VnDoc.com Lớp 11 Khóa học Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với bài kiểm tra 45 phút Toán 11 CTST Chương 4: Quan hệ song song trong không gian nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 50 câu
Số điểm tối đa: 50 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Qua $S$ kẻ $Sx\ ;\ Sy$ lần lượt song song với $AB\ ,\ \ AD$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

b) Giao tuyến của $(SBD)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $Sy$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $Sx$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Qua $S$ kẻ $Sx\ ;\ Sy$ lần lượt song song với $AB\ ,\ \ AD$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

b) Giao tuyến của $(SBD)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $Sy$ . Sai||Đúng

c) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $Sx$ . Đúng||Sai

d) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $Sx$ . Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB) \cap (SCD)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \begin{matrix} AB \subset (SAB)\ ;\ \ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Sx = (SAB) \cap (SCD)$ với $Sx \parallel AB \parallel CD$ .

Kết luận:

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai
Câu 2: Nhận biết
Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tìm đường thẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $AB$
- B.
  $BD$
- C.
  $AC$
- D.
  $SD$
Hình vẽ minh họa

Xét hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ta có:

$S$ là điểm chung

Mà $\left\{ \begin{matrix} AB//CD \\ AB \subset (SAB) \\ CD \subset (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d = (SAB) \cap (SCD)$ với $d$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB,CD$ .
Câu 3: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho điểm A thuộc mặt phẳng (P), mệnh đề nào sau đây đúng:
- A. $A \in P$
- B. $A \in (P)$
- C. $A \subset mp(P)$
- D. $A \subset mpP$
Mệnh đề đúng $A \in (P)$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng

Khẳng định nào sau đây là đúng.
- A.
  Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành.
- B.
  Hình biểu diễn của một hình chữ nhật là một hình chữ nhật.
- C.
  Hình biểu diễn của một hình vuông là một hình vuông.
- D.
  Hình biểu diễn của một hình thoi là một hình thoi.
Khẳng định đúng là: " Hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành."
Câu 5: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu $3$ điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có $3$ đỉnh lấy từ $18$ điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

Đáp án: 216

Đáp án là:

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Trên mỗi cạnh của tứ diện, ta đánh dấu $3$ điểm chia đều các cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành mà có $3$ đỉnh lấy từ $18$ điểm đã đánh dấu sao cho mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho?

Đáp án: 216

Hình vẽ minh họa

Không mất tính tổng quát, xét mặt bên $\Delta ABC$ .

Giả sử $MN$ song song với $BC$ . Khi đó, số tam giác có cạnh $MN$ nằm trong mặt phẳng song song với đúng một cạnh của tứ diện là 6 tam giác, gồm $\Delta PMN$ , $\Delta QMN$ , $\Delta IMN,\Delta JMN$ , $\Delta KMN$ , $\Delta LMN$ .

Trong mặt bên $\Delta ABC$ , nối các điểm chia đều các cạnh $AB,BC,CA$ ta thấy có 3 đoạn thẳng song song với $AB$ , 3 đoạn thẳng song song với $BC$ và 3 đoạn thẳng song song với $CA$ .

Mặt khác, vai trò 4 mặt của tứ diện là như nhau.

Vậy, số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là $6.(3 + 3 + 3).4 = 216$ .
Câu 6: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
- A.
  Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
- B.
  Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
- C.
  Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
- D.
  Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
Khẳng định sai: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất”.

Sửa lại: “Hai mặt phẳng trùng nhau thì có vô số đường thẳng chung.”
Câu 7: Thông hiểu
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 8: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ .

Gọi $MN = (P) \cap (ABD)$ ( $N \in AD$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MN//\ BD \Rightarrow N$ là trung điểm của $AD$ .

Gọi $MP = (P) \cap (ABC)$ ( $P \in AC$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MP//BC \Rightarrow P$ là trung điểm của $AC$ .

Thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ là $\Delta MNP$ .

Gọi $I,\ J$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $BD$ .

Ta chứng minh được $\Delta MNP = \Delta JDI$ (c – c – c).

Ta có

$S_{\Delta MNP} = S_{\Delta DIJ} = \frac{1}{2}DI.DJ.sin\widehat{JDI}$

$= \frac{1}{4}.\frac{1}{2}DB.DC.sin\widehat{BDC} = \frac{1}{4}.S_{\Delta DBC} = \frac{1}{4}.16 = 4$

Vậy $S_{\Delta MNP} = 4.$
Câu 9: Vận dụng
Đặc điểm của hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Lấy $M \in AD,N \in CC'$ sao cho $2AM = AD$ và $2CN = CC'$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $MN$ và song song với $(ACB')$ . Xác định các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp. Cho biết hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
- A.
  Hình lục giác
- B.
  Hình ngũ giác
- C.
  Hình tứ giác
- D.
  Hình tam giác
Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại P là trung điểm CD.

Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng (BCC’B’) là đường thẳng qua N và song song với B’C, đường thẳng này cắt B’C’ tại E là trung điểm B’C’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (A’B’C’D’) là đường thẳng qua E và song song với A’C’, đường thẳng này cắt A’B’ tại F là trung điểm A’B’.

Giao tuyến của (α) với mặt phẳng (ABB’A’) là đường thẳng qua F và song song với AB’, đường thẳng này cắt AA’ tại G là trung điểm AA’.

=> Hình lục giác MPNEFG là hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình hộp.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn phát biểu đúng

Cho hình chóp S. ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, điểm N thuộc cạnh SC sao cho 2NC = NS, M là trọng tâm của tam giác CBD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  MN song song với SA
- B.
  MN và SA cắt nhau
- C.
  MN và SA chéo nhau
- D.
  MN và SA không đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD
Ta có: $2NC = SN \Rightarrow \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}$
M là trọng tâm tam giác BCD => $\frac{{MC}}{{OC}} = \frac{2}{3}$
ABCD là hình bình hành => $AO = OC$
=> $\frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{MC}}{{2OC}} = \frac{2}{{2.3}} = \frac{1}{3}$
Xét tam giác SAC có:
$\frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{NC}}{{SC}} = \frac{1}{3}$
Theo định lí Ta - lét suy ra $MN // SA$
Câu 11: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $G,E$ lần lượt là trọng tâm tam giác $SAD$ và $SCD$ . Lấy các điểm $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $HK//GE$
- B.
  $HK$ và $GE$ chéo nhau
- C.
  $BC$ cắt $GE$
- D.
  $HK//SD$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là trung điểm của $SD$ .

Xét tam giác $ACI$ có: $\frac{IG}{IA} = \frac{IE}{IC} = \frac{1}{3}$

Theo định lí đảo của định lí Thales, ta có $GE//AC$ (1).

Mặt khác $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

=> $HK//AC$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $HK//GE$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tính tỉ lệ độ dài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $A'D'$ . Gọi mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $M$ và song song với $AC,BB'$ . Giả sử $BC \cap (\gamma) = \left\{ T ight\}$ . Tỉ lệ độ dài của $TB$ và $TC$ là:
- A.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{TB}{TC} = 3$
- C.
  $\frac{TB}{TC} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{TB}{TC} = 2$
Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm của $AD,DC,D'C'$ lần lượt là $N,P,E$ .

Dễ thấy $(MNPE) \in (\gamma)$

Xét mặt phẳng $(ABCD)$ , gọi $BC \cap NP = T$

Xét tam giác $\Delta NDP$ và tam giác $\Delta PCT$ ta có:

$\widehat{DPN} = \widehat{TPC}$ (đối đỉnh)

$DP = PC$

$\widehat{NDP} = \widehat{PCT}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta NDP\sim\Delta PCT$

$\Rightarrow DN = TC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$

Vậy $TB = 3TC$ hay $\frac{TB}{TC} = 3$
Câu 13: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $d ∈ (P)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng:
- A. Nếu $A ∈ d$ thì $A ∈ (P)$
- B. Nếu $A ∈ (P)$ thì $A ∈ d$
- C. $\forall A,A \in d \Rightarrow A \in (P)$
- D. Nếu 3 điểm $A,B,C ∈ (P)$ và $A,B,C$ thẳng hàng thì $A,B,C ∈ d$
Mệnh đề đúng: " $\forall A,A \in d \Rightarrow A \in (P)$ ".
Câu 14: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của các phát biểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $AD//BC;AD = 2BC$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm $E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,AD$ . Lấy điểm $K$ thuộc $SC$ sao cho $SK = 2CK$ . Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) $EF//(SCD)$ Đúng||Sai

b) $(BEF)//(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\frac{CO}{CA} = \frac{2}{3}$ Sai||Đúng

d) $SA//(KBD)$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $AD//BC;AD = 2BC$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm $E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,AD$ . Lấy điểm $K$ thuộc $SC$ sao cho $SK = 2CK$ . Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

a) $EF//(SCD)$ Đúng||Sai

b) $(BEF)//(SCD)$ Đúng||Sai

c) $\frac{CO}{CA} = \frac{2}{3}$ Sai||Đúng

d) $SA//(KBD)$ Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

Ta có EF là đường trung bình tam giác SAD nên EF // SD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} EF//SD \\ SD \subset (SCD) \\ EF ⊄ (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow EF//(SCD)$

Xét tứ giác BFDC có: $\left\{ \begin{matrix} BC//DF \\ BC = DF = \frac{1}{2}AD \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tứ giác BFDC là hình bình hành

=> BF // DC

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BF//CD \\ CD \subset (SCD) \\ BF ⊄ (SCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BF//(SCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} EF//(SCD) \\ BF//(SCD) \\ EF \cap BF \\ EF;BF \subset (BEF) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (BEF)//(SCD)$

Do AD // BC nên theo định lí Ta- let ta có: $\frac{OB}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow OA = 2OC \Rightarrow \frac{CO}{CA} = \frac{1}{3}$

Mặt khác $SK = 2CK \Rightarrow \frac{CK}{CS} = \frac{1}{3}$

Xét tam giác SAC có $\frac{CO}{CA} = \frac{CK}{CS} = \frac{1}{3} \Rightarrow OK//SA$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OK//SA \\ OK \subset (KBD) \\ SA ⊄ (KBD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SA//(KBD)$
Câu 15: Vận dụng
Xác định tỉ số AJ và DJ

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm O. Lấy $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ , $M \in SB$ sao cho $MS = MB$ . Xác định tỉ số $\frac{AJ}{DJ}$ với $J = AD \cap (GOM)$ .
- A.
  $\frac{AJ}{DJ} = 1$
- B.
  $\frac{AJ}{DJ} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{AJ}{DJ} = 2$
- D.
  $\frac{AJ}{DJ} = \frac{1}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $H$ là trung điểm $SD$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} OB = OD \\ MS = MD \\ \end{matrix} ight.$ => $OM$ là đường trung bình tam giác $SDB$

$\Rightarrow OM//SD$ (tính chất đường trung bình).

Do đó qua $G$ kẻ đường thẳng song song $SD$ cắt $AD$ tại $J$

=> $J = AD \cap (GOM)$ .

Mà theo giả thiết $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$

$\frac{AG}{GH} = \frac{AJ}{GJ} = 2$
Câu 16: Vận dụng
Tính tỉ số độ dài SA, SE

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,SC,BC$ và $E = (MNP) \cap SA$ . Tính tỉ số độ dài $SE$ và $SA$
- A.
  $\frac{SE}{SA} = \frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{SE}{SA} =\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{SE}{SA} =\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{SE}{SA} =\frac{3}{4}$
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ , kẻ đường thẳng qua $P$ và song song với $BD$ , cắt $AC$ , $CD$ lần lượt tại $I,Q$
=> $(MNP) \equiv (MNQP)$
=> $I$ là trung điểm của $OC$
Trong mặt phẳng $(SBD)$ , gọi $MN \cap SO = K$
=> $K$ là trung điểm của $SO$ .
Trong mặt phẳng $(SAC)$ , gọi $IK \cap SA = E$ .
=> $E$ là giao điểm của $SA$ và $(MNP)$ .
Xét tam giác $SAC$ có $IE//SC$ vì $IK$ là đường trung bình của tam giác $SOC$ .
Theo định lí Ta-lét $\Rightarrow\frac{AE}{SA} = \frac{AI}{AC} = \frac{3}{4}$ (vì $I$ là trung điểm của $OC$ và $O$ là trung điểm $AC$ )
$\Rightarrow \frac{SE}{SA} =\frac{1}{4}$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
- B.
  Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
- D.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
“Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.
“Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Câu 18: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Lấy $I$ là trung điểm của $AC$ , $J \in AD$ sao cho $\frac{AJ}{AD} = 2$ . Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{51}}{144}$
- B.
  $S = \frac{3a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- C.
  $S = \frac{a^{2}\sqrt{31}}{144}$
- D.
  $S = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ $JN // AB, (N ∈ BD).$

Trong mp(ABC) kẻ $IM // AB, (M ∈ BC).$

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó $AD = \frac{1}{2}CD = BD$

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

$\Rightarrow \frac{PJ}{PI} = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}$

Ta lại có: $\frac{S_{PJN}}{S_{PIM}} = \frac{PJ}{PI}.\frac{PN}{PM} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{S_{JNMI}}{S_{PIM}} = \frac{5}{9}$

Mặt khác

$JN//AB \Rightarrow \frac{JN}{AB} = \frac{DJ}{DA} = \frac{1}{3} \Rightarrow JN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

$IM//AB \Rightarrow \frac{IM}{AB} = \frac{CI}{CA} = \frac{1}{2} \Rightarrow IM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

$AP = \sqrt{CP^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}$

$PI = \sqrt{AI^{2} + AP^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2} = PM$

Diện tích tam giác PIM

$S_{PIM} = \sqrt{p(p - PI)(p - PM)(p - IM)}$

Với $p = \frac{PI + PM + IM}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{13}}{4}.a$

$\Rightarrow S_{PIM} = \frac{a^{2}\sqrt{51}}{16}$

$\Rightarrow S_{JNMI} = \frac{5}{9}S_{PIM} = \frac{5a^{2}\sqrt{51}}{144}$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Cho tứ diện $MNPQ$ . Gọi $I;J$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $MNP$ và $MNQ$ (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $IJ$ song song với $PQ$ .
- B.
  $IJ$ và $PQ$ chéo nhau.
- C.
  $IJ$ song song với $MN$ .
- D.
  $IJ$ cắt $MN$ .
Hình vẽ minh họa
Gọi $K;H$ lần lượt là trung điểm của $NP,NQ$
Vì $I;J$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $MNP$ , và $MNQ$ nên ta có:
$\frac{MI}{MK} = \frac{MJ}{MH} =\frac{2}{3}$
$= > \ IJ\ //\ HK$ . Mà $HK//PQ$ (do $KH$ là đường trung bình của tam giác $NPQ$ ).
$= > \ IJ//\ PQ$
Câu 20: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ a//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ a \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ d \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
Hình vẽ minh họa

Vậy $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ d \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
Câu 21: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 22: Nhận biết
Xác định mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- B.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.
- C.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.
- D.
  Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C nằm ngoài (P) lúc đó, nếu 3 đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt phẳng (P) thì ba giao điểm đó thẳng hàng.
Mệnh đề sai: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại." vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau.
Câu 23: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?
- A.
  Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác
- B.
  Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác
- C.
  Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác
- D.
  Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó
Phương án "Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác" sai vì mặt đáy có thể không là tam giác.
Phương án "Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác" đúng vì theo định nghĩa
Phương án "Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác" sai vì theo định nghĩa mặt bên của hình chóp luôn là tam giác
Phương án "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì số cạnh bên bằng số mặt bên trong khi các mặt hình chóp gồm các mặt bên và mặt đáy.
Có thể giải thích "Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó" sai vì xét với hình chóp tam giác số cạnh bên bằng 3 nhưng số mặt bằng 4.
Câu 24: Vận dụng cao
Tỉ số độ dài cạnh AB và CD

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy nhỏ $CD$ . Lấy các điểm $I \in AD;J \in BC$ sao cho $IA = ID;JB = JC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ . Để giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình bình hành thì tỉ số độ dài cạnh $\frac{AB}{CD}$ bằng:
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $3$
- D.
  $1$
Hình biểu diễn
Ta có: $(IJG) \cap (SAB) = EF$ với $E \in SA,F \in SB$ và đi qua $G$ , song song với $AB//IJ$ .
=> Giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ là hình thang $EFJI$ . Tính $EF = \frac{2}{3}AB;IJ = \frac{1}{2}(AB +CD)$
Để hình thang $EFJI$ là hình bình hành thì
$\Leftrightarrow EF = IJ$
$\Leftrightarrow \frac{2}{3}AB =\frac{1}{2}(AB + CD)$
$\Leftrightarrow AB = 3CD$
$\Leftrightarrow \frac{AB}{CD} =3$
Câu 25: Thông hiểu
Tìm số khẳng định sai

Giả sử có ba đường thẳng a, b, c trong đó b // a và c //a. những phát biểu nào sau đây là sai?
(1) Nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c chéo nhau.
(2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì ba đường thẳng a, b, c song song với nhau từng đôi một.
(3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) và (a, c) có trùng nhau hay không, ta vẫn có b // c.
- A.
  Chỉ có (1) sai.
- B.
  Chỉ có (2) sai
- C.
  Chỉ có (3) sai
- D.
  (1), (2) và (3) đều sai
Phát biểu (1) sai vì nếu mặt phẳng (a, b) không trùng với mặt phẳng (a, c) thì b và c song song
Phát biểu (2) Sai vì nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) thì b trùng c
Phát biểu (3) Sai vì có thể xảy ra b trùng c.
Câu 26: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $P , Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ ; điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Gọi $S$ là giao điểm của $mp(PQR)$ và cạnh $AD$ . Tính tỉ số $\frac{SA}{SD}$ .

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Các điểm $P , Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ ; điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC$ . Gọi $S$ là giao điểm của $mp(PQR)$ và cạnh $AD$ . Tính tỉ số $\frac{SA}{SD}$ .

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng $(BCD)$ , gọi $I = RQ \cap BD$ .

Trong $(ABD)$ , gọi $S = PI \cap AD$ $\Rightarrow S = AD \cap (PQR)$ .

Trong mặt phẳng $(BCD)$ , dựng $DE//BC$ $\Rightarrow DE$ là đường trung bình của tam giác $IBR$ .

$\Rightarrow \ D$ là trung điểm của $BI$ .

Trong $(ABD)$ , dựng $DF//AB$ $\Rightarrow \frac{DF}{BP} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{DF}{PA} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{SA}{SD} = 2$ .
Câu 27: Thông hiểu
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 28: Thông hiểu
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC (xem hình vẽ bên). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là
- A. SF (F là trung điểm CD)
- B. SO
- C. SD
- D. SG (G là trung điểm AB)
Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).
Ta có $O = AC ∩ BD$ là tâm của hình hình hành
=> $O = AC ∩ MN$ (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).
Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC \subset \left( {SAC} ight) \Rightarrow O \in \left( {SAC} ight)} \\{O \in MN \subset \left( {SMN} ight) \Rightarrow O \in \left( {SMN} ight)}\end{array}} ight.$
=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).
Vậy $(SMN) ∩ (SAC) = SO$
Câu 29: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)
(1) nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhay thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với mọi đường thẳng nằm trên (Q).
(2) nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với (Q) thì (P) song song với (Q).
Trong hai phát biểu trên.
- A.
  Chỉ có một phát biểu đúng.
- B.
  Chỉ có phát biểu (2) đúng.
- C.
  Cả hai phát biểu đều đúng.
- D.
  Cả hai phát biểu đều sai.
Theo định lý, nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q), do đó nếu lấy mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì tồn tại hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn định lý, vậy phát biểu (2) đúng.
Phát biểu (1) sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Câu 30: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

"Cho hình hộp ABCD.EFHG, khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  EF song song với CD
- B.
  CE song song với FH
- C.
  EH song song với AD
- D.
  GE song song với BD
Hình vẽ minh họa
Khẳng định sai là "CE song song với FH"
Câu 31: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng?
- A.
  4
- B.
  2
- C.
  1
- D.
  3
Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Câu 32: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
- A.
  Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
- B.
  Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
- C.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
- D.
  Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt $m,n$ cùng song song với $(\alpha)$ thì $m,n$ có thể cắt nhau cùng nằm trong $(\alpha)$ .
Câu 33: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và hai đường thẳng $m,n$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu $m//(\alpha)$ và $n//(\alpha)$ thì $m,n$ đồng phẳng.
- B.
  Nếu $m \subset (\alpha)$ và $m$ cắt $n$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .
- C.
  Nếu $m//n$ và $n//(\alpha)$ thì $m//(\alpha)$ .
- D.
  Nếu $m//n$ và $(\alpha)$ cắt $m$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .
“Nếu $m//(\alpha)$ và $n//(\alpha)$ thì $m,n$ đồng phẳng.” sai vì có thể chéo nhau.

“Nếu $m \subset (\alpha)$ và $m$ cắt $n$ thì $n$ cắt $(\alpha)$ .” sai vì có thể nằm trên $(\alpha)$

“Nếu $m//n$ và $n//(\alpha)$ thì $m//(\alpha)$ .” sai vì có thể nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 34: Nhận biết
Chọn khẳng định sai

Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy $M$ là trung điểm của các đoạn thẳng $SA$ , $N$ là trung điểm của $SB$ , $P \in SC$ sao cho $\frac{PS}{PC} = 2$ . Chọn khẳng định sai.
- A.
  $(MNP) \cap (SAB) = MN$
- B.
  Đường thẳng $NP$ cắt mặt phẳng $(SAC)$
- C.
  Các giao tuyến tạo bởi hình chóp và $(MNP)$ là tam giác $ABC$
- D.
  $MN//(ABC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (MNP) \cap (SAC) = MP \\ (MNP) \cap (SAB) = MN \\ (MNP) \cap (SBC) = NP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy các giao tuyến tạo bởi $(MNP)$ và hình chóp $S.ABC$ tạo thành là tam giác $MNP$ .
Câu 35: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
- B.
  Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
- C.
  Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- D.
  Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Câu 36: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với cạnh bên $BC = 2$ , đáy $AB = 6;DC = 4$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $\left( {ABCD} ight)$ và cắt các cạnh $SA$ tại M sao cho $\frac{{SA}}{{SM}} = 3$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi $(P)$ và hình chóp $S.ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 37: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Có bao nhiêu đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng chứa đường chéo $AC_{1}$ của hình lập phương?
- A.
  $6$
- B.
  $4$
- C.
  $8$
- D.
  $5$
Hình vẽ minh họa

Có 6 đường thẳng là $BB_{1},DD_{1},A_{1}D_{1},A_{1}B_{1},CB,CD$ .
Câu 38: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung, khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Hai đường thẳng song song
- B.
  Hai đường thẳng chéo nhau
- C.
  Hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
- D.
  Hai đường thẳng không đồng phẳng
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có hai trường hợp xảy ra là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
Câu 39: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $F$ là giao điểm của $AM$ và $CD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo định lý Talet, ta có: $\frac{MA}{MF} = \frac{MB}{MC} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M$ là trung điểm của $AF$

$\Rightarrow \frac{AG}{AF} = \frac{AG}{2AM} = \frac{1}{3}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} GE \subset (SAF) \\ GE//(SCD) \\ (SAF) \cap (SCD) = SF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GE//SF$

$\Rightarrow \frac{AE}{AS} = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS$

$\Rightarrow SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6$ .
Câu 40: Vận dụng
Xác định các giao tuyến của mặt phẳng và hình chóp

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang đáy nhỏ $DC$ và $M$ là trung điểm của $BC$ . Giả sử $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $BC$ và $SA$ , cắt $AB$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$ . Hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt bên của hình chóp là:
- A.
  Hình thoi
- B.
  Hình thang có đáy nhỏ $FQ$
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình chữ nhật
Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng $(\alpha)$ qua M, song song với BC nên $(\alpha)$ cắt (ABCD) và (SBC) theo giao tuyến a, qua M và song song BC.

Gọi E = a ∩ AB. Lúc đó $(\alpha)$ qua E và song song SA nên $(\alpha)$ cắt (SAB) theo giao tuyến b, qua E và song song SA.

Gọi F = b ∩ SB.

Tương tự, $(\alpha)$ ∩ (SBC) = c, với c qua F và song song BC.

Gọi Q = c ∩ SC.

Hình tạo bởi các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt bên của hình chóp là hình thang MEFQ.

Vì ME = CD > QF nên hình thang MEFQ có đáy lớn là FQ.
Câu 41: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Trung điểm của các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt là $M,N,P,Q$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $MP//BD$
- B.
  $MP//(SBD)$
- C.
  $(MNP)//(ABD)$
- D.
  $MN//(SAD)$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$(MNP)//(ABCD) \Rightarrow (MNP)//(ABD)$

$MP//AC$ mà $AC$ cắt $BD$ nên khẳng định $MP//BD$ sai.

$MN$ cắt $(SAD)$ tại $M$ nên khẳng định $MN//(SAD)$ sai.

$MP$ cắt $(SBD)$ tại trung điểm của $MP$ nên khẳng định $MP//(SBD)$ sai.
Câu 42: Thông hiểu
Tính tỉ số giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC,N$ là điểm thuộc đoạn $CD$ sao cho $CN = 2ND$ . Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(KLN)$ . Tính tỉ số $\frac{PA}{PD}$ .
- A.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{1}{2}$ .
- B.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{2}{3}$ .
- C.
  $\frac{PA}{PD} = \frac{3}{2}$ .
- D.
  $\frac{PA}{PD} = 2$ .
Hình vẽ minh họa

Giả sử $LN \cap BD = I$ . Nối $K$ với $I$ cắt $AD$ tại $P$ Suy ra $(KLN) \cap AD = P$
Ta có: $KL//AC \Rightarrow PN//AC$ . Suy ra $\frac{PA}{PD} = \frac{NC}{ND} = 2$ .
Câu 43: Thông hiểu
Tìm đường thẳng song song với MG

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ và $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BM = 2MC$ . Đường thẳng $MG$ song song với
- A.
  $(ACD)$
- B.
  $(ABD)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(BCD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho $BM = 2MC$ nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:

$\frac{BG}{BE} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow MG//CE \subset (ACD)$

$\Rightarrow MG//(ACD)$
Câu 44: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ , $M \in SC,SM = MC$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A.
  $OM//(SAB)$
- B.
  $OM//(SBD)$
- C.
  $OM//(SAD)$
- D.
  $(BDM) \cap (SAC) = OM$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$OM//SA \Rightarrow OM//(SAB)$

$OM//SA \Rightarrow OM//(SAD)$

$(BDM) \cap (SAC) = OM$

$OM//(SBD)$ là đáp án sai.
Câu 45: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
- A.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.
- B.
  Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác vuông.
- C.
  Một đường thẳng có thể cắt với hình chiếu của nó.
- D.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau.
Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.

Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 46: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- A.
  Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
- B.
  Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
- C.
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
- D.
  Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Câu 47: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ , điểm $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là:
- A.
  Điểm $N$
- B.
  Giao điểm của $MG$ và $AN$
- C.
  Giao điểm của $MG$ và $AC$
- D.
  Giao điểm của $MG$ và $CD$
Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác $ABN$ ta có: $\frac{BM}{AB} < \frac{BG}{BN} \Rightarrow P = MG \cap AN$

Vậy $P = MG \cap (ACD)$
Câu 48: Vận dụng cao
Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 49: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ .
- A.
  $a$ và $b$ là hai đường thẳng song song
- B.
  Nếu điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì không thể coi đường thẳng nào đi qua $M$ và cắt cả $a$ và $b$ .
- C.
  Nếu $a$ và $b$ không song song với nhau, điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ .
- D.
  Cả 3 câu trên đều sai.
Mệnh đề đúng là: "Nếu $a$ và $b$ không song song với nhau, điểm $M$ không nằm trên $(P)$ và $(Q)$ thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ ."
Câu 50: Thông hiểu
Hình biểu diễn của một hình thoi là hình gì

Hình biểu diễn của một hình thoi là hình nào sau đây?
- A.
  Hình thoi
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình thang
- D.
  Hình tứ giác
Hình biểu diễn của một hình thoi là hình bình hành.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

15 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Đề thi Toán 11 Chân trời sáng tạo
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục
Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
Chương 5: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số ghép số liệu nhóm
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Chương 7: Đạo hàm
Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian
Chương 9: Xác suất

Lớp 11
Khóa học Lớp 11
Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5
Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4
Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 6

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4 Đề 2

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 5

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CTST tháng 4

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 7