạnh $SA,SB,$ $SC,$ $SD$ lần lượt tại $M,$ $N,$ $E,$ $F$ . Khi đó, tứ giác $MNEF$ là hình bình hành. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G,$ $K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAD,$ $SCD$ . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $AB$ . Đúng||Sai

b) Đường thẳng $GK$ và $AC$ có một điểm chung. Sai||Đúng

c) Đường thẳng $GK$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$ . Đúng||Sai

d) Mặt phẳng chứa đường thẳng $GK$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$ cắt các cạnh $SA,SB,$ $SC,$ $SD$ lần lượt tại $M,$ $N,$ $E,$ $F$ . Khi đó, tứ giác $MNEF$ là hình bình hành. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng.

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có hai điểm chung là $A$ và $B$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $AB$ .

b) Sai.

Gọi $H$ là trung điểm của $SD$ . Ta có:

Trong tam giác $SAD$ , có $AH$ là đường trung tuyến và $G$ là trọng tâm, nên $\frac{HG}{HA} = \frac{1}{3}\ \ (1)$ .

Trong tam giác $SCD$ , có $CH$ là đường trung tuyến và $K$ là trọng tâm, nên $\frac{HK}{HC} = \frac{1}{3}\ \ (2)$ .

Trong tam giác $HAC$ và từ $(1)$ , $(2)$ ta có $\frac{HG}{HA} = \frac{HK}{HC} = \frac{1}{3}$ , suy ra $GK//AC$ .

c) Đúng.

Mặt phẳng $(ABCD)$ không chứa đường thẳng $GK$ và theo kết quả câu b) ta có $GK//AC$ .

Mà $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Nên đường thẳng $GK$ song song với mặt phẳng $(ABCD).$

d) Đúng.

Gọi mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $GK$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$ .

Nên mặt phẳng $(P)$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ theo một giao tuyến $d_{1}$ song song với $AD$ .

Mà mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(SAD)$ có một điểm chung là $G$ , nên đường thẳng $d_{1}$ đi qua $G$ và song song với $AD$ .

Theo giả thiết, mặt phẳng $(P)$ cắt $SA,SD$ lần lượt tại $M,F$ nên đường thẳng $d_{1}$ cắt $SA,SD$ lần lượt tại $M , F$ . Hay $MF//AD$ .

Tương tự, ta có $FE//CD$ , $EN//BC$ , $NM//AB$ .

Do đó, tứ giác $MNEF$ có $FE//MN$ (vì cùng song song với $AB,CD$ ) và $EN//MF$ (vì cùng song song với $AD,BC$ ).

Vậy tứ giác $MNEF$ là hình bình hành.
Câu 8: Nhận biết
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.
+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt là $A',B',C',D'$ . Chọn đáp án đúng.
- A.
  $A'B'//(SBD)$
- B.
  $A'B'//(SAD)$
- C.
  $(A'C'D')//(ABC)$
- D.
  $A'C'//BD$
Ta có: $A'C'//AC \Rightarrow (A'C'D')//(ABC)$
Câu 10: Nhận biết
Số cạnh của hình chóp tam giác là bao nhiêu

Số cạnh của hình chóp tam giác là:
- A.
  5
- B.
  4
- C.
  6
- D.
  3
Số cạnh của hình chóp tam giác là: 6 cạnh.
Câu 11: Thông hiểu
Xác định hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấy $M \in BC;MC = MB$ . Giả sử $(\gamma)$ là mặt phẳng đi qua $M$ song song với hai đường thẳng $BD$ và $SC$ . Xác định giao tuyến của $(\gamma)$ với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình
- A.
  Tam giác.
- B.
  Ngũ giác.
- C.
  Lục giác.
- D.
  Tứ giác.
Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm $CD,SD,SB$ lần lượt là $N,P,R$ .

Gọi $I = AC \cap MN$

Từ $I$ kẻ $QI$ song song với $SC$ .

Ta có: $MR//QI//NP//SC$

$\Rightarrow (MNPQR)//SC$ (1)

Ta có $MN//DB \Rightarrow (MNPQR)//BD$ (2)

Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của $(\gamma)$ với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác $MNPQR$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) // (Q).
- B.
  Nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.
- C.
  Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- D.
  Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q).
Khẳng định đúng là: "Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)."
Câu 13: Vận dụng cao
Tỉ số độ dài cạnh AB và CD

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy nhỏ $CD$ . Lấy các điểm $I \in AD;J \in BC$ sao cho $IA = ID;JB = JC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Để giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh $\frac{AB}{CD}$ bằng:
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Hình biểu diễn
Ta có: $(IJG) \cap (SAB) = EF$ với $E \in SA,F \in SB$ và đi qua $G$ , song song với $AB//IJ$ .
=> Giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình thang $EFJI$ . Tính $EF = \frac{2}{3}AB;IJ = \frac{1}{2}(AB +CD)$
Để hình thang $EFJI$ là hình bình hành thì
$\Leftrightarrow EF = IJ$
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}AB =\frac{1}{2}(AB + CD)$
$\Leftrightarrow AB = 3CD$
$\Leftrightarrow \frac{AB}{CD} =3$
Câu 14: Thông hiểu
Xác định khẳng định sai

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD ∈ BC. Gọi I là giao điểm của AB và DC, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
- A. S, I, J thẳng hàng.
- B. $DM \in\left( {SCI} ight)$
- C. $JM \in \left( {SAB} ight)$
- D. $SI = \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight)$
Hình vẽ minh họa
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} S \in \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) \hfill \\ I = AB \cap CD \hfill \\ AB \subset \left( {SAB} ight) \hfill \\ CD \subset \left( {SCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) = SI \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} DM \cap \left( {SAB} ight) = J \hfill \\ DM \subset \left( {SCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow J \in \left( {SAB} ight) \cap \left( {SCD} ight) = SI \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy ba điểm S, I, J thẳng hàng.
Khẳng định sai là: " $JM \in \left( {SAB} ight)$ "
Câu 15: Thông hiểu
Xác định mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
- A.
  Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 ⊂ (∝)$ ; $d_2 ⊂ (β)$ thì $d_1 // d_2$
- B.
  Nếu $d_1 // (∝)$ và $d_2 // (β)$ thì $d_1 // d_2$
- C.
  Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 // (∝)$ , thì $d_1 // (β)$
- D.
  Nếu $d_1 // d_2$ và $d_1⊂(∝)$ , $d_2⊂(β)$ thì $(∝) //(β)$
Đáp án: "Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 ⊂ (∝)$ ; $d_2 ⊂ (β)$ thì $d_1 // d_2$ " và "Nếu $d_1 // (∝)$ và $d_2 // (β)$ thì $d_1 // d_2$ " sai vì hai đường thẳng $d_1,d_2$ có thể chéo nhau.
Đáp án: "Nếu $d_1 // d_2$ và $d_1⊂(∝)$ , $d_2⊂(β)$ thì $(∝) //(β)$ " sai vì hai mặt phẳng $(∝), (β)$ có thể cắt nhau.
Câu 16: Vận dụng
Tìm mặt phẳng cố định song song với MN

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$ . Lấy các điểm $M \in AD',N \in DB$ sao cho $AM = DN = x;\left( 0 < x < a\sqrt{2} ight)$ . Khi giá trị $x$ thay đổi, đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
- A.
  $(CB'D')$
- B.
  $(A'BC)$
- C.
  $(AD'C)$
- D.
  $(BA'C')$
Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho $D,N,B \in DB$ và $A,M,D' \in AD'$ . Từ tỉ lệ

$\frac{AM}{AD'} = \frac{DN}{DB}\left( = \frac{x}{a\sqrt{2}} ight)$

Ta suy ra $AD,MN,BD'$ cùng song song với một mặt phẳng $(\alpha)$ nào đó.

Ta chọn mặt phẳng $(\beta)$ chứa $BD'$ và song song với $AD$ .

Mặt phẳng $(\beta)$ chính là mặt phẳng $(BCD'A')$ và là mặt phẳng cố định.

$\Rightarrow MN//(\alpha)//(BCD'A')$

Hay $MN//(A'BC)$
Câu 17: Nhận biết
Tìm số mặt phẳng

Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.
Câu 18: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.
- B.
  Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác vuông.
- C.
  Một đường thẳng có thể cắt với hình chiếu của nó.
- D.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau.
Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 19: Thông hiểu
Tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trên các cạnh $CD;CB;SA$ lần lượt lấy các điểm $M,N,K$ làm trung điểm. Biết rằng $SO \cap (MNK) = E$ . Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:
- A.
  $MN;SO$
- B.
  $KN;SO$
- C.
  $KH;SO$
- D.
  $KM;SO$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $E = SO \cap KH$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} E \in KH \subset (KMN) \\ E \in SO \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow SO \cap (MNK) = E$
Câu 20: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $d ⊄ (\alpha)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Nếu $d\ //\ (\alpha)$ thì trong $(\alpha)$ tồn tại đường thẳng $\Delta$ sao cho $\Delta\ //\ d$ .
- B.
  Nếu $d\ //\ (\alpha)$ và $b \subset (\alpha)$ thì $b\ //\ d$ .
- C.
  Nếu $d \cap (\alpha) = A$ và $d' \subset (\alpha)$ thì $d$ và $d'$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
- D.
  Nếu $d\ //\ c\ ;\ \ c \subset (\alpha)$ thì $d\ //\ (\alpha)$ .
Mệnh đề “Nếu $d\ //\ (\alpha)$ và $b \subset (\alpha)$ thì $b\ //\ d$ “ sai vì $b$ và $d$ có thể chéo nhau.
Câu 21: Vận dụng
Tính tỉ số độ dài hai đường thẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Điểm $M$ là trung điểm của $BC$ , lấy $N \in AB;P \in CD$ sao cho $BN = 2AN,CP = 3DP$ . Biết $S = MP \cap BD,Q = AN \cap AD$ , tính tỉ số độ dài của $QD$ và $QA$ .
- A.
  $\frac{QD}{QA} = \frac{4}{5}$
- B.
  $\frac{QD}{QA} = \frac{3}{4}$
- C.
  $\frac{QD}{QA} = \frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{QD}{QA} = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(BCD)$ qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $SM$ tại $E$ .

Theo định lí Talet ta có: $\frac{DM}{CE} = \frac{DP}{CP} = \frac{1}{3}$ mà $MB = MC$

$\Rightarrow \frac{DE}{MB} = \frac{1}{3}$

Mặt khác ta có: $\frac{DE}{MB} = \frac{SD}{SB} \Rightarrow \frac{SD}{SB} = \frac{1}{3}$

Trong mặt phẳng $(ABD)$ qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $SN$ tại $F$ .

Theo định lí Talet ta có: $\frac{SD}{SB} = \frac{DF}{BN}$ . Theo chứng minh trên ta lại có $\frac{SD}{SB} = \frac{1}{3}$

$\frac{DF}{BN} = \frac{1}{3}$ .

Theo giả thiết $BN = 2AN \Rightarrow \frac{DF}{2AN} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{DF}{AN} = \frac{2}{3}$

Mặt khác ta có: $\frac{QD}{QA} = \frac{DF}{AN} \Rightarrow \frac{QD}{QA} = \frac{2}{3}$
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu hình chóp tứ giác trong các hình sau?
- A.
  $3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Có 2 hình chóp tứ giác
Câu 23: Nhận biết
Hình biểu diễn của một tam giác đều

Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình nào sau đây?
- A.
  Tam giác đều
- B.
  Tam giác cân
- C.
  Tam giác vuông
- D.
  Tam giác
Hình biểu diễn của một tam giác đều là hình tam giác.
Câu 24: Vận dụng
Xác định phát biểu đúng

Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tam giác A’B’C’.
- B.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’ với D’ là giao điểm của B’I với SD, trong đó I là giao điểm của A’C’ với SO, O là giao điểm của AC và BD.
- C.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác SA’B’C’.
- D.
  Thiết diện của (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D.
Hình vẽ minh họa
Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Câu 25: Thông hiểu
Tìm giao điểm của đường thẳng và đường thẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Trung điểm của các đường thẳng $AD,AB,CD$ lần lượt là $H,K,T$ . Tìm giao điểm của đường thẳng $BC$ với mặt phẳng $T$ .
- A.
  Trung điểm $AH$
- B.
  Trung điểm $BC$
- C.
  Giao điểm của $HT$ và $BC$
- D.
  Giao điểm của $HK$ và $CD$
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ .

Ta có: $HT//AC$ (do $HT$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ )

$HT \subset (HKT)$

$AC \subset (ABC)$

$K \in (HKT) \cap (ABC)$

Vậy $(HKT) \cap (ABC) = KO//HT//AC$
Câu 26: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của mỗi kết luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB$ . $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SCD)$ . Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

a) $MN//CD$ Đúng||Sai

b) Tứ giác $CDSI$ là hình thang có đáy $SI < CD$ Sai||Đúng

c) $ME // ( SBC )$ Đúng||Sai

d) $HG//(SBD)$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ , $H$ là trọng tâm tam giác $SCD$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA;SB$ . $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SCD)$ . Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?

a) $MN//CD$ Đúng||Sai

b) Tứ giác $CDSI$ là hình thang có đáy $SI < CD$ Sai||Đúng

c) $ME // ( SBC )$ Đúng||Sai

d) $HG//(SBD)$ Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB \Rightarrow MN//AB$ mà $AB//CD$ nên $MN//CD$

b) Sai

Ta có $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD) \\ AB//CD \\ AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d = (SAB) \cap (SCD) \\ S \in d \\ d//AB//CD \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $I = AN \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in AN \\ I \in d,d \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I = AN \cap (SCD)$

Ta có $SI//BA \Rightarrow \frac{SI}{AB} = \frac{SN}{NB} = 1$

$\Rightarrow SI = AB \Rightarrow SI = CD$

Vậy $SICD$ là hình bình hành

c) Đúng

Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $BC$ trong $(ABCD)$ , ta có

$AD//CF \Rightarrow \frac{AE}{EF} = \frac{ED}{CE} = 1$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $AF$

Vậy $ME$ là đường trung bình của tam giác $SAF$

$\Rightarrow EM//SF$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} ME//SF \\ ME ⊄ (SCD) \\ SF \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ME//(SCD)$

d) Đúng

Gọi $E$ là trung điểm $CD$ ta có

$\frac{EH}{ES} = \frac{EG}{EB}\left( = \frac{1}{3} ight) \Rightarrow GH//SB$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} GH//SB \\ SB \subset (SBD) \\ GH ⊄ (SBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GH//(SBD)$
Câu 27: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $M\ ,\ \ N$ lần lượt là trung điểm $BD\ ,\ \ AD$ . Các điểm $\ H,\ \ G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD\ \ ;\ \ ACD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $MN$ Sai||Đúng

b) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $CD$ Đúng||Sai

c) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $\mathbf{CN}$ Sai||Đúng

d) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng ${AB}$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $M\ ,\ \ N$ lần lượt là trung điểm $BD\ ,\ \ AD$ . Các điểm $\ H,\ \ G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD\ \ ;\ \ ACD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $MN$ Sai||Đúng

b) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $CD$ Đúng||Sai

c) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng $\mathbf{CN}$ Sai||Đúng

d) Đường thẳng $HG$ chéo với đường thẳng ${AB}$ Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Do $\frac{OG}{OA} = \frac{OH}{OB} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow HG//AB$ (Định lý Talet)

Xét tam giác $ABD$ có: $MN//AB$ (do $MN$ là đường trung bình của tam giác) $\Rightarrow HG//MN$

Lại có: $HG \cap CN = G$

Vậy $HG$ và $CD$ chéo nhau.

Kết luận:

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai
Câu 28: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,M$ là trung điểm $CD,I$ là điểm ở trên đoạn thẳng $AG,BI$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $J$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $AM = (ACD) \cap (ABG)$ .
- B.
  $A,J,M$ thẳng hàng.
- C.
  $J$ là trung điểm của $AM$ .
- D.
  $DJ = (ACD) \cap (BDJ)$ .
Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$ .

Do $BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG) \\ M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$

$\Rightarrow (ABG) \cap (ACD) = AM$ nên $AM = (ACD) \cap (ABG)$ đúng.

$\Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng nên $A,J,M$ thẳng hàng đúng

Ta có $\left\{ \begin{matrix} DJ \subset (ACD) \\ DJ \subset (BDJ) \\ \end{matrix} \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) ight.$ nên $DJ = (ACD) \cap (BDJ)$ đúng.

Điểm $I$ di động trên $AG$ nên $J$ có thể không phải là trung điểm của $AM$

Nên $J$ là trung điểm của $AM$ sai.
Câu 29: Thông hiểu
Xác định thiết diện

Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M, song song với AB và AD. Thiết diện $(\alpha)$ với tứ diện ABCD là hình gì?
- A.
  Tam giác
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình thoi
- D.
  Hình thang
Hình vẽ minh họa
$(\alpha) // (AB)$ => Giao tuyến của $(\alpha)$ với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.
$(\alpha) // AD$ => Giao tuyến của $(\alpha)$ với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.
Vậy thiết diện là tam giác MNP.
Câu 30: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình chóp $S.ABC$ có $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $SC$ . Tìm khẳng định sai dưới đây.
- A.
  Đường thẳng $SA$ và $AB$ cắt nhau.
- B.
  Đường thẳng $BH$ và $AC$ cắt nhau.
- C.
  Điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ .
- D.
  Đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ cắt nhau.
Hình vẽ minh họa
Ta có: $BH$ và $AC$ không đồng phẳng nên khẳng định $BH$ và $AC$ cắt nhau là sai.
Câu 31: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng

Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một tứ diện ABCD’. Nếu ABCD là một hình vuông, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
- A.
  Tam giác ABC vuông cân tại A.
- B.
  Tam giác ABC vuông cân tại C.
- C.
  Tam giác ABC vuông cân tại B.
- D.
  Tam giác ABC tam giác đều.
Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABC vuông cân tại B.
Hình biểu diễn của tứ diện ABCD’ là tứ giác ABCD nên hình biểu diễn của tam giác ABC là tam giác ABC vuông cân tại B.
Câu 32: Thông hiểu
Tìm các giao tuyến của mặt phẳng và hình chóp

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ đáy là hình bình hành, $M$ là trung điểm của $AB$ . Giả sử $(\gamma)$ là mặt phẳng đi qua $M$ đồng thời song song với $SB$ và $CD$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ và các mặt của hình chóp. Hỏi hình tạo bởi các giao tuyến trên là hình gì?
- A.
  Hình thoi
- B.
  Hình thang
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình tam giác
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$(\gamma)//SB$ nên $(\gamma)$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ theo giao tuyến $MN$ đi qua $M$ và song song với $SB$ , với $N$ là trung điểm của $SC$ .

$(\gamma)//CD$ nên $(\gamma)$ cắt mặt phẳng $(SCD)$ theo giao tuyến $NP$ đi qua $N$ và song song với $CD$ , với $P$ là trung điểm của $SD$ .

$(\gamma)//CD$ nên $(\gamma)$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ theo giao tuyến $MQ$ đi qua $M$ và song song với $CD$ , với $Q$ là trung điểm của $AD$ .

Các giao tuyến của mặt phẳng $(\gamma)$ và hình chóp là tứ giác $MNPQ$

Lại có $MQ//CD//NP$ nên $MNPQ$ là hình thang.
Câu 33: Nhận biết
Xác định mặt phẳng song song với JK

Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $J;K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SB,SC$ . Đường thẳng $JK$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
- A.
  $(SAC)$
- B.
  $(SKA)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} JK//CB \\ JK ⊄ (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow JK//(ABC)$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai

Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a, b, c$ trong đó $a//b$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Nếu $a//c$ thì $b//c$
- B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
- C. Nếu $A \in a$ và $B \in b$ thì ba đường thẳng $a, b, AB$ cùng ở trên một mặt phẳng.
- D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b.
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."
Câu 35: Nhận biết
Chọn kết luận đúng

Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,\ \ b,\ \ c$ . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.
- B.
  Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$ .
- D.
  Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.
Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 36: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 37: Thông hiểu
Xác định hình dạng của thiết diện

Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?
- A.
  Hình thoi
- B.
  Hình thang có đúng một cặp cạnh song song
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình bình hành
Ta có: $(ABB'A') // (CDD'C')$
=> $(A'B'C'D')$ cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến $A'B'$ và $C'D'$
=> $A'B' // C'D' (1)$
Chứng minh tương tự ta có: $(AA'D'D) // (BB'C'C)$
=> $(A'B'C'D')$ cắt hai mặt phẳng trên theo hai giao tuyến $A'D'$ và $B'C'$
=> $A'D' // B'C' (2)$
Từ (1) và (2) => $A'B'C'D'$ là hình bình hành.
Câu 38: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
- A.
  1
- B.
  2
- C.
  3
- D.
  4
Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Câu 39: Thông hiểu
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 40: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trung điểm của các cạnh $SA,SD,AB$ lần lượt là $M,N,P$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(MNO)//(SBC)$
- B.
  $(NPM)//(SBD)$
- C.
  $(OPM)//(SCD)$
- D.
  $(NOP)//(MNP) = NP$
Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng $(MON)$ và $(SBC)$ .

Ta có: $OM//SC$ và $ON//SB$ .

Mà $BS ∩ SC = C$ và $OM ∩ ON = O$ .

Do đó $(MON)//(SBC)$
Câu 41: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Câu 42: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là các điểm thuộc cạnh $SB$ và đoạn $AC$ sao cho $\frac{BM}{MS} = x$ và $\frac{NC}{NA} = y$ , $(0 < x,\ \ y eq 1)$ . Tìm tỷ số $\frac{x}{y}$ để $MN//(SAD)$ .

Đáp án: 1

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là các điểm thuộc cạnh $SB$ và đoạn $AC$ sao cho $\frac{BM}{MS} = x$ và $\frac{NC}{NA} = y$ , $(0 < x,\ \ y eq 1)$ . Tìm tỷ số $\frac{x}{y}$ để $MN//(SAD)$ .

Đáp án: 1

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ giả sử $BN$ và $AD$ cắt nhau tại điểm $K$ .

Dễ thấy $SK = (BMN) \cap (SAD)$ .

Do đó : $MN//(SAD)$ $\Leftrightarrow MN//SK$ $\Leftrightarrow \frac{BM}{MS} = \frac{BN}{NK}$ (1)

Mặt khác tam giác $NCB$ đồng dạng với tam giác $NAK$ $\Rightarrow \frac{BN}{NK} = \frac{CN}{NA}$ (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{BM}{MS} = \frac{NC}{NA}$ $\Leftrightarrow x = y$ .

Vậy $MN//(SAD)$ $\Leftrightarrow x = y$ . Khi đó $\frac{x}{y} = 1$
Câu 43: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 44: Thông hiểu
Tìm bốn điểm đồng phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M, N, P, Q, R, T$ lần lượt là trung điểm $AC, BD, BC, CD, SA, SD$ . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
- A. M, P, R, T.
- B. M, Q, T, R.
- C. M, N, R, T.
- D. P, Q, R, T.
Hình vẽ minh họa
Ta có: $RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên.
$MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $MQ{m{//}}AD$ .
=> $RT{m{//}}MQ$
=> $M, Q, R, T$ đồng phẳng.
Câu 45: Vận dụng
Khẳng định nào sau đây là đúng

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm của AB.
(I) (ADF) // (BCE)
(II) (MOO’) // (ADF)
(III) (MOO’) // (BCE)
(IV) (AEC) // (BDF)
Khẳng định nào sau đây là đúng
- A.
  Chỉ có (1) đúng
- B.
  Chỉ có (1) và (2) đúng
- C.
  (I), (II), (III) đúng
- D.
  Chỉ có (1) và (IV) đúng
Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)
=> BC // (ADF); BE // (ADF)
Mà BC ∩∩ BE = B
=. (ADF) // (BEC).
O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD
Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF
MO’ // (ADF) (1)
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD
MO // (ADF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)
Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).
Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:
AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’
Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.
Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.
Câu 46: Nhận biết
Chọn phát biểu sai

Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào sai?
- A.
  Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng
- B.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
- C.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng
- D.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.
Phát biểu sai: "Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau."
Câu 47: Nhận biết
Tìm câu sai

Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
- B.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.

Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.
Câu 48: Nhận biết
Tìm câu đúng

Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
- B.
  Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
- D.
  Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau.
Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.
Câu 49: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?
- A.
  $AB$ và $CD$ .
- B.
  $AC$ và $BD$ .
- C.
  $SB$ và $CD$ .
- D.
  $SD$ và $BC$ .
Hình vẽ minh họa

Quan sát hình vẽ ta thấy kết quả cần tìm là: $AC$ và BD.
Câu 50: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Khẳng định nào sau đây là đúng.
- A.
  Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành.
- B.
  Hình biểu diễn của một hình chữ nhật là một hình chữ nhật.
- C.
  Hình biểu diễn của một hình vuông là một hình vuông.
- D.
  Hình biểu diễn của một hình thoi là một hình thoi.
Khẳng định đúng là: " Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành."

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/50

Chưa làm Đã làm

Tìm bài trong mục này

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Đang tìm đối thủ...